2022年浙江省高考數(shù)學試題

2022年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（浙江卷）數(shù)學姓名________準考證號_________________本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.全卷共4頁，選擇題部分1至3頁；非選擇題部分3至4頁．滿分150分，考試時間120分鐘.考生注意：1．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用黑色字跡的簽字筆或鋼筆分別填寫在試題卷和答題紙規(guī)定的位置上.2．答題時，請按照答題紙上“注意事項”的要求，在答題紙相應的位置上規(guī)范作答，在本試題卷上的作答一律無效.參考公式：如果事件A，B互斥，則柱體的體積公式如果事件A，B相互獨立，則其中S表示柱體的底面積，h表示柱體的高錐體的體積公式若事件A在一次試驗中發(fā)生的概率是p，則n次獨立重復試驗中事件A恰好發(fā)生k次的概率其中S表示錐體的底面積，h表示錐體的高球的表面積公式臺體的體積公式球的體積公式其中表示臺體的上、下底面積，h表示臺體的高其中R表示球的半徑選擇題部分（共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用并集的定義可得正確的選項.【詳解】，故選：D.2.已知（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用復數(shù)相等的條件可求.【詳解】，而為實數(shù)，故，故選：B.3.若實數(shù)x，y滿足約束條件則的最大值是（）A.20 B.18 C.13 D.6【答案】B【解析】【分析】在平面直角坐標系中畫出可行域，平移動直線后可求最大值.【詳解】不等式組對應的可行域如圖所示：當動直線過時有最大值.由可得，故，故，故選：B.4.設，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的性質結合充分條件、必要條件的定義即可得解.【詳解】因為可得：當時，，充分性成立；當時，，必要性不成立；所以當，是的充分不必要條件.故選：A.5.某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積（單位：）是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三視圖還原幾何體可知，原幾何體是一個半球，一個圓柱，一個圓臺組合成的幾何體，即可根據(jù)球，圓柱，圓臺的體積公式求出．【詳解】由三視圖可知，該幾何體是一個半球，一個圓柱，一個圓臺組合成的幾何體，球的半徑，圓柱的底面半徑，圓臺的上底面半徑都為，圓臺的下底面半徑為，所以該幾何體的體積．故選：C．6.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的變換法則即可求出．【詳解】因為，所以把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數(shù)的圖象．故選：D.7.已知，則（）A.25 B.5 C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，冪的運算性質以及對數(shù)的運算性質即可解出．【詳解】因為，，即，所以．故選：C.8.如圖，已知正三棱柱，E，F(xiàn)分別是棱上的點．記與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先用幾何法表示出，再根據(jù)邊長關系即可比較大?。驹斀狻咳鐖D所示，過點作于，過作于，連接，則，，，，，，所以，故選：A．9.已知，若對任意，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】將問題轉換為，再結合畫圖求解．【詳解】由題意有：對任意的，有恒成立．設，，即的圖象恒在的上方（可重合），如下圖所示：由圖可知，，，或，，故選：D．10.已知數(shù)列滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先通過遞推關系式確定除去，其他項都在范圍內，再利用遞推公式變形得到，累加可求出，得出，再利用，累加可求出，再次放縮可得出．【詳解】∵，易得，依次類推可得由題意，，即，∴，即，，，…，，累加可得，即，∴，即，,又，∴，，，…，，累加可得，∴，即，∴，即；綜上：．故選：B．【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是利用遞推關系進行合理變形放縮.非選擇題部分（共110分）二、填空題：本大題共7小題，單空題每題4分，多空題每空3分，共36分．11.我國南宋著名數(shù)學家秦九韶，發(fā)現(xiàn)了從三角形三邊求面積的公式，他把這種方法稱為“三斜求積”，它填補了我國傳統(tǒng)數(shù)學的一個空白．如果把這個方法寫成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三邊，S是三角形的面積．設某三角形的三邊，則該三角形的面積___________．【答案】.【解析】【分析】根據(jù)題中所給的公式代值解出．【詳解】因為，所以．故答案為：.12.已知多項式，則__________，___________．【答案】①.②.【解析】【分析】第一空利用二項式定理直接求解即可，第二空賦值去求，令求出，再令即可得出答案．【詳解】含項為：，故；令，即，令，即，∴，故答案為：；．13.若，則__________，_________．【答案】①.②.【解析】【分析】先通過誘導公式變形，得到的同角等式關系，再利用輔助角公式化簡成正弦型函數(shù)方程，可求出，接下來再求．【詳解】，∴，即，即，令，，則，∴，即，∴，則．故答案為：；．14.已知函數(shù)則________；若當時，，則的最大值是_________．【答案】①.②.##【解析】【分析】結合分段函數(shù)的解析式求函數(shù)值，由條件求出的最小值,的最大值即可.【詳解】由已知，，所以，當時，由可得，所以，當時，由可得，所以，等價于，所以，所以的最大值為.故答案為：，.15.現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則__________，_________．【答案】①.，②.##【解析】【分析】利用古典概型概率公式求，由條件求分布列，再由期望公式求其期望.【詳解】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，由已知可得的取值有1，2，3，4，，，，所以,故答案為：，.16.已知雙曲線的左焦點為F，過F且斜率為的直線交雙曲線于點，交雙曲線的漸近線于點且．若，則雙曲線的離心率是_________．【答案】【解析】【分析】聯(lián)立直線和漸近線方程，可求出點，再根據(jù)可求得點，最后根據(jù)點在雙曲線上，即可解出離心率．【詳解】過且斜率為的直線，漸近線，

聯(lián)立，得，由，得而點在雙曲線上，于是，解得：，所以離心率.故答案為：．17.設點P在單位圓的內接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正八邊形的結構特征，分別以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，即可求出各頂點的坐標，設，再根據(jù)平面向量模的坐標計算公式即可得到，然后利用即可解出．【詳解】以圓心為原點，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標系，如圖所示：則,，設,于是，因為，所以，故的取值范圍是.故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先由平方關系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【小問1詳解】由于，，則．因為，由正弦定理知，則．【小問2詳解】因為，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．19.如圖，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角為．設M，N分別為的中點．（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】【分析】（1）過點、分別做直線、的垂線、并分別交于點、，由平面知識易得，再根據(jù)二面角的定義可知，，由此可知，，，從而可證得平面，即得；（2）由（1）可知平面，過點做平行線，所以可以以點為原點，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量，以及，即可利用線面角的向量公式解出．【小問1詳解】過點、分別做直線、的垂線、并分別交于點交于點、．∵四邊形和都是直角梯形，，，由平面幾何知識易知，，則四邊形和四邊形是矩形，∴在Rt和Rt，，∵，且，∴平面是二面角的平面角，則，∴是正三角形，由平面，得平面平面，∵是的中點，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．【小問2詳解】因為平面，過點做平行線，所以以點為原點，，、所在直線分別為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，設，則，設平面的法向量為由，得，取，設直線與平面所成角為，∴．20.已知等差數(shù)列的首項，公差．記的前n項和為．（1）若，求；（2）若對于每個，存在實數(shù)，使成等比數(shù)列，求d取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式及前項和公式化簡條件，求出，再求；(2)由等比數(shù)列定義列方程，結合一元二次方程有解的條件求的范圍.【小問1詳解】因為，所以，所以，又，所以，所以，所以，【小問2詳解】因為，，成等比數(shù)列，所以，，，由已知方程的判別式大于等于0，所以，所以對于任意的恒成立，所以對于任意的恒成立，當時，，當時，由，可得當時，，又所以21.如圖，已知橢圓．設A，B是橢圓上異于的兩點，且點在線段上，直線分別交直線于C，D兩點．（1）求點P到橢圓上點的距離的最大值；（2）求的最小值．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）設是橢圓上任意一點,再根據(jù)兩點間的距離公式求出，再根據(jù)二次函數(shù)的性質即可求出；（2）設直線與橢圓方程聯(lián)立可得，再將直線方程與的方程分別聯(lián)立，可解得點的坐標，再根據(jù)兩點間的距離公式求出，最后代入化簡可得，由柯西不等式即可求出最小值．【小問1詳解】設是橢圓上任意一點,,則，當且僅當時取等號，故的最大值是.【小問2詳解】設直線,直線方程與橢圓聯(lián)立,可得,設，所以，因為直線與直線交于,則,同理可得,.則，當且僅當時取等號，故的最小值為.【點睛】本題主要考查最值計算，第一問利用橢圓的參數(shù)方程以及二次函數(shù)的性質較好解決，第二問思路簡單，運算量較大，求最值的過程中還使用到柯西不等式求最值，對學生的綜合能力要求較高，屬于較難題．22.設函數(shù)．（1）求的單調區(qū)間；（2）已知，曲線上不同三點處的切線都經(jīng)過點．證明：（?。┤?，則；（ⅱ）若，則．（注：是自然對數(shù)的底數(shù)）【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）（?。┮娊馕?；（ⅱ）見解析.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，討論其符號后可得函數(shù)的單調性.（2）（ⅰ）由題設構造關于切點橫坐標的方程，根據(jù)方程有3個不同的解可證明不等式成立，（ⅱ），，則題設不等式可轉化為，結合零點滿足的方程進一步轉化為，利用導數(shù)可證該不等式成立.【小問1詳解】，當，；當，，故的減區(qū)間為，的增區(qū)間為.【小問2詳解】（?。┮驗檫^有三條不同的切線，設切點為，故，故方程有3個不同的根，該方程可整理為，設，則，當或時，；當時，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為有3個不同的零點，故且，故且，整理得到：且，此時，設，則，故為上的減函數(shù)，故，故.