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遼寧省朝陽市凌源市凌源三中2024屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.2.設(shè)集合,|,則()A. B. C. D.3.如圖,向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為,則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是()A. B. C. D.4.若則有()A. B.C. D.5.若不等式|ax+2|<6的解集為(﹣1,2),則實(shí)數(shù)a等于()A.8 B.2 C.﹣4 D.﹣86.已知定義在上的可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為,滿足,且,則不等式(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的解集為()A. B. C. D.7.已知函數(shù),則=()A. B. C. D.8.已知某幾何體的三視圖如圖所示,其中正視圖和側(cè)視圖都由半圓及矩形組成,俯視圖由正方形及其內(nèi)切圓組成,則該幾何體的表面積等于()A. B. C. D.9.已知=(2,3),=(3,t),=1,則=A.-3 B.-2C.2 D.310.若隨機(jī)變量X的分布列:X01P0.2m已知隨機(jī)變量且,,則a與b的值為(
)A. B. C. D.11.如圖,在正方體中,E為線段的中點(diǎn),則異面直線DE與所成角的大小為()A. B. C. D.12.下面是利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(,且的部分過程:“……,假設(shè)當(dāng)時(shí),++…+,故當(dāng)時(shí),有,因?yàn)?,故++…+,……”,則橫線處應(yīng)該填()A.++…++<,B.++…+,C.2++…++,D.2++…+,二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),從“到”,左邊需增乘的代數(shù)式是___________.14.已知向量的夾角為,且,則________.15.以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),x軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位.已知直線l的參數(shù)方程是(t為參數(shù)),圓C的極坐標(biāo)方程是,則直線l被圓C截得的弦長為____________.16.求經(jīng)過點(diǎn),且在軸上的截距是在軸上的截距2倍的直線方程為________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,且滿足.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(2)令,記數(shù)列的前項(xiàng)和為,證明:.18.(12分)已知函數(shù),(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.(2)若函數(shù)在上恒成立,求實(shí)數(shù)m的值.19.(12分)我們稱點(diǎn)到圖形上任意一點(diǎn)距離的最小值為點(diǎn)到圖形的距離,記作(1)求點(diǎn)到拋物線的距離;(2)設(shè)是長為2的線段,求點(diǎn)集所表示圖形的面積;(3)試探究:平面內(nèi),動(dòng)點(diǎn)到定圓的距離與到定點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡.20.(12分)已知橢圓(a>b>0)經(jīng)過點(diǎn),且離心率為.(Ⅰ)求橢圓C的方程;(Ⅱ)已知A(0,b),B(a,0),點(diǎn)P是橢圓C上位于第三象限的動(dòng)點(diǎn),直線AP、BP分別將x軸、y軸于點(diǎn)M、N,求證:|AN|?|BM|為定值.21.(12分)某校20名同學(xué)的數(shù)學(xué)和英語成績?nèi)缦卤硭荆簩⑦@20名同學(xué)的兩顆成績繪制成散點(diǎn)圖如圖:根據(jù)該校以為的經(jīng)驗(yàn),數(shù)學(xué)成績與英語成績線性相關(guān).已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績?yōu)?,英語平均成績,考試結(jié)束后學(xué)校經(jīng)過調(diào)查發(fā)現(xiàn)學(xué)號(hào)為的同學(xué)與學(xué)號(hào)為的同學(xué)(分別對(duì)應(yīng)散點(diǎn)圖中的)在英語考試中作弊,故將兩位同學(xué)的兩科成績?nèi)∠?取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績后,求其余同學(xué)的數(shù)學(xué)成績與英語成績的平均數(shù);取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績后,求數(shù)學(xué)成績x與英語成績y的線性回歸直線方程,并據(jù)此估計(jì)本次英語考試學(xué)號(hào)為8的同學(xué)如果沒有作弊的英語成績.(結(jié)果保留整數(shù))附:位同學(xué)的兩科成績的參考數(shù)據(jù):參考公式:22.(10分)已知在△ABC中,|AB|=1,|AC|=1.(Ⅰ)若∠BAC的平分線與邊BC交于點(diǎn)D,求;(Ⅱ)若點(diǎn)E為BC的中點(diǎn),當(dāng)取最小值時(shí),求△ABC的面積.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析:先根據(jù)解分式不等式得集合N,再根據(jù)數(shù)軸判斷集合M,N之間包含關(guān)系,以及根據(jù)交集定義求交集.詳解:因?yàn)?,所?因此,,選B.點(diǎn)睛:集合的基本運(yùn)算的關(guān)注點(diǎn)(1)看元素組成.集合是由元素組成的,從研究集合中元素的構(gòu)成入手是解決集合運(yùn)算問題的前提.(2)有些集合是可以化簡的,先化簡再研究其關(guān)系并進(jìn)行運(yùn)算,可使問題簡單明了,易于解決.(3)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,常用的數(shù)形結(jié)合形式有數(shù)軸、坐標(biāo)系和Venn圖.2、C【解題分析】
解出集合M中的不等式即可【題目詳解】因?yàn)椋怨蔬x:C【題目點(diǎn)撥】本題考查的是解對(duì)數(shù)不等式及集合的運(yùn)算,屬于基本題.3、B【解題分析】
由已知求得,代入,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案.【題目詳解】解:由圖可知,,,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是.故選:.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算,考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】①,∵,∴,故.②,,∴,故.綜上.選D.5、C【解題分析】
利用不等式的解集和對(duì)應(yīng)方程的根的關(guān)系來求解.【題目詳解】因?yàn)榈慕饧癁?,所以和是方程的根,所以解?故選:C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法,明確不等式的解集和對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).6、B【解題分析】令所以,選B.點(diǎn)睛:利用導(dǎo)數(shù)解抽象函數(shù)不等式,實(shí)質(zhì)是利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性,而對(duì)應(yīng)函數(shù)需要構(gòu)造.構(gòu)造輔助函數(shù)常根據(jù)導(dǎo)數(shù)法則進(jìn)行:如構(gòu)造,構(gòu)造,構(gòu)造,構(gòu)造等7、C【解題分析】
由積分運(yùn)算、微積分基本定理、積分的幾何意義分別求出,從而求得.【題目詳解】因?yàn)橛晌⒎e分基本定理得:,由積分的幾何意義得:所以,故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查積分的運(yùn)算法則及積分的幾何意義的運(yùn)用,考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力.8、D【解題分析】
由三視圖可知,該幾何體由上下兩部分組成,下面是一個(gè)底面邊長為的正方形,高為的直四棱柱,上面是一個(gè)大圓與四棱柱的底面相切的半球,據(jù)此可以計(jì)算出結(jié)果.【題目詳解】解:由三視圖可知,該幾何體由上下兩部分組成,下面是一個(gè)底面邊長為的正方形,高為的直四棱柱,上面是一個(gè)大圓與四棱柱的底面相切的半球.表面積.故選:D.【題目點(diǎn)撥】本題考查三視圖求解幾何體的表面積,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解題分析】
根據(jù)向量三角形法則求出t,再求出向量的數(shù)量積.【題目詳解】由,,得,則,.故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考點(diǎn)為平面向量的數(shù)量積,側(cè)重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,難度不大.10、C【解題分析】
先根據(jù)隨機(jī)變量X的分布列可求m的值,結(jié)合,,可求a與b的值.【題目詳解】因?yàn)?,所以,所?;因?yàn)椋?,所以解得,故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查隨機(jī)變量的期望和方差,注意兩個(gè)變量之間的線性關(guān)系對(duì)期望方差的影響.11、B【解題分析】
建立空間直角坐標(biāo)系,先求得向量的夾角的余弦值,即可得到異面直線所成角的余弦值,得到答案.【題目詳解】分別以所在的直線為建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長為2,可得,所以,所以,所以異面直線和所成的角的余弦值為,所以異面直線和所成的角為,故選B.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了異面直線所成角的求解,其中解答中建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,利用向量的夾角公式求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解題分析】
由歸納假設(shè),推得的結(jié)論,結(jié)合放縮法,便可以得出結(jié)論.【題目詳解】假設(shè)當(dāng)時(shí),++…+,故當(dāng)時(shí),++…++<,因?yàn)椋?,故選A.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的步驟,以及放縮法的運(yùn)用,意在考查學(xué)生的邏輯推理能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解題分析】
從到時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是,化簡即可得出.【題目詳解】假設(shè)時(shí)命題成立,則,當(dāng)時(shí),從到時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是.故答案為:.【題目點(diǎn)撥】本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.14、3【解題分析】
運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義可得????,再利用向量的平方即為模的平方,計(jì)算可得答案.【題目詳解】解:?????????.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,相對(duì)簡單.15、2【解題分析】分析:先求出直線的普通方程,再求出圓的直角坐標(biāo)方程,再利用公式求直線被圓C截得的弦長.詳解:由題意得直線l的方程為x-y-4=0,圓C的方程為(x-2)2+y2=4.則圓心到直線的距離d=,故弦長=.故答案為2.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化,考查直線和圓的弦長的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些問題的掌握水平.(2)求直線被圓截得的弦長常用公式.16、【解題分析】
根據(jù)截距是否為零分類求解.【題目詳解】當(dāng)在軸上的截距為零時(shí),所求直線方程可設(shè)為,因?yàn)檫^點(diǎn),所以;當(dāng)在軸上的截距不為零時(shí),所求直線方程可設(shè)為,因?yàn)檫^點(diǎn),所以;所以直線方程為【題目點(diǎn)撥】本題考查根據(jù)截距求直線方程,考查基本分析求解能力,屬中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)見解析【解題分析】
(1)可以通過取計(jì)算出,再通過取時(shí)計(jì)算出,得出答案。(2)可通過裂項(xiàng)相消求解。【題目詳解】(1)當(dāng)時(shí),有,解得.當(dāng)時(shí),有,則,整理得:,數(shù)列是以為公比,以為首項(xiàng)的等比數(shù)列.所以,即數(shù)列的通項(xiàng)公式為:.(2)由(1)有,則所以易知數(shù)列為遞增數(shù)列,所以。【題目點(diǎn)撥】本題考察的是求數(shù)列的通項(xiàng)公式以及構(gòu)造數(shù)列然后求和,求等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以先求首項(xiàng)和公比,求和可以通過裂項(xiàng)相消求解。18、(1)在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減(2)【解題分析】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),討論參數(shù)的取值范圍,由導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間(2)由題函數(shù)在上恒成立等價(jià)于在上,構(gòu)造函數(shù),討論的單調(diào)性進(jìn)而求得答案?!绢}目詳解】(1)當(dāng)時(shí),,則函數(shù)在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),由得,解得,由得,解得,所以在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減。(2)由題函數(shù)在上恒成立等價(jià)于在上由(1)知當(dāng)時(shí)顯然不成立,當(dāng)時(shí),,只需即可。令,則由解得,由解得所以在上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減,所以所以若函數(shù)在上恒成立,則【題目點(diǎn)撥】本題考查含參函數(shù)的單調(diào)性以及恒成立問題,比較綜合,解題的關(guān)鍵是注意討論參數(shù)的取值范圍,構(gòu)造新函數(shù),屬于一般題。19、(1)(2)(3)見解析【解題分析】
(1)設(shè)A是拋物線上任意一點(diǎn),先求出|PA|的函數(shù)表達(dá)式,再求函數(shù)的最小值得解;(2)由題意知集合所表示的圖形是一個(gè)邊長為2的正方形和兩個(gè)半徑是1的半圓,再求出面積;(3)將平面內(nèi)到定圓的距離轉(zhuǎn)化為到圓上動(dòng)點(diǎn)的距離,再分點(diǎn)現(xiàn)圓的位置關(guān)系,結(jié)合圓錐曲線的定義即可解決.【題目詳解】(1)設(shè)A是拋物線上任意一點(diǎn),則,因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),.點(diǎn)到拋物線的距離.(2)設(shè)線段的端點(diǎn)分別為,,以直線為軸,的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系,則,,點(diǎn)集由如下曲線圍成:,,,,,,,,集合所表示的圖形是一個(gè)邊長為2的正方形和兩個(gè)半徑是1的半圓,其面積為.(3)設(shè)動(dòng)點(diǎn)為,當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)不與圓心重合,連接并延長,交于圓上一點(diǎn),由題意知,,所以,即的軌跡為一橢圓;如圖.如果是點(diǎn)在圓外,由,得,為一定值,即的軌跡為雙曲線的一支;當(dāng)點(diǎn)與圓心重合,要使,則必然在與圓的同心圓,即的軌跡為一圓.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查新定義的理解和應(yīng)用,考查拋物線中的最值問題,考查軌跡問題,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.20、(1)+y2=1.(2)見解析.【解題分析】
(1)由題意可得:,,a2=b2+c2,聯(lián)立解得:a,b.即可得出橢圓C的方程.(2)設(shè)P(x0,y0),(x0<0,y0<0)A(2,0),B(0,1)..可得直線BP,AP的方程分別為:y=x+1,y=(x-2),可得:M(,0),N(0,).可得|AM|?|BN|為定值.【題目詳解】解:(1)由題意可得:+=1,=,a2=b2+c2,聯(lián)立解得:a=2,b=1.∴橢圓C的方程為:+y2=1.(2)證明:設(shè)P(x0,y0),(x0<0,y0<0)A(2,0),B(0,1).+2=2.可得直線BP,AP的方程分別為:y=x+1,y=(x-2),可得:M(,0),N(0,).∴|AM|?|BN|=(2-)(1-)=2--+==2為定值.【題目點(diǎn)撥】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計(jì)算公式、直線方程,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.21、90分;分.【解題分析】
計(jì)算出剩下名學(xué)生的數(shù)學(xué)、英語成績之和,于是求得平均分;可先計(jì)算出,再利用公式可計(jì)算出線性回歸方程,代入學(xué)號(hào)為的同學(xué)成績,即得答案.【題目詳解】由題名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之和為,英語成績之和為取消兩位作弊同學(xué)的兩科成績后,其余名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之和為其余名學(xué)生的英語成績之和為其余名學(xué)生的數(shù)學(xué)平均分,英語平均分都為;不妨設(shè)取消的兩名同學(xué)的兩科成績分別為數(shù)學(xué)成績與英語成績的線性回歸方程代入學(xué)號(hào)為的同學(xué)成績,得本次英語考試學(xué)號(hào)為的同學(xué)如果沒有作弊,他的英語成績估計(jì)為分.
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