湘豫名校聯(lián)考2023屆高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（文科）試題

絕密★啟用前

湘豫名校聯(lián)考

2023年3月高三第一次模擬考試

數(shù)學(xué)(文科)

姓名準(zhǔn)考證號

注意事項(xiàng)：

1.本試卷共6頁.時間120分鐘，滿分150分.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在

試卷指定位置，并將姓名、考場號、座位號、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，然后認(rèn)真核對條形碼

上的信息，并將條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.作答非選擇題時，將答案寫在答題卡上對應(yīng)的

答題區(qū)域內(nèi).寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并收回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知集合A={XGR為2-2%-3,,0},B={XGR|X-2|<1},則AC3=()

A.(1,3]B.[l,3]C,[l,3)D.(1,3)

2.已知復(fù)數(shù)z滿足/-=z,則|z—i|=()

A.亞B，V2C.V6D.2y[2

3.如圖所示的程序框圖中，若輸出的函數(shù)值/(x)=g,則輸入的實(shí)數(shù)x=()

I]/y

A.——B.y/2D.-'或亞^C.--

4.已知定義在R上的函數(shù)滿足〃2+x）+/（2-x）=0,函數(shù)〃x-l）的圖象關(guān)于直線x=l對稱,

且/。）=1，則/（2023）=（）

A.-lB.OC.lD.2

5.為慶祝黨的二十大的勝利召開，某高校黨委從所有的學(xué)生黨員中隨機(jī)抽取100名，舉行“二十大”相關(guān)知

識的競賽活動，根據(jù)競賽成績，得到如下2x2列聯(lián)表.則下列說法正確的是（）

優(yōu)秀非優(yōu)秀合計(jì)

男203050

女351550

合計(jì)5545100

參考公式及數(shù)據(jù)：K'E尚扁E,其中〃=〃+

P(K2..%)0.100.050.0250.0100.005O.(X)1

k02.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.有99.5%的把握認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)“

B.有99.5%的把握認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別無關(guān)”

C.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別無關(guān)”

D.在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下，認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)”

3

6.已知實(shí)數(shù)》,〉滿足約束條件＜x+y..O則上一2y|的最大值是（）

x-y+2..0

A.5B.6C.7D.9

7.已知函數(shù)/（x）=sin（8+看卜0＞0）在區(qū)間（0,?|上的極值點(diǎn)有且僅有2個，則co的取值范圍是

（）

8.已知變量），與x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)變量x與y的相關(guān)數(shù)據(jù)，計(jì)算得

7777

2%=28,》＞,?=1078,\＞；=140,\＞戊=4508則＞關(guān)于*的線性回歸方程為（）

/=!i=li=li=l

附：回歸方程$=邑：+4中的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為b=旦;~5------,a=y-bx.

2

Vxi-rix

i=\

A.y=7x-126B,y=7^+126

C.y=5x+121D,y=5x-121

9.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)的奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子''的稱號，用其名字命名的“高斯函

數(shù)”為：設(shè)xeR,用［x］表示不超過x的最大整數(shù)，則丁=國稱為“高斯函數(shù)”，例如：

[-2.5]=-3,[2.7]=2.己知函數(shù)/(尤)=41,則函數(shù)卜(力]的值域是(

)

e"+1

A.{-1,1}B.{-1,0}D.(—1,0)

n

10.在AABC中，內(nèi)角AS,C的對邊分別為a,。,c,已知A=],a=4,若點(diǎn)。為5c邊的中點(diǎn)，則AO

的最大值為()

A.2>/3B.^/3C.V6D.276

2

11.已知過橢圓C:f+2L=1的上焦點(diǎn)尸且斜率為4的直線/交橢圓c于A，B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直

線OA,OB分別與直線y=2相交于M,N兩點(diǎn).若NMON為銳角，則直線I的斜率k的取值范圍是

()

A.(—00,—1)U(1,+00)B.

D.(-oo,-l)U-

1Q

12.已知a==—,c=ln3—,則瓦。的大小關(guān)系為(

e3

A.a<b<cB.b<c<a

C.a<c<bD.b<a<c

二,填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知平面向量a=(0』)]=(6,2),則向量a+b與q的夾角為.

14.已知三棱錐P-A5C中，28_1_平面45(7,/>5=2百,4。=6,/48。=12(),則三棱錐P—ABC外

接球的表面積為.

15.已知雙曲線C：5—]=13>0/>0)的左、右焦點(diǎn)分別為￡，K，C的離心率為且，點(diǎn)卜,6)在C

上，點(diǎn)P是雙曲線C與圓V+y2=5的一個交點(diǎn)，則.小耳鳥的面積S=.

16.黨的二十大報告將“完成脫貧攻堅(jiān)、全面建成小康社會的歷史任務(wù)，實(shí)現(xiàn)第一個百年奮斗目標(biāo)”作為十年

來對黨和人民事業(yè)具有重大現(xiàn)實(shí)意義和深遠(yuǎn)歷史意義的三件大事之一、某企業(yè)積極響應(yīng)國家的號召，對某

經(jīng)濟(jì)欠發(fā)達(dá)地區(qū)實(shí)施幫扶，投資生產(chǎn)A產(chǎn)品，經(jīng)過市場調(diào)研，生產(chǎn)A產(chǎn)品的固定成本為200萬元，每生產(chǎn)

x萬件，需可變成本p(x)萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時，〃(力=高/+604當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件

6400

時，p(x)=101x+———1360.每件A產(chǎn)品的售價為100元，通過市場分析，生產(chǎn)的A產(chǎn)品可以全部銷

X

售完，則生產(chǎn)該產(chǎn)品能獲得的最大利潤為萬元.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個

試題考生都必須作答.第22.23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.(本小題滿分12分)

為慶祝黨的二十大的勝利召開，培養(yǎng)擔(dān)當(dāng)民族復(fù)興的時代新人，某高校在全校開展“不負(fù)韶華，做好社會

主義接班人”的宣傳活動，為進(jìn)一步了解學(xué)生對黨的“二十大”精神的學(xué)習(xí)情況，學(xué)校開展了“二十大”相關(guān)知

識的競賽活動，現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取100人，將他們的競賽成績（滿分為100分）分為5

[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100],得到如圖所示的頻率分布直方圖：

（1）估計(jì)這100名學(xué)生的競賽成績的中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；

（2）若采用分層抽樣的方法從競賽成績在[80,90）和[90,100]內(nèi)的學(xué)生中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽

取2人，求抽取的2人中恰有1人競賽成績在[90,1（X）]內(nèi)的概率

18.（本小題滿分12分）

已知數(shù)列｛%,｝的前〃項(xiàng)和滿足3S“=2a?-n+2（neN*）.

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛”?（3?！?1）｝的前〃項(xiàng)和卻

19.（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面A5CD是等腰梯形，

AB//CD,AB=2CD=2AD,平面Q4B_L平面A5CO,且八小8是正三角形，用,雙分別是4。,「。

（1）證明：〃平面A4B；

（2）若PC=4,求三棱錐N-PAB的體積.

20.（本小題滿分12分）

已知點(diǎn)P（-2,m）在拋物線C:爐=2py（p>0）上，且到拋物線C的焦點(diǎn)廠的距離為2.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)2）向拋物線C作兩條切線AM,AN,切點(diǎn)分別為若直線人/與直線MN交于

點(diǎn)。，且點(diǎn)。到直線門以、直線FN的距離分別為4,4?求證：二1"為定值.

21.（本小題滿分12分）

已知函數(shù)/（x）=lnx-方之一bx（a,bsR）.

⑴若。=3,匕=一5,求函數(shù)〃力的單調(diào)區(qū)間；

⑵若函數(shù)g（x）=/（x）+G；2有兩個不同的零點(diǎn)%,工2,求證：1叫+1咤>2.

（-）選考題：共10分、請考生在22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題

計(jì)分.

22.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

x=-2+cos6,

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為〈c.八（。為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X

>=-2+sm（9

軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線/的極坐標(biāo)方程為夕（cosG+sin。）=-1.

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線/的直角坐標(biāo)方程；

（2）若直線/與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)P在曲線。上運(yùn)動，求直線A尸斜率的最大值.

23.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

若函數(shù)/（力=卜—什2卜+3|?>0）的最小值為5.

（1）求f的值；

21

（2）已知。且a+2Z?=I,求—I—的最小值.

ab

湘豫名校聯(lián)考

2023年3月高三第一次模擬考試

數(shù)學(xué)（文科）參考答案

題號123456789101112

答案DBDCADCBBADA

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.D【命題意圖】本題考查集合的運(yùn)算及解不等式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解析】因?yàn)榧?/p>

A={XGR|x2-2x-3^0}={xeR|-lA?3},B={XGR||X-2|<1}={X€R|1<X<3},所以

AcB={xeR|1<x<3}=（1,3）.故選D.

2.B【命題意圖】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)模的求解，考查了運(yùn)算求解能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解析】因?yàn)?=三=7；]+2,所以|z-i|=|l+i|=Jf+12=J5.故選B.

3.D【命題意圖】本題考查程序框圖及函數(shù)計(jì)算，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

【解析】由程序框圖可知，該程序是運(yùn)算分段函數(shù)/（力={&2的值.因?yàn)檩敵龅暮瘮?shù)值

X-11,1

/（x）=g,所以當(dāng)尤>1時,由10g2X=g'解得X=&；當(dāng)％,1時,由x+l=g,解得x=-g.故選

D.

4.C【命題意圖】本題考查函數(shù)的周期性及函數(shù)的對稱性，考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng).

【解析】由〃2+x)+.f(2-x)=0,得/0+力二一”一力①國函數(shù)"x—l)的圖象關(guān)于直線x=l對

稱，所以函數(shù)“X)的圖象關(guān)于〉軸對稱，即/(x)=/(-x)②.聯(lián)立①②兩式，可得

〃4+x)=-y(-x)=-/(x),所以〃x+8)=/(x).所以函數(shù)的一個周期為8.所以

/(2023)=/(253x8_l)=/(_l)=/(l)=l.故選C.

5.A【命題意圖】本題考查獨(dú)立性檢驗(yàn)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

【解析】因?yàn)镵2的觀測值上=也烏以生正渺1=32=9.091＞7.879,由臨界值表知，有

55x45x50x5011

99.5%的把握認(rèn)為“競賽成績是否優(yōu)秀與性別有關(guān)故選A.

6.D【命題意圖】本題考查線性規(guī)劃，考查了直觀想象、邏輯推理的核心素養(yǎng).

【解析】由題，畫出滿足題意的可行域如圖所示，令2=l-2)，,2=%-2＞可化為丁=(*—32,—(2相

當(dāng)于直線＞=3%—gz在y軸上的截距.平移直線y=當(dāng)直線過點(diǎn)A時，截距最大，z最小；當(dāng)直線

x-y+2=0,x=3,/、[x+y=0,[x=3,

過點(diǎn)C時，截距最小,z最大.聯(lián)立《得《—所以A(3,5).聯(lián)立｛得所

x=3,y—、入-3,y——

皿=3-2x(—3)=9.所以卜一2ylm1Kmz1111ax=9.故選D.

7.C【命題意圖】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查了直觀想象,邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解析】因?yàn)間＞0,所以當(dāng)0＜X＜工時，有因?yàn)?(尤)在區(qū)間上的極值

26626\2y

點(diǎn)有且僅有2個，結(jié)合函數(shù)圖象得包＜三3+工,，且，解得§＜電，好，所以。的取值范圍為

226233

814?

-y.故選1C.

3

8.B【命題意圖】本題考查線性回歸分析，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

7

_￡7封4508-7x4x154196

【解析】由題中的數(shù)據(jù)可知x=4,y=154,所以6=-^—j-------=—…r必—=)=7.所以

30140-7x1628

/=!

&=y—赤=154-7x4=126.所以夕=%+4=7工+126.故選B.

9.B【命題意圖】本題考查函數(shù)的值域，考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

x

P_i21

【解析】方法一：函數(shù)=^-=1一一—,因?yàn)闋t>()，所以l+e、>l，所以0<一7<1.所以

八'ev+ll+evl+ex

—2<—.所以—1<1一^7V<1,即一1</(X)<1.當(dāng)-l</(x)<0時，［/(x)］=—1；當(dāng)

0,J(x)<1時，］〃切=0.故［/(%)］的值域?yàn)閧-1,0}.故選B.

方法二：由/(力=三￡,得e=］］/(,.因?yàn)閑*>()，所以一1</(力<1.當(dāng)一1</(力<0時，

［/(%)］=-1；當(dāng)0,J(x)<l時，卜(力］=。.所以［/(司］的值域?yàn)閧—1,0}.故選區(qū)

10.A【命題意圖】本題考查解三角形、平面向量的相關(guān)運(yùn)算，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

【解析】方法一：如圖，設(shè)==則一/在_AB￡)中，由余弦定理得

c2=4+x2-4xcos0①.在二ADC中，由余弦定理得/=4+f_4xcos(萬-8)=4+/+4xcos6②.由

①+②可得："+。2=8+2%2.在，ABC中，由余弦定理得

l6-b2+c2-2bccos—=b2+c2-bc..b2+c2-+t--(b2+c2]-4+x2>當(dāng)且僅當(dāng)人=c=4時等

322V7

號成立，解得用,26，即AD的最大值為2G?故選A.

方法二：由題可得，BC'=(AC-AB)2=|AC|2+|AB|2-|^c|,所以

|AC『+|A8|2=16+|Aqk可①.又因?yàn)锳D=g(AB+AC),所以

41Aol2=|+|AC?+|AB||AC|②，由①②得4|AZj『=i6+2網(wǎng),耳,由①得

|AC5+14看『=16+1AC||A31..21AC||AB\,則|AC||AB|?16,所以41Aol?16+2x16=48,

當(dāng)且僅當(dāng)|AB|=|AC|=4時，等號成立.所以|A。，.故選A.

11.D【命題意圖】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

y=履+1,

2

【解析】方法一：設(shè)直線/的方程為y="+l,A(玉,凹),3(々,%)，聯(lián)立72v整理可得：

X+—=1,

2

-2k-1y.

(2+公產(chǎn)+2而一i=o,則X+%=，玉電=「方.由題設(shè)知，OA所在的直線方程為y="X.

-2+k2-2+、攵2X

管,2).所以

因?yàn)橹本€。4與直線y=2相交于點(diǎn)M,所以M,2；同理可得N

7

OM,2,0N,2|.因?yàn)镹A/ON為銳角，所以O(shè)A1.QV>0，所以

OM-ON=-5-^-+4=-----^-=------+4=-----------------+4

y%(AX1+1)(AX2+1)k~xtx2+A:(x,+x2J+1

4x--

2，4k=2Ab2_2〈，或&2>1，所

----------2±_L-------+4=——+4=———,則f>0,解得:

k2x+—竺y+1k2-lk2-lk2-l2

2+k22+k2

以一包<k<包,或左>1,或左<一1.故直線/的斜率上的取值范圍是

22

D(l,+e).故選D.

、722

方法二：當(dāng)人>1時，48分別在第一、第三象限(或第三、第一象限)，由數(shù)形結(jié)合得

NAOB+NMON=萬.易得。4.08<0，所以NMON為銳角.同理當(dāng)k<-\時滿足條件.檢驗(yàn)k=0

時，NAOB=NMON,所以4WON為銳角.排除法可得D.

12.A【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的核心素養(yǎng).

【解析】方法一：比較a,匕的大小時，(法一)設(shè)函數(shù)“力二11竺，則/(耳=上2竺，令ra)=o,

X

^x=e,當(dāng)xe(O,e)時，/'(x)>0,函數(shù)/(力單調(diào)遞增；當(dāng)xe(e,+8),/'(x)<0,函數(shù)/(x)單調(diào)

遞減.所以當(dāng)x=e時，函數(shù)取得最大值!，因?yàn)閍=lnV2=^=/(2),/?=-=—=/(e),e>2,所

e2ee

以」(2)<f(e),即

(法二)因?yàn)閍=?,b=詈，設(shè)A(2,ln2),3(e,lne),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)y=lnx的圖象知

k°A<k°B，所以av〃.

比較b,c的大小時，設(shè)函數(shù)g(x)=x-lnx-l,x>0,貝Ug'(x)=土」■.當(dāng)0<x<l時，g'(x)<0,所以

X

函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減；當(dāng)X>1時，g'(x)>o,所以函數(shù)g(x)在(1,+8)上單調(diào)遞增.因?yàn)?/p>

b=g(：),c=g(；)，又0<；<，<1,所以，即b<c.綜上可得，a<h<c,故選

A.

方法二(估值法)：因?yàn)閍=ln0='ln2a鱉=O.345,Z?=LH-^xO.37,c=ln3—2Bi.i—O.67=

22e2.73

0.43.所以avb<c.故選A.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

71

13.-【命題意圖】本題考查向量的運(yùn)算，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

6

+3邛■因?yàn)?/p>

【解析】方法一：因?yàn)閍+8=(G,3),所以cos(a,a+0)=

?+01x2^3

噫4a,“兀,所以(a,a+〃)=).

方法二(幾何法)：。+人=(百,3),設(shè)A(、回,3),8(0,1),。為原點(diǎn)，結(jié)合圖象，可得

04=(6,3),08=(0,1),所以NA08=+.

14.60%【命題意圖】本題考查線面垂直以及三棱錐的外接球問題，考查了直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心

素養(yǎng).

【解析】由題意，將三棱錐P-A3C補(bǔ)成直三棱柱7PS-A5C,則該直三棱柱的外接球即為三棱錐

P-ABC的外接球，且直三棱柱的外接球球心落在上、下底面外接圓圓心連線的中點(diǎn)上.設(shè)A3C外接圓

的半徑為，三棱錐P—A5C外接球的半徑為R,因?yàn)槭珺_L平面A5C,P5=2G,AC=6,

/ABC=12()，由正弦定理得，2r=.，丁=46,所以r=2百,/?2=產(chǎn)+j"]=12+3=15.所

sml20I2J

以三棱錐P-ABC外接球的表面積為S=4兀R?=60%.

15.1【命題意圖】本題考查雙曲線與圓的綜合應(yīng)用，考查了直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

【解析】由題意得e，=￥，所以5/=府=4(/+從)，所以/=4片因?yàn)辄c(diǎn)(4,百)在c上，所

以下―本=1,所以乒一行=1，解得〃2=1.所以〃=4m2=5,所以雙曲線。的方程為、一丁=1.

尤2+y2=5,1

由％2,解得況=也，所以s"F=LX2CX9r=1.

--/=1,⑺5附25

I4

16.11000【命題意圖】本題考查函數(shù)的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理的核心素養(yǎng).

【解析】由題意得，銷售收入為1008萬元，當(dāng)產(chǎn)量不足50萬件時，利潤

/(x)=100%-p(%)-200=-x3+40%-200；當(dāng)產(chǎn)量不小于50萬件時，禾U潤

-----丁+40x—200,0<x<50,

寫?).所以利潤/(%)=120

/(x)=100x-p(x)-200=1160-x+因

(6400、_

1160-x-\-------,x..5O.

kxJ

為當(dāng)0<x<50時，為(x)=—:(x+40)(x—40),所以在(0,40)上單調(diào)遞增，在(40,50)上單

調(diào)遞減，貝|」〃》),,/(40)=跑2；當(dāng)x..50時，由1160-|\+空四］,1160—2］”竺2=1000,

3xJ\x

當(dāng)且僅當(dāng)x=80時取等號.又1000>晉色，故當(dāng)x=80時，所獲利潤最大，最大值為1000萬元.

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個

試題考生都必須作答.第22..23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.【命題意圖】本題考查統(tǒng)計(jì)與概率，考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).

【解析】(1)因?yàn)?0.010+0.030)xl0=0.4<0.5,0.4+0.045xl0=0.85>0.5,

所以競賽成績的中位數(shù)在［70,80)內(nèi).

設(shè)競賽成績的中位數(shù)為m，則(m—70)x0.045+0.4=0.5,解得機(jī)272.

所以估計(jì)這100名學(xué)生的競賽成績的中位數(shù)為72.

(2)由頻率分布直方圖可知，競賽成績在［80,90)和［90,100］內(nèi)的頻率分別是0.1和0.05,

則采用分層抽樣的方法抽取的6人中，競賽成績在［80,90)內(nèi)的有4人，記為a,b,c,d,

競賽成績在［90,100］內(nèi)的有2人，記為e,/.

從這6人中隨機(jī)抽取2人的情況有：ab,ac,ad,ae,of,be,bd,be,bf,cd,ce,cf,de,df,ef,共15種.

Q

其中符合條件的情況有ae，W，加，妙,ce,</,de,或，共8種故所求概率

18.【命題意圖】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)、數(shù)列求和，考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解析】①因?yàn)?S“=2a"—"+2(“eN*)①，

當(dāng)〃=1時，3%=2q-1+2,得％=1.

當(dāng)〃..2時，3sI=2。"_|一(“一1)+2②，

①-②得：3%=2%-2a一1,即4=-2《1-1,

所以4+；=(-2)x.

所以數(shù)列是首項(xiàng)為%+；=g，公比為一2的等比數(shù)列.

141

所以《+3=5'(-2尸=§x(-2嚴(yán).

所以4,=；x(-2嚴(yán)-；[(-2嚴(yán)—1](“eN)

(2)由(1)知，〃,(3a”+!_)=〃?(—2)"",

令勿=”?(3a,+1)=〃?(一2)"+[〃eN"),

則7；,=lx(—2>+2x(一+3x(-2)4++nx(-2),,+I③.

所以一27；=(—2)3+2x(—2)4+3x(-2)5-1)x(-2),,+1+〃x(-2),,+2④.

③-④得：37；,=(—2)2+(—2)3+(-2尸++(-2)n+l-?x(-2),,+2,

(-2)2xl-(-2)n,

整理得：3T=---------4――-nx(-2),|+2

1-(-2)

4x[l-(-2)[

-nx(-2)n+2

所以2)"]-gx(—2產(chǎn)2=,(-2),,+2(neN*).

y3y

19.【命題意圖】本題考查空間線面位置關(guān)系、空間兒何體的體積，考查了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的

核心素養(yǎng).

【解析】(1)證明：取BC的中點(diǎn)E,連接EM,EN.

因?yàn)榈酌鍭BC。是等腰梯形，AB//CD,

又分別是的中點(diǎn)，所以

又因?yàn)槠矫媸珹3,ABu平面EW，所以〃平面

因?yàn)镹是尸。的中點(diǎn)，所以EN〃PB.

又因?yàn)镋Ng平面PAB,PBu平面所以EN〃平面443.

因?yàn)镋Mu平面MNE,ENu平面MNE,EMcEN=E,

所以平面M7VE〃平面RS.

因?yàn)镸Nu平面政VE,所以MN〃平面Q4B.

(2)如圖，取A8的中點(diǎn)0，連接P。,。。.

由已知得。4〃C￡>且。4=8,所以四邊形OADC是平行四邊形,

所以O(shè)C〃A。，且。C=AD.

因?yàn)?QA3是正三角形，所以POJ_A3,

因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC￡>,平面Q4BC平面A6C￡>=AB,

所以PO_L平面ABC。，又OCu平面A8CD,所以PO_LOC.

設(shè)A6=2CD=2AD=2BC=2a,則尸0=屈.

在放POC中，由「0?+0。2=尸。2,即（入產(chǎn)+/=42,解得。=2,

即AB=2C￡>=2AD=2BC=4.

1八

方法一：由題意可得/84。=60，點(diǎn)M到48的距離。=AMsin60=-ADsin60=—.

22

即點(diǎn)M到平面PAB的距離為—.

2

又MN〃平面Q鉆，所以點(diǎn)N到平面Q4B的距離為走.

2

所以匕v-PAB=gsPAB,h=；X；X4x26X與=2.

方法二：連接AC,由題意得，/ABC=60，所以點(diǎn)C到AB的距離為4=8或拘60=6

因?yàn)镹為CP的中點(diǎn)，所以三棱錐N—P4B的高為三棱錐C—PA5高的,，所以

2

xOP=—x-x—x4x-s/3x2\/3=2.

ABKCr232

20.【命題意圖】本題考查拋物線、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、直線與拋物線，考查了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的

核心素養(yǎng).

【解析】⑴因?yàn)椤?gt;0，由題意可得加+垓=2,（—2）2=2〃加，

解得機(jī)=l,p=2,所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為/=4）.

（2）方法一：設(shè)乂（演,名）”（孫丫2），由得了=3%，

所以拋物線在點(diǎn)M處的切線方程為>一y=:玉（》一內(nèi)），

在點(diǎn)N處的切線方程為y一%=^X2（X-X2）-

2+X=；%（玉+1），

因?yàn)閮蓷l切線均過點(diǎn)4（-1,-2）,所以＜

2+%=夫2（工2+1）.

所以點(diǎn)的坐標(biāo)均滿足2+y=gx（x+l）,

所以2H—x1——x2-I—x,即f+2x—8=0，解得x=—4,或x=2.

422

不妨設(shè)％=-4,々=2,則M（-4,4）,N（2,1）.

易知以0,1）,所以fM=（T,3）,E4=（T,—3）,EN=（2,0）.

c,\FAFM4-9Vio

所以cos（FA,FM/=?—m-----q-=-7=,

、/附|畫5回"nr

cos〈FA,FN）FA-FN-2

?叫2M10-

所以=所以NMFQ=NNFQ,所以b。平分/MEN,

所以點(diǎn)。到直線FM的距離4等于點(diǎn)。到直線FN的距離d2,

所以3=1，為定值，得證.

4

方法二：設(shè)切點(diǎn)為（王）,%）,由y=；*2,得y，=gx,

所以過點(diǎn)A（-l,-2）的拋物線的切線方程為y+2=耳/（*+1）?

12

聯(lián)立方程《4]消去y并整理得*2-2々/+8-24=（），

竹2=2%（%+1）,

則A=4x；-4（8-2x（））=0,解得/=-4,或%=2.

不妨設(shè)為=-4,4=2,則M（T,4）,N（2,1）,

所以直線MN的方程為丁=一^%+2.

易知口（0』），所以直線A尸的方程為y=3x+l.

2

y=3x+l,

“一7’213

由，1得,13即°5

y=-x+2,7T

2r

3

易得直線府的方程為八一十+八直線/N的方程為"1,

6

7,

點(diǎn)。到直線FN的距離d,=P—1=2

-77

d.,

所以4=4,則十=1,為定值，得證.

21.【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

【解析】(1)當(dāng)。=3/=—5時，/(x)=lnx-3x2+5x,x>0.

-6x2+5x+l_6x2-5x-l_(6x+l)(x-l)

則〃x)=—一6x+5=

當(dāng)/'(x)>0時，解得—，<x<l,又x>0,所以0<x<l；

當(dāng)/'(x)<。時,解得X>1,或又X>。,所以X>1.

6

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,+").

(2)函數(shù)g(x)=.f(%)+依2uinx-〃蒼1>0,

令g(x)=lnx_/zr=0,得/?=更工.

令°(x)=—(x>0),則直線y=b與函數(shù)夕(力的圖象在(0,+。)上有兩個不同的交點(diǎn).

-，/\1—lar八,'八g八?、八

因?yàn)椤?(x)=——；—,x>0,由0'(x)>0,得Ovxve；由“(x)<0,得x>e.

所以函數(shù)。(X)在(o,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減.

所以8(x)max=9(x)極大值=e(e)=L

e

又。⑴=0,且當(dāng)％—>+??時,夕(x)f0且尹(尤)>0,

由于為,馬是方程g(x)=O的兩實(shí)根，所以0<6<一.

e

方法一：不妨設(shè)l<X2<e<%,由g(xj=g(x2)=°，

得1叫一bX[-0,lnx2-bx2=0,

兩式相減得：Iwq-1叱=匕(玉-,

兩式相加得：Iwq+1眸=》(玉+赴).

欲證：1叫+成2>2,只需證：/芯+々)>2,

設(shè)”五〉1,則玉=%，代入上式得：ln>>2"T/>l.

X27+1

故只需證：Inr>2^~—,r>1"

r+1

設(shè)=lnr-^——,z>,,、12(r+l)-2(r-l)(/-I)2

1,則〃'⑺一-一—L—~—L=>0,

t+]、)t"。+1)2/(r+1)

所以“(。