2024屆甘肅省天水市甘谷縣數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2024屆甘肅省天水市甘谷縣數(shù)學(xué)高二下期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知正三棱錐的外接球的半徑為，且滿(mǎn)足則正三棱錐的體積為()A． B． C． D．2．設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)且P(X<1)＝，P(X>2)＝p，則P(0<X<1)的值為()A．p B．1－p C．1－2p D．－p3．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．函數(shù)的定義域（）A． B．C． D．5．已知直線l過(guò)點(diǎn)P(1,0,－1)，平行于向量，平面過(guò)直線l與點(diǎn)M(1,2,3)，則平面的法向量不可能是（）A．(1,－4,2) B． C． D．(0,－1,1)6．命題“，使”的否定是（）A．，使 B．，使C．，使 D．，使7．已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則（）．A． B． C． D．8．如果隨機(jī)變量，則等于（）（注：）A．0.210 B．0.0228 C．0.0456 D．0.02159．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+?+n2=n4A．k2+1C．k2+110．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，是偶函數(shù)，則（）A． B． C． D．11．的展開(kāi)式中的系數(shù)是A．－20 B．－5 C．5 D．2012．若，滿(mǎn)足條件，則的最小值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為4，且在雙曲線上到的距離為2的點(diǎn)有且僅有1個(gè)，則這個(gè)點(diǎn)到雙曲線的左焦點(diǎn)的距離為_(kāi)_____.14．若復(fù)數(shù)z=(a+i)2是純虛數(shù)(i是虛數(shù)單位)，a為實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為15．觀察等式：，，.照此規(guī)律，對(duì)于一般的角，有等式.16．某校高二成立3個(gè)社團(tuán)，有4名同學(xué)，每人只選一個(gè)社團(tuán)，恰有1個(gè)社團(tuán)沒(méi)有同學(xué)選，共有種不同參加方案（用數(shù)字作答）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）足球是世界普及率最高的運(yùn)動(dòng)，我國(guó)大力發(fā)展校園足球.為了解本地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r，社會(huì)調(diào)查小組得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：年份x20142015201620172018足球特色學(xué)校y（百個(gè)）0.300.601.001.401.70（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算y與x的相關(guān)系數(shù)r，并說(shuō)明y與x的線性相關(guān)性強(qiáng)弱.（已知：，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性很強(qiáng)；，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性一般；，則認(rèn)為y與x線性相關(guān)性較）：（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)A地區(qū)2020年足球特色學(xué)校的個(gè)數(shù)（精確到個(gè)）.參考公式和數(shù)據(jù)：，，.18．（12分）已知函數(shù)f(x)＝x3(a＞0，且a≠1)．（1）討論f(x)的奇偶性；（2）求a的取值范圍，使f(x)＞0在定義域上恒成立．19．（12分）已知平面直角坐標(biāo)系xOy，直線l過(guò)點(diǎn)P0,3，且傾斜角為α，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為（1）求直線l的參數(shù)方程和圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線l與圓C交于M、N兩點(diǎn)，若PM-PN=2，求直線20．（12分）如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1，(1)若B1C=1，求直線AB(2)在(1)的條件下，求二面角A1(3)若B1C=2，CG⊥平面A1ABB1，G為垂足，令CG=pCA+qCB+rCB21．（12分）如圖，三棱錐中，，，，．（1）求證：；（2）求二面角的余弦值．22．（10分）在四棱錐中，，是的中點(diǎn)，面面（1）證明：面；（2）若，求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

根據(jù)判斷出為等邊三角形的中心，由此求得正三棱錐的底面積和高，進(jìn)而求得正三棱錐的體積.【題目詳解】由于三棱錐是正三棱錐，頂點(diǎn)在底面的射影是底面中心.由可知，為等邊三角形的中心，由于正三棱錐的外接球的半徑為，故由正弦定理得，且正三棱錐的高為球的半徑，故正三棱錐的體積為.所以本小題選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查正三棱錐的幾何性質(zhì)，考查向量加法運(yùn)算，考查幾何體外接球有關(guān)問(wèn)題的求解，屬于中檔題.2、D【解題分析】

由，得正態(tài)分布概率密度曲線關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又由，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，可得，進(jìn)而可得，即可求解．【題目詳解】由隨機(jī)變量，可知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，其中是圖象的對(duì)稱(chēng)軸，又由，所以，又因?yàn)?，根?jù)正態(tài)分布概率密度曲線的對(duì)稱(chēng)性，可得，所以，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了正態(tài)分布曲線性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，其中熟記正態(tài)分布概率密度曲線的對(duì)稱(chēng)性，合理推算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3、A【解題分析】

令，由可知在上單調(diào)遞增，從而可得在上恒成立；通過(guò)分離變量可得，令，利用導(dǎo)數(shù)可求得，從而可得，解不等式求得結(jié)果.【題目詳解】由且得：令，可知在上單調(diào)遞增在上恒成立，即：令，則時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，解得：本題正確選項(xiàng)：【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)范圍的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠?qū)⒁阎P(guān)系式變形為符合單調(diào)性的形式，從而通過(guò)構(gòu)造函數(shù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)大于等于零恒成立的問(wèn)題；解決恒成立問(wèn)題常用的方法為分離變量，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)最值之間的大小關(guān)系比較的問(wèn)題，屬于?？碱}型.4、A【解題分析】

解不等式即得函數(shù)的定義域.【題目詳解】由題得所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查函數(shù)的定義域的求法，考查對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的定義域，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.5、D【解題分析】試題分析：由題意可知，所研究平面的法向量垂直于向量，和向量，而=（1，2，3）-（1，0，-1）=（0，2，4），選項(xiàng)A，（2，1，1）（1，-4，2）=0，（0，2，4）（1，-4，2）=0滿(mǎn)足垂直，故正確；選項(xiàng)B，（2，1，1）（，-1，）=0，（0，2，4）（，-1，）=0滿(mǎn)足垂直，故正確；選項(xiàng)C，（2，1，1）（-，1，?）=0，（0，2，4）（-，1，?）=0滿(mǎn)足垂直，故正確；選項(xiàng)D，（2，1，1）（0，-1，1）=0，但（0，2，4）（0，-1，1）≠0，故錯(cuò)誤．考點(diǎn)：平面的法向量6、A【解題分析】

根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定，可直接得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)樘胤Q(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題，所以命題“，使”的否定是“，使”.故選A【題目點(diǎn)撥】本題主要考查含有一個(gè)量詞的命題的否定，只需改量詞與結(jié)論即可，屬于基礎(chǔ)題型.7、D【解題分析】表示做了次獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功概率為，則．選．8、B【解題分析】

根據(jù)正態(tài)分布列的對(duì)稱(chēng)性可得：，進(jìn)而得出．【題目詳解】1．故選：．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正態(tài)分布列的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

首先分析題目求用數(shù)學(xué)歸納法證明1+1+3+…+n1=n4+n22時(shí)，當(dāng)n=k+【題目詳解】當(dāng)n=k時(shí)，等式左端=1+1+…+k1，當(dāng)n=k+1時(shí)，等式左端=1+1+…+k1+k1+1+k1+1+…+（k+1）1，增加了項(xiàng)（k1+1）+（k1+1）+（k1+3）+…+（k+1）1．故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法，屬于中檔題./10、D【解題分析】

根據(jù)圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)列方程，解方程求得的值.利用列方程，解方程求得的值，由此求得的值.【題目詳解】由于圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，也即關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，故，即，而，故，化簡(jiǎn)得，故.由于是偶函數(shù)，故，即，故.所以，故選D.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查已知函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、函數(shù)的奇偶性求解析式，屬于中檔題.11、A【解題分析】

利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求解所求項(xiàng)的系數(shù)即可【題目詳解】由二項(xiàng)式定理可知：；要求的展開(kāi)式中的系數(shù)，所以令，則；所以的展開(kāi)式中的系數(shù)是是-20；故答案選A【題目點(diǎn)撥】本題考查二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。12、A【解題分析】作出約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域（陰影部分），由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，平移直線y=2x﹣z，由圖象可知當(dāng)直線y=2x﹣z，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線y=2x﹣z的截距最大，此時(shí)z最?。山獾肁（0，2）．此時(shí)z的最大值為z=2×0﹣2=﹣2，故選A．點(diǎn)睛：利用線性規(guī)劃求最值的步驟：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域．(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形．常見(jiàn)的類(lèi)型有截距型（型）、斜率型（型）和距離型（型）．(3)確定最優(yōu)解：根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的類(lèi)型，并結(jié)合可行域確定最優(yōu)解．(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解題分析】

雙曲線：的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為4,可得的值，由條件以為圓心，2為半徑的圓與雙曲線僅有1個(gè)交點(diǎn).由雙曲線和該圓都是關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的，所以這個(gè)點(diǎn)只能是雙曲線的右頂點(diǎn).即，根據(jù)可求得答案.【題目詳解】由題意可得雙曲線的一條漸近線方程為，由焦點(diǎn)到漸近線的距離為4，即，即.雙曲線上到的距離為2的點(diǎn)有且僅有1個(gè),即以為圓心，2為半徑的圓與雙曲線僅有1個(gè)交點(diǎn).由雙曲線和該圓都是關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的，所以這個(gè)點(diǎn)只能是雙曲線的右頂點(diǎn).所以，又即，即，所以.所以雙曲線的右頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為.所以這個(gè)點(diǎn)到雙曲線的左焦點(diǎn)的距離為8.故答案為：8【題目點(diǎn)撥】本題考查雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.14、2【解題分析】分析：先化z為代數(shù)形式，再根據(jù)純虛數(shù)概念得a，最后根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義求結(jié)果.詳解：因?yàn)閦=(a+i)2所以|z|=點(diǎn)睛：首先對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.d∈R).其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)a+bi(a,b∈R)的實(shí)部為a、虛部為b、模為a2+b215、【解題分析】試題分析：，，，所以.考點(diǎn)：歸納推理.16、42【解題分析】試題分析：若恰有1個(gè)社團(tuán)沒(méi)人選，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為4人選2個(gè)社團(tuán)，且每人只選擇一個(gè)社團(tuán)，可轉(zhuǎn)化為分組與分配問(wèn)題，即?？键c(diǎn)：排列組合的綜合應(yīng)用。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），y與x線性相關(guān)性很強(qiáng)（2），244【解題分析】

（1）根據(jù)題意計(jì)算出r，再比較即得解；（2）根據(jù)已知求出線性回歸方程，再令x=2020即得解.【題目詳解】（1）由題得所以，y與x線性相關(guān)性很強(qiáng).（2），，關(guān)于的線性回歸方程是.當(dāng)時(shí)，，即該地區(qū)2020年足球特色學(xué)校有244個(gè).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查相關(guān)系數(shù)的應(yīng)用，考查線性回歸方程的求法和應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.18、（1）函數(shù)f(x)是偶函數(shù)（2）∈(1，＋∞)【解題分析】

（1）先求函數(shù)f(x)的定義域，再判斷f(－x)與f(x)是否相等即可得到結(jié)果；（2）由f(x)是偶函數(shù)可知只需討論x＞0時(shí)的情況，則有x3＞0，從而求得結(jié)果.【題目詳解】（1）由于ax－1≠0，則ax≠1，得x≠0，∴函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠0}．對(duì)于定義域內(nèi)任意x，有f(－x)＝(－x)3＝(－x)3＝(－x)3＝x3＝f(x)，∴函數(shù)f(x)是偶函數(shù)．（2）由（1）知f(x)為偶函數(shù)，∴只需討論x＞0時(shí)的情況，當(dāng)x＞0時(shí)，要使f(x)＞0，則x3＞0，即＋＞0，即＞0，則ax＞1.又∵x＞0，∴a＞1.∴當(dāng)a∈(1，＋∞)時(shí)，f(x)＞0.【題目點(diǎn)撥】本題考查判斷函數(shù)奇偶性的方法和恒成立問(wèn)題，判斷函數(shù)的奇偶性先求定義域，再判斷f(－x)與f(x)是否相等或者互為相反數(shù)，相等即為偶函數(shù)，互為相反數(shù)則為奇函數(shù)，屬中檔題.19、（1）直線l的參數(shù)方程為x=tcosαy=3+tsinα（t為參數(shù)），圓C【解題分析】

（1）根據(jù)直線參數(shù)方程的幾何意義得出參數(shù)方程，根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系化簡(jiǎn)得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）把直線l的參數(shù)方程代入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)參數(shù)的幾何意義及根與系數(shù)的關(guān)系得出α．【題目詳解】（1）因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)P(0,3)，且傾斜角為所以直線l的參數(shù)方程為x=tcosαy=3+tsinα因?yàn)閳AC的極坐標(biāo)方程為ρ2所以ρ2所以圓C的普通方程為：x2圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x-1)2（2）直線l的參數(shù)方程為x=tcosαy=3+tsinα，代入圓C整理得t2設(shè)M、N兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則△>0恒成立，t1所以|PM|-|PN|=t1因?yàn)?≤α<π，所以α=π4或【題目點(diǎn)撥】本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．20、（1）π6；（2）3π4；（3）q=49，【解題分析】

(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)平面A1ACC1的法向量為n=(x,y，z)，則n(2)在(1)的條件下，平面A1ACC1的法向量為n=(1,0，1)，取平面ABC的法向量m=(0,0，(3)作CM⊥AB，M為垂足.由B1C⊥平面ABC.可得B1C⊥AB，AB⊥平面MCB作CG⊥MB1，垂足為G，則CG⊥平面ABB1.利用三角形面積計(jì)算公式、勾股定理及其CG=pCA【題目詳解】解：(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，C(0,0，0)，B1(0,0，1)，A(0,-1,0)，CA=(0,-1,0)，CC1=(-1,0，設(shè)平面A1ACC1的法向量為n=(x,y∴-y=-x+z=0，取x=1，則n=(1,0，1)cos<∴直線AB1與平面A1(2)在(1)的條件下，平面A1ACC1的法向量為取平面ABC的法向量m=(0,0，1)則cos<由圖可知：二面角A1∴二面角A1-AC-B的平面角為(3)作CM⊥AB，M為垂足．由B1C⊥平面又B1∴AB⊥平面MCB∴平面B1CM⊥平面作CG⊥MB1，垂足為G，則CG⊥平面在Rt△MCB1，CM=AC×CBB1B1∴B可得CG=CBCG=pCA+qCB+rCB∴(49,-49∴q=49，p=4【題目點(diǎn)撥】本題考查了空間位置關(guān)系、空間角、法向量的應(yīng)用、數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．21、(1)見(jiàn)證明；(2)【解題分析】

（1）取AB的中點(diǎn)D，連結(jié)PD，CD．推導(dǎo)出AB⊥PD，AB⊥CD，從而AB⊥平面PCD，由此能證明AB⊥PC．（2）作PO⊥CD交CD于O，作PE⊥BC，連結(jié)OE．推導(dǎo)出PO⊥AB，從而PO⊥平面ABC，由三垂線定理得OE⊥BC，從而∠PEO是所求二面角P﹣BC﹣A的平面角，由此能求出二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【題目詳解】（1）取的中點(diǎn)，連結(jié)，.因?yàn)?，，所以，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?（2）作交于，又由PO⊥AB，所以PO⊥平面ABC，作，連結(jié)，根據(jù)三垂線定理，可得，所以是所求二面角的平面角，求得，，在直角中，則，所以．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了線線垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．22、（1）詳見(jiàn)解析；（2）.【解題分析】試題分析：（Ⅰ）取PB的中點(diǎn)F，連接AF，EF，由三角形的中位線定理可得四邊形ADEF是平行四邊形