清遠(yuǎn)市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

清遠(yuǎn)市重點(diǎn)中學(xué)2024屆數(shù)學(xué)高二下期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.452．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則的值為（）A． B． C． D．3．設(shè)，，，則下列正確的是A． B． C． D．4．若變量滿足約束條件，則的取值范圍是()A． B． C． D．5．直線是圓的一條對(duì)稱軸，過(guò)點(diǎn)作斜率為1的直線，則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為（）A． B． C． D．6．如圖，平面與平面所成的二面角是，是平面內(nèi)的一條動(dòng)直線，，則直線與所成角的正弦值的取值范圍是（）A． B．C． D．7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)間隔3分鐘先后從點(diǎn)，繞原點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜃鹘撬俣葹榛《?分鐘的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則與的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為（）A．37.5分鐘 B．40.5分鐘 C．49.5分鐘 D．52.5分鐘8．已知是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則（）A．0 B．1 C．2 D．39．已知向量，，則向量在向量上的投影是（）A．2 B．1 C．?1 D．?210．在用反證法證明命題“三個(gè)正數(shù)a，b，c滿足，則a，b，c中至少有一個(gè)不大于2”時(shí)，下列假設(shè)正確的是（）A．假設(shè)a，b，c都大于2 B．假設(shè)a，b，c都不大于2C．假設(shè)a，b，c至多有一個(gè)不大于2 D．假設(shè)a，b，c至少有一個(gè)大于211．不等式的解集是()A．或 B．C．或 D．12．已知直線y＝3x﹣1與曲線y＝ax+lnx相切，則實(shí)數(shù)a的值為（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線的離心率為_(kāi)___.14．曲線在處的切線方程是_____________15．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，若對(duì)于x≥0，都有f（x+2）=﹣，且當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=log2（x+1），則f（﹣2013）+f（2015）=_____．16．直三棱柱-中，，，，，則異面直線與所成角的余弦值為_(kāi)_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和滿足,.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）如果球、正方體與等邊圓柱（底面直徑與母線相等）的體積相等，求它們的表面積的大小關(guān)系．19．（12分）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)滿足.（1）當(dāng)?shù)闹芷谧畲笾禃r(shí)，求函數(shù)的解析式，并求出單調(diào)的遞增區(qū)間；（2）在（1）的條件下，若，求的值.20．（12分）袋中裝有黑色球和白色球共個(gè)，從中任取個(gè)球都是白色球的概率為，現(xiàn)有甲、乙兩人從袋中輪流摸出個(gè)球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，，摸后均不放回，直到有一個(gè)人摸到白色球后終止，每個(gè)球在每一次被摸出的機(jī)會(huì)都是等可能的，用表示摸球終止時(shí)所需摸球的次數(shù).（1）求隨機(jī)變量的分布和均值；（2）求甲摸到白色球的概率.21．（12分）某中學(xué)調(diào)查了某班全部名同學(xué)參加書(shū)法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：（單位：人）

參加書(shū)法社團(tuán)

未參加書(shū)法社團(tuán)

參加演講社團(tuán)

未參加演講社團(tuán)

（1）從該班隨機(jī)選名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率；（2）在既參加書(shū)法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的名同學(xué)中，有5名男同學(xué)名女同學(xué)現(xiàn)從這名男同學(xué)和名女同學(xué)中各隨機(jī)選人，求被選中且未被選中的概率.22．（10分）長(zhǎng)時(shí)間用手機(jī)上網(wǎng)嚴(yán)重影響著學(xué)生的健康，某校為了解A，B兩班學(xué)生手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)，分別從這兩個(gè)班中隨機(jī)抽取6名同學(xué)進(jìn)行調(diào)查，將他們平均每周手機(jī)上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)作為樣本數(shù)據(jù)，繪制成莖葉圖如圖所示（圖中的莖表示十位數(shù)字，葉表示個(gè)位數(shù)字）.如果學(xué)生平均每周手機(jī)上網(wǎng)的時(shí)長(zhǎng)大于21小時(shí)，則稱為“過(guò)度用網(wǎng)”（1）請(qǐng)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，分別估計(jì)A，B兩班的學(xué)生平均每周上網(wǎng)時(shí)長(zhǎng)的平均值；（2）從A班的樣本數(shù)據(jù)中有放回地抽取2個(gè)數(shù)據(jù)，求恰有1個(gè)數(shù)據(jù)為“過(guò)度用網(wǎng)”的概率；（3）從A班、B班的樣本中各隨機(jī)抽取2名學(xué)生的數(shù)據(jù)，記“過(guò)度用網(wǎng)”的學(xué)生人數(shù)為，寫(xiě)出的分布列和數(shù)學(xué)期望E.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

試題分析：記“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，“第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”，由題意可知,所以，故選A.考點(diǎn)：條件概率．2、C【解題分析】分析：求導(dǎo)，代值即可.詳解：，則.故選：C.點(diǎn)睛：對(duì)于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡(jiǎn)再求導(dǎo)的基本原則．求導(dǎo)時(shí)，不但要重視求導(dǎo)法則的應(yīng)用，而且要特別注意求導(dǎo)法則對(duì)求導(dǎo)的制約作用，在實(shí)施化簡(jiǎn)時(shí)，首先必須注意變換的等價(jià)性，避免不必要的運(yùn)算失誤．3、B【解題分析】

根據(jù)得單調(diào)性可得；構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)可確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得，得到，進(jìn)而得到結(jié)論.【題目詳解】由的單調(diào)遞增可知：，即令，則令，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即，即：綜上所述：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小的問(wèn)題，難點(diǎn)在于比較指數(shù)與對(duì)數(shù)大小時(shí)，需要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性；需要注意的是，在得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后，需驗(yàn)證零點(diǎn)與之間的大小關(guān)系，從而確定所屬的單調(diào)區(qū)間.4、B【解題分析】分析：根據(jù)約束條件畫(huà)出平面區(qū)域，再將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為，則為直線的截距，通過(guò)平推法確定的取值范圍.詳解：（1）畫(huà)直線，和，根據(jù)不等式組確定平面區(qū)域，如圖所示.（2）將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換為直線，則為直線的截距.（3）畫(huà)直線，平推直線，確定點(diǎn)A、B分別取得截距的最小值和最大值.易得,聯(lián)立方程組,解得，B坐標(biāo)為（4）分別將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入，，的取值范圍是故選B.點(diǎn)睛：本題主要考查線性規(guī)劃問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.目標(biāo)函數(shù)型線性規(guī)劃問(wèn)題解題步驟：（1）確定可行區(qū)域（2）將轉(zhuǎn)化為，求z的值，可看做求直線，在y軸上截距的最值。（3）將平移，觀察截距最大（?。┲祵?duì)應(yīng)的位置，聯(lián)立方程組求點(diǎn)坐標(biāo)。（4）將該點(diǎn)坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，計(jì)算Z。5、C【解題分析】由是圓的一條對(duì)稱軸知，其必過(guò)圓心，因此，則過(guò)點(diǎn)斜率為1的直線的方程為，圓心到其距離，所以弦長(zhǎng)等于，故選C．6、B【解題分析】

假定ABCD和BCEF均為正方形，過(guò)D作，可證平面BCEF，進(jìn)而可得直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，即直線與所成角的正弦值的最小值，當(dāng)直線與異面垂直時(shí)，所成角的正弦值最大.【題目詳解】過(guò)D作，垂足為G，假定ABCD和BCEF均為正方形，且邊長(zhǎng)為1則平面CDG，故又，平面BCEF故直線BD在平面BCEF內(nèi)的射影為BG，由已知可得，則以直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，所以直線BD與平面BCEF內(nèi)直線所成的角正弦值最小為，而直線與所成角最大為（異面垂直），即最大正弦值為1.故選：B【題目點(diǎn)撥】本題考查了立體幾何中線面角，面面角找法，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.7、A【解題分析】

分析：由題意可得：yN=，yM=，計(jì)算yM﹣yN=sin，即可得出．詳解：由題意可得：yN=，yM=∴yM﹣yN=yM﹣yN=sin，令sin=1，解得：=2kπ+，x=12k+，k=0，1，2，1．∴M與N的縱坐標(biāo)之差第4次達(dá)到最大值時(shí)，N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間=1×12+=17.5（分鐘）．故選A．點(diǎn)睛：本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、和差公式、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．也查到了三角函數(shù)的定義的應(yīng)用，三角函數(shù)的定義指的是單位圓上的點(diǎn)坐標(biāo)和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角之間的關(guān)系.8、D【解題分析】

利用函數(shù)的周期性，化簡(jiǎn)所求函數(shù)值的自變量為已知函數(shù)的定義域中，代入求解即可．【題目詳解】f（x）是周期為4的偶函數(shù)，當(dāng)x∈[0，2]時(shí)f（x）=，則f（2014）+f（2015）=f（2012+2）+f（2016﹣1）=f（2）+f（﹣1）=log22+1+12=1．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的周期性以及函數(shù)值的求法，考查計(jì)算能力．9、D【解題分析】

本題考察的是對(duì)投影的理解，一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影即一個(gè)投影在另一個(gè)投影方向上的長(zhǎng)度．【題目詳解】在上的投影方向相反，長(zhǎng)度為2，所以答案是.【題目點(diǎn)撥】本題可以通過(guò)作圖來(lái)得出答案．10、A【解題分析】

否定結(jié)論，同時(shí)“至少有一個(gè)”改為“全部”【題目詳解】因?yàn)椤癮，b，c至少有一個(gè)不大于2”的否定是“a，b，c都大于2”，故選A.【題目點(diǎn)撥】本題考查反證法，在反證法中假設(shè)命題反面成立時(shí)，結(jié)論需要否定的同時(shí)，“至少”，“至多”，“都”等詞語(yǔ)需要改變．11、D【解題分析】

先求解出不等式，然后用集合表示即可?！绢}目詳解】解：，即，即，故不等式的解集是，故選D?！绢}目點(diǎn)撥】本題是集合問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是正確求解絕對(duì)值不等式和規(guī)范答題。12、B【解題分析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，設(shè)切點(diǎn)，表示出切線方程，與已知切線相同，從而得到關(guān)于和的方程組，解出的值.【題目詳解】設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)?，所以所以切線斜率則切線為整理得又因?yàn)榍芯€方程為所以得，解得故選B項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，未知切點(diǎn)表示切線方程，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的漸近線方程為，可知，由此可求出雙曲線的離心率。【題目詳解】由題可設(shè)焦點(diǎn)在軸上的雙曲線方程為，由于該雙曲線的漸近線方程為，則，在雙曲線中，所以雙曲線的離心率，故雙曲線的離心率為。【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的離心率的求法，雙曲線漸近方程的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。14、【解題分析】

求導(dǎo)函數(shù)，確定曲線在處的切線斜率，從而可求切線方程．【題目詳解】求導(dǎo)函數(shù)可得y，

當(dāng)時(shí)，y，

∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為

即答案為．【題目點(diǎn)撥】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查切線方程，屬于基礎(chǔ)題．15、0【解題分析】當(dāng)x≥0，都有f（x+2）=﹣，∴此時(shí)f（x+4）=f（x），∴f（2015）=f（503×4+3）=f（3）=﹣，∵當(dāng)x∈[0，2]時(shí)，f（x）=log2（x+1），∴f（1）=log2（1+1）=1，即f（2015）=﹣=﹣1，∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，∴f（﹣2013）=f（503×4+1）=f（1）=1，∴f（﹣2013）+f（2015）=1﹣1=0，故答案為016、【解題分析】

連接交于E，取AB中點(diǎn)F,連接EF,推出EF∥或其補(bǔ)角為所求，在三角形運(yùn)用余弦定理求解即可【題目詳解】連接交于E，則E為為中點(diǎn)，取AB中點(diǎn)F,連接EF,故EF，則或其補(bǔ)角為所求，又EF=,在三角形中，cos故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查異面直線所成的角，熟記異面直線所成角定義，熟練找角，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）【解題分析】

根據(jù)公式解出即可．寫(xiě)出，再分組求和．【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，綜上.（2）由（1）知【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)列通項(xiàng)的求法及分組求法求前n項(xiàng)和．屬于基礎(chǔ)題．18、【解題分析】

分別用體積表示其面積，再比較大小?！绢}目詳解】解：設(shè)球的半徑為R、正方體的棱長(zhǎng)為a,等邊圓柱的底面半徑為r,且它們的體積都為V,則:V=,．,．【題目點(diǎn)撥】分別用體積表示其面積，再比較大小。19、（1），；（2）【解題分析】

（1）計(jì)算周期最大值為，從而，，得到函數(shù)解析式，取，解得答案.（2）化簡(jiǎn)得到，，代入計(jì)算得到答案.【題目詳解】（1）由題意知周期最大滿足，故周期最大值為，從而，又函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為，所以，因?yàn)椋?，所?當(dāng)單調(diào)遞增時(shí)，，因此單調(diào)的遞增區(qū)間為.（2），又，所以，即，因?yàn)?，所以，，，所?【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角恒等變換，三角函數(shù)周期，三角函數(shù)單調(diào)性，意在考查學(xué)生對(duì)于三角函數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用.20、(1)分布列見(jiàn)解析，E(X)＝2.(2)P(A)＝.【解題分析】分析：（1）由已知先出白子個(gè)數(shù)，進(jìn)而可得隨機(jī)變量X的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個(gè)互斥事件：A1＝“甲第1次摸球時(shí)摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球時(shí)摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球時(shí)摸出白色球”，利用互斥事件概率加法公式可得.詳解：設(shè)袋中白色球共有x個(gè)，x∈N*且x≥2，則依題意知＝，所以＝，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．(1)袋中的7個(gè)球，3白4黑，隨機(jī)變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.隨機(jī)變量X的分布列為X12345P所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.(2)記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個(gè)互斥事件：A1＝“甲第1次摸球時(shí)摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球時(shí)摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球時(shí)摸出白色球”．依題意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，所以甲摸到白色球的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是古典概型的概率計(jì)算公式，隨機(jī)變量