2024屆全國數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測試題含解析

2024屆全國數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末檢測試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．命題；命題.若為假命題，為真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．或C．或 D．或2．若，則（）A． B． C． D．3．觀察兩個(gè)變量(存在線性相關(guān)關(guān)系）得如下數(shù)據(jù):則兩變量間的線性回歸方程為（）A． B． C． D．4．在建立兩個(gè)變量與的回歸模型時(shí)，分別選擇了4個(gè)不同的模型，這四個(gè)模型的相關(guān)系數(shù)分別為0.25、0.50、0.98、0.80，則其中擬合效果最好的模型是（）A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型45．設(shè)滿足約束條件，若，且的最大值為，則（）A． B． C． D．6．定義在上的函數(shù)若滿足：①對(duì)任意、，都有；②對(duì)任意，都有，則稱函數(shù)為“中心捺函數(shù)”，其中點(diǎn)稱為函數(shù)的中心.已知函數(shù)是以為中心的“中心捺函數(shù)”，若滿足不等式，當(dāng)時(shí)，的取值范圍為（）A． B． C． D．7．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在內(nèi)單調(diào)遞增的函數(shù)是（）A． B． C． D．8．設(shè)銳角的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊分別為且，，則周長的取值范圍為（）A． B． C． D．9．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為,且,弦過點(diǎn),則的周長為()A． B． C． D．10．不等式的解集是()A．或 B．C．或 D．11．已知函數(shù)在上恒不大于0，則的最大值為（）A． B． C．0 D．112．關(guān)于“斜二測”畫圖法，下列說法不正確的是（）A．平行直線的斜二測圖仍是平行直線B．斜二測圖中，互相平行的任意兩條線段的長度之比保持原比例不變C．正三角形的直觀圖一定為等腰三角形D．在畫直觀圖時(shí)，由于坐標(biāo)軸的選取不同，所得的直觀圖可能不同二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布如下：則的值為__________．14．已知純虛數(shù)滿足(其中是虛數(shù)單位)，則__________.15．為貫徹教育部關(guān)于全面推進(jìn)素質(zhì)教育的精神，某學(xué)校推行體育選修課.甲、乙、丙、丁四個(gè)人分別從太極拳、足球、擊劍、游泳四門課程中選擇一門課程作為選修課，他們分別有以下要求:甲：我不選太極拳和足球；乙：我不選太極拳和游泳；丙：我的要求和乙一樣；?。喝绻也贿x足球，我就不選太極拳.已知每門課程都有人選擇，且都滿足四個(gè)人的要求，那么選擊劍的是___________.16．已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，f(x)＝lnx－ax()，當(dāng)x∈(－2,0)時(shí)，f(x)的最小值是1，則a＝__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）山西省2021年高考將實(shí)施新的高考改革方案.考生的高考總成績將由3門統(tǒng)一高考科目成績和自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目成績組成，總分為750分.其中，統(tǒng)一高考科目為語文、數(shù)學(xué)、外語，自主選擇的3門普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門作為選考科目，語、數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名來劃分等級(jí)并以此打分得到最后得分。根據(jù)高考綜合改革方案，將每門等級(jí)考試科目中考生的原始成績從高到低分為共8個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為3%、7%、16%、24%、24%、16%、7%、3%.等級(jí)考試科目成績計(jì)入考生總成績時(shí)，將A至E等級(jí)內(nèi)的考生原始成績，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，分別轉(zhuǎn)換到八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績。舉例說明1：甲同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分，化學(xué)學(xué)科等級(jí)的原始分分布區(qū)間為，則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績屬等級(jí)，而等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為那么，甲同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為：設(shè)甲同學(xué)化學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級(jí)分為，求得.四舍五入后甲同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績?yōu)?6分。舉例說明2：乙同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為69分，化學(xué)學(xué)科等級(jí)的原始分分布區(qū)間為則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績屬等級(jí).而等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為這時(shí)不用公式，乙同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績直接取下端點(diǎn)70分?，F(xiàn)有復(fù)興中學(xué)高一年級(jí)共3000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù)，對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測試，其中物理考試原始成績基本服從正態(tài)分布。且等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為，且等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為，且等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為（1）若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分，小紅同學(xué)在這次考試中物理原始分為72分，求小明和小紅的物理學(xué)科賦分成績；（精確到整數(shù)）.（2）若以復(fù)興中學(xué)此次考試頻率為依據(jù)，在學(xué)校隨機(jī)抽取4人，記這4人中物理原始成績?cè)趨^(qū)間的人數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望和方差.（精確到小數(shù)點(diǎn)后三位數(shù)）.附：若隨機(jī)變量滿足正態(tài)分布，給出以下數(shù)據(jù)，18．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為，且．（1）求角A的大小；（2）求△ABC的面積的最大值.19．（12分）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)，時(shí)，對(duì)任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.20．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊作兩個(gè)銳角α,β，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點(diǎn)，已知A、B的橫坐標(biāo)分別為25（1）求tan(α-β)的值；（2）求α+β21．（12分）已知橢圓，若在，，，四個(gè)點(diǎn)中有3個(gè)在上．（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)與點(diǎn)是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，且，求的取值范圍．22．（10分）已知函數(shù).（1）當(dāng)，時(shí)，求函數(shù)的值域；（2）若函數(shù)在上的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

首先解出兩個(gè)命題的不等式，由為假命題，為真命題得命題和命題一真一假．【題目詳解】命題，命題．因?yàn)闉榧倜}，為真命題．所以命題和命題一真一假，所以或，選擇B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了簡易邏輯的問題，其中涉及到了不等式以及命題真假的判斷問題，屬于基礎(chǔ)題．2、A【解題分析】

根據(jù)誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式，化簡得，即可求解．【題目詳解】由題意，可得，故選A．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡求值問題，其中解答中合理配湊，以及準(zhǔn)確利用誘導(dǎo)公式和余弦的倍角公式化簡、運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、B【解題分析】分析：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算、，再由線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)，排除A、C、D選項(xiàng)即可．詳解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得；=（﹣10﹣6.99﹣5.01﹣2.98+3.98+5+7.99+8.01）=0，=（﹣9﹣7﹣5﹣3+4.01+4.99+7+8）=0；∴兩變量x、y間的線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)（0，0），可以排除A、C、D選項(xiàng)，B選項(xiàng)符合題意．故選：B．點(diǎn)睛：本題考查了線性回歸方程過樣本中心點(diǎn)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題目．對(duì)于回歸方程，一定要注意隱含條件，樣本中心滿足回歸方程，再者計(jì)算精準(zhǔn)，正確理解題意，應(yīng)用回歸方程對(duì)總體進(jìn)行估計(jì).4、C【解題分析】

相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越靠近1，擬合效果越好，據(jù)此得到答案.【題目詳解】四個(gè)模型的相關(guān)系數(shù)分別為0.25、0.50、0.98、0.80相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越靠近1，擬合效果越好故答案選C【題目點(diǎn)撥】本題考查了相關(guān)系數(shù)，相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越靠近1，擬合效果越好.5、B【解題分析】分析：由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)得答案.詳解：由約束條件作出可行域如圖：化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知，當(dāng)直線過B時(shí)，直線在y軸上的截距最小，即z最大，聯(lián)立，解得，，解得.故選：B.點(diǎn)睛：線性規(guī)劃中的參數(shù)問題及其求解思路(1)線性規(guī)劃中的參數(shù)問題，就是已知目標(biāo)函數(shù)的最值或其他限制條件，求約束條件或目標(biāo)函數(shù)中所含參數(shù)的值或取值范圍的問題．(2)求解策略：解決這類問題時(shí)，首先要注意對(duì)參數(shù)取值的討論，將各種情況下的可行域畫出來，以確定是否符合題意，然后在符合題意的可行域里，尋求最優(yōu)解，從而確定參數(shù)的值．6、C【解題分析】

先結(jié)合題中條件得出函數(shù)為減函數(shù)且為奇函數(shù)，由，可得出，化簡后得出，結(jié)合可求出，再由結(jié)合不等式的性質(zhì)得出的取值范圍.【題目詳解】由知此函數(shù)為減函數(shù).由函數(shù)是關(guān)于的“中心捺函數(shù)”，知曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故函數(shù)為奇函數(shù)，且函數(shù)在上遞減，于是得，.，.則當(dāng)時(shí)，令m=x，y=n則：問題等價(jià)于點(diǎn)（x，y）滿足區(qū)域，如圖陰影部分，由線性規(guī)劃知識(shí)可知為（x，y）與（0，0）連線的斜率，由圖可得，，故選：C.【題目點(diǎn)撥】本題考查代數(shù)式的取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是分析出函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性將題中的不等關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，應(yīng)用到線性規(guī)劃的知識(shí)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.7、D【解題分析】

由基本初等函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，對(duì)A、B、C、D各項(xiàng)分別加以驗(yàn)證，不難得到正確答案．【題目詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)閮绾瘮?shù)y＝x3是R上的增函數(shù)，所以y＝﹣x3是（0，+∞）上的減函數(shù)，故A不正確；對(duì)于B，為偶函數(shù)，且在上沒有單調(diào)性，所以B不正確；對(duì)于C，在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)，在區(qū)間（1，+∞）上是增函數(shù)，故C不正確；對(duì)于D，若f（x）＝x|x|，則f（﹣x）＝﹣x|x|＝﹣f（x），說明函數(shù)是奇函數(shù)，而當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）＝x2，顯然是（0，+∞）上的增函數(shù)，故D正確；故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷與證明，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解題分析】因?yàn)椤鳛殇J角三角形，所以，，，即，，，所以，；又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?；由，即，所以，令，則，又因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)值域?yàn)椋蔬xC點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)邊角的轉(zhuǎn)化得到周長關(guān)于角的函數(shù)關(guān)系，借助二次函數(shù)的單調(diào)性求最值，易錯(cuò)點(diǎn)是限制角的取值范圍.9、D【解題分析】

求得橢圓的a，b，c，由橢圓的定義可得△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=4a，計(jì)算即可得到所求值．【題目詳解】由題意可得橢圓+=1的b=5，c=4，a==，由橢圓的定義可得|AF1|+|AF2|=|BF1|+|BF2|=2a，即有△ABF2的周長為|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4．故選D．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形的周長的求法，注意運(yùn)用橢圓的定義和方程，定義法解題是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解題分析】

先求解出不等式，然后用集合表示即可。【題目詳解】解：，即，即，故不等式的解集是，故選D。【題目點(diǎn)撥】本題是集合問題，解題的關(guān)鍵是正確求解絕對(duì)值不等式和規(guī)范答題。11、A【解題分析】

先求得函數(shù)導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時(shí)，利用特殊值判斷不符合題意.當(dāng)時(shí)，根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)求得的最大值，令這個(gè)最大值恒不大于零，化簡后通過構(gòu)造函數(shù)法，利用導(dǎo)數(shù)研究所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性和零點(diǎn)，并由此求得的取值范圍，進(jìn)而求得的最大值.【題目詳解】，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，，所以不滿足恒成立；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又恒成立，即.設(shè)，則.因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，，所以存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，解得，又，所以，故整數(shù)的最大值為.故選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查構(gòu)造函數(shù)法，考查零點(diǎn)存在性定理，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，屬于中檔題.12、C【解題分析】

根據(jù)斜二測畫法的特征，對(duì)選項(xiàng)中的命題進(jìn)行分析、判斷正誤即可．【題目詳解】解：對(duì)于A，平行直線的斜二測圖仍是平行直線，A正確；對(duì)于B，斜二測圖中，互相平行的任意兩條線段的長度之比保持原比例不變，B正確；對(duì)于C，正三角形的直觀圖不一定為等腰三角形，如圖所示；∴C錯(cuò)誤；對(duì)于D，畫直觀圖時(shí)，由于坐標(biāo)軸的選取不同，所得的直觀圖可能不同，D正確．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了斜二測畫法的特征與應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：離散型隨機(jī)變量的概率之和為1詳解：解得：。點(diǎn)睛：離散型隨機(jī)變量的概率之和為1，是分布列的性質(zhì)。14、【解題分析】設(shè)，，整理得，15、丙【解題分析】

列出表格，用√表示已選的，用×表示未選的課程，逐個(gè)將每門課程所選的人確定下來，即可得知選擊劍的人是誰?！绢}目詳解】在如下圖中，用√表示該門課程被選擇，用×表示該門課程未選，且每行每列只有一個(gè)勾，太極拳足球擊劍游泳甲××√乙×√②×丙×√×丁√①從上述四個(gè)人的要求中知，太極拳甲、乙、丙都不選擇，則丁選擇太極拳，丁所說的命題正確，其逆否命題為“我選太極拳，那么乙選足球”為真，則選足球的是乙，由于乙、丙、丁都為選擇游泳，那么甲選擇游泳，最后只有丙選擇擊劍。故答案為：丙?！绢}目點(diǎn)撥】本題考查合情推理，充分利用假設(shè)法去進(jìn)行論證，考查推理論證能力，屬于中等題。16、1【解題分析】由題意，得x∈(0,2)時(shí)，f(x)＝lnx－ax(a＞)有最大值－1，f′(x)＝－a，由f′(x)＝0得x＝∈(0,2)，且x∈(0，)時(shí)，f′(x)＞0，f(x)單調(diào)遞增，x∈(，2)時(shí)，f′(x)＜0，f(x)單調(diào)遞減，則f(x)max＝f()＝ln－1＝－1，解得a＝1.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)小明82分，小紅70分；(2)1.504，0.938【解題分析】

（1）根據(jù)題意列式求解（2）先確定區(qū)間，再根據(jù)正態(tài)分布求特定區(qū)間概率，最后根據(jù)二項(xiàng)分布求期望與方差.【題目詳解】解（1）小明同學(xué)且等級(jí)為,設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的物理等級(jí)分為，求得．小明轉(zhuǎn)換后的物理成績?yōu)?2小紅同學(xué)且等級(jí)為，且等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為，小紅為本等級(jí)最低分72,則轉(zhuǎn)換后的物理成績?yōu)?0分。（2）物理考試原始成績等級(jí)為所在原始分分布區(qū)間為，人數(shù)所占比例為24%，又因?yàn)槲锢砜荚囋汲煽兓痉恼龖B(tài)分布，當(dāng)原始分時(shí)，人數(shù)所占比例為則隨機(jī)抽取一個(gè)物理原始成績?cè)趨^(qū)間的概率為由題可得【題目點(diǎn)撥】本題考查新定義理解、利用正態(tài)分布求特定區(qū)間概率以后利用二項(xiàng)分布求期望與方差，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18、（1）（2）最大值.【解題分析】

（1）利用正弦定理得，再由余弦定理求得，即可求解；（2）利用余弦定理和基本不等式，求得的最大值，再利用三角形的面積公式，即可求解面積的最大值，得到答案.【題目詳解】在的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為且，且．整理得，利用正弦定理得，又由余弦定理，得，由于，解得：．由于，所以，整理得：，所以．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的面積有最大值.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面積公式的應(yīng)用，其中在解有關(guān)三角形的題目時(shí)，要有意識(shí)地考慮用哪個(gè)定理更合適，要抓住能夠利用某個(gè)定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或邊的二次式時(shí)，要考慮用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或邊的一次式時(shí)，則考慮用正弦定理，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.19、（1）見解析；（2）.【解題分析】

1通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；2原問題等價(jià)于，成立，可得，可得，即，設(shè)，，可得在單調(diào)遞增，且，即可得不等式的解集即可．【題目詳解】1函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，所以．當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，令，解得：，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．2對(duì)任意，，有成立，，，成立，，時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，，設(shè)，，．在遞增，，可得，，即，設(shè)，，在恒成立．在單調(diào)遞增，且，不等式的解集為．實(shí)數(shù)b的取值范圍為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，恒成立問題，考查了轉(zhuǎn)化思想、運(yùn)算能力，屬于壓軸題．20、(1)17;（2）α+β=【解題分析】（1）先運(yùn)用三角函數(shù)定義與同角三角