江西省贛州市達(dá)標(biāo)名校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

江西省贛州市達(dá)標(biāo)名校2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從名男生和名女生中選出人去參加辯論比賽，人中既有男生又有女生的不同選法共有（）A．種 B．種 C．種 D．種2．已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則（）.A．1 B．2 C．3 D．3．100件產(chǎn)品中有6件次品，現(xiàn)從中不放回的任取3件產(chǎn)品，在前兩次抽到正品的條件下第三次抽到次品的概率為（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)(其中，)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5．若A＝{(x，y)|y＝x}，，則A，B關(guān)系為()A．AB B．BAC．A＝B D．AB6．已知，，則是的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件7．已知中，，，，則B等于（）A． B．或 C． D．或8．甲乙丙丁4名師范院校的大學(xué)生分配至3所學(xué)校實(shí)習(xí)，每所學(xué)校至少分配一名大學(xué)生，且甲、乙兩人不能分配在同一所學(xué)校，則不同分配方法數(shù)為（）A．30 B．42 C．50 D．589．某煤氣站對(duì)外輸送煤氣時(shí)，用1至5號(hào)五個(gè)閥門控制，且必須遵守以下操作規(guī)則：①若開啟3號(hào)，則必須同時(shí)開啟4號(hào)并且關(guān)閉2號(hào)；②若開啟2號(hào)或4號(hào)，則關(guān)閉1號(hào)；③禁止同時(shí)關(guān)閉5號(hào)和1號(hào).則閥門的不同開閉方式種數(shù)為（）A．7 B．8 C．11 D．1410．下列關(guān)于曲線的結(jié)論正確的是（）A．曲線是橢圓 B．關(guān)于直線成軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱 D．曲線所圍成的封閉圖形面積小于411．已知拋物線，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于兩點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則該拋物線的準(zhǔn)線方程為A． B．C． D．12．已知橢圓的左焦點(diǎn)為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．觀察下列算式：，，，，…，，則____．14．有一個(gè)倒圓錐形的容器，其底面半徑是5厘米，高是10厘米，容器內(nèi)放著49個(gè)半徑為1厘米的玻璃球，在向容器倒?jié)M水后，再把玻璃球全部拿出來(lái)，則此時(shí)容器內(nèi)水面的高度為________厘米15．下列命題中①已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓；②已知，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線右邊一支；③兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值就越接近于；④在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)和直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線；⑤設(shè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的軌跡是橢圓.正確的命題是__________．16．如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，若存在，使不等式成立，求的最小值.18．（12分）已知數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，，，.（1）若，①求的值；②猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明；（2）若，證明：當(dāng)時(shí)，.19．（12分）如圖所示，已知ABCD是直角梯形，，．（1）證明：；（2）若，求三棱錐的體積．20．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)性；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，在定義域內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)的值.21．（12分）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）求a的值：（2）求函數(shù)的值域；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22．（10分）某IT從業(yè)者繪制了他在26歲～35歲(2009年～2018年)之間各年的月平均收入（單位：千元）的散點(diǎn)圖：（1）由散點(diǎn)圖知，可用回歸模型擬合與的關(guān)系，試根據(jù)附注提供的有關(guān)數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程（2）若把月收入不低于2萬(wàn)元稱為“高收入者”.試?yán)茫?）的結(jié)果，估計(jì)他36歲時(shí)能否稱為“高收入者”？能否有95%的把握認(rèn)為年齡與收入有關(guān)系？附注：①.參考數(shù)據(jù)：，，,，，,，其中，取，②.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828③.．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解題分析】

在沒(méi)有任何限制的情況下減去全是男生和全是女生的選法種數(shù)，可得出所求結(jié)果.【題目詳解】全是男生的選法種數(shù)為種，全是女生的選法種數(shù)為種，因此，人中既有男生又有女生的不同選法為種，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查排列組合問(wèn)題，可以利用分類討論來(lái)求解，本題的關(guān)鍵在于利用間接法來(lái)求解，可避免分類討論，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于中等題.2、D【解題分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算法則進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求模即可．【題目詳解】解：，，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)數(shù)模長(zhǎng)的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】

由已知可知件產(chǎn)品中有件次品，件正品，設(shè)“前兩次抽到正品”為事件，“第三次抽到次品”為事件，求出和，即可求得答案.【題目詳解】由已知可知件產(chǎn)品中有件次品，件正品，設(shè)“前兩次抽到正品”為事件，“第三次抽到次品”為事件；則∴故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題是一道關(guān)于條件概率計(jì)算的題目，關(guān)鍵是掌握條件概率的計(jì)算公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.4、D【解題分析】

分類討論a的范圍，根據(jù)真數(shù)的符號(hào)以及單調(diào)性，求出a的范圍．【題目詳解】解：函數(shù)y＝loga（8﹣ax）（其中a＞0，a≠1）在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞減，當(dāng)a＞1時(shí)，由函數(shù)t＝8﹣ax在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞減且t＞0，故8﹣4a＞0，求得1＜a＜1．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由函數(shù)t＝8﹣ax在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞減，可得函數(shù)y＝loga（8﹣ax）在區(qū)間[1，4]上單調(diào)遞增，這不符合條件．綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（1，1），故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．5、B【解題分析】

分別確定集合A,B的元素，然后考查兩個(gè)集合的關(guān)系即可.【題目詳解】由已知，故，故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查集合的表示方法，集合之間的關(guān)系等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解題分析】分析：首先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合冪的大小，得到指數(shù)的大小關(guān)系，即，從而求得，利用集合間的關(guān)系，確定出p,q的關(guān)系.詳解：由得，解得，因?yàn)槭堑恼孀蛹?，故p是q的充分不必要條件，故選A.點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)充分必要條件的判斷，在求解的過(guò)程中，首先需要判斷命題q為真命題時(shí)對(duì)應(yīng)的a的取值范圍，之后借助于具備真包含關(guān)系時(shí)滿足充分非必要性得到結(jié)果.7、D【解題分析】

根據(jù)題意和正弦定理求出sinB的值，由邊角關(guān)系、內(nèi)角的范圍、特殊角的三角函數(shù)值求出B．【題目詳解】由題意得，△ABC中，a＝1，，A＝30°，由得，sinB，又b＞a，0°＜B＜180°，則B＝60°或B＝120°，故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查正弦定理，以及邊角關(guān)系的應(yīng)用，注意內(nèi)角的范圍，屬于基礎(chǔ)題．8、A【解題分析】

根據(jù)題意將4人分成3組，再進(jìn)行排列，兩步完成.【題目詳解】第一步，將甲乙丙丁4名同學(xué)分成3組，甲、乙兩人不在同一組，有5種分法第二步,將3組同學(xué)分配到3所學(xué)校，有種分法所以共有種分配方法故選：A【題目點(diǎn)撥】解決分組分配問(wèn)題的基本指導(dǎo)思想是先分組，后分配.9、A【解題分析】

分兩類解決，第一類：若開啟3號(hào)，然后對(duì)2號(hào)和4號(hào)開啟其中一個(gè)即可判斷出1號(hào)和5號(hào)情況，第二類：若關(guān)閉3號(hào)，關(guān)閉2號(hào)關(guān)閉4號(hào)，對(duì)1號(hào)進(jìn)行討論，即可判斷5號(hào),由此可計(jì)算出結(jié)果.【題目詳解】解：依題意，第一類：若開啟3號(hào)，則開啟4號(hào)并且關(guān)閉2號(hào)，此時(shí)關(guān)閉1號(hào)，開啟5號(hào)，此時(shí)有1種方法；第二類：若關(guān)閉3號(hào)，①開啟2號(hào)關(guān)閉4號(hào)或關(guān)閉2號(hào)開啟4號(hào)或開啟2號(hào)開啟4號(hào)時(shí)，則關(guān)閉1號(hào)，開啟5號(hào)，此時(shí)有種3方法；②關(guān)閉2號(hào)關(guān)閉4號(hào)，則開啟1號(hào)關(guān)閉5號(hào)或開啟1號(hào)開啟5號(hào)或關(guān)閉1號(hào)，開啟5號(hào)，此時(shí)有種3方法；綜上所述，共有種方式.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查分類加法計(jì)數(shù)原理，屬于中檔題.10、C【解題分析】

根據(jù)橢圓的方程判斷曲線不是橢圓；把曲線中的，同時(shí)換成，，判斷曲線是否關(guān)于直線對(duì)稱；把曲線中的，同時(shí)換成，，判斷曲線是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；根據(jù)，，判斷曲線所圍成的封閉面積是否小于1．【題目詳解】曲線，不是橢圓方程，曲線不是橢圓，錯(cuò)誤；把曲線中的，同時(shí)換成，，方程變?yōu)?，曲線不關(guān)于直線對(duì)稱，錯(cuò)誤；把曲線中的，同時(shí)換成，，方程不變，曲線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，正確；，，曲線所圍成的封閉面積小于，令，所以曲線上的四點(diǎn)圍成的矩形面積為，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了方程所表示的曲線以及曲線的對(duì)稱性問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圓錐曲線的定義域性質(zhì)進(jìn)行解答，是基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】∵y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,∴過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y=x-,即x=y+,將其代入y2=2px得y2=2py+p2,即y2-2py-p2=0.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=2p,∴=p=2,∴拋物線的方程為y2=4x,其準(zhǔn)線方程為x=-1.故選B.12、B【解題分析】

代入得，解得,由此可得三角形ABF為直角三角形．OF=5，即c=5.由橢圓為中心對(duì)稱圖形可知當(dāng)右焦點(diǎn)為時(shí)，,【考點(diǎn)定位】本題考查橢圓定義，解三角形相關(guān)知識(shí)以及橢圓的幾何性質(zhì)．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、142；【解題分析】

觀察已知等式的規(guī)律，可猜想第行左邊第一個(gè)奇數(shù)為后續(xù)奇數(shù)依次為：由第行第一個(gè)數(shù)為，即：，解得：，可得：，即可得解.【題目詳解】第行等號(hào)左邊第一個(gè)加數(shù)為第個(gè)奇數(shù)，即，于是第一個(gè)加數(shù)為，所以第個(gè)等式為，，【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納與推理，猜想第行左邊第一個(gè)奇數(shù)為進(jìn)而后續(xù)奇數(shù)依次為：是解題的關(guān)鍵.14、6【解題分析】

設(shè)水面的高度為，根據(jù)圓錐體的體積等于全部玻璃的體積加上水的體積列方程求解即可.【題目詳解】解：設(shè)在向容器倒?jié)M水后，再把玻璃球全部拿出來(lái)，則此時(shí)容器內(nèi)水面的高度為，則，解得.故答案為：6.【題目點(diǎn)撥】本題考查圓錐體積和球的體積的運(yùn)算，關(guān)鍵要找到體積之間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.15、①②③【解題分析】①中，根據(jù)，化簡(jiǎn)得：，所以點(diǎn)P的軌跡是個(gè)圓；②因?yàn)?所以根據(jù)雙曲線的的定義，P點(diǎn)的軌跡是雙曲線右支，正確；③根據(jù)相關(guān)性定義，正確；④因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，不符合拋物線定義，錯(cuò)誤；⑤因?yàn)椋耶?dāng)時(shí)取等號(hào)，不符合橢圓的定義，錯(cuò)誤.綜上正確的是①②③.16、【解題分析】

由圖可知，由勾股定理可得,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【題目詳解】根據(jù)圖形，因?yàn)槎际侵苯侨切危?是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，，，故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于與中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）2【解題分析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（2）問(wèn)題等價(jià)于，令，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求出，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，從而求出的最小值即可.詳解：（1）解：∵∴∴當(dāng)即時(shí)，對(duì)恒成立此時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間當(dāng)，即時(shí)，由，得，由，得此時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為,無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）解：由，得：當(dāng)時(shí)，上式等價(jià)于令據(jù)題意，存在，使成立，則只需，令，顯然在上單調(diào)遞增而，∴存在，使，即又當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)，有極小值（也是最小值）∴∵，即，∴，∴又，且，∴的最小值為2.點(diǎn)睛：本題是以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用為背景的函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于較難題，近來(lái)高考在逐年加大對(duì)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的考查力度，不僅題型在變化，而且問(wèn)題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個(gè)層次：第一層次主要考查求導(dǎo)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；第二層次是導(dǎo)數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應(yīng)用問(wèn)題，將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式甚至數(shù)列及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題.18、(1)①；；②(2)見證明【解題分析】

（1）①根據(jù)遞推公式，代入求值即可；②觀察已知的數(shù)列的前幾項(xiàng)，根據(jù)其特征，先猜想其通項(xiàng)公式，之后應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得結(jié)果；（2）應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明.【題目詳解】(1)當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，②由此猜想：證明如下：①當(dāng)時(shí)，，成立；②假設(shè)當(dāng)時(shí)，猜想也成立，即,則當(dāng)時(shí)，.即當(dāng)時(shí)，猜想也成立．由①②得，猜想成立，即.()(2)當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由知不等式成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題也成立，即.由即當(dāng)時(shí)，命題也成立．由①②得，原命題成立，即當(dāng)時(shí)，.【題目點(diǎn)撥】該題考查的是數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的特定項(xiàng)，根據(jù)已知的數(shù)列的前幾項(xiàng)猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式，應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問(wèn)題，屬于中檔題目.19、（1）見解析；（2）【解題分析】

（1）由題可得：,，可得：，即可證得，再利用證得，即可證得平面，問(wèn)題得證．（2）利用及錐體體積公式直接計(jì)算得解．【題目詳解】（1）由題可得：,所以所以又所以，又所以平面，又平面所以（2）【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線線垂直的證明，考查了轉(zhuǎn)化能力及線面垂直的定義，還考查了錐體體積公式及計(jì)算能力，屬于中檔題．20、（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）求出函數(shù)的的定義域以及導(dǎo)函數(shù)，分類討論，，情況下導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，由此得到答案；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）可得函數(shù)的最小值，要使在定義域內(nèi)恒成立，則恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最值，從而得到實(shí)數(shù)的值。【題目詳解】（Ⅰ）由題可得函數(shù)的的定義域?yàn)?，；?）當(dāng)時(shí)，恒成立，則單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，則單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，令，解得：