2024屆湖北省鄂州市吳都中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆湖北省鄂州市吳都中學(xué)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．定義在上的偶函數(shù)滿足：對(duì)任意的，，有，則（）．A． B．C． D．2．隨機(jī)變量的分布列如右表，若，則（）012A． B． C． D．3．某班班會(huì)準(zhǔn)備從含甲、乙的7人中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加，且若甲、乙同時(shí)參加，則他們發(fā)言時(shí)順序不能相鄰，那么不同的發(fā)言順序有（）A．720種 B．520種 C．360種 D．600種4．如果隨機(jī)變量，則等于（）（注：）A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.02155．某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類節(jié)目、2個(gè)小品類節(jié)目和1個(gè)相聲類節(jié)目的演出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是A．72 B．120 C．144 D．1686．已知曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，那么點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A．或 B．或C． D．7．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，則a的值為()A．1 B． C． D．8．已知函數(shù)，若方程有兩個(gè)相異實(shí)根，且，則實(shí)數(shù)的值等于（）A．-2或2 B．-2 C．2 D．09．已知集合，，則為（）A． B． C． D．10．已知復(fù)數(shù)，是共軛復(fù)數(shù)，若，其中為虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．211．已知集合，，則=（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，則曲線在處的切線的傾斜角為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓x2+y2-6x-7=0與拋物線14．已知函數(shù)fx=lnx+1x,x>0,-15．已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線交雙曲線右支于兩點(diǎn)，若是以為直角頂點(diǎn)的等腰三角形，則的面積為__________．16．已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)).若直線與圓有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）觀察下列等式：；；；；……（1）照此規(guī)律，歸納猜想第個(gè)等式；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想.18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和，通項(xiàng)公式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（1）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和及的值；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求、、的值，根據(jù)計(jì)算結(jié)果猜測(cè)關(guān)于的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明；（3）對(duì)任意正整數(shù)，若恒成立，求的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，點(diǎn)，在上的射影為，且是邊長為的正三角形.（1）求；（2）過點(diǎn)作兩條相互垂直的直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，設(shè)的面積為的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的最小值.21．（12分）如圖所示的莖葉圖記錄了華潤萬家在渭南城區(qū)甲、乙連鎖店四天內(nèi)銷售情況的某項(xiàng)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)：（I）求甲、乙連鎖店這項(xiàng)指標(biāo)的方差，并比較甲、乙該項(xiàng)指標(biāo)的穩(wěn)定性；（Ⅱ）每次都從甲、乙兩店統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)各選一個(gè)進(jìn)行比對(duì)分析，共選了3次（有放回選?。O(shè)選取的兩個(gè)數(shù)據(jù)中甲的數(shù)據(jù)大于乙的數(shù)據(jù)的次數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望22．（10分）（1）已知，是虛數(shù)單位，若，是純虛數(shù)，寫出一個(gè)以為其中一根的實(shí)系數(shù)一元二次方程；（2）求純虛數(shù)的平方根．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】由對(duì)任意x1，x2[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，得f(x)在[0，＋∞)上單獨(dú)遞減，所以，選A.點(diǎn)睛：利用函數(shù)性質(zhì)比較兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大小，首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化為單調(diào)區(qū)間上函數(shù)值，最后根據(jù)單調(diào)性比較大小，要注意轉(zhuǎn)化在定義域內(nèi)進(jìn)行2、B【解題分析】分析：根據(jù)題目條件中給出的分布列，可以知道和之間的關(guān)系，根據(jù)期望為，又可以得到一組關(guān)系，這樣得到方程組，解方程組得到的值.進(jìn)而求得.詳解：根據(jù)題意，解得則故選B.點(diǎn)睛：本題考查期望、方差和分布列中各個(gè)概率之間的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.3、D【解題分析】

分別計(jì)算甲乙只有一人參加、甲乙都參加兩種情況下的發(fā)言順序的種數(shù)，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理加和求得結(jié)果.【題目詳解】甲、乙只有一人參加，則共有：C2甲、乙都參加，則共有：C5根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理可得，共有：480+120=600種發(fā)言順序本題正確選項(xiàng)：D【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合綜合應(yīng)用問題，關(guān)鍵是能夠通過分類的方式，分別計(jì)算兩類情況的種數(shù)，屬于常考題型.4、B【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布列的對(duì)稱性可得：，進(jìn)而得出．【題目詳解】1．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】分兩類，一類是歌舞類用兩個(gè)隔開共種，第二類是歌舞類用三個(gè)隔開共種，所以N=+=120.種．選B.6、B【解題分析】分析：設(shè)的坐標(biāo)為，則，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由兩直線平行的條件可得的方程，求得的值從而可得結(jié)果.詳解：設(shè)的坐標(biāo)為，則，的導(dǎo)數(shù)為，在點(diǎn)處的切線斜率為，由切線平行于直線，可得，解得，即有或，故選B.點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線斜率，考查兩直線平行的條件：斜率相等，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解題分析】

根據(jù)分布列中所有概率和為1求a的值.【題目詳解】因?yàn)镻(X＝i)＝a()i，i＝1，2，3，所以，選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查分布列的性質(zhì)，考查基本求解能力.8、C【解題分析】分析：利用導(dǎo)數(shù)法，可得當(dāng)x=﹣1時(shí)，函數(shù)取極大值m+2，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取極小值m﹣2，結(jié)合方程f（x）=0有兩個(gè)相異實(shí)根x1，x2，且x1+x2＜0，可得答案．詳解：∵函數(shù)f（x）=x3﹣3x+m，∴f′（x）=3x2﹣3，令f′（x）=0，則x=±1，當(dāng)x＜﹣1，或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)；當(dāng)﹣1＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；故當(dāng)x=﹣1時(shí)，函數(shù)取極大值m+2，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取極小值m﹣2，又∵方程f（x）=0有兩個(gè)相異實(shí)根x1，x2，且x1+x2＜0，∴m﹣2=0，解得m=2，故選：C．點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)法研究函數(shù)的極值，方程根的個(gè)數(shù)判斷，難度中檔．對(duì)于函數(shù)的零點(diǎn)問題，它和方程的根的問題，和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題是同一個(gè)問題，可以互相轉(zhuǎn)化；在轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)時(shí)，如果是一個(gè)常函數(shù)一個(gè)含參的函數(shù)，注意讓含參的函數(shù)式子盡量簡單一些。9、A【解題分析】

利用集合的交集運(yùn)算進(jìn)行求解即可【題目詳解】由題可知集合中，集合中求的是值域的取值范圍，所以的取值范圍為答案選A【題目點(diǎn)撥】求解集合基本運(yùn)算時(shí)，需注意每個(gè)集合中求解的是x還是y,求的是定義域還是值域，是點(diǎn)集還是數(shù)集等10、B【解題分析】

原等式兩邊同乘以，可求得，從而可得，利用復(fù)數(shù)模的公式可得結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)?，所以，即，，可得，所以，，故選B.【題目點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分.11、B【解題分析】

利用集合的基本運(yùn)算定義即可求出答案【題目詳解】已知集合，，利用集合的基本運(yùn)算定義即可得：答案：B【題目點(diǎn)撥】本題考查集合的基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題12、B【解題分析】

求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由直線的斜率公式，可得所求傾斜角．【題目詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得在處的切線的斜率為，即，為傾斜角，可得．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，是解題的關(guān)鍵，屬于容易題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】試題分析：x2+y2-6x-7=0∴(x-3)考點(diǎn)：直線和拋物線的性質(zhì)14、0,【解題分析】

函數(shù)gx=fx-mx有三個(gè)零點(diǎn)?方程gx=0有3個(gè)根?方程f(x)x=m有3個(gè)根?函數(shù)【題目詳解】∵函數(shù)gx=fx-mx有三個(gè)零點(diǎn)?函數(shù)∵y=（1）當(dāng)x>0時(shí)，y'∴∴函數(shù)y=f(x)x在(0,e（2）當(dāng)x<0時(shí)，y=-x-2，∴函數(shù)y=f(x)∴0<m<e【題目點(diǎn)撥】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)，求參數(shù)m的取值范圍，考查利用數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想解決問題的能力.15、【解題分析】設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義，有，即.，，故三角形面積為.點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線的定義，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法和化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法.解答直線與圓錐曲線位置關(guān)系題目時(shí)，首先根據(jù)題意畫出曲線的圖像，然后結(jié)合圓錐曲線的定義和題目所給已知條件來求解.利用題目所給等腰直角三角形，結(jié)合定義可求得直角三角形的邊長，由此求得面積.16、【解題分析】試題分析：∵直線的普通方程為，圓C的普通方程為，∴圓C的圓心到直線的距離，解得.考點(diǎn)：參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、點(diǎn)到直線的距離.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】分析：（1）第個(gè)等式為.(2)利用個(gè)數(shù)學(xué)歸納法證明猜想.詳解：（1）第個(gè)等式為；（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：①當(dāng)時(shí)，左邊，右邊,所以當(dāng)時(shí)，原等式成立.②假設(shè)當(dāng)時(shí)原等式成立，即,則當(dāng)時(shí)，,所以當(dāng)時(shí)，原等式也成立.由①②知，（1）中的猜想對(duì)任何都成立.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查歸納猜想和數(shù)學(xué)歸納法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是證明n=k+1時(shí)，=.18、（1），；（2），，，；證明見解析（3）.【解題分析】

（1）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式和極限的定義即可求解。（2）求出，可求，，的值，猜想的表達(dá)式，再根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明。（3）問題轉(zhuǎn)化為，對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求出的范圍?！绢}目詳解】，，，=（2），，，，猜想，理由如下，：當(dāng)時(shí)，成立；：假設(shè)時(shí)成立，則，那么當(dāng)時(shí)，即時(shí)，猜想也成立，故由和，可知猜想成立；（3），若恒成立，則，即，對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，，，，，【題目點(diǎn)撥】本題考查了等比數(shù)列的求和公式、取極限、數(shù)學(xué)歸納法、導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，綜合性比較強(qiáng)；在求參數(shù)的取值范圍時(shí)可采用“分離參數(shù)法”，構(gòu)造新函數(shù)，研究函數(shù)的最值。19、（1）（2）【解題分析】

（1）將代入不等式，討論范圍去絕對(duì)值符號(hào)解得不等式.（2）利用絕對(duì)值三角不等式得到答案.【題目詳解】(1)當(dāng)時(shí)，綜上(2)恒成立恒成立解不等式可得【題目點(diǎn)撥】本題考查了解絕對(duì)值不等式，絕對(duì)值三角不等式，利用絕對(duì)值三角不等式將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題是解題的關(guān)鍵.20、（1）2；（2）16.【解題分析】

（1）設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，利用解直角三角形可得.（2）直線，聯(lián)立直線方程和拋物線方程后利用韋達(dá)定理可用關(guān)于的關(guān)系式表示，同理可用關(guān)于的關(guān)系式表示，最后用基本不等式可求的最小值.【題目詳解】（1）解：設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)槭钦切?，且，在中，，所?（2）設(shè)，直線，由知，聯(lián)立方程：，消得.因?yàn)?，所以，所以，又原點(diǎn)到直線的距離為，所以，同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故的最小值為.【題目點(diǎn)撥】圓錐曲線中的最值問題，往往需要利用韋達(dá)定理構(gòu)建目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，自變量可以為斜率或點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等.而目標(biāo)函數(shù)的最值可以通過基本不等式或?qū)?shù)等求得.21、（Ⅰ）甲的方差為,乙的方差為，甲連鎖店該項(xiàng)指標(biāo)穩(wěn)定（Ⅱ）見解析【解題分析】

（I）先求得兩者的平均數(shù)，再利用方差計(jì)算公式計(jì)算出方差，由此判斷甲比較穩(wěn)定.（II）利用二項(xiàng)分布的分布列計(jì)算公式和期望計(jì)算公式，計(jì)算出分布列和數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】解：（Ⅰ）由莖葉圖可知，甲連鎖店的數(shù)據(jù)是6,7,9,10，乙連鎖店的數(shù)據(jù)是5,7,10,10甲、乙數(shù)據(jù)的平均值為8.設(shè)甲的方差為,乙的方差為則,,因?yàn)?所以甲連鎖店該項(xiàng)指標(biāo)穩(wěn)定.（Ⅱ）從甲、乙兩組數(shù)據(jù)