安徽省安慶七中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

安徽省安慶七中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在復(fù)數(shù)列中，，，設(shè)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A．存在點(diǎn)，對(duì)任意的正整數(shù)，都滿足B．不存在點(diǎn)，對(duì)任意的正整數(shù)，都滿足C．存在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，對(duì)任意的正整數(shù)，都滿足D．存在唯一的點(diǎn)，對(duì)任意的正整數(shù)，都滿足2．某小區(qū)的6個(gè)停車(chē)位連成一排,現(xiàn)有3輛車(chē)隨機(jī)停放在車(chē)位上,則任何兩輛車(chē)都不相鄰的停放方式有()種.A．24 B．72 C．120 D．1443．在公差為的等差數(shù)列中，“”是“是遞增數(shù)列”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．“，”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)，則曲線在處的切線的傾斜角為（）A． B． C． D．6．若△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，△ABC的面，則a=（）A．1 B． C． D．7．若函數(shù)無(wú)極值點(diǎn)，則（）A． B． C． D．8．已知α，β是相異兩個(gè)平面，m，n是相異兩直線，則下列命題中正確的是（）A．若m∥n，m?α，則n∥α B．若m⊥α，m⊥β，則α∥βC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D．若α∩β=m，n∥m，則n∥β9．唐代詩(shī)人杜牧的七絕唐詩(shī)中的兩句詩(shī)為“今來(lái)海上升高望，不到蓬萊不成仙。”其中后一句“成仙”是“到蓬萊”的（）A．充分非必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件10．命題：，成立的一個(gè)充分但不必要條件為（）A． B．C． D．11．函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，則的取值范圍為A． B． C． D．12．已知向量，，若與垂直，則（）A．2 B．3 C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知的面積為，三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列，則____．14．在的二項(xiàng)式中，常數(shù)項(xiàng)等于_______（結(jié)果用數(shù)值表示）.15．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程是_____________.16．已知，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，有______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）直三棱柱中，，，，F(xiàn)為棱的中點(diǎn).（1）求證：；（2）點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，求二面角的正弦值.18．（12分）已知函數(shù)．Ⅰ求函數(shù)的定義域；Ⅱ求滿足的實(shí)數(shù)的取值范圍．19．（12分）如圖，在三棱錐中，平面平面，，，，，分別為線段，上的點(diǎn)，且，，.(1)求證：平面；(2)若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角．20．（12分）如圖，在多面體ABCDEF中，平面ADE⊥平面ABCD，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，△ADE是等腰直角三角形且∠ADE=π2，EF⊥平面ADE(1)求異面直線AE和DF所成角的大?。?2)求二面角B-DF-C的平面角的大?。?1．（12分）如圖，已知三棱柱，平面平面,，分別是的中點(diǎn).（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的余弦值.22．（10分）如圖，在矩形中，為CD的中點(diǎn)，將沿AE折起到的位置，使得平面平面．（1）證明：平面平面；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解題分析】

由，由復(fù)數(shù)模的性質(zhì)可得出，可得出數(shù)列是等比數(shù)列，且得出，再由，結(jié)合向量的三角不等式可得出正確選項(xiàng).【題目詳解】，，，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，且（為坐標(biāo)原點(diǎn)），由向量模的三角不等式可得，當(dāng)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，，因此，存在唯一的點(diǎn)，對(duì)任意的正整數(shù)，都滿足，故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，同時(shí)也考查了復(fù)數(shù)模的性質(zhì)和等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵就是利用向量模的三角不等式構(gòu)建不等關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證，考查推理能力，屬于難題.2、A【解題分析】分析：根據(jù)題意，首先排好三輛車(chē)，在三輛車(chē)中間插入兩個(gè)空位使三輛車(chē)任何兩輛車(chē)都不相鄰，最后一個(gè)空車(chē)位利用插空法即可.詳解：根據(jù)題意，首先排好三輛車(chē)，共種，在三輛車(chē)中間插入兩個(gè)空位使三輛車(chē)任何兩輛車(chē)都不相鄰，最后把剩下的空車(chē)位插入空位中，則有種，由分步計(jì)數(shù)原理，可得共有種不同的停車(chē)方法.點(diǎn)睛：本題考查排列、組合的綜合應(yīng)用，注意空位是相同的.3、A【解題分析】試題分析：若，則，，所以，是遞增數(shù)列；若是遞增數(shù)列，則，，推不出，則“”是“是遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選A.考點(diǎn)：充分條件、必要條件的判定.4、A【解題分析】

利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【題目詳解】若，則必有.若，則或.所以是的充分不必要條件.故選:A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查充分條件和必要條件的定義和判斷.5、B【解題分析】

求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由直線的斜率公式，可得所求傾斜角．【題目詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，可得在處的切線的斜率為，即，為傾斜角，可得．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，是解題的關(guān)鍵，屬于容易題．6、A【解題分析】

根據(jù)三角形面積公式可得,利用正余弦平方關(guān)系,即可求得正余弦值,由余弦定理可得.【題目詳解】因?yàn)?，，面積，所以.所以.所以，.所以.故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查正余弦定理,面積公式,基礎(chǔ)題.7、A【解題分析】

先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再利用導(dǎo)函數(shù)與極值的關(guān)系即得解.【題目詳解】由題得，因?yàn)楹瘮?shù)無(wú)極值點(diǎn)，所以，即.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.8、B【解題分析】

在A中，根據(jù)線面平行的判定判斷正誤；在B中，由平面與平面平行的判定定理得α∥β；在C中，舉反例即可判斷判斷；在D中，據(jù)線面平行的判定判斷正誤；【題目詳解】對(duì)于A，若m∥n，m?α，則n∥α或n?α，故A錯(cuò)；對(duì)于B，若m⊥α，m⊥β，則由平面與平面平行的判定定理得α∥β，故B正確；對(duì)于C，不妨令α∥β，m在β內(nèi)的射影為m′，則當(dāng)m′⊥n時(shí)，有m⊥n，但α，β不垂直，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若α∩β=m，n∥m，則n∥β或n?β，故D錯(cuò)．故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查命題真假的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運(yùn)用．9、A【解題分析】

根據(jù)命題的“真、假”，條件與結(jié)論的關(guān)系即可得出選項(xiàng)。【題目詳解】不到蓬萊不成仙，成仙到蓬萊，“成仙”是到“到蓬萊”的充分條件，但“到蓬萊”是否“成仙”不確定，因此“成仙”是“到蓬萊”的充分非必要條件。故選：A【題目點(diǎn)撥】充分、必要條件有三種判斷方法：1、定義法：直接判斷“若則”和“若則”的真假。2、等假法：利用原命題與逆否命題的關(guān)系判斷。3、若，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若,則A是B的充要條件。10、A【解題分析】

命題p的充分不必要條件是命題p所成立的集合的真子集，利用二次函數(shù)的性質(zhì)先求出p成立所對(duì)應(yīng)的集合，即可求解．【題目詳解】由題意，令是一個(gè)開(kāi)口向上的二次函數(shù)，所以對(duì)x恒成立，只需要，解得，其中只有選項(xiàng)A是的真子集．故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了充分不必要條件的應(yīng)用，以及二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求得實(shí)數(shù)的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、C【解題分析】分析：函數(shù)有唯一零點(diǎn)，則即可詳解：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，且在上有唯一零點(diǎn)，故，解得故選點(diǎn)睛：函數(shù)為一次函數(shù)其單調(diào)性一致，不用分類(lèi)討論，為滿足有唯一零點(diǎn)列出關(guān)于參量的不等式即可求解。12、B【解題分析】分析：先求出的坐標(biāo)，然后根據(jù)向量垂直的結(jié)論列出等式求出x，再求即可.詳解：由題可得：故選B.點(diǎn)睛：考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，向量垂直關(guān)系和模長(zhǎng)計(jì)算，正確求解x是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解題分析】分析：根據(jù)三角形的面積公式求解即可．詳解：根據(jù)三角形的面積公式，三個(gè)內(nèi)角A,B,C成等差數(shù)列故，，所以點(diǎn)睛：三角形的面積公式，和向量的內(nèi)積公式的角度一樣，邊長(zhǎng)就是兩個(gè)向量的模，故整體替換相互轉(zhuǎn)化．14、140【解題分析】

寫(xiě)出二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，由的指數(shù)為0求得r值，則答案可求．【題目詳解】由得由6-3r=0，得r=1．

∴常數(shù)項(xiàng)等于,故答案為140.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)的記憶與運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．15、【解題分析】

首先求出在1處的導(dǎo)數(shù)，再求出在1處的函數(shù)值，然后用點(diǎn)斜式求出方程即可.【題目詳解】，∴且，切線方程是，即．【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程，屬于基礎(chǔ)題.16、【解題分析】

根據(jù)題意可知，假設(shè)，代入可得到，當(dāng)時(shí)，，兩式相減，化簡(jiǎn)即可求解出結(jié)果。【題目詳解】由題可知，，，所以．故答案為?！绢}目點(diǎn)撥】本題主要考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式過(guò)程中的歸納遞推步驟。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解題分析】

（1）在矩形中由平面幾何知識(shí)證明，再證，然后由線面垂直證明線線垂直．（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)點(diǎn)M與F重合，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．【題目詳解】（1）連接，由直三棱柱和，易得面，面，所以，又，，，則，又，∴，，∴，∴，又，所以面，所以（2）當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)點(diǎn)M與F重合，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求二面角．，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，易知，，，設(shè)，則，解得取，則記二面角的大小為，則，故.【題目點(diǎn)撥】本題考查用線面垂直證明線線垂直，用空間向量法求二面角．屬于常規(guī)題．18、Ⅰ，或；Ⅱ.【解題分析】

Ⅰ由函數(shù)的解析式可得，解一元二次不等式，求出的范圍，從而可得結(jié)果；Ⅱ由，可得，結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域可得，，解一元二次不等式組，可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【題目詳解】Ⅰ對(duì)于函數(shù)，應(yīng)有，求得，或，故該函數(shù)的定義域?yàn)?，或．Ⅱ，即，，即，求得或，即?shí)數(shù)x的取值范圍為．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，對(duì)數(shù)的運(yùn)算以及利用一元二次不等式的解法不等式，意在考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，直接證明，即可得出結(jié)果；（2）先由題意得到，，兩兩互相垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面的法向量，由向量夾角公式，即可求出結(jié)果.【題目詳解】(1)由題意知，，，所以，所以，所以，又易知，所以，所以，又，所以，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，交線為，所以平面，所以，因?yàn)?，，所以平面?2)由(1)知，，兩兩互相垂直，所以可建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因?yàn)橹本€與平面所成的角為，即，所以，則，，，，所以，，．因?yàn)?，，所以，?1)知，所以，又平面，所以，因?yàn)?，所以平面，所以為平面的一個(gè)法向量．設(shè)平面的法向量為，則，所以，令，得，，所以為平面的一個(gè)法向量．所以，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，故平面與平面所成的銳二面角為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查證明線面垂直，以及求二面角的大小，熟記線面垂直的判定定理，以及二面角的空間向量的求法即可，屬于?？碱}型.20、（1）異面直線AE和DF所成角的大小為arccos（2）二面角B-DF-C的平面角的大小為arccos2【解題分析】

由已知可得DA，DC，DE兩兩互相垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系．(1)求出AE,BF的坐標(biāo)，利用數(shù)量積求夾角求解異面直線AE和(2)分別求出平面BDF與平面DFC的一個(gè)法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角B-DF-C的平面角的大?。绢}目詳解】∵平面ADE⊥平面ABCD，且∠ADE=∴DE⊥平面ABCD，由四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，∴DA，DC，DE兩兩互相垂直，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，又EF⊥平面ADE且EF=1，∴D(0,0，0)，A(2,0，0)，E(0,0，2)，C(0,2，0)，B(2,2，0)，F(xiàn)(0,1，2)，(1)AE=(-2,0則cos<∴異面直線AE和DF所成角的大小為arccos2(2)DB=(2,2設(shè)平面BDF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z)由n?DB=2x+2y=0n?又平面DFC的一個(gè)法向量為m=(∴cos由圖可知，二面角B-DF-C為銳角，∴二面角B-DF-C的平面角的大小為arccos2【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了異面直線所成的角，二面角，屬于中檔題．21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】

(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義即可證得線線垂直；(2)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得直線的方向向量和平面的法向量，然后結(jié)合線面角的正弦值和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得線面角的余弦值.【題目詳解】(1)如圖所示，連結(jié)，等邊中，，則，平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面，由面面垂直的性質(zhì)定理可得：平面，故，由三棱柱的性質(zhì)可知，而，故，且，由線面垂直的判定定理可得：平面，結(jié)合?平面，故.(2)在底面ABC內(nèi)作EH⊥AC，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EH,EC,方向分別為x,y,z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，,，據(jù)此可得：，由可