2024屆廣東省華南師大附中、省實驗中學、廣雅中學、深圳高級中學四校數(shù)學高二下期末質量檢測試題含解析

2024屆廣東省華南師大附中、省實驗中學、廣雅中學、深圳高級中學四校數(shù)學高二下期末質量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，網格紙上小正方形的邊長為，粗線條畫出的是一個三棱錐的三視圖，則該三棱錐的體積是（）A． B． C． D．2．甲乙兩人有三個不同的學習小組，，可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個學習小組，則兩人參加同一個小組的概率為（）A．B．C．D．3．6把椅子擺成一排，3人隨機就座，任何兩人不相鄰的坐法種數(shù)為（）A．144 B．120 C．72 D．244．一個籃球運動員投籃一次得3分的概率為，得2分的概率為，得0分的概率為0.5（投籃一次得分只能3分、2分、1分或0分），其中、，已知他投籃一次得分的數(shù)學期望為1，則的最大值為A． B． C． D．5．若復數(shù)（為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實數(shù)（）A． B． C．0 D．16．設命題，則為（）A． B．C． D．7．已知函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，命題：總存在，有；命題：若函數(shù)在區(qū)間上有，則是的（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要8．已知p：函數(shù)有兩個零點，q：，．若為真，為假，則實數(shù)m的取值范圍為A． B．C． D．9．在平面幾何里有射影定理：設三角形的兩邊，是點在上的射影，則.拓展到空間，在四面體中，面，點是在面內的射影，且在內，類比平面三角形射影定理，得出正確的結論是（）A． B．C． D．10．函數(shù)的圖象大致為（）A． B． C． D．11．設是含數(shù)1的有限實數(shù)集，是定義在上的函數(shù)，若的圖像繞原點逆時針旋轉后與原圖像重合，則在以下各項中，的可能值只能是（）．A．0 B． C． D．12．正弦函數(shù)是奇函數(shù)，是正弦函數(shù)，因此是奇函數(shù)，以上推理（）A．結論正確 B．大前提不正確 C．小前提不正確 D．大前提、小前提、結論都不正確二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．，其共軛復數(shù)對應復平面內的點在第二象限，則實數(shù)的范圍是____．14．給出下列演繹推理：“自然數(shù)是整數(shù)，，所以是整數(shù)”，如果這是推理是正確的，則其中橫線部分應填寫___________．15．的平方根為______．16．如果關于的不等式的解集不是空集，則的取值范圍是______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，平面，，，，，是的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值.18．（12分）已知時，函數(shù)，對任意實數(shù)都有，且，當時，（1）判斷的奇偶性；（2）判斷在上的單調性，并給出證明；（3）若且，求的取值范圍.19．（12分）如圖，四棱錐的底面是直角梯形，∥，⊥，，⊿是正三角形。（1）試在棱上找一點，使得∥平面；（2）若平面⊥，在（1）的條件下試求二面角的正弦值。20．（12分）思南縣第九屆中小學運動會于2019年6月13日在思南中學舉行，組委會在思南中學招募了12名男志愿者和18名女志愿者，將這30名志愿者的身高如圖所示的莖葉圖（單位：cm），身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個子”，且只有“女高個子”才擔任“禮儀小姐”.男女9157789998161245898650172345674211801119（1）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中共抽取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？（2）若從所有“高個子”中選3名志愿者，用表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數(shù)，求出的分布列和數(shù)學期望.21．（12分）已知復數(shù).（I）若，求復數(shù)；（II）若復數(shù)在復平面內對應的點位于第一象限，求的取值范圍.22．（10分）某市一次全市高中男生身高統(tǒng)計調查數(shù)據(jù)顯示：全市10萬名男生的身高服從正態(tài)分布.現(xiàn)從某學校高中男生中隨機抽取50名測量身高，測量發(fā)現(xiàn)被測學生身高全部介于160cm和190cm之間，將身高的測量結果按如下方式分成5組：第1組[160,166)，第2組[166，172)，...，第5組[184，190]下表是按上述分組方法得到的頻率分布表：分組[160，166)[166，172)[172，178)[178，184)[184，190]人數(shù)31024103這50個數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別比10萬個數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差多1和6.68，且這50個數(shù)據(jù)的方差為.(同組中的身高數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表)：(1)求，；(2)給出正態(tài)分布的數(shù)據(jù)：，.(i)若從這10萬名學生中隨機抽取1名，求該學生身高在(169,179)的概率；(ii)若從這10萬名學生中隨機抽取1萬名，記為這1萬名學生中身高在(169，184)的人數(shù)，求的數(shù)學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由三視圖得到該幾何體為三棱錐，底面是等腰直角三角形，且，三棱錐的高為1．再由棱錐體積公式求解．【題目詳解】由三視圖還原原幾何體，如圖所示，該幾何體為三棱錐，底面是等腰直角三角形，且，三棱錐的高為1．∴該三棱錐的體積．故選B．【題目點撥】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數(shù)量關系，利用相應公式求解．2、A【解題分析】依題意，基本事件的總數(shù)有種，兩個人參加同一個小組，方法數(shù)有種，故概率為.3、D【解題分析】試題分析：先排三個空位，形成4個間隔，然后插入3個同學，故有種考點：排列、組合及簡單計數(shù)問題4、D【解題分析】

設這個籃球運動員得1分的概率為c，由題設知

，解得2a+b=0.5，再由均值定理能求出ab的最大值．【題目詳解】設這個籃球運動員得1分的概率為c，

∵這個籃球運動員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，得0分的概率為0.5，

投籃一次得分只能3分、2分、1分或0分，他投籃一次得分的數(shù)學期望為1，

∴

，

解得2a+b=0.5，

∵a、b∈（0，1），

∴

=

=

，

∴ab

，

當且僅當2a=b=

時，ab取最大值

．

故選D．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期的應用，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答，注意均值定理的靈活運用．5、A【解題分析】因為是純虛數(shù)，6、D【解題分析】分析：根據(jù)全稱命題的否定解答.詳解：由全稱命題的否定得為：，故答案為D.點睛：（1）本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)全稱命題：,全稱命題的否定（）：.7、C【解題分析】

利用充分、必要條件的定義及零點存在性定理即可作出判斷.【題目詳解】命題推不出命題q，所以充分性不具備；比如：，區(qū)間為，滿足命題p，但，根據(jù)零點存在性定理可知，命題能推出命題p，所以必要性具備；故選：C【題目點撥】本題考查充分必要條件，考查零點存在性定理，屬于基礎題.8、B【解題分析】

由p∨q為真，p∧q為假，知p，q有一個真命題一個假命題，由p得△=m1-4＞0，解得m＞1或m＜-1．由q，得△=16（m-1）1-16＜0，解得1＜m＜3，分兩種情況求出實數(shù)m的取值范圍．解答：解：∵p∨q為真，p∧q為假∴p，q中一個真命題一個假命題，由p：函數(shù)f（x）=x1+mx+1有兩個零點，得△=m1-4＞0，解得m＞1或m＜-1．由q：x∈R，4x1+4（m-1）x+1＞0得△=16（m-1）1-16＜0，解得1＜m＜3，當p真q假時，有即m≥3或m＜-1當p假q真，有即1＜m≤1∴實數(shù)m的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，1]∪[3，+∞）．故選B．9、A【解題分析】

由平面圖形到空間圖形的類比推理中，一般是由點的性質類比推理到線的性質，由線的性質類比推理到面的性質，即可求解，得到答案．【題目詳解】由已知在平面幾何中，若中，是垂足，則，類比這一性質，推理出：若三棱錐中，面面，為垂足，則．故選A．【題目點撥】本題主要考查了類比推理的應用，其中類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想），著重考查了推理能力，屬于基礎題．10、C【解題分析】

根據(jù)奇偶性以及特殊值即可排除?！绢}目詳解】因為=，所以為奇函數(shù)圖像關于原點對稱，排除BD,因為，所以排除A答案，選擇D【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)圖像的判斷方法，常利用函數(shù)的奇偶性質，特殊值法進行排除，屬于中等題。11、C【解題分析】

先閱讀理解題意，則問題可轉化為圓上有12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉個單位后與下一個點會重合，再結合函數(shù)的定義逐一檢驗即可.【題目詳解】解：由題意可得：問題可轉化為圓上有12個點為一組，每次繞原點逆時針旋轉個單位后與下一個點會重合，則通過代入和賦值的方法，當時，此時得到圓心角為，然而此時或時，都有2個與之對應，根據(jù)函數(shù)的定義，自變量與應變量只能“一對一”或“多對一”，不能“一對多”，因此，只有當時，此時旋轉，滿足一個對應一個，所以的可能值只能是，故選:C.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的定義，重點考查了函數(shù)的對應關系，屬基礎題.12、C【解題分析】分析：根據(jù)題意，分析所給推理的三段論，找出大前提，小前提，結論，再判斷正誤即可得到答案.詳解：根據(jù)題意，該推理的大前提：正弦函數(shù)是奇函數(shù)，正確；小前提是：是正弦函數(shù)，因為該函數(shù)不是正弦函數(shù)，故錯誤；結論：是奇函數(shù)，，故錯誤.故選：C.點睛：本題考查演繹推理的基本方法，關鍵是理解演繹推理的定義以及三段論的形式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

根據(jù)共軛復數(shù)對應的點所在的象限，列出不等式組求解.【題目詳解】由已知得：，且在第二象限，所以：，解得：，所以故答案為.【題目點撥】本題考查共軛復數(shù)的概念和其對應的點所在的象限，屬于基礎題.14、是自然數(shù).【解題分析】分析：直接利用演繹推理的三段論寫出小前提即可.詳解：由演繹推理的三段論可知：“自然數(shù)是整數(shù)，是自然數(shù)，是整數(shù)”，故答案為是自然數(shù).點睛：本題考查演繹推理的三段論的應用，考查對基本知識的掌握情況.15、【解題分析】

根據(jù)可得出的平方根.【題目詳解】，因此，的平方根為.故答案為.【題目點撥】本題考查負數(shù)的平方根的求解，要熟悉的應用，考查計算能力，屬于基礎題.16、【解題分析】

利用絕對值三角不等式可求得，根據(jù)不等式解集不為空集可得根式不等式，根據(jù)根式不等式的求法可求得結果.【題目詳解】由絕對值三角不等式得：，即.原不等式解集不是空集，，即當時，不等式顯然成立；當時，，解得：；綜上所述：的取值范圍為.故答案為：.【題目點撥】本題考查根據(jù)不等式的解集求解參數(shù)范圍的問題，涉及到絕對值三角不等式的應用、根式不等式的求解等知識；關鍵是能夠根據(jù)利用絕對值三角不等式求得函數(shù)的最值，將問題轉化為變量與函數(shù)最值之間的大小關系問題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解題分析】

可以以為軸、為軸、為軸構建空間直角坐標系，寫出的空間坐標，通過證明得證平面通過求平面和平面的法向量得證二面角的余弦值．【題目詳解】（1）根據(jù)題意，建立以為軸、為軸、為軸的空間直角坐標系，則，，，因為，所以．因為平面，且，所以平面．（2）設平面的法向量為，則因為，所以．令，則．所以是平面的一個法向量．因為平面，所以是平面的法向量．所以由此可知，與的夾角的余弦值為．根據(jù)圖形可知，二面角的余弦值為．【題目點撥】在計算空間幾何以及二面角的時候，可以借助空間直角坐標系．18、(1)偶函數(shù).(2)見解析.(3).【解題分析】

(1)利用賦值法得到，即得函數(shù)的奇偶性.(2)利用函數(shù)單調性的定義嚴格證明.(3)先求出，再解不等式.【題目詳解】（1）令，則，，為偶函數(shù).（2）設，，∵時，，∴，∴，故在上是增函數(shù).（3）∵,又∴∵，∴，即，又故.【題目點撥】(1)本題主要考查抽象函數(shù)的單調性、奇偶性的證明，考查函數(shù)的圖像和性質的運用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)用定義法判斷函數(shù)的單調性的一般步驟：①取值，設，且；②作差，求；③變形（合并同類項、通分、分解因式、配方等）；④判斷的正負符號；⑤根據(jù)函數(shù)單調性的定義下結論.19、（1）為邊的中點；（2）.【解題分析】

(1)由平面得到∥，在底面中,根據(jù)關系確定M為AB中點.(2)取的中點，的中點，接可證明∠為二面角的平面角，在三角形中利用邊關系得到答案.【題目詳解】解：(1)因為∥平面,,平面平面,所以∥由題設可知點為邊的中點（2）平面⊥平面,平面平面,取的中點,連接,在正三角形中為則⊥,由兩平面垂直的性質可得⊥平面.取的中點連接可證明∠為二面角的平面角.設，在直角三角形中，所以為所求【題目點撥】本題考查了線面平行，二面角的計算，意在考查學生的空間想象能力和計算能力.20、（1）；（2）詳見解析.【解題分析】

(1)由題意及莖葉圖,有“高個子”12人,“非高個子”18人,利用用分層抽樣的方法,每個人被抽中的概率是,利用對立事件即可（2）由于從所有“高個子”中選3名志愿者,用表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數(shù),利用離散型隨機變量的定義及題意可知的取值為0,1,2,3,利用古典概型的概率公式求出每一個值對應事件的概率,有期望的公式求出即可【題目詳解】（1）根據(jù)莖葉圖,有“高個子”12人,“非高個子”18人,用分層抽樣的方法,每個人被抽中的概率是,所以選中的“高個子”有人,“非高個子”有人.用事件A表示“至少有一名“高個子”被選中”,則它的對立事件表示“沒有一名“高個子”被選中”,則因此,至少有一人是“高個子”的概率是.（2）依題意,的取值為0,1,2,3.