2024屆廣西桂林陽朔中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試試題含解析

2024屆廣西桂林陽朔中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末綜合測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．設(shè)復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A． B． C．1 D．22．已知函數(shù)的最小正周期是，若其圖像向右平移個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像（）A．關(guān)于點(diǎn)對稱 B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于點(diǎn)對稱 D．關(guān)于直線對稱3．外接圓的半徑等于1，其圓心O滿足，則向量在方向上的投影等于（）A． B． C． D．34．當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳的含量大約每經(jīng)過年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)一批魚化石，經(jīng)檢測其碳14含量約為原始含量的，則該生物生存的年代距今約（）A．萬年 B．萬年 C．萬年 D．萬年5．某研究機(jī)構(gòu)對兒童記憶能力和識圖能力進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到如下數(shù)據(jù)：記憶能力識圖能力由表中數(shù)據(jù)，求得線性回歸方程為，,若某兒童的記憶能力為12時，則他的識圖能力約為()A．9.2 B．9.5 C．9.8 D．106．已知函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．和 B．和C．和 D．7．已知隨機(jī)變量X的分布列如下表所示則的值等于A．1 B．2 C．3 D．48．下列說法正確的是（）A．命題“若，則”的否命題為：“若，則”B．已知是R上的可導(dǎo)函數(shù)，則“”是“x0是函數(shù)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件C．命題“存在，使得”的否定是：“對任意，均有”D．命題“角α的終邊在第一象限角，則α是銳角”的逆否命題為真命題9．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．10．已知集合,,則（）A． B． C． D．11．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值是（）A． B． C． D．12．設(shè)，則在下列區(qū)間中，使函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的區(qū)間是（）A．[0,1]B．[1,2]C．[-2,-1]D．[-1,0]二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)fx=x?lnx，且0<x1<x2，給出下列命題：①fx1-f14．如圖，以長方體的頂?shù)诪樽鴺?biāo)原點(diǎn)，過的三條棱所在的直線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為________15．地球的半徑為，在北緯東經(jīng)有一座城市，在北緯東經(jīng)有一座城市，飛機(jī)從城市上空飛到城市上空的最短距離______．16．已知橢圓，，，斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)，若直線平分線段，則的離心率等于__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知為橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，且軸．（1）求的方程（2）過的直線交于兩點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．證明：直線的斜率成等差數(shù)列．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.設(shè)直線與曲線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的下方.（Ⅰ）當(dāng)時，求，兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)變化時，求線段中點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程.19．（12分）已知數(shù)列滿足（）.（1）計(jì)算，，，并寫出與的關(guān)系；（2）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.20．（12分）設(shè)函數(shù).（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）設(shè)，若過點(diǎn)可作曲線的三條切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．（12分）設(shè)函數(shù)（1）若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實(shí)數(shù)的值.（2））討論在上的單調(diào)性；（3）若方程有兩個不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)在上單調(diào)遞增？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

先對進(jìn)行化簡，然后得出，即可算出【題目詳解】所以，所以故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查的是復(fù)數(shù)的運(yùn)算，較簡單.2、D【解題分析】

由最小正周期為可得,平移后的函數(shù)為,利用奇偶性得到,即可得到,則,進(jìn)而判斷其對稱性即可【題目詳解】由題,因?yàn)樽钚≌芷跒?所以,則平移后的圖像的解析式為,此時函數(shù)是奇函數(shù),所以,則,因?yàn)?當(dāng)時,,所以,令,則,即對稱點(diǎn)為；令,則對稱軸為,當(dāng)時,，故選：D【題目點(diǎn)撥】本題考查圖象變換后的解析式,考查正弦型三角函數(shù)的對稱性3、C【解題分析】分析：先根據(jù)題意畫出圖形，由已知條件可知三角形為直角三角形，且，再根據(jù)直角三角形射影定理可求得所求投影的值.詳解：根據(jù)題意畫出圖像如下圖所示，因?yàn)?，所以為中點(diǎn)，所以是圓的直徑，所以.由于，所以三角形為等邊三角形，所以，根據(jù)直角三角形射影定理得，即.故選C.點(diǎn)睛：本小題主要考查圓的幾何性質(zhì)，考查向量加法的幾何意義，考查直角三角形射影定理等知識.屬于中檔題.4、C【解題分析】

根據(jù)實(shí)際問題，可抽象出，按對數(shù)運(yùn)算求解.【題目詳解】設(shè)該生物生存的年代距今是第個5730年，到今天需滿足，解得：，萬年.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查了指數(shù)和對數(shù)運(yùn)算的實(shí)際問題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算能力.5、B【解題分析】試題分析：當(dāng)時考點(diǎn)：回歸方程6、C【解題分析】

先求出函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0解得x的范圍，繼而得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．【題目詳解】函數(shù)f(x)＝x2－5x＋2lnx的定義域是(0，＋∞)，令f′(x)＝2x－5＋＝＝＞0，解得0＜x＜或x＞2，故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是，(2，＋∞)．故選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，易錯點(diǎn)是注意定義域，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解題分析】

先求出b的值，再利用期望公式求出E(X)，再利用公式求出.【題目詳解】由題得，所以所以.故答案為：A【題目點(diǎn)撥】(1)本題主要考查分布列的性質(zhì)和期望的計(jì)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)若(a、b是常數(shù))，是隨機(jī)變量，則也是隨機(jī)變量，，.8、B【解題分析】試題分析：對于A，命題“若，則”的否命題為：“若，則”，不滿足否命題的定義，所以A不正確；對于B，已知是R上的可導(dǎo)函數(shù)，則“”函數(shù)不一定有極值，“是函數(shù)的極值點(diǎn)”一定有導(dǎo)函數(shù)為，所以已知是上的可導(dǎo)函數(shù)，則“”是“是函數(shù)的極值點(diǎn)”的必要不充分條件，正確；對于C，命題“存在，使得”的否定是：“對任意，均有”，不滿足命題的否定形式，所以不正確；對于D，命題“角的終邊在第一象限角，則是銳角”是錯誤命題，則逆否命題為假命題，所以D不正確；故選B．考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用．9、C【解題分析】分析：由題意，該幾何體是一個正四棱柱切了四個角（小三棱錐），從而利用體積公式計(jì)算即可.詳解：由題意，該幾何體是一個正四棱柱切了四個角（小三棱錐），則.故選：C.點(diǎn)睛：(1)解決組合體問題關(guān)鍵是分清該幾何體是由哪些簡單的幾何體組成的以及這些簡單的幾何體的組合情況；(2)由三視圖求幾何體的面積、體積，關(guān)鍵是由三視圖還原幾何體，同時還需掌握求體積的常用技巧如：割補(bǔ)法和等價轉(zhuǎn)化法．10、D【解題分析】分析：先化簡集合P,Q，再求.詳解：由題得，，所以.故答案為：D.點(diǎn)睛：本題主要考查集合的化簡與交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解題分析】

由題意，函數(shù)在上單調(diào)遞減，又由函數(shù)是定義上的偶函數(shù)，得到函數(shù)在單調(diào)遞增，把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【題目詳解】易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，又函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則由，得，即，即在上恒成立，則，解得，即的最大值為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了函數(shù)的基本性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中利用函數(shù)的基本性質(zhì)，把不等式轉(zhuǎn)化為求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.12、D【解題分析】試題分析：函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上有零點(diǎn)，需要f（x）在此區(qū)間上的圖像連續(xù)且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號，即f（a）f（b）≤0，把選擇項(xiàng)中的各端點(diǎn)值代入驗(yàn)證可得答案D．考點(diǎn)：零點(diǎn)存在定理二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、②③【解題分析】

根據(jù)每一個問題構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷命題正誤.【題目詳解】∵f當(dāng)0<x<1e時，f'(x)<0，當(dāng)x>1e時，f'(x)>0，①令g(x)=f(x)-x=xlnx-x，則g'(x)=ln∴g(x)在(1,+∞)單調(diào)遞增，當(dāng)x2>x∴f(x2)-②令g(x)=f(x)x=lnx∵0<x1<x2③當(dāng)lnx>-1時，則x>1e，∴f(x)在(∴x1f(∴x④令h(x)=f(x)+x=xlnx+x，則∴x∈(0,1e2)時，h'設(shè)x1,x2∈(0,∴x【題目點(diǎn)撥】證明函數(shù)不等式問題，經(jīng)常與函數(shù)性質(zhì)中的單調(diào)性有關(guān).解決問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造什么樣函數(shù)？14、【解題分析】

根據(jù)的坐標(biāo)，求的坐標(biāo)，確定長方體的各邊長度，再求的坐標(biāo).【題目詳解】點(diǎn)的坐標(biāo)是，，，，，故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查向量坐標(biāo)的求法，意在考查基本概念和基礎(chǔ)知識，屬于簡單題型.15、【解題分析】

先求,再求出弧所對應(yīng)的圓心角，再結(jié)合弧長公式運(yùn)算即可.【題目詳解】解：由地球的半徑為，則北緯的緯線圈半徑為，又兩座城市的經(jīng)度分別為，，故經(jīng)度差為，則連接兩座城市的弦長為，則兩地與地球球心連線夾角為，即，則兩地之間的距離是,故答案為：.【題目點(diǎn)撥】本題考查了球面距離，重點(diǎn)考查了弧所對應(yīng)的圓心角及弧長公式，屬基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

利用點(diǎn)差法求出的值后可得離心率的值．【題目詳解】設(shè)，則，故即，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故即，所以即，故，填．【題目點(diǎn)撥】圓錐曲線中的離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的一個等式關(guān)系．而離心率的取值范圍，則需要利用坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點(diǎn)的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于的不等式或不等式組．另外，與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題，可用點(diǎn)差法求解．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解題分析】

（1）運(yùn)用橢圓的定義和勾股定理，可得a，b，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）由題意可設(shè)直線AB的方程為y=k（x-2），求得M的坐標(biāo)，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，以及直線的斜率公式，結(jié)合等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，化簡整理，即可得證．【題目詳解】解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)在上，且軸，所以，設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，則，，中，，所以．所以，，又，故橢圓的方程為；（2）證明：由題意可設(shè)直線的方程為，令得，的坐標(biāo)為，由得，，設(shè)，，，，則有，①．記直線，，的斜率分別為，，，從而，，．因?yàn)橹本€的方程為，所以，，所以②．①代入②得，又，所以，故直線，，的斜率成等差數(shù)列．【題目點(diǎn)撥】本題考查橢圓方程的求法，注意運(yùn)用點(diǎn)滿足橢圓方程，考查直線的斜率成等差數(shù)列，注意運(yùn)用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．18、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，可將直線與曲線C聯(lián)立求得，兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（II）（解法一）當(dāng)變化時，，于是可知點(diǎn)的軌跡為圓，從而得到其軌跡方程；（解法二）設(shè)，可用相關(guān)點(diǎn)法表示出的坐標(biāo)，代入，于是得到軌跡方程.【題目詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)時，直線，曲線的普通方程為：，由解得或，∵點(diǎn)在點(diǎn)的下方，所以，兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)為：，.（II）（解法一）當(dāng)變化時，，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（點(diǎn)除外），因?yàn)榍€是圓心為的圓，則以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)，半徑為2.所以點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程為，所以點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為.（解法二）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是線段中點(diǎn)，是極點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入中，得，因?yàn)?，不重合，所以，所以點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查直線與圓的位置關(guān)系，軌跡方程.意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，邏輯推理能力，難度中等.19、（1），，；；（2）證明見解析，【解題分析】

（1）代入，和，計(jì)算得到，，，通過，得到與的關(guān)系；（2）根據(jù)（1）中所得與的關(guān)系，得到，并求出的值，從而得到是等比數(shù)列，寫出其通項(xiàng)，再得到的通項(xiàng).【題目詳解】（1）由已知可得，時，，即，時，，即，時，，即.由（），得，兩式相減，得，即.（2）證明：由（1）得，且，∴，∴數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，首項(xiàng)為，所以，∴.【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)和的關(guān)系求遞推關(guān)系，通過遞推關(guān)系構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)，證明數(shù)列為等比數(shù)列，屬于簡單題.20、（Ⅰ）8（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)二項(xiàng)定理展開式展開，即可確定對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，即可求解.（Ⅱ）代入值后可求得的解析式，經(jīng)過檢驗(yàn)可知點(diǎn)不在曲線上，即可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入曲線方程并求得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及兩點(diǎn)間斜率公式，可得方程，且由題意可知該方程有三個不同的實(shí)數(shù)根；分離參數(shù)并構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而求得，令求得極值點(diǎn)和極值，由直線截此圖象有三個交點(diǎn)即可確定的取值范圍.【題目詳解】（Ⅰ）根據(jù)二項(xiàng)式定理展開式的應(yīng)用，展開可得所以（Ⅱ）由題意因?yàn)辄c(diǎn)不在曲線上，所以可設(shè)切點(diǎn)為．則．因?yàn)?，所以切線的斜率為．則，即．因?yàn)檫^點(diǎn)可作曲線的三條切線，所以方程有三個不同的實(shí)數(shù)解．分離參數(shù)，設(shè)函數(shù)，所以，令，可得，令，解得或，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．所以的極大值為，極小值為.用直線截此圖象，當(dāng)兩圖象有三個交點(diǎn)，即時，即可作曲線的三條切線.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式定理展開式的簡單應(yīng)用，兩點(diǎn)間斜率公式及導(dǎo)數(shù)的幾何意義應(yīng)用，分離參數(shù)及構(gòu)造函數(shù)研究三次函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.21、（1）（2）見解析（3），見解析【解題分析】

（1）根據(jù)單調(diào)區(qū)間判斷出是極值點(diǎn)，由此根據(jù)極值點(diǎn)對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值為求解出的值，并注意驗(yàn)證是否滿足；（2）先求解出，然后結(jié)合所給區(qū)間對進(jìn)行分類討論，分別求解出的單調(diào)性；（3）構(gòu)造函數(shù)，分析的取值情況，由此求解出的取值范圍；將證明通過條件轉(zhuǎn)化為證明，由此構(gòu)造新函數(shù)進(jìn)行分析證明.【題目詳解】（1）由于函數(shù)函數(shù)在上遞增，在