MBA數據模型與決策：目標規(guī)劃

目標規(guī)劃前面六章出現(xiàn)的所有線性規(guī)劃模型都只有一個最大化或最小化的單一目標，然而對于一個實際的管理決策問題，組織決策者經常有多個目標，這些目標與除利潤或成本之外的其他要素相關。比如，在最大化利潤的同時，一個面臨工人罷工危機的公司可能想盡量避免員工失業(yè)；或者一個即將因環(huán)境污染而被政府環(huán)境管理部門處罰的公司可能要考慮最小化環(huán)境污染的擴散。本章內容

§7.1目標規(guī)劃的提出§7.2目標規(guī)劃的基本概念與數學模型§7.3應用EXCEL和LINGO求解目標簡介

規(guī)劃及應用舉例§7.1目標規(guī)劃的提出目標規(guī)劃（Goalprogramming）是在線性規(guī)劃的基礎上為適應管理中的多目標決策需要而逐步發(fā)展起來的一個運籌學分支。

目標規(guī)劃是線性規(guī)劃的變形，與線性規(guī)劃不同的是，目標規(guī)劃中的目標函數考慮不止一個目標。目標規(guī)劃的建模過程和線性規(guī)劃模型一樣，都有線性約束條件和一個線性目標函數，典型的求解方法也和線性規(guī)劃模型極其相似。

例1

某工廠生產A、B兩種產品每件所需的勞動力分別為4個工時和6個工時，所需設備的單位臺時均為1。為了應對近一年來的全球金融危機造成的恐慌，讓員工感覺工作量飽滿，保證員工情緒穩(wěn)定，廠領導最近決定每周的總人工工時都要超過一定的標準。根據這一要求，下周還至少還要通過生產A、B這兩種產品提供70個工時的工作。另外，根據生產計劃的安排，該廠下周有10個單位尚未安排的機器臺時可供制造這兩種產品。已知生產每件產品A的利潤為500元，每件產品B的利潤是300元。試問：該廠在下周各應生產多少件A、B產品，才能盡可能滿足管理層所希望實現(xiàn)的以下三個目標：①總利潤最大；②所需工時最大；③所需機器臺時最小。

解：設該廠能生產A、B產品的數量分別為

件，則問題可描述為如下：

這個問題有三個目標函數，其中前兩個目標和第三個目標還是沖突的，無法同時達到。更為嚴重的是約束式之間也是沖突的，所以可行域是空集（如圖7.1所示），因而該問題無解。但該廠要增加利潤，不可能不生產A、B兩種產品，為了員工工作飽滿，更需要開工生產，而線性規(guī)劃模型無法為其找到一個合適的方案。圖7.1例1問題的可行域

例2

某廠為進行生產需采購A、B兩種原材料，單價分別為70元/公斤和50元/公斤。現(xiàn)要求購買資金不超過5000元，總購買量不少于80公斤，而A原材料不少于20公斤。問如何確定最好的采購方案，既可以使花掉的資金最少，又能使購買的總量最大？解：這是一個含有兩個目標的數學規(guī)劃問題。設

分別為購買兩種原材料的數量（公斤），

為花掉的資金，

為購買的總量。建立該問題的數學模型形式如下：

對于這樣的多目標問題，線性規(guī)劃很難為其找到最優(yōu)方案。極可能的結果是，第一個方案使第一目標的結果值優(yōu)于第二方案，同時第二方案使第二目標的結果值優(yōu)于第一方案。也就是說很難找到一個最優(yōu)方案，使兩個目標的函數值同時達到最優(yōu)。另外，對于多目標問題，還存在有多個目標存在有不同重要程度的因素，而這也是線性規(guī)劃所無法解決的。

在線性規(guī)劃的基礎上，建立了一種新的數學規(guī)劃方法——目標規(guī)劃，用于彌補線性規(guī)劃的上述局限性。

總的來說，目標規(guī)劃和線性規(guī)劃的不同之處可以從以下幾點反映出來：1、線性規(guī)劃只能處理一個目標，目標規(guī)劃能統(tǒng)籌兼顧地處理多個目標的關系，求得切合實際需求的解。2、線性規(guī)劃是求滿足所有約束條件的最優(yōu)解。目標規(guī)劃是要找一個滿意解，即使在相互矛盾的約束條件下也找到盡量滿足約束的滿意解，即滿意方案。3、線性規(guī)劃的約束條件是不分主次地等同對待，是一律要滿足的“硬約束”。目標規(guī)劃可根據實際需要給予輕重緩急的考慮。所以，目標規(guī)劃更能夠確切描述和解決經濟管理中的許多實際問題。目標規(guī)劃的應用范圍很廣，包括生產作業(yè)計劃、投資決策優(yōu)化、市場戰(zhàn)略、人力資源管理、環(huán)境保護、土地利用規(guī)劃等。§7.2目標規(guī)劃的基本概念與數學模型§7.2.1目標規(guī)劃的基本概念1偏差變量對于例1中的問題，造成無解的關鍵在于約束條件太死板。設想把約束條件“放松”，比如機器的可用臺時可以多于10的話，或者員工的工時可以少于70的話，機時約束和工時約束就可以不再發(fā)生矛盾。因此，目標規(guī)劃引入了正、負偏差的概念，來表示決策值與目標值之間的差異，可以將目標函數轉化為目標約束。所謂目標值就是預先給定的某個目標的一個期望值。決策值是當決策變量確定以后，目標函數對應值?！?.2.1目標規(guī)劃的基本概念——正偏差變量，

表示決策值超出目標值的部分，下標

表示目標約束的編號。目標規(guī)劃里規(guī)定

；——負偏差變量，表示決策值未達到目標值的部分，目標規(guī)劃里規(guī)定

。在例1的問題中，為了表示員工工作不飽滿的可能性，把線性規(guī)劃的工時約束條件

轉化為：

轉化后的約束叫目標約束。新增兩個偏差變量

、

，分別表示工時少于或者多于70小時的數量。

可以認為

表示員工空閑，

表示員工加班。

(7.1)§7.2.1目標規(guī)劃的基本概念例如，如果

，

，總工時為42小時，把這些值替換到目標約束（7.1）中：因為用掉的工時是42小時，所以員工空閑28小時（70-42=28)。此時，若令,

（因為顯然沒有加班），可使等式（7.2）和（7.3）成立。

(7.3)

(7.2)§7.2.1目標規(guī)劃的基本概念考慮

，

的情況，這意味著總工時消耗為80小時，高于目標10小時，多出的10小時為加班時間。因此

（因為沒有員工空閑）。以上的討論可以看出，正負偏差變量中至少有一個為零。因為員工的工時不可能同時少于和多于70小時。當然，當工時消耗時間等于70小時的時候，

和

可以同時等于0。所以，在實際操作中，當目標值確定時，所作的決策只可能在以下三種情況中出現(xiàn)：（1）決策值超過了目標值，表示為

，

；（2）決策值未達到目標值，表示為

，

；（3）決策值恰好等于目標值，表示為

，

。以上三種情況，無論哪種情況發(fā)生，均有

。

§7.2.1目標規(guī)劃的基本概念2絕對約束與目標約束絕對約束也稱系統(tǒng)約束，是指必須嚴格滿足的等式約束和不等式約束，它對應于線性規(guī)劃模型中的約束條件。不滿足這些約束條件的解稱為非可行解，所以它們是“硬約束”。目標約束是目標規(guī)劃所特有的，它把約束右端項看作要求的目標值，進行決策時，允許與目標值存在正或負的偏差，因此它們是“軟約束”。目標約束中加入了正、負偏差變量，如約束（7.1）。再以例1為例，假定該企業(yè)計劃利潤值為5000元，那么對于目標函數

§7.2.1目標規(guī)劃的基本概念再以例1為例，假定該企業(yè)計劃利潤值為5000元，那么對于目標函數

,可變換為。該式表示決策值與目標值5000之間可能存在正或負的偏差（請讀者分別按照上面所講的三種情況來理解）。絕對約束也可根據問題的需要變換為目標約束。此時將約束右端項看作所追求的目標值。如例1中的第二個約束，可變換為目標約束

?！?.2.1目標規(guī)劃的基本概念3目標規(guī)劃的目標函數對于滿足絕對約束與目標約束的所有解，從決策者的角度來看，判斷其優(yōu)劣的依據是決策值與目標值的偏差越小越好。因此目標規(guī)劃的目標函數是與正、負偏差變量密切相關的函數，我們表示為

。它有如下三種基本形式：（1）要求恰好達到目標值，即正、負偏差變量都盡可能地小。此時，構造目標函數為：

（2）要求不超過目標值，即允許達不到目標值，正偏差變量盡可能地小。此時構造目標函數為：§7.2.1目標規(guī)劃的基本概念（3）求超過目標值，即超過量不限，負偏差變量盡可能地小。此時構造目標函數為：

在這三種基本形式下面可以根據實際需要進行組合運用?！?.2.1目標規(guī)劃的基本概念4優(yōu)先因子與權系數一個規(guī)劃問題往往有多個目標。決策者在實現(xiàn)這些目標時，存在有主次與輕重緩急的不同。對于有K級目標的問題，按照重要程度排序，并用優(yōu)先因子

來標記。即最重要的目標賦予優(yōu)先因子P1

，第二重要的目標賦予優(yōu)先因子P2

，……，最不重要的目標賦予優(yōu)先因子Pk

。并規(guī)定

符號“”表示“遠大于”，也就是

和

不是一個級別的量，前者比后者有更大的優(yōu)先權。這些優(yōu)先因子在量化時可以用充分大的數來實現(xiàn)，即同時要滿足下面的條件?！?.2.1目標規(guī)劃的基本概念

其中，M是一個充分大的正數。這樣，只有上一級目標實現(xiàn)以后，才能忽略M的影響，否則目標偏離量會因為M的原因而無窮放大。實際上優(yōu)先因子

是對偏離目標值的懲罰系數，優(yōu)先級別越高，懲罰系數越大。權系數

用來區(qū)別具有相同優(yōu)先級別的若干目標。在同一優(yōu)先級別中，可能包含有兩個或多個目標，它們的正負偏差變量的重要程度有差別，此時可以給正負偏差變量賦予不同的權系數

和

。各級目標的優(yōu)先次序及權系數的確定由決策者按具體情況給出。

§7.2.2目標規(guī)劃的數學模型綜上所述，目標規(guī)劃模型由目標函數、目標約束、絕對約束以及變量非負約束等幾部分構成。假設模型有L個目標，K個優(yōu)先級（

），同一優(yōu)先級的正負偏差變量的權系數也有所區(qū)別，分別是

和(,)。則目標規(guī)劃問題的一般數學模型可描述為：

目標函數

s.t.目標約束()

絕對約束()非負約束()()§7.2.2目標規(guī)劃的數學模型例3在例1中，假定目標利潤不少于5000元，為第一目標；占用的人工盡量不少于70工時，最好能超過70工時，為第二目標；因為設備有限，希望最好不超過10機器臺時，為第三目標。試建立其目標規(guī)劃模型。解：按決策者的要求分別賦予優(yōu)先因子

,模型如下：

§7.2.2目標規(guī)劃的數學模型例4某紡織廠生產A、B兩種布料，平均生產能力均為1千米/小時，工廠正常生產能力是80小時/周。又A布料每千米獲利2500元，B布料每千米獲利1500元。已知A、B兩種布料每周的市場需求量分別是70千米和45千米?，F(xiàn)該廠確定一周內的目標為：第一優(yōu)先級：避免生產開工不足；第二優(yōu)先級：加班時間不超過10小時；第三優(yōu)先級：根據市場需求實現(xiàn)最大的銷量；第四優(yōu)先級：盡可能減少加班時間。試建立該問題的目標規(guī)劃模型。

§7.2.2目標規(guī)劃的數學模型解：設

分別為生產A、B布料的小時數。對于第三優(yōu)先級目標，根據A、B布料利潤的比值

，取二者達到最大銷量的權系數分別為5和3。該問題的目標規(guī)劃模型為：

§7.2.2目標規(guī)劃的數學模型綜上所述，目標規(guī)劃建立模型的步驟為：1、根據問題所提出的各目標與條件，確定目標值，列出目標約束與絕對約束；2、根據決策者的需要將某些或全部絕對約束轉換為目標約束，方法是絕對約束的左式加上負偏差變量和減去正偏差變量；3、給各級目標賦予相應的優(yōu)先因子

；4、對同一優(yōu)先級的各目標，再按其重要程度不同，賦予相應的權系數

和

；5、根據決策者的要求，各目標按三種情況取值：①恰好達到目標值，取

；②允許超過目標值，取

；③不允許超過目標值，取

。然后構造一個由懲罰系數、權系數和偏差變量組成的、要求實現(xiàn)極小化的目標函數。

§7.3應用EXCEL和LINGO求解目標簡

介規(guī)及應用舉例§7.3.1一般目標規(guī)劃問題本章講到的目標規(guī)劃問題屬于線性規(guī)劃問題。我們定義的一般目標規(guī)劃問題符合下列條件：優(yōu)先因子

可以用數值表示，能夠使

成立（其中M是一個充分大的正數），且模型在計算機計算精度要求的范圍內。用來區(qū)分無法為優(yōu)先因子賦具體值的分層目標規(guī)劃問題。一般目標規(guī)劃的解法和前幾章講到的線性規(guī)劃問題沒有本質的區(qū)別，只是問題的規(guī)模變大了一點，在EXCEL電子表格中建模的時候需要一點技巧才能使模型可讀性更好?！?.3.1一般目標規(guī)劃問題例5用EXCEL求解例3的目標規(guī)劃模型。

§7.3.1一般目標規(guī)劃問題

§7.3.1一般目標規(guī)劃問題例6用EXCEL求解例4的目標規(guī)劃模型。

§7.3.1一般目標規(guī)劃問題

§7.3.2分層目標規(guī)劃問題盡管可以使用上述方法為優(yōu)先因子賦值，但對于不同目標約束系數復雜、優(yōu)先級別較多的情況，因為計算機的精度所限，仍然會有難找合適的數字來同時量化不同級別的優(yōu)先因子的情況，所以只好對高一級的目標優(yōu)先求解。假設建立好的目標規(guī)劃模型為

，有k個優(yōu)先級，第k()個優(yōu)先級的優(yōu)先因子為

，具體步驟如下：(1)從目標函數的最高優(yōu)先級目標開始，只考慮最高級的目標，其他目標不考慮。也就是令最高級別的優(yōu)先因子

，其他級別的權重因子

，給這個新的只在原模型

的基礎上變化而來的新目標規(guī)劃模型命名為

；(2)用解線性規(guī)劃的方法求解模型

，保存求解得到的最高級目標的目標函數中涉及到的偏差變量；

§7.3.2分層目標規(guī)劃問題（3）在模型的基礎上，建立第k個模型。只考慮第k級的目標，其他目標不考慮，即優(yōu)先因子，，并將之前求解到保存的偏差變量添加到的約束中，即得到。用解線性規(guī)劃的方法求解模型，保存求解得到的第k級目標函數中涉及到的偏差變量；重復第3和第4步，直到，可求得所有的決策變量和偏差變量值。

§7.3.2分層目標規(guī)劃問題

下面我們通過例6來說明一下分層目標規(guī)劃問題在電子表格中的求解方法。圖7.4(a)例6的分層目標規(guī)劃—優(yōu)先級P1§7.3.2分層目標規(guī)劃問題

第一優(yōu)先級的目標是避免開工不足，數學模型見M1:§7.3.2分層目標規(guī)劃問題

圖7.4(b)例6的分層目標規(guī)劃—優(yōu)先級P2§7.3.2分層目標規(guī)劃問題

第二優(yōu)先級的目標是加班時間限制，數學模型見

（或者更簡單，直接寫成

的形式:§7.3.2分層目標規(guī)劃問題

§7.3.2分層目標規(guī)劃問題

圖7.4(c)例6的分層目標規(guī)劃—優(yōu)先級P3§7.3.2分層目標規(guī)劃問題

第三優(yōu)先級的目標是市場需求限制，這個模型中前兩級求解得到的工時負偏差值0、正偏差值10和加班負偏差值0、正偏差值0已經成為約束條件不能再改變了，數學模型

的表達式請讀者自己完成。§7.3.2分層目標規(guī)劃問題

圖7.4(d)例6的分層目標規(guī)劃—優(yōu)先級P4第四優(yōu)先級的目標是盡可能的少加班，目標是工時的正偏差盡可能的最小。數學模型請讀者自己完成.的表達式請讀者自己完成。

§7.3.3進一步應用:L食品公司運輸的不平衡問題

例7回顧一下第六章中的L食品公司的不平衡運輸問題（第六章的例2），問題基本數據和求得的最優(yōu)運輸方案如表7-1和表7-2所示，總運費為31210元。

表7-1單位運費和供需要求配送中心生產量罐頭廠深圳武漢成都西安虛擬中心A(桔子)7845861100120B(竹筍)8441791030100C(野山菌)8053761180220需求量851107513040§7.3.3進一步應用:L食品公司運輸的不平衡問題

表7-2最優(yōu)運輸方案配送中心生產量罐頭廠深圳武漢成都西安虛擬中心A(桔子)01100100120B(竹筍)0001000100C(野山菌)850752040220需求量851107513040§7.3.3進一步應用:L食品公司運輸的不平衡問題

但上述方案只考慮運費為最少，沒有考慮到很多具體情況和條件。經上級部門研究后確定了制定運輸方案時要考慮的八項目標，并規(guī)定其重要性依次為：第1目標：B廠為新開設的工廠，在公司戰(zhàn)略規(guī)劃中占有重要的地位，所生產的產品必須全部銷售出去；第2目標：根據深圳配送中心的訂單要求，C廠到深圳配送中心的銷量不低于50箱；第3目標：為兼顧一般，保證生產平衡，每個工廠的銷售量不低于產量的80%；

§7.3.3進一步應用:L食品公司運輸的不平衡問題

第4目標：由于資金預算的限制，要求新方案總運費不超過原方案的110%；第5目標：因道路限制，從A工廠到西安