2024屆重慶市開縣陳家中學高二數(shù)學第二學期期末經(jīng)典試題含解析

2024屆重慶市開縣陳家中學高二數(shù)學第二學期期末經(jīng)典試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知實數(shù)滿足則的最大值是()A．-2 B．-1 C．1 D．22．設集合,則（）A． B． C． D．3．為了弘揚我國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某中學廣播站在春節(jié)、元宵節(jié)、清明節(jié)、端午節(jié)、中秋節(jié)五個中國傳統(tǒng)節(jié)日中，隨機選取兩個節(jié)日來講解其文化內(nèi)涵，那么春節(jié)和端午節(jié)恰有一個被選中的概率是（）A． B． C． D．4．命題“，使是”的否定是（）A．，使得 B．，使得.C．，使得 D．，使得5．用數(shù)學歸納法證明某命題時，左式為在驗證時，左邊所得的代數(shù)式為（）A．B．C．D．6．已知函數(shù)若關(guān)于的方程有7個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．7．古代“五行”學認為：“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列，但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰，則這樣的排列方法有A．5種 B．10種C．20種 D．120種8．已知函數(shù)的定義域是，則的展開式中的系數(shù)是（）A． B．192 C． D．2309．已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．10．已知函數(shù)的導函數(shù)為，若，則函數(shù)的圖像可能是()A． B． C． D．11．某學校高三模擬考試中數(shù)學成績服從正態(tài)分布，考生共有1000人，估計數(shù)學成績在75分到86分之間的人數(shù)約為（）人．參考數(shù)據(jù)：，）A．261 B．341 C．477 D．68312．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60°”時，反設正確的是()A．假設三內(nèi)角都不大于60° B．假設三內(nèi)角都大于60°C．假設三內(nèi)角至多有一個大于60° D．假設三內(nèi)角至多有兩個大于60°二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知拋物線的焦點為,準線與軸的交點為為拋物線上的一點,且滿足,則=_____.14．在等差數(shù)列中,,則________15．有一個倒圓錐形的容器，其底面半徑是5厘米，高是10厘米，容器內(nèi)放著49個半徑為1厘米的玻璃球，在向容器倒?jié)M水后，再把玻璃球全部拿出來，則此時容器內(nèi)水面的高度為________厘米16．正方體ABCD-A1B1C1D三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在極坐標系中，曲線：，以極點為坐標原點，極軸為軸正半軸建立直角坐標系，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.（1）求、的直角坐標方程；（2）若曲線與曲線交于A、B兩點，且定點P的坐標為，求的值.18．（12分）已知函數(shù)為奇函數(shù)，其中求的值；求使不等式成立的的取值范圍.19．（12分）已知橢圓的焦距為2，左右焦點分別為，以原點為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切．(1)求橢圓的方程；(2)設不過原點的直線與橢圓C交于兩點,若直線與的斜率分別為，且，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標；20．（12分）“公益行”是由某公益慈善基金發(fā)起并主辦的一款將用戶的運動數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為公益步數(shù)的捐助公益項目的產(chǎn)品，捐助規(guī)則是滿10000步方可捐助且個人捐出10000步等價于捐出1元，現(xiàn)粗略統(tǒng)計該項目中其中200名的捐助情況表如下：捐款金額(單位：元)捐款人數(shù)4152261035(1)將捐款額在200元以上的人稱為“健康大使”，請在現(xiàn)有的“健康大使”中隨機抽取2人，求捐款額在之間人數(shù)的分布列；(2)為鼓勵更多的人來參加這項活動，該公司決定對捐款額在100元以上的用戶實行紅包獎勵，具體獎勵規(guī)則如下：捐款額在的獎勵紅包5元；捐款額在的獎勵紅包8元；捐款額在的獎勵紅包10元；捐款額大于250的獎勵紅包15元.已知該活動參與人數(shù)有40萬人，將頻率視為概率，試估計該公司要準備的紅包總金額.21．（12分）為調(diào)查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助，用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人，結(jié)果如下：性別

是否需要志愿者

男

女

需要

40

30

不需要

160

270

（1）估計該地區(qū)老年人中，需要志愿者提供幫助的老年人的比例；（2）請根據(jù)上面的數(shù)據(jù)分析該地區(qū)的老年人需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)嗎22．（10分）由甲、乙、丙三個人組成的團隊參加某項闖關(guān)游戲，第一關(guān)解密碼鎖，3個人依次進行，每人必須在1分鐘內(nèi)完成，否則派下一個人．3個人中只要有一人能解開密碼鎖，則該團隊進入下一關(guān)，否則淘汰出局．根據(jù)以往100次的測試，分別獲得甲、乙解開密碼鎖所需時間的頻率分布直方圖．（1）若甲解開密碼鎖所需時間的中位數(shù)為47，求a、b的值，并分別求出甲、乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率；（2）若以解開密碼鎖所需時間位于各區(qū)間的頻率代替解開密碼鎖所需時間位于該區(qū)間的概率，并且丙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的概率為0.5，各人是否解開密碼鎖相互獨立．①求該團隊能進入下一關(guān)的概率；②該團隊以怎樣的先后順序派出人員，可使所需派出的人員數(shù)目X的數(shù)學期望達到最小，并說明理由．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】作出可行域，如圖內(nèi)部（含兩邊），作直線，向上平移直線，增加，當過點時，是最大值．故選C．2、C【解題分析】

解不等式得集合A，B,再由交集定義求解即可.【題目詳解】由已知所以，故選C.【題目點撥】本題主要考查了集合的交集運算，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解題分析】分析：先根據(jù)組合數(shù)確定隨機選取兩個節(jié)日總事件數(shù)，再求春節(jié)和端午節(jié)恰有一個被選中的事件數(shù)，最后根據(jù)古典概型概率公式求結(jié)果.詳解：因為五個中國傳統(tǒng)節(jié)日中，隨機選取兩個節(jié)日共有種，春節(jié)和端午節(jié)恰有一個被選中的選法有,所以所求概率為選C.點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.4、D【解題分析】

根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系，準確改寫，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，根據(jù)全稱命題與特稱命題的關(guān)系，可得命題“，使是”的否定為“，使得”故選D．【題目點撥】本題主要考查了含有一個量詞的否定，其中解答中熟記全稱命題與特稱命題的關(guān)系是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．5、B【解題分析】試題分析：用數(shù)學歸納法證明某命題時，左式為在驗證時，左邊所得的代數(shù)式應為；故選B考點：數(shù)學歸納法．6、C【解題分析】分析：畫出函數(shù)的圖象，利用函數(shù)的圖象，判斷f（x）的范圍，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解a的范圍．詳解：函數(shù)的圖象如圖：關(guān)于f2（x）+（a﹣1）f（x）﹣a=0有7個不等的實數(shù)根，即[f（x）+a][f（x）﹣1]=0有7個不等的實數(shù)根，f（x）=1有3個不等的實數(shù)根，∴f（x）=﹣a必須有4個不相等的實數(shù)根，由函數(shù)f（x）圖象可知﹣a∈（1，2），∴a∈（﹣2，﹣1）．故選：C．點睛：函數(shù)的零點或方程的根的問題，一般以含參數(shù)的三次式、分式、以e為底的指數(shù)式或?qū)?shù)式及三角函數(shù)式結(jié)構(gòu)的函數(shù)零點或方程根的形式出現(xiàn)，一般有下列兩種考查形式：(1)確定函數(shù)零點、圖象交點及方程根的個數(shù)問題；(2)應用函數(shù)零點、圖象交點及方程解的存在情況，求參數(shù)的值或取值范圍問題．7、B【解題分析】

根據(jù)題意，可看做五個位置排列五個數(shù)，把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．根據(jù)相克原理，1不與2,5相鄰，2不與1,3相鄰，依次類推，用分布計數(shù)原理寫出符合條件的情況.【題目詳解】把“金、木、土、水、火”用“1，2，3，4，5”代替．1不與2,5相鄰，2不與1,3相鄰，所以以“1”開頭的排法只有“1，3，5，2，4”或“1，4，2，5，3”兩種，同理以其他數(shù)開頭的排法都是2種，所以共有種．選B.【題目點撥】本題考查分步計數(shù)原理的應用，考查抽象問題具體化，注重考查學生的思維能力，屬于中檔題.8、A【解題分析】

函數(shù)的定義域是可知，-1和2是方程的兩根，代入可求得值，再根據(jù)二項式定理的通項公式進行求解即可【題目詳解】因為的定義域，所以-1和2是方程的兩根，將-1代入方程可得，則二項式定理為根據(jù)二項式定理的通項公式，，的系數(shù)答案選A【題目點撥】本題考察了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二項式定理通項公式的求法及二項式系數(shù)的求法，難度不大，但綜合性強9、B【解題分析】因為，所以，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，即，也即，所以，應選答案B。點睛：解答本題的關(guān)鍵是將函數(shù)看做正弦函數(shù)，然后借助正弦函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系，依據(jù)區(qū)間端點之間的大小關(guān)系建立不等式組，最后通過解不等式組使得問題巧妙獲解。10、D【解題分析】

根據(jù)導數(shù)的幾何意義和，確定函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即可得出結(jié)論．【題目詳解】函數(shù)的導函數(shù)為，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故選：D．【題目點撥】本題考查函數(shù)的圖象與其導函數(shù)的關(guān)系，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解題分析】分析：正態(tài)總體的取值關(guān)于對稱，位于之間的概率是0.6826，根據(jù)概率求出位于這個范圍中的個數(shù)，根據(jù)對稱性除以2得到要求的結(jié)果．詳解：正態(tài)總體的取值關(guān)于對稱，位于之間的概率是，則估計數(shù)學成績在75分到86分之間的人數(shù)約為人.故選B.點睛：題考查正態(tài)曲線的特點及曲線所表示的意義，是一個基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是考試的成績關(guān)對稱，利用對稱寫出要用的一段分數(shù)的頻數(shù)，題目得解．12、B【解題分析】

“至少有一個”的否定變換為“一個都沒有”，即可求出結(jié)論.【題目詳解】“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60°”時，反設是假設三內(nèi)角都大于.故選：B.【題目點撥】本題考查反證法的概念，注意邏輯用語的否定，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】分析：利用拋物線的性質(zhì)，過作準線的垂線交準線于，則，則，在中可表示出，計算即可得到答案詳解：過作準線的垂線交準線于則故點睛：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是記清拋物線上點到焦點距離等于到準線距離，靈活運用拋物線的定義來解題14、40【解題分析】

根據(jù)前項和公式，結(jié)合已知條件列式求得的值.【題目詳解】依題意.【題目點撥】本小題主要考查等差數(shù)列前項和公式，屬于基礎(chǔ)題.15、6【解題分析】

設水面的高度為，根據(jù)圓錐體的體積等于全部玻璃的體積加上水的體積列方程求解即可.【題目詳解】解：設在向容器倒?jié)M水后，再把玻璃球全部拿出來，則此時容器內(nèi)水面的高度為，則，解得.故答案為：6.【題目點撥】本題考查圓錐體積和球的體積的運算，關(guān)鍵要找到體積之間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題.16、60°【解題分析】

由正方體的性質(zhì)可以知道：DC1//AB1,根據(jù)異面直線所成角的定義,可以知道∠B1AD1【題目詳解】如圖所示：連接AB1,因為DC1//AB1,所以∠AB1、AD1、D1∠B1AD1=60°故答案為60°【題目點撥】本題考查了異面直線所成的角,掌握正方體的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解題分析】

（1）由，，能求出曲線的直角坐標方程；曲線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即可求出曲線的直角坐標方程；（2）曲線的參數(shù)方程代入，得到，由此借助韋達定理即可求出的值.【題目詳解】（1）曲線：，，曲線的直角坐標方程為.曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.曲線消去參數(shù)，得曲線的直角坐標方程為.（2）曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入，得，即，，，.【題目點撥】參數(shù)方程化為普通方程的關(guān)鍵是消參數(shù)，要根據(jù)參數(shù)的特點進行轉(zhuǎn)化；極坐標方程轉(zhuǎn)化為普通方程，要巧用極坐標方程兩邊同乘以或同時平方技巧，將極坐標方程構(gòu)造成含有，，的形式，然后利用公式代入化簡得到普通方程；解決極坐標方程與參數(shù)方程的綜合問題時，對于參數(shù)方程或極坐標方程應用不熟練的情況下，我們可以先化為直角坐標的普通方程，這樣思路可能更加清晰；對于一些運算比較復雜的問題，用參數(shù)方程計算會比較簡捷.18、（1），.（2）【解題分析】

（1）根據(jù)，可化簡為，已知，解出的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，解不等式，求的取值范圍.【題目詳解】解：因為為奇函數(shù)，所以對定義域內(nèi)任意的恒成立即化簡得故，，解得，.由知由，得解得綜上，滿足題意的的取值范圍是【題目點撥】本題考查了對數(shù)型函數(shù)是奇函數(shù)求參數(shù)取值的問題，屬于基礎(chǔ)題型，當對數(shù)型函數(shù)是奇函數(shù)時，經(jīng)常利用，計算求解.19、（1）（2）線恒過定點，詳見解析【解題分析】

（1）根據(jù)焦距得到，根據(jù)圓心到直線的距離得到，由得到，從而得到橢圓方程；（2）直線，聯(lián)立得到，然后表示，代入韋達定理，得到和的關(guān)系，從而得到直線過的定點.【題目詳解】(1)由題意可得，即，由直線與圓相切，可得，解得，即有橢圓的方程為；(2)證明：設，將直線代入橢圓，可得，即有，，由，即有，代入韋達定理，可得，化簡可得，則直線的方程為，即，故直線恒過定點；【題目點撥】本題考查求橢圓方程，直線與橢圓的關(guān)系，橢圓中的定點問題，屬于中檔題.20、(1)答案見解析；(2)大約為63萬元.【解題分析】試題分析：(1)的所有情況是0，1，2，結(jié)合超幾何分布的概率公式即可求得分布列；(2)結(jié)合分布列考查平均值，據(jù)此可得該公司要準備的紅包總額大約為63萬元.試題解析：(1)捐款額在之間人數(shù)的所有情況是0，1，2，，，，所以捐款額在之間人數(shù)的分布列為：012(2)設紅包金額為，可得的分布列為：0581015所以.又.故該公司要準備的紅包總額大約為63萬元.21、（1）；（2）有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).【解題分析】試題分析：（1）由列聯(lián)表可知調(diào)查的500位老年人中有位需要志愿者提供幫助，兩個數(shù)據(jù)求比值得到該地區(qū)老年人中需要幫助的老年人的比例的估算值；（2）根據(jù)列聯(lián)表所給的數(shù)據(jù)，代入隨機變量的觀測值公式，得到觀測值的結(jié)果，把觀測值的結(jié)果與臨界值進行比較，看出有多大把握說該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān).試題解析：解：（1）調(diào)查的500位老年人中有70位需要志愿者提供幫助，因此該地區(qū)老年人中，需要幫助的老年人的比例的估算值為（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)計算得：。由于9.967>6.635,所以有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān)?？键c：獨立性檢驗.22、（1），，甲、乙在1分鐘內(nèi)解開密碼鎖的頻率分別是0.9，0.7；（2）①0.985；②先派出甲，再派乙，最后派丙.【解題分析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖中左右兩邊矩形面積均