北京市清華大學(xué)附中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析_第1頁(yè)
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北京市清華大學(xué)附中2024屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.用數(shù)學(xué)歸納法證明“能被13整除”的第二步中,當(dāng)時(shí)為了使用歸納假設(shè),對(duì)變形正確的是()A. B.C. D.2.對(duì)于平面上點(diǎn)和曲線,任取上一點(diǎn),若線段的長(zhǎng)度存在最小值,則稱該值為點(diǎn)到曲線的距離,記作,若曲線是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,則點(diǎn)集所表示的圖形的面積為()A. B. C. D.3.從5名男同學(xué),3名女同學(xué)中任選4名參加體能測(cè)試,則選到的4名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)的概率為()A. B. C. D.4.?dāng)?shù)列中,,(),那么()A.1 B.-2 C.3 D.-35.已知函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),則的取值范圍為()A. B. C. D.6.已知展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同,且,若,則展開式中常數(shù)項(xiàng)()A.32 B.24 C.4 D.87.已知函數(shù),,若在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),則的范圍是()A. B.C. D.8.若,則A.-70 B.28 C.-26 D.409.某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是,且各次射擊的結(jié)果互不影響.設(shè)隨機(jī)變量為該射手在次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù),若,,則和的值分別為()A.5, B.5, C.6, D.6,10.設(shè),則在下列區(qū)間中,使函數(shù)f(x)有零點(diǎn)的區(qū)間是()A.[0,1]B.[1,2]C.[-2,-1]D.[-1,0]11.設(shè)袋中有大小相同的80個(gè)紅球、20個(gè)白球,若從袋中任取10個(gè)球,則其中恰有6個(gè)紅球的概率為()A. B. C. D.12.閱讀如圖所示的程序框圖,則輸出的S等于()A.38 B.40 C.20 D.32二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖所示,AC與BD交于點(diǎn)E,AB∥CD,AC=3,AB=2CD=6,當(dāng)tanA=2時(shí),=_____.14.已知函數(shù),其中,若只有一個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是__________.15.已知互異復(fù)數(shù),集合,則__________.16.已知拋物線的焦點(diǎn)為,平行軸的直線與圓交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的上方),與交于點(diǎn),則周長(zhǎng)的取值范圍是____________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)(本小題滿分13分)已知函數(shù)。(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求曲線在處切線的斜率;(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;(Ⅲ)當(dāng)時(shí),求在區(qū)間上的最小值。18.(12分)已知二次函數(shù),且,是否存在常數(shù),使得不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立?并求出的值.19.(12分)[選修4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程]在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù),),以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)已知點(diǎn)是曲線上一點(diǎn),若點(diǎn)到曲線的最小距離為,求的值.20.(12分)2019年6月13日,三屆奧運(yùn)亞軍,羽壇傳奇,馬來(lái)西亞名將李宗偉宣布退役,當(dāng)天有大量網(wǎng)友關(guān)注此事件,某網(wǎng)上論壇從關(guān)注此事件跟帖中,隨機(jī)抽取了100名網(wǎng)友進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)計(jì),先分別統(tǒng)計(jì)他們?cè)诟械牧粞詶l數(shù),再把網(wǎng)友人數(shù)按留言條數(shù)分成6組;,得到如下圖所小的頻率分布直方圖;并將其中留言不低于40條的規(guī)定為“強(qiáng)烈關(guān)注”,否則為“一般關(guān)注”,對(duì)這100名網(wǎng)友進(jìn)一步統(tǒng)計(jì),得到部分?jǐn)?shù)據(jù)如下的列聯(lián)表.(1)在答題卡上補(bǔ)全2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù),并判斷能否有95%的把握認(rèn)為網(wǎng)友對(duì)此事件是否為“強(qiáng)烈關(guān)注”與性別有關(guān)?(2)該論壇欲在上述“強(qiáng)烈關(guān)注”的網(wǎng)友中按性別進(jìn)行分層抽樣,共抽取5人,并在此5人中隨機(jī)抽取兩名接受訪談,記女性訪談?wù)叩娜藬?shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.0.1500.1000.0500.0250.0100.0052.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式與數(shù)據(jù):,其中.21.(12分)已知曲線的極坐標(biāo)方程是,以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn),極軸為軸的正半軸,且取相等的單位長(zhǎng)度,建立平面直角坐標(biāo)系,直線的參數(shù)方程是(是參數(shù)),設(shè)點(diǎn).(Ⅰ)將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,將直線的參數(shù)方程化為普通方程;(Ⅱ)設(shè)直線與曲線相交于兩點(diǎn),求的值.22.(10分)如圖四棱錐中,底面是正方形,,,且,為中點(diǎn).(1)求證:平面;(2)求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】試題分析:假設(shè)當(dāng),能被13整除,當(dāng)應(yīng)化成形式,所以答案為A考點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法2、D【解題分析】

根據(jù)可畫出滿足題意的點(diǎn)所構(gòu)成的平面區(qū)域;分別求解區(qū)域各個(gè)構(gòu)成部分的面積,加和得到結(jié)果.【題目詳解】由定義可知,若曲線為邊長(zhǎng)為的等邊三角形,則滿足題意的點(diǎn)構(gòu)成如下圖所示的陰影區(qū)域其中,,,,,,又又陰影區(qū)域面積為:即點(diǎn)集所表示的圖形的面積為:本題正確選項(xiàng):【題目點(diǎn)撥】本題考查新定義運(yùn)算的問(wèn)題,關(guān)鍵是能夠根據(jù)定義,找到距離等邊三角形三邊和頂點(diǎn)的最小距離小于等于的點(diǎn)所構(gòu)成的區(qū)域,易錯(cuò)點(diǎn)是忽略三角形內(nèi)部的點(diǎn),造成區(qū)域缺失的情況.3、D【解題分析】

由題可知為古典概型,總的可能結(jié)果有種,滿足條件的方案有三類:一是一男三女,一是兩男兩女,另一類是三男一女;每類中都用分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算,再將三類組數(shù)相加,即可求得滿足條件的結(jié)果,代入古典概型概率計(jì)算公式即可得到概率.【題目詳解】根據(jù)題意,選4名同學(xué)總的可能結(jié)果有種.選到的4名同學(xué)中既有男同學(xué)又有女同學(xué)方案有三類:(1)一男三女,有種,(2)兩男兩女,有種.(3)三男一女,有種.共種結(jié)果.由古典概型概率計(jì)算公式,.故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查古典概型與排列組合的綜合問(wèn)題,利用排列組合的公式計(jì)算滿足條件的種類是解決本題的關(guān)鍵.4、A【解題分析】∵,∴,即,∴,∴,∴是以6為周期的周期數(shù)列.∵2019=336×6+3,∴.故選B.5、A【解題分析】分析:由函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),得,進(jìn)而分離參數(shù)得;構(gòu)造函數(shù),研究函數(shù)的值域特征,進(jìn)而得到的單調(diào)性,最后求得的取值范圍。詳解:因?yàn)樵趨^(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù)所以,而在區(qū)間上所以,即令,則分子分母同時(shí)除以,得令,則在區(qū)間上為增函數(shù)所以所以在區(qū)間上恒成立即在區(qū)間上恒成立所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)所以所以選A點(diǎn)睛:本題考查了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合應(yīng)用,分離參數(shù)、構(gòu)造函數(shù)法在解決單調(diào)性、最值問(wèn)題中的應(yīng)用,綜合性強(qiáng),對(duì)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力要求較高,屬于難題。6、B【解題分析】

先由二項(xiàng)展開式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同,求出;再由求出,由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式,即可求出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)檎归_式中第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同,所以,因此,又,所以,令,則,又,所以,因此,所以展開式的通項(xiàng)公式為,由得,因此展開式中常數(shù)項(xiàng)為.故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查求指定項(xiàng)的系數(shù),熟記二項(xiàng)式定理即可,屬于常考題型.7、B【解題分析】

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在有且僅有一個(gè)根,考慮函數(shù),的單調(diào)性即可得解.【題目詳解】由題,所以不是函數(shù)的零點(diǎn);當(dāng),有且只有一個(gè)零點(diǎn),即在有且僅有一個(gè)根,即在有且僅有一個(gè)根,考慮函數(shù),由得:,由得:所以函數(shù)在單調(diào)遞減,單調(diào)遞增,,,,,要使在有且僅有一個(gè)根,即或則的范圍是故選:B【題目點(diǎn)撥】此題考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍,關(guān)鍵在于等價(jià)轉(zhuǎn)化,利用函數(shù)單調(diào)性解決問(wèn)題,常用分離參數(shù)處理問(wèn)題.8、C【解題分析】

令t=x﹣3,把等式化為關(guān)于t的展開式,再求展開式中t3的系數(shù).【題目詳解】令t=x﹣3,則(x﹣2)5﹣3x4=a0+a1(x﹣3)+a2(x﹣3)2+a3(x﹣3)3+a4(x﹣3)4+a5(x﹣3)5,可化為(t+1)5﹣3(t+3)4=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5,則a3==10﹣36=﹣1.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,指定項(xiàng)的系數(shù),屬于基礎(chǔ)題.9、B【解題分析】

通過(guò)二項(xiàng)分布公式及可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意,,因此,,解得,故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二項(xiàng)分布的相關(guān)公式,難度不大.10、D【解題分析】試題分析:函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有零點(diǎn),需要f(x)在此區(qū)間上的圖像連續(xù)且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào),即f(a)f(b)≤0,把選擇項(xiàng)中的各端點(diǎn)值代入驗(yàn)證可得答案D.考點(diǎn):零點(diǎn)存在定理11、D【解題分析】本題是一個(gè)古典概型,∵袋中有80個(gè)紅球20個(gè)白球,若從袋中任取10個(gè)球共有種不同取法,而滿足條件的事件是其中恰有6個(gè)紅球,共有種取法,由古典概型公式得到P=,本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛:有關(guān)古典概型的概率問(wèn)題,關(guān)鍵是正確求出基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù).(1)基本事件總數(shù)較少時(shí),用列舉法把所有基本事件一一列出時(shí),要做到不重復(fù)、不遺漏,可借助“樹狀圖”列舉.(2)注意區(qū)分排列與組合,以及計(jì)數(shù)原理的正確使用.12、B【解題分析】

模擬程序,依次寫出各步的結(jié)果,即可得到所求輸出值.【題目詳解】程序的起始為第一次變?yōu)榈诙巫優(yōu)榈谌巫優(yōu)榈谒拇巫優(yōu)闈M足條件可得故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu),難度較易.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、12【解題分析】分析:根據(jù)余弦定理求出,再由余弦定理可得,根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式求解即可.詳解:由,可知,在中,,,,故答案為.點(diǎn)睛:本題主要考查平面向量數(shù)量積公式,余弦定理及特殊角的三角函數(shù),屬于簡(jiǎn)單題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式:(1);(2),同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外,在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí),還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值,以便在解題中直接應(yīng)用.14、【解題分析】

把表示成分段函數(shù),將一個(gè)零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題,作出圖形,從而得到答案.【題目詳解】由題意,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),;而的只有一個(gè)零點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為與直線只有一個(gè)交點(diǎn),作出圖形,,此時(shí),斜率越來(lái)越小時(shí),無(wú)交點(diǎn),斜率越來(lái)越大時(shí),有一個(gè)交點(diǎn),故的取值范圍是.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查分段函數(shù)的圖像,零點(diǎn)問(wèn)題,將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成交點(diǎn)問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵,意在考查學(xué)生的作圖能力,分析能力,難度中等.15、【解題分析】

根據(jù)集合相等可得或,可解出.【題目詳解】,①或②.,由①得(舍),由②兩邊相減得,,故答案為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了集合相等,集合中元素的互異性,復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于中檔題.16、【解題分析】

過(guò)點(diǎn)作垂直與拋物線的準(zhǔn)線,垂足為點(diǎn),由拋物線的定義得,從而得出的周長(zhǎng)為,考查直線與圓相切和過(guò)圓心,得出、、不共線時(shí)的范圍,進(jìn)而得出周長(zhǎng)的取值范圍?!绢}目詳解】如下圖所示:拋物線的焦點(diǎn),準(zhǔn)線為,過(guò)點(diǎn)作,垂足為點(diǎn),由拋物線的定義得,圓的圓心為點(diǎn),半徑長(zhǎng)為,則的周長(zhǎng),當(dāng)直線與圓相切時(shí),則點(diǎn)、重合,此時(shí),;當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),則點(diǎn)、、三點(diǎn)共線,則。由于、、不能共線,則,所以,,即,因此,的周長(zhǎng)的取值范圍是,故答案為:?!绢}目點(diǎn)撥】本題考查拋物線的定義,考查三角形周長(zhǎng)的取值范圍,在處理直線與拋物線的綜合問(wèn)題時(shí),若問(wèn)題中出現(xiàn)焦點(diǎn),一般要將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與該點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離利用定義轉(zhuǎn)化,利用共線求最值,有時(shí)也要注意利用臨界位置得出取值范圍,考查邏輯推理能力與運(yùn)算求解能力,屬于難題。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)(Ⅱ)當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為(Ⅲ)當(dāng)時(shí),在區(qū)間上的最小值為,當(dāng),在區(qū)間上的最小值為【解題分析】試題分析:(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)幾何意義求切線斜率:當(dāng)時(shí),,故曲線在處切線的斜率為(Ⅱ)因?yàn)椋园捶诸愑懻摚寒?dāng)時(shí),,遞減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),在區(qū)間上,,在區(qū)間上,,單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)得到的結(jié)論,當(dāng),即時(shí),在區(qū)間上的最小值為,;當(dāng),即時(shí),在區(qū)間上的最小值為,試題解析:解:(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,2分故曲線在處切線的斜率為3分(Ⅱ)。4分①當(dāng)時(shí),由于,故。所以,的單調(diào)遞減區(qū)間為。5分②當(dāng)時(shí),由,得。在區(qū)間上,,在區(qū)間上,。所以,函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為。7分綜上,當(dāng)時(shí),的單調(diào)遞減區(qū)間為;當(dāng)時(shí),函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為。8分(Ⅲ)根據(jù)(Ⅱ)得到的結(jié)論,當(dāng),即時(shí),在區(qū)間上的最小值為,。10分當(dāng),即時(shí),在區(qū)間上的最小值為,。12分綜上,當(dāng)時(shí),在區(qū)間上的最小值為,當(dāng),在區(qū)間上的最小值為。13分考點(diǎn):利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率,利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間,利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值18、【解題分析】

由,令可得,結(jié)合,又利用恒成立可得,從而可得結(jié)果.【題目詳解】存在常數(shù)使恒成立,因?yàn)?,所以,即,?0,所以,代人恒成立,得恒成立,得.故,.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查二次函數(shù)的解析式以及一元二次不等式恒成立問(wèn)題,屬于難題.一元二次不等式恒成立問(wèn)題主要方法:(1)若實(shí)數(shù)集上恒成立,考慮判別式小于零即可;(2)若在給定區(qū)間上恒成立,則考慮運(yùn)用“分離參數(shù)法”轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題.19、(1);.(2)或.【解題分析】試題分析:(1)消去參數(shù)得到的普通方程為.利用可以把的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程.(2)把的直角方程轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式算出距離為,利用得到.因?yàn)橹本€與橢圓是相離的,所以或,分類討論就可以得到相應(yīng)的值.解析:(1)由曲線的參數(shù)方程,消去參數(shù),可得的普通方程為:.由曲線的極坐標(biāo)方程得,∴曲線的直角坐標(biāo)方程為.(2)設(shè)曲線上任意一點(diǎn)為,,則點(diǎn)到曲線的距離為.∵,∴,,當(dāng)時(shí),,即;當(dāng)時(shí),,即.∴或.點(diǎn)睛:一般地,如果圓錐曲線上的動(dòng)點(diǎn)到直線的距離有最小值,那么這條直線和圓錐曲線的位置關(guān)系式相離的.20、(1)列聯(lián)表見(jiàn)解析,沒(méi)有的把握認(rèn)為網(wǎng)友對(duì)此事件是否為“強(qiáng)烈關(guān)注”與性別有關(guān)(2)分布列見(jiàn)解析,數(shù)學(xué)期望【解題分析】

1根據(jù)頻率分布直方圖中的頻率,計(jì)算強(qiáng)烈關(guān)注的頻率進(jìn)而得到強(qiáng)烈關(guān)注的人數(shù),結(jié)合表中的數(shù)據(jù)即可得到其余數(shù)據(jù),補(bǔ)全列聯(lián)表,根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算的值,結(jié)合臨界值表中的數(shù)據(jù)判斷即可;2的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出的分布列和數(shù)學(xué)期望.【題目詳解】1根據(jù)頻率分布直方圖得,網(wǎng)友強(qiáng)烈關(guān)注的頻率為,所以強(qiáng)烈關(guān)注的人數(shù)為,因?yàn)閺?qiáng)烈關(guān)注的女行有10人,所以強(qiáng)烈關(guān)注的男性有15人,所以一般關(guān)注的男性有人,一般關(guān)注的女性有人,所以列聯(lián)表如下:一般關(guān)注強(qiáng)烈關(guān)注合計(jì)男301545女451055合計(jì)7525100由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可得:.所以沒(méi)有的把握認(rèn)為網(wǎng)友對(duì)此事件是否為“強(qiáng)烈關(guān)注”與性別有關(guān).2論壇欲在上述“強(qiáng)烈關(guān)注的網(wǎng)友中按性別進(jìn)行分層抽樣,共抽取5人,則抽中女性網(wǎng)友:人,抽中男性網(wǎng)友:人,在此5人中隨機(jī)抽取兩名接受訪談,記女性訪談?wù)叩娜藬?shù)為,則的可能取值為0,1,2,,,,的分布列為:

0

12

P

數(shù)學(xué)期望.【題目點(diǎn)撥】本題考查

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