山東省沂源縣第二中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

山東省沂源縣第二中學2024屆高二數(shù)學第二學期期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某中學從4名男生和3名女生中推薦4人參加某高校自主招生考試，若這4人中必須既有男生又有女生，則不同的選法共有（）A．34種 B．35種 C．120種 D．140種2．將函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍（縱坐標不變），則所得到的圖象的解析式為（）A． B．C． D．3．下列說法正確的是（）A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”B．已知是R上的可導函數(shù)，則“”是“x0是函數(shù)的極值點”的必要不充分條件C．命題“存在，使得”的否定是：“對任意，均有”D．命題“角α的終邊在第一象限角，則α是銳角”的逆否命題為真命題4．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若則的值為（）A．4 B．4或-4 C．2 D．2或-25．已知函數(shù)在上單調遞減，則的取值范圍是（）A． B． C． D．6．用反證法證明命題“已知函數(shù)在上單調，則在上至多有一個零點”時，要做的假設是（）A．在上沒有零點 B．在上至少有一個零點C．在上恰好有兩個零點 D．在上至少有兩個零點7．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則其解析式為（）A． B． C． D．8．一個四面體各棱長都為，四個頂點在同一球面上，則此球的表面積為（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)，則方程的根的個數(shù)為（）A．7 B．5 C．3 D．210．一個幾何體的三視圖如圖所示，若主視圖是上底為2，下底為4，高為1的等腰梯形，左視圖是底邊為2的等腰三角形，則該幾何體的體積為（）A． B． C．2 D．411．若將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)的單調遞減區(qū)間為（）A． B．C． D．12．現(xiàn)有張不同的卡片，其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各張.從中任取張，要求這張卡片不能是同一種顏色，且紅色卡片至多張.不同取法的種數(shù)為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個總體分為A，B兩層，其個體數(shù)之比為4：1，用分層抽樣方法從總體中抽取一個容量為10的樣本.已知B層中甲、乙都被抽到的概率為，則總體中的個體數(shù)為_____．14．設集合，，則集合______.15．一個正方體的個頂點可以組成__________個非等邊三角形.16．兩根相距的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛一盞燈，則燈與兩端距離都大于的概率是__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知二次函數(shù)滿足，且.（1）求的解析式；（2）設函數(shù)，當時，求的最小值；（3）設函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求m的取值范圍.18．（12分）已知函數(shù)的圖象過點.(1)求的解析式及單調區(qū)間；(2)求在上的最小值.19．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（Ⅰ）求曲線的普通方程及直線的直角坐標方程；（Ⅱ）若曲線上恰好存在兩個點到直線的距離為，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知集合，集合是集合S的一個含有8個元素的子集.（1）當時，設，①寫出方程的解（）；②若方程至少有三組不同的解，寫出k的所有可能取值；（2）證明：對任意一個X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.21．（12分）設函數(shù)，其中.（Ⅰ）若，討論的單調性；（Ⅱ）若，（i）證明恰有兩個零點（ii）設為的極值點，為的零點，且，證明.22．（10分）已知.（1）討論的單調性；（2）若，且在區(qū)間上的最小值為，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】分析：根據(jù)題意，選用排除法，分3步，①計算從7人中，任取4人參加志愿者活動選法，②計算選出的全部為男生或女生的情況數(shù)目，③由事件間的關系，計算可得答案．詳解：分3步來計算，

①從7人中，任取4人參加志愿者活動，分析可得，這是組合問題，共C74=35種情況；

②選出的4人都為男生時，有1種情況，因女生只有3人，故不會都是女生，

③根據(jù)排除法，可得符合題意的選法共35-1=34種；

故選A．點睛：本題考查計數(shù)原理的運用，注意對于本類題型，可以使用排除法，即當從正面來解所包含的情況比較多時，則采取從反面來解，用所有的結果減去不合題意的結果．2、B【解題分析】試題分析：函數(shù)，的圖象上所有點向左平移個單位長度得，再把圖象上各點的橫坐標擴大到原來的2倍，得，選B.考點：三角函數(shù)圖像變換3、B【解題分析】試題分析：對于A，命題“若，則”的否命題為：“若，則”，不滿足否命題的定義，所以A不正確；對于B，已知是R上的可導函數(shù)，則“”函數(shù)不一定有極值，“是函數(shù)的極值點”一定有導函數(shù)為，所以已知是上的可導函數(shù)，則“”是“是函數(shù)的極值點”的必要不充分條件，正確；對于C，命題“存在，使得”的否定是：“對任意，均有”，不滿足命題的否定形式，所以不正確；對于D，命題“角的終邊在第一象限角，則是銳角”是錯誤命題，則逆否命題為假命題，所以D不正確；故選B．考點：命題的真假判斷與應用．4、A【解題分析】

設數(shù)列{an}的公比為q，由等比數(shù)列通項公式可得q4＝16，由a3＝a1q2，計算可得．【題目詳解】因故選：A【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的性質以及通項公式，屬于簡單題．5、A【解題分析】

等價于在上恒成立，即在上恒成立，再構造函數(shù)并求g(x)的最大值得解.【題目詳解】在上恒成立，則在上恒成立，令，，所以在單調遞增，故g(x)的最大值為g(3)=.故.故選A【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，考查利用導數(shù)研究不等式的恒成立問題，屬于基礎題.6、D【解題分析】分析：利用反證法證明，假設一定是原命題的完全否定，從而可得結果.詳解：因為“至多有一個”的否定是“至少有兩個”，所以用反證法證明命題“已知函數(shù)在上單調，則在上至多有一個零點”時，要做的假設是在上至少有兩個零點，故選D.點睛：反證法的適用范圍是，（1）否定性命題；（2）結論涉及“至多”、“至少”、“無限”、“唯一”等詞語的命題；（3）命題成立非常明顯，直接證明所用的理論較少，且不容易證明，而其逆否命題非常容易證明；（4）要討論的情況很復雜，而反面情況較少．7、C【解題分析】

設冪函數(shù)，代入點，即可求得解析式.【題目詳解】設冪函數(shù)，代入點，，解得，.故選C.【題目點撥】本題考查了冪函數(shù)解析式的求法.8、A【解題分析】試題分析：正四面體擴展為正方體，二者有相同的外接球，通過正方體的對角線的長度就是外接球的直徑，求出球的表面積．由于正四面體擴展為正方體，二者有相同的外接球，所以正方體的棱長為：1，所以正方體的對角線的長度就是外接球的直徑，所以球的半徑為，所以球的表面積為：，故選A.考點：球內接多面體9、A【解題分析】

令，先求出方程的三個根，，，然后分別作出直線，，與函數(shù)的圖象，得出交點的總數(shù)即為所求結果.【題目詳解】令，先解方程.（1）當時，則，得；（2）當時，則，即，解得，.如下圖所示：直線，，與函數(shù)的交點個數(shù)為、、，所以，方程的根的個數(shù)為，故選A.【題目點撥】本題考查復合函數(shù)的零點個數(shù)，這類問題首先將函數(shù)分為內層函數(shù)與外層函數(shù)，求出外層函數(shù)的若干個根，再作出這些直線與內層函數(shù)圖象的交點總數(shù)即為方程根的個數(shù)，考查數(shù)形結合思想，屬于難題．10、A【解題分析】

由三視圖可知，該幾何體是一個三棱柱截掉兩個三棱錐，利用所給數(shù)據(jù)，求出三棱柱與三棱錐的體積，從而可得結果.【題目詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個三棱柱截掉兩個三棱錐，畫出幾何體的直觀圖，如圖，把幾何體補形為一個直三棱柱，由三視圖的性質可知三棱柱的底面面積，高，所以，,所以，幾何體的體積為.故選A.【題目點撥】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側視圖，確定組合體的形狀.11、A【解題分析】

利用三角恒等變換化簡的解析式，再根據(jù)的圖象變換規(guī)律求得的解析式，再利用余弦函數(shù)的單調性，求得函數(shù)的單調遞減區(qū)間.【題目詳解】解：將函數(shù)的圖象上所有的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，令，求得，可得的單調遞減區(qū)間為.故選：A.【題目點撥】本題主要考查三角恒等變換，余弦函數(shù)的單調性，屬于基礎題.12、C【解題分析】試題分析：3張卡片不能是同一種顏色，有兩種情形：三種顏色或者兩種顏色，如果是三種顏色，取法數(shù)為，如果是兩種顏色，取法數(shù)為，所以取法總數(shù)為，故選C．考點：分類加法原理與分步乘法原理．【名師點晴】（1）對于一些比較復雜的既要運用分類加法計數(shù)原理又要運用分步乘法計數(shù)原理的問題，我們可以恰當?shù)禺嫵鍪疽鈭D或列出表格，使問題更加直觀、清晰．（2）當兩個原理混合使用時，一般是先分類，在每類方法里再分步．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、40【解題分析】設B層中的個體數(shù)為，則，則總體中的個體數(shù)為14、【解題分析】

根據(jù)集合,，求出兩集合的交集即可【題目詳解】,故答案為【題目點撥】本題主要考查了集合交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵，屬于基礎題．15、48【解題分析】分析：從正方體的個頂點中人取三個點共有種取法，其中等邊三角形共有個，作差即可得結果.詳解：從正方體的個頂點中人取三個點共有種取法，其中等邊三角形共有個，所以非等邊三角形共有個，故答案為.點睛：本題主要考查組合數(shù)的應用，屬于簡單題.16、【解題分析】在距繩子兩段兩米處分別取A，B兩點，當繩子在線段AB上時（不含端點），符合要求，所以燈與兩端距離都大于2m的概率為，故填．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）【解題分析】

(1)根據(jù)二次函數(shù),則可設,再根據(jù)題中所給的條件列出對應的等式對比得出所求的系數(shù)即可.(2)根據(jù)(1)中所求的求得,再分析對稱軸與區(qū)間的位置關系進行分類討論求解的最小值即可.(3)根據(jù)題意可知需求與在區(qū)間上的最小值.再根據(jù)對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的單調性求解最小值即可.【題目詳解】(1)設.①∵,∴,又∵,∴,可得,∴解得即.(2)由題意知,,,對稱軸為.①當,即時,函數(shù)h(x)在上單調遞增,即；②當,即時,函數(shù)h(x)在上單調遞減,在上單調遞增,即.綜上,(3)由題意可知,∵函數(shù)在上單調遞增,故最小值為,函數(shù)在上單調遞減,故最小值為,∴,解得.【題目點撥】本題主要考查利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)解析式的方法,二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間關系求解最值的問題,以及恒成立和能成立的問題等.屬于中等題型.18、(1)；單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.(2)【解題分析】

（1）先由函數(shù)圖像過點，求出，得到函數(shù)解析式，再對函數(shù)求導，用導數(shù)的方法，即可得出函數(shù)的單調區(qū)間；（2）先令在上的最小值為，結合（1）的結果，分別討論和兩種情況，即可求出函數(shù)的最小值.【題目詳解】(1)∵函數(shù)的圖象過點∴∴故.令得當時，，此時單調遞減當時，，此時單調遞增.所以，單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.(2)令在上的最小值為，由(1)知，當時當，在上單調遞增，∴綜上所述：的最小值.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的應用，通常需要對函數(shù)求導，利用導數(shù)的方法研究函數(shù)的單調性，最值等即可，屬于常考題型.19、（Ⅰ）：，：；（Ⅱ）【解題分析】

（1）利用消去參數(shù)，得到曲線的普通方程，再由，化直線為直角坐標方程；（2）與直線的距離為的點在與平行且距離為的兩平行直線上，依題意只有一條平行線與圓相交，另一條平行線與圓相離，利用圓心到直線的距離與半徑關系，即可求解.【題目詳解】（Ⅰ）由曲線的參數(shù)方程（為參數(shù)，）消去參數(shù)，可得曲線的普通方程.，代入，得直線的直角坐標方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，直線的直角坐標方程為，曲線的直角坐標方程為，曲線表示以原點為圓心，以為半徑的圓，且原點到直線的距離為.所以要使曲線上恰好存在兩個點到直線的距離為，則須，即.所以實數(shù)的取值范圍是.【題目點撥】本題考查參數(shù)方程與普通方程互化、極坐標方程和直角坐標方程互化，以及直線與圓的位置關系，屬于中檔題.20、（1）①②4，6.（2）證明見詳解.【解題分析】

（1）①根據(jù)兩個元素之差為3，結合集合的元素，即可求得；②根據(jù)題意要求，寫出集合X中從小到大8個數(shù)中所有的差值（限定為正數(shù)）的可能，計算每個差值出現(xiàn)的次數(shù)，即可求得；（2）采用反證法，假設不存在滿足條件的k，根據(jù)差數(shù)的范圍推出矛盾即可.【題目詳解】（1）①方程的解有：.②以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正，則：列出集合X的從小到大8個數(shù)中相鄰兩數(shù)的差：1,3,2,4,2,3,1；中間隔一數(shù)的兩數(shù)差（即上一列差數(shù)中相鄰兩數(shù)和）：4,5,6,6,5,4；中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差：6,9,8,9,6；中間相隔三數(shù)的兩數(shù)差：10,11,11,10；中間相隔四數(shù)的兩數(shù)差：12,14,12；中間相隔五數(shù)的兩數(shù)差：15,15；中間相隔六數(shù)的兩數(shù)差：16.這28個差數(shù)中，只有4出現(xiàn)3次、6出現(xiàn)4次，其余都不超過2次，所以k的可能取值有4，6.（2）證明：不妨設，記，，共13個差數(shù).假設不存在滿足條件的k，則這13個數(shù)中至多兩個1、兩個2、兩個3、兩個4、兩個5、兩個6，從而①又，這與①矛盾.故假設不成立，結論成立.即對任意一個X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.【題目點撥】本題考查集合新定義問題，涉及反證法的使用，本題的關鍵是要理解題意，小心計算，大膽求證.21、（I）在內單調遞增.；（II）（i）見解析；（ii）見解析.【解題分析】

（I）；首先寫出函數(shù)的定義域，對函數(shù)求導，判斷導數(shù)在對應區(qū)間上的符號，從而得到結果；（II）（i）對函數(shù)求導，確定函數(shù)的單調性，求得極值的符號，從而確定出函數(shù)的零點個數(shù)，得到結果；（ii）首先根據(jù)題意，列出方程組，借助于中介函數(shù)，證得結果.【題目詳解】（I）解：由已知，的定義域為，且，因此當時，，從而，所以在內單調遞增.（II）證明：（i）由（I）知，，令，由，可知在內單調遞減，又，且，故在內有唯一解，