北京市東城區(qū)北京第二十二中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

北京市東城區(qū)北京第二十二中學(xué)2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上，不同的種植方法共有()A．12種 B．24種 C．36種 D．48種2．有位同學(xué)按照身高由低到高站成一列，現(xiàn)在需要在該隊(duì)列中插人另外位同學(xué)，但是不能改變?cè)瓉淼奈煌瑢W(xué)的順序，則所有排列的種數(shù)為（）A． B． C． D．3．若函數(shù)的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．4．實(shí)驗(yàn)女排和育才女排兩隊(duì)進(jìn)行比賽，在一局比賽中實(shí)驗(yàn)女排獲勝的概率是，沒有平局.若采用三局兩勝制，即先勝兩局者獲勝且比賽結(jié)束，則實(shí)驗(yàn)女排獲勝的概率等于（）A． B． C． D．5．已知雙曲線上有一個(gè)點(diǎn)A，它關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為B，雙曲線的右焦點(diǎn)為F，滿足，且，則雙曲線的離心率e的值是A． B． C．2 D．6．已知全集，集合，則（）A． B． C． D．7．下列關(guān)于正態(tài)分布的命題：①正態(tài)曲線關(guān)于軸對(duì)稱；②當(dāng)一定時(shí)，越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線越“瘦高”；③設(shè)隨機(jī)變量，則的值等于2；④當(dāng)一定時(shí)，正態(tài)曲線的位置由確定，隨著的變化曲線沿軸平移.其中正確的是（）A．①② B．③④ C．②④ D．①④8．某班制定了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方案：星期一和星期日分別解決個(gè)數(shù)學(xué)問題，且從星期二開始，每天所解決問題的個(gè)數(shù)與前一天相比，要么“多一個(gè)”要么“持平”要么“少一個(gè)”，則在一周中每天所解決問題個(gè)數(shù)的不同方案共有（）A．種 B．種 C．種 D．種9．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且，則（）A．6 B．7 C．8 D．910．命題“，使是”的否定是（）A．，使得 B．，使得.C．，使得 D．，使得11．定義在上的函數(shù)，單調(diào)遞增，，若對(duì)任意，存在，使得成立，則稱是在上的“追逐函數(shù)”.若，則下列四個(gè)命題：①是在上的“追逐函數(shù)”；②若是在上的“追逐函數(shù)”，則；③是在上的“追逐函數(shù)”；④當(dāng)時(shí)，存在，使得是在上的“追逐函數(shù)”.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③12．已知數(shù)列，則是這個(gè)數(shù)列的（）A．第項(xiàng) B．第項(xiàng) C．第項(xiàng) D．第項(xiàng)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某同學(xué)在研究函數(shù)時(shí)，給出下列結(jié)論：①對(duì)任意成立；②函數(shù)的值域是；③若，則一定有；④函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)．則正確結(jié)論的序號(hào)是_______.14．已知，且，則的最小值是______________．15．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球單打比賽，已知每一局甲勝的概率為．比賽采用“五局三勝（即有一方先勝3局即獲勝，比賽結(jié)束）制”，則甲獲勝的概率是____．16．隨機(jī)變量，變量，是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)．（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（Ⅱ）若直線與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，在y軸上是否存在點(diǎn)D，使直線AD與BD關(guān)于y軸對(duì)稱？若存在，求出點(diǎn)D坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．18．（12分）已知關(guān)于的不等式的解集為（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）求的最大值.19．（12分）已知函數(shù).(1)解關(guān)于的不等式；(2)設(shè)，，試比較與的大小.20．（12分）某地為了調(diào)查市民對(duì)“一帶一路”倡議的了解程度，隨機(jī)選取了100名年齡在20歲至60歲的市民進(jìn)行問卷調(diào)查，并通過問卷的分?jǐn)?shù)把市民劃分為了解“一帶一路”倡議與不了解“一帶一路”倡議兩類.得到下表：年齡20,3030,4040,5050,60調(diào)查人數(shù)/名30302515了解“一帶一路”倡議/名1228155（I）完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為以40歲為分界點(diǎn)對(duì)“一帶一路”倡議的了解有差異（結(jié)果精確到0.001）；年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)合計(jì)了解不了解合計(jì)（Ⅱ）以頻率估計(jì)概率，若在該地選出4名市民（年齡在20歲至60歲），記4名市民中了解“一帶一路”倡議的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列，數(shù)學(xué)期望和方差.附：P0.1500.1000.0500.0250.010k2.0722.7063.8415.0246.635K2=n21．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的最大值；（Ⅱ）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知橢圓：，過點(diǎn)作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線，，設(shè)與橢圓交于、兩點(diǎn)，與橢圓交于，兩點(diǎn).（1）若為線段的中點(diǎn)，求直線的方程；（2）記，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】

由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【題目詳解】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①、先在4種蔬菜品種中選出3種，有種取法，②、將選出的3種蔬菜對(duì)應(yīng)3塊不同土質(zhì)的土地，有種情況，則不同的種植方法有種；故選：B．【題目點(diǎn)撥】本題考查計(jì)數(shù)原理的運(yùn)用，注意本題問題要先抽取，再排列．2、D【解題分析】

將問題轉(zhuǎn)化為將這個(gè)同學(xué)中新插入的個(gè)同學(xué)重新排序，再利用排列數(shù)的定義可得出答案．【題目詳解】根據(jù)題意，原來有位同學(xué)，現(xiàn)在有插入位同學(xué)，一共有位同學(xué)，原問題可以轉(zhuǎn)化為在個(gè)位置中，任選個(gè)安排后來插入位同學(xué)，有種情況，即有種排列．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查排列問題，解題的關(guān)鍵就是將問題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，考查轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，屬于中等題．3、D【解題分析】分析：設(shè)若函數(shù)的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即有解，利用導(dǎo)數(shù)法，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍.詳解：由的反函數(shù)為，函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，則函數(shù)與函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，即有解，即，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，可得求得的最小值為1.實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：D.點(diǎn)睛：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)圖象的交點(diǎn)與方程根的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，難度中檔.4、B【解題分析】試題分析：實(shí)驗(yàn)女排要獲勝必須贏得其中兩局，可以是1,2局，也可以是1,3局，也可以是2,3局.故獲勝的概率為:,故選B.考點(diǎn)：獨(dú)立事件概率計(jì)算.5、B【解題分析】

設(shè)是雙曲線的左焦點(diǎn)，由題可得是一個(gè)直角三角形，由，可用表示出，，利用雙曲線定義列方程即可求解．【題目詳解】依據(jù)題意作圖，如下：其中是雙曲線的左焦點(diǎn)，因?yàn)?，所以，由雙曲線的對(duì)稱性可得：四邊形是一個(gè)矩形，且，在中，，,,由雙曲線定義得：，即：，整理得：，故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)及雙曲線定義，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．6、D【解題分析】

首先解出集合，，由集合基本運(yùn)算的定義依次對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判定?！绢}目詳解】由題可得，；所以，則選項(xiàng)正確；故答案選D【題目點(diǎn)撥】本題考查一元二次方程、絕對(duì)值不等式的解法以及集合間基本運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題。7、C【解題分析】分析：根據(jù)正態(tài)分布的定義，及正態(tài)分布與各參數(shù)的關(guān)系結(jié)合正態(tài)曲線的對(duì)稱性，逐一分析四個(gè)命題的真假，可得答案．詳解：①正態(tài)曲線關(guān)于軸對(duì)稱，故①不正確，②當(dāng)一定時(shí)，越大，正態(tài)曲線越“矮胖”，越小，正態(tài)曲線越“瘦高”；正確；③設(shè)隨機(jī)變量，則的值等于1；故③不正確；④當(dāng)一定時(shí)，正態(tài)曲線的位置由確定，隨著的變化曲線沿軸平移.正確.故選C.點(diǎn)睛：本題以命題的真假判斷為載體考查了正態(tài)分布及正態(tài)曲線，熟練掌握正態(tài)分布的相關(guān)概念是解答的關(guān)鍵．8、A【解題分析】分析：因?yàn)樾瞧谝缓托瞧谌辗謩e解決4個(gè)數(shù)學(xué)問題，所以從這周的第二天開始后六天中“多一個(gè)”或“少一個(gè)”的天數(shù)必須相同，都是0、1、2、3天，共四種情況，利用組合知識(shí)可得結(jié)論．詳解：因?yàn)樾瞧谝缓托瞧谌辗謩e解決4個(gè)數(shù)學(xué)問題，所以從這周的第二天開始后六天中“多一個(gè)”或“少一個(gè)”的天數(shù)必須相同，所以后面六天中解決問題個(gè)數(shù)“多一個(gè)”或“少一個(gè)”的天數(shù)可能是0、1、2、3天，共四種情況，所以共有=141種．故選：A．點(diǎn)睛：本題考查組合知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定中間“多一個(gè)”或“少一個(gè)”的天數(shù)必須相同是關(guān)鍵．9、D【解題分析】分析：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由且，可得，，解出即可得出.詳解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由且，，，解得，則.故選：D.點(diǎn)睛：(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題．(2)數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法．10、D【解題分析】

根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系，可得命題“，使是”的否定為“，使得”故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了含有一個(gè)量詞的否定，其中解答中熟記全稱命題與特稱命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】

由題意，分析每一個(gè)選項(xiàng)，首先判斷單調(diào)性，以及，再假設(shè)是“追逐函數(shù)”，利用題目已知的性質(zhì)，看是否滿足，然后確定答案.【題目詳解】對(duì)于①，可得，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即，此時(shí)當(dāng)k=100時(shí)，不存在，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若是在上的“追逐函數(shù)”，此時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，，在是遞增函數(shù)，若是“追逐函數(shù)”則，即，設(shè)函數(shù)即，則存在，所以②正確；對(duì)于③，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即，當(dāng)k=4時(shí)，就不存在，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)t=m=1時(shí)，就成立，驗(yàn)證如下：，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即此時(shí)取即，故存在存在，所以④正確；故選B【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了對(duì)新定義的理解、應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)等，易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)新定義的理解不到位而不能將其轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的關(guān)系，實(shí)際上對(duì)新定義問題的求解通常是將其與已經(jīng)學(xué)過的知識(shí)相結(jié)合或?qū)⑵浔硎鲞M(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，從而更加直觀，屬于難題.12、B【解題分析】解：數(shù)列即：，據(jù)此可得數(shù)列的通項(xiàng)公式為：，由解得：，即是這個(gè)數(shù)列的第項(xiàng).本題選擇B選項(xiàng).二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①②③【解題分析】

由奇偶性判斷①，結(jié)合①對(duì)，，三種情況討論求值域，判斷②，由單調(diào)性判斷③，由③可知的圖像與函數(shù)的圖像只有兩個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而判斷④，從而得出答案?！绢}目詳解】①，即，故正確；②當(dāng)時(shí)，，由①可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域是，正確；③當(dāng)時(shí)，，由反比例函數(shù)的單調(diào)性可知，在上是增函數(shù)，由①可知在上也是增函數(shù)，所以若，則一定有，正確；④由③可知的圖像與函數(shù)的圖像只有兩個(gè)交點(diǎn)，故錯(cuò)誤。綜上正確結(jié)論的序號(hào)是①②③【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的基本性質(zhì)，包括奇偶性，單調(diào)性，值域等，屬于一般題。14、【解題分析】

有錯(cuò)，可以接著利用基本不等式解得最小值.【題目詳解】∵，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)不等式取等號(hào)，∴，故的最小值是．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查利用基本不等式求最值的問題，巧用“”，是解決本題的關(guān)鍵.15、；【解題分析】

利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算求解，甲獲勝，則比賽打了5局，且最后一局甲勝利.【題目詳解】由題意知，前四局甲、乙每人分別勝2局，則甲獲勝的概率是：.【題目點(diǎn)撥】本題考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，屬于基礎(chǔ)題.16、40【解題分析】分析：先根據(jù)二項(xiàng)分布得,再根據(jù)，得詳解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以點(diǎn)睛：二項(xiàng)分布)，則此隨機(jī)變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【解題分析】分析：（1）由題意得，求解即可；（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，則，設(shè)，，，聯(lián)立方程，從而可得，又由，得，從而求得答案.詳解：（Ⅰ）由題意，設(shè)橢圓方程為，則有，解得，所以橢圓C的方程為．（Ⅱ）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，則．設(shè)，，，聯(lián)立方程，得，，，由，得，即，綜上所述，存在點(diǎn)，使直線AD與BD關(guān)于y軸對(duì)稱．點(diǎn)睛：對(duì)題目涉及的變量巧妙的引進(jìn)參數(shù)，利用題目的條件和圓錐曲線方程組成二元二次方程組，再化為一元二次方程，從而利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行整體代換，達(dá)到“設(shè)而不求，減少計(jì)算”的效果，直接得結(jié)果．18、（1）；（2）4【解題分析】

（1）先由可得，再利用關(guān)于的不等式的解集為可得，的值；（2）先將變形為，再利用柯西不等式可得的最大值．【題目詳解】（1）由，得則解得,（2）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，故．19、（1）；（2）.【解題分析】試題分析：（1）討論的范圍，去掉絕對(duì)值符號(hào)，分段求出不等式的解，取并集即得原不等式的解集；（2）由（1）易知，所以，作差并因式分解判斷出差的符號(hào)即可得到與的大小.試題解析：（1）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分從面得或或，解之得或或，所以不等式的解集為．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）易知，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分由于．．．．．．．．．．．8分且，所以，即，所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法及比較法比較大小.20、（Ⅰ）填表見解析，有90%的把握認(rèn)為以40歲為分界點(diǎn)“一帶一路”倡議的了解有差異（Ⅱ）見解析【解題分析】

（1）由表格讀取信息，年齡低于40歲的人數(shù)共60人，年齡不低于40歲的人數(shù)，代入K2（2）在總體未知的市民中選取4人，每位市民被選中的概率由頻率估計(jì)概率算出35，所以隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布【題目詳解】解：（Ⅰ）根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到如下列聯(lián)表年齡低于40歲的人數(shù)年齡不低于40歲的人數(shù)合計(jì)了解402060不了解202040合計(jì)6040100K故有90%的把握認(rèn)為以40歲為分界點(diǎn)“一帶一路”倡議的了解有差異.（Ⅱ）由題意，得市民了解“一帶一路”倡議的概率為60100=3PX=0=C40PX=3=C則X的分布列為X01234P169621621681EX=4×3【題目點(diǎn)撥】本題要注意選取4人是在總體中選，而不是在100人的樣本中選，如果看成是在樣本中100人選4人，很容易誤用超幾何分布模型求解.21、（Ⅰ）1；（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)求出的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性即可求出最大值．（Ⅱ）