2024屆北京市東城區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆北京市東城區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則a的取值范圍是A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝（）A． B．C． D．23．已知離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，且，則（）A． B． C． D．4．已知為橢圓M:+=1和雙曲線N:-=1的公共焦點(diǎn)，為它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且，那么橢圓M和雙曲線N的離心率之積為（）A． B．1 C． D．5．在一次試驗(yàn)中，測(cè)得的四組值分別是A（1,2），B（3,4），C（5,6）D（7,8），則y與x之間的回歸直線方程為（）A． B． C． D．6．若存在實(shí)數(shù)，，使不等式對(duì)一切正數(shù)都成立（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的最小值是（）.A． B．4 C． D．27．電腦芯片的生產(chǎn)工藝復(fù)雜，在某次生產(chǎn)試驗(yàn)中，得到組數(shù)據(jù)，，，，，.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)可知，由最小二乘法求得回歸直線方程為，則（）A． B． C． D．8．某地區(qū)一次聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績(jī)近似地服從正態(tài)分布，已知，現(xiàn)隨機(jī)從這次考試的成績(jī)中抽取100個(gè)樣本，則成績(jī)低于48分的樣本個(gè)數(shù)大約為（）A．6 B．4 C．94 D．969．由曲線，，，圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得為旋轉(zhuǎn)體的體積為，滿足，，的點(diǎn)組成的圖形繞y軸旋一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為，則（）A． B． C． D．10．為了解某高校高中學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，從編號(hào)為0001，0002，…，2000的2000名學(xué)生中采用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個(gè)容量為50的樣本，并把樣本編號(hào)從小到大排列，已知抽取的第一個(gè)樣本編號(hào)為0003，則最后一個(gè)樣本編號(hào)是（）A．0047 B．1663 C．1960 D．196311．如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為A． B． C． D．12．已知對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩漸近線方程為，若雙曲線上有一點(diǎn)，使，則雙曲線的焦點(diǎn)（）A．在軸上 B．在軸上C．當(dāng)時(shí)在軸上 D．當(dāng)時(shí)在軸上二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為拋物線上兩點(diǎn)，若,則____________．14．下表提出了某廠節(jié)能耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)耗能（噸）的幾組相對(duì)數(shù)據(jù)．根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸直線方程，那么表中__________．15．若隨機(jī)變量，且，則______.16．若的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，則該展開式中的常數(shù)項(xiàng)為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和為,且滿足,對(duì),都有(其中常數(shù)),數(shù)列滿足.(1)求證:數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若,求的值；(3)若,使得,記,求數(shù)列的前項(xiàng)的和.18．（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，且滿足．求證：為等腰直角三角形19．（12分）已知函數(shù)的最大值為4.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若，求的最小值.20．（12分）電子商務(wù)公司對(duì)某市50000名網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物者2017年度的消費(fèi)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)消費(fèi)金額都在5000元到10000元之間，其頻率分布直方圖如下：（1）求圖中的值，并求出消費(fèi)金額不低于8000元的購(gòu)物者共多少人；（2）若將頻率視為概率，從購(gòu)物者中隨機(jī)抽取50人，記消費(fèi)金額在7000元到9000元的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差.21．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的極值；（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，且，證明：.22．（10分）已知圓柱的底面半徑為r，上底面和下底面的圓心分別為和O，正方形ABCD內(nèi)接于下底面圓O，與母線所成的角為.（1）試用r表示圓柱的表面積S；（2）若圓柱的體積為，求點(diǎn)D到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】∵當(dāng)x1≠x2時(shí)，＜0，∴f（x）是R上的單調(diào)減函數(shù)，∵f（x）=，∴，∴0＜a≤，故選A．2、C【解題分析】

先求出的表達(dá)式，然后對(duì)其化簡(jiǎn)，求出復(fù)數(shù)的模即可.【題目詳解】由題意，，所以.故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

利用二項(xiàng)分布期望公式求出，再由方差公式可計(jì)算出答案?！绢}目詳解】由于離散型隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則，所以，，因此，，故選：D?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)分布期望與方差公式的應(yīng)用，靈活運(yùn)用二項(xiàng)分布的期望和方差公式是解本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解和掌握情況，屬于中等題。4、B【解題分析】

根據(jù)題意得到，根據(jù)勾股定理得到，計(jì)算得到答案.【題目詳解】為橢圓M:+=1和雙曲線N:-=1的公共焦點(diǎn)故，故，故即故選：【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓和雙曲線的離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.5、A【解題分析】分析：根據(jù)所給的這組數(shù)據(jù)，取出這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)，把樣本中心點(diǎn)代入所給的四個(gè)選項(xiàng)中驗(yàn)證，若能夠成立的只有一個(gè)，這一個(gè)就是線性回歸方程．詳解：∵，∴這組數(shù)據(jù)的樣本中心點(diǎn)是（4，5）把樣本中心點(diǎn)代入四個(gè)選項(xiàng)中，只有y=x+1成立，故選A．點(diǎn)睛：本題考查求線性回歸方程，一般情況下是一個(gè)運(yùn)算量比較大的問題，解題時(shí)注意平均數(shù)的運(yùn)算不要出錯(cuò)，注意系數(shù)的求法，運(yùn)算時(shí)要細(xì)心，但是對(duì)于一個(gè)選擇題，還有它特殊的加法．6、B【解題分析】

分別畫出和的圖象，依題意存在實(shí)數(shù)，，使不等式對(duì)一切正數(shù)都成立，要求參數(shù)的最小值，臨界條件即為直線：恰為函數(shù)和的公切線，設(shè)函數(shù)上的切點(diǎn)，則，即轉(zhuǎn)化為求，設(shè)函數(shù)的切點(diǎn)為，表示出切線方程，即可得到方程組，整理得到，令，求出令即可得解；【題目詳解】解：分別畫出和的圖象，依題意存在實(shí)數(shù)，，使不等式對(duì)一切正數(shù)都成立，要求參數(shù)的最小值，臨界條件即為直線：恰為函數(shù)和的公切線，設(shè)函數(shù)上的切點(diǎn)，，，所以，所以切線方程為，整理得，同時(shí)直線也是函數(shù)的切線，設(shè)切點(diǎn)為，所以切線方程為，整理得，所以，整理得，即，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，顯然，故當(dāng)時(shí)取得最小值，即實(shí)數(shù)的最小值為4，故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)分析恒成立問題，兩曲線的公切線問題，屬于中檔題．7、D【解題分析】分析：根據(jù)回歸直線方程經(jīng)過的性質(zhì)，可代入求得，進(jìn)而求出的值．詳解：由，且可知所以所以選D點(diǎn)睛：本題考查了回歸直線方程的基本性質(zhì)和簡(jiǎn)單的計(jì)算，屬于簡(jiǎn)單題．8、B【解題分析】

由已知根據(jù)正態(tài)分布的特點(diǎn)，可得，根據(jù)對(duì)稱性，則，乘以樣本個(gè)數(shù)得答案．【題目詳解】由題意，知，可得，又由對(duì)稱軸為，所以，所以成績(jī)小于分的樣本個(gè)數(shù)為個(gè)．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義，以及考查正態(tài)分布中兩個(gè)量和的應(yīng)用，其中熟記正態(tài)分布的對(duì)稱性是解答的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

由題意可得旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個(gè)與軸垂直的平面截這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點(diǎn)距離為，求出所得截面的面積相等，利用祖暅原理知，兩個(gè)幾何體體積相等．【題目詳解】解：如圖，兩圖形繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體夾在兩相距為8的平行平面之間，用任意一個(gè)與軸垂直的平面截這兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體，設(shè)截面與原點(diǎn)距離為，所得截面面積，，由祖暅原理知，兩個(gè)幾何體體積相等，故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查祖暅原理的應(yīng)用，求旋轉(zhuǎn)體的體積的方法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】,故最后一個(gè)樣本編號(hào)為,故選D.11、C【解題分析】試題分析：由三角形面積為，，所以陰影部分面積為，所求概率為考點(diǎn)：定積分及幾何概型概率12、B【解題分析】

設(shè)出雙曲線的一般方程，利用題設(shè)不等式，令二者平方，整理求得的，進(jìn)而可判斷出焦點(diǎn)的位置．【題目詳解】漸近線方程為，，平方，兩邊除，，，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上.故選：B.【題目點(diǎn)撥】本題考查已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程，考查對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與運(yùn)用，求解時(shí)要注意焦點(diǎn)落在軸或軸的特點(diǎn)，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、12【解題分析】分析：過點(diǎn)兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，在直角三角形中，求得，進(jìn)而得直線的斜率為，所以直線的方程，聯(lián)立方程組，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得答案．詳解：過點(diǎn)兩點(diǎn)分別作準(zhǔn)線的垂線，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，在直角三角形中，?所以，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，將其代入拋物線的方程可得，解得，所以點(diǎn)，又由，所以所以．點(diǎn)睛：本題主要考查了主要了直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用問題，同時(shí)涉及到共線向量和解三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是利用拋物線的定義作出直角三角形，確定直線的斜率，得出直線的方程，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想和推理與運(yùn)算能力．14、【解題分析】試題分析：由題意可知，因?yàn)榛貧w直線方程，經(jīng)過樣本中心，所以=1．7×2．5+1．35，解得t=3考點(diǎn)：線性回歸方程15、4【解題分析】

由隨機(jī)變量，且，可得的值，計(jì)算出,可得的值.【題目詳解】解：由隨機(jī)變量，且，可得，，，.故答案為：4.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，熟悉二項(xiàng)分布的期望和方差的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.16、120【解題分析】分析：的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，令，求出a，再求出展開式中x的一次項(xiàng)及項(xiàng)即可.詳解：的展開式中，各項(xiàng)系數(shù)的和為，令，，，的展開式中的系數(shù)為，的系數(shù)為，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：120.點(diǎn)睛：求二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，一般是利用通項(xiàng)公式進(jìn)行，化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)公式即可．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）．【解題分析】分析：(1)因?yàn)閮墒较鄿p，時(shí)所以數(shù)列是等比數(shù)列(2)(3).所以顯然分類討論即可詳解：(1)證明:因?yàn)?都有，所以兩式相減得,即，當(dāng)時(shí)，所以，又因?yàn)?所以，所以數(shù)列是常數(shù)列,，所以是以2為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.(2)由(1)得.所以.(3)由(1)得..因?yàn)椋援?dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí)，.因此數(shù)列的前項(xiàng)的和.點(diǎn)睛：數(shù)列問題中出現(xiàn)一般都要用這個(gè)原理解題，但要注意驗(yàn)證時(shí)是否滿足；等比數(shù)列常常跟對(duì)數(shù)運(yùn)算結(jié)合在一起，很好的考查了數(shù)列的綜合分析問題能力，因此在計(jì)算時(shí)要熟練掌握對(duì)數(shù)相關(guān)運(yùn)算公式.18、見解析【解題分析】

根據(jù)正弦定理，可得，然后利用余弦定理可得，最后可得結(jié)果.【題目詳解】證法一：由正弦定理及，得，，，，又，由余弦定理，得，即，為等腰直角三角形．證法二：由正弦定理及，得，，，，，由正弦定理及，得，，，，，，，，，為等腰直角三角形．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用正弦定理、余弦定理的判斷三角形的形狀，關(guān)鍵在于邊角之間的轉(zhuǎn)化，屬基礎(chǔ)題.19、（1）；（2）.【解題分析】【試題分析】(1)利用絕對(duì)值不等式,消去,可求得實(shí)數(shù)的值.(2)由(1)得.利用配湊法,結(jié)合基本不等式可求得最小值.【試題解析】（1）由，當(dāng)且僅當(dāng)且當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取最大值，即；（2）由（1）及可知，∴，則，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取“=”）∴的最小值為4.20、(1)人(2)【解題分析】

由頻率分布直方圖計(jì)算出頻率，然后用樣本估計(jì)總體計(jì)算出消費(fèi)金額在到的概率，然后計(jì)算的數(shù)學(xué)期望和方差【題目詳解】（1）消費(fèi)金額不低于8000元的頻率為，所以共人.（2）從購(gòu)物者中任意抽取1人，消費(fèi)金額在7000到9000的概率為，所以，∴∴.【題目點(diǎn)撥】本題結(jié)合頻率分布直方圖用樣本估計(jì)總體，并計(jì)算相應(yīng)值得數(shù)學(xué)期望和方差，只要運(yùn)用公式即可得到結(jié)果，較為基礎(chǔ)．21、(1)答案見解析；(2)證明見解析.【解題分析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性可得函數(shù)的極值；（2），為函數(shù)零點(diǎn)，可得，要證，只需證，，令，在上是增函數(shù)，∴，∴，從而可得結(jié)論.詳解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?.當(dāng)時(shí)，，在上是減函數(shù)，所以在上無極值；當(dāng)時(shí)，若，，在上是減函數(shù).當(dāng)，，在上是增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，在上的極小值為.（2）證明：當(dāng)時(shí)，，可證明由（1）知，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，是極值點(diǎn)，又，為函數(shù)零點(diǎn)，所以，要證，只需證.∵，又∵，∴，令，則，∴在上是增函數(shù)，∴，∴，∴，即得證.點(diǎn)睛：本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、