2018年高考理科數(shù)學(xué)試題(天津卷)及參考答案

絕密★啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學(xué)（理工類）本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時(shí)120分鐘。第Ⅰ卷1至2頁，第Ⅱ卷3至5頁。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題考上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼。答卷時(shí)，考生務(wù)必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。祝各位考生考試順利！第I卷注意事項(xiàng)：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。2．本卷共8小題，每小題5分，共40分。參考公式：如果事件A，B互斥，那么.如果事件A，B相互獨(dú)立，那么.棱柱的體積公式，其中表示棱柱的底面面積，表示棱柱的高.棱錐的體積公式，其中表示棱錐的底面面積，表示棱錐的高.一.選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(1)設(shè)全集為R，集合，，則(A) (B)(C) (D)(2)設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為(A)6(B)19(C)21(D)45(3)閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為20，則輸出T的值為(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(4)設(shè)，則“”是“”的(A)充分而不必要條件(B)必要而不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件(5)已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為(A) (B) (C) (D)(6)將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)(A)在區(qū)間上單調(diào)遞增 (B)在區(qū)間上單調(diào)遞減(C)在區(qū)間上單調(diào)遞增 (D)在區(qū)間上單調(diào)遞減(7)已知雙曲線的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn).設(shè)A，B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為(A) (B)(C) (D)(8)如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，.若點(diǎn)E為邊CD上的動點(diǎn)，則的最小值為(A) (B) (C) (D)第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2.本卷共12小題，共110分。二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。(9)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù).(10)在的展開式中，的系數(shù)為.(11)已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為.(12)已知圓的圓心為C，直線(為參數(shù))與該圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的面積為.(13)已知，且，則的最小值為.(14)已知，函數(shù)若關(guān)于的方程恰有2個(gè)互異的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是.三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.（15）（本小題滿分13分）在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（I）求角B的大小;（II）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.(16)(本小題滿分13分)已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)分別為24，16，16.現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時(shí)間的調(diào)查.（I）應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取多少人？（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ii）設(shè)A為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件A發(fā)生的概率.(17)(本小題滿分13分)如圖，且AD=2BC，,且EG=AD，且CD=2FG，，DA=DC=DG=2.（I）若M為CF的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：；（II）求二面角的正弦值；（III）若點(diǎn)P在線段DG上，且直線BP與平面ADGE所成的角為60°，求線段DP的長.(18)(本小題滿分13分)設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，其前n項(xiàng)和為，是等差數(shù)列.已知，，，.（I）求和的通項(xiàng)公式；（II）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，（i）求；（ii）證明.(19)(本小題滿分14分)設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B.已知橢圓的離心率為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為P，且l與直線AB交于點(diǎn)Q.若(O為原點(diǎn))，求k的值.(20)(本小題滿分14分)已知函數(shù)，，其中a>1.（I）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（II）若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線平行，證明；（III）證明當(dāng)時(shí)，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.參考答案：一、選擇題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分40分．（1）B （2）C （3）B （4）A（5）D （6）A （7）C （8）A二、填空題：本題考查基本知識和基本運(yùn)算．每小題5分，滿分30分．（9）4–i （10） （11）（12） （13） （14）三、解答題（15）本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的正弦與余弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力．滿分13分．（Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因?yàn)?，可得B=．（Ⅱ）解：在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因?yàn)閍<c，故．因此，所以，（16）本小題主要考查隨機(jī)抽樣、離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望、互斥事件的概率加法公式等基礎(chǔ)知識．考查運(yùn)用概率知識解決簡單實(shí)際問題的能力．滿分13分．學(xué).科網(wǎng)（Ⅰ）解：由已知，甲、乙、丙三個(gè)部門的員工人數(shù)之比為3∶2∶2，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個(gè)部門的員工中分別抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）解：隨機(jī)變量X的所有可能取值為0，1，2，3．P（X=k）=（k=0，1，2，3）．所以，隨機(jī)變量X的分布列為X0123P隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望．（ii）解：設(shè)事件B為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，睡眠不足的員工有2人”；事件C為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則A=B∪C，且B與C互斥，由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．所以，事件A發(fā)生的概率為．（17）本小題主要考查直線與平面平行、二面角、直線與平面所成的角等基礎(chǔ)知識．考查用空間向量解決立體幾何問題的方法．考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力和推理論證能力．滿分13分．依題意，可以建立以D為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得D（0，0，0），A（2，0，0），B（1，2，0），C（0，2，0），E（2，0，2），F(xiàn)（0，1，2），G（0，0，2），M（0，，1），N（1，0，2）．（Ⅰ）證明：依題意=（0，2，0），=（2，0，2）．設(shè)n0=(x，y，z)為平面CDE的法向量，則即不妨令z=–1，可得n0=（1，0，–1）．又=（1，，1），可得，又因?yàn)橹本€MN平面CDE，所以MN∥平面CDE．（Ⅱ）解：依題意，可得=（–1，0，0），，=（0，–1，2）．設(shè)n=（x，y，z）為平面BCE的法向量，則即不妨令z=1，可得n=（0，1，1）．設(shè)m=（x，y，z）為平面BCF的法向量，則即不妨令z=1，可得m=（0，2，1）．因此有cos<m，n>=，于是sin<m，n>=．所以，二面角E–BC–F的正弦值為．（Ⅲ）解：設(shè)線段DP的長為h（h∈［0，2］），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0，h），可得．易知，=（0，2，0）為平面ADGE的一個(gè)法向量，故，由題意，可得=sin60°=，解得h=∈［0，2］．所以線段的長為.（18）本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式等基礎(chǔ)知識.考查等差數(shù)列求和的基本方法和運(yùn)算求解能力.滿分13分.（I）解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由可得.因?yàn)?，可得，?設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由，可得由，可得從而故所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（II）（i）由（I），有，故.（ii）證明：因?yàn)?，所以?（19）本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線方程等基礎(chǔ)知識．考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì)．考查運(yùn)算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力．滿分14分．（Ⅰ）解：設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知知，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，從而a=3，b=2．所以，橢圓的方程為．（Ⅱ）解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因?yàn)?，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程組消去x，可得．易知直線AB的方程為x+y–2=0，由方程組消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，兩邊平方，整理得，解得，或．所以，k的值為（20）本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和方法.考查函數(shù)與方程思想、化歸思想.考查抽象概括能力、綜合分析問題和解決問題的能力.滿分14分.（I）解：由已知，，有.令，解得x=0.由a>1，可知當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：x00+極小值所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，單調(diào)遞增區(qū)間為.（II）證明：由，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.由，可得曲線在點(diǎn)處的切線斜率為.因?yàn)檫@兩條切線平行，故有，即.兩邊取以a為底的對數(shù)，得，所以.（III）證明：曲線在點(diǎn)處的切線l1：.曲線在點(diǎn)處的切線l2：.要證明當(dāng)時(shí)，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線，只需證明當(dāng)時(shí)，存在，，使得l1和l2重合.學(xué)*科網(wǎng)即只需證明當(dāng)時(shí)，方程組有解，由①得，代入②，得.③因此，只需證明當(dāng)時(shí)，關(guān)于x1的方程③有實(shí)數(shù)解.設(shè)函數(shù)，即要證明當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn).，可知時(shí)，；時(shí)，單調(diào)遞減，又，，故存在唯一的x0，且x0>0，使得，即.由此可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.在處取得極大值.因?yàn)?，故，所?下面證明存在實(shí)數(shù)t，使得.由（I）可得，當(dāng)時(shí)，有，所以存在實(shí)數(shù)t，使得因此，當(dāng)時(shí)，存在，使得.所以，當(dāng)時(shí)，存在直線l，使l是曲線的切線，也是曲線的切線.選擇填空解析一.選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集為R，集合，，則A.B.C.D.【答案】B【解析】分析：由題意首先求得，然后進(jìn)行交集運(yùn)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意可得：，結(jié)合交集的定義可得：.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查交集的運(yùn)算法則，補(bǔ)集的運(yùn)算法則等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.2.設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)的最大值為A.6B.19C.21D.45【答案】C【解析】分析：首先畫出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定函數(shù)取得最大值的點(diǎn)，最后求解最大值即可.詳解：繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最小；當(dāng)b＜0時(shí)，直線過可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.3.閱讀右邊的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入N的值為20，則輸出T的值為A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】分析：由題意結(jié)合流程圖運(yùn)行程序即可求得輸出的數(shù)值.詳解：結(jié)合流程圖運(yùn)行程序如下：首先初始化數(shù)據(jù)：，，結(jié)果為整數(shù)，執(zhí)行，，此時(shí)不滿足；，結(jié)果不為整數(shù)，執(zhí)行，此時(shí)不滿足；，結(jié)果為整數(shù)，執(zhí)行，，此時(shí)滿足；跳出循環(huán)，輸出.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：識別、運(yùn)行程序框圖和完善程序框圖的思路：(1)要明確程序框圖的順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)和循環(huán)結(jié)構(gòu)．(2)要識別、運(yùn)行程序框圖，理解框圖所解決的實(shí)際問題．(3)按照題目的要求完成解答并驗(yàn)證．4.設(shè)，則“”是“”的A.充分而不必要條件B.必要而不重復(fù)條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】分析：首先求解絕對值不等式，然后求解三次不等式即可確定兩者之間的關(guān)系.詳解：絕對值不等式，由.據(jù)此可知是的充分而不必要條件.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，充分不必要條件的判斷等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為A.B.C.D.【答案】D【解析】分析：由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知：，，，據(jù)此可得：.本題選擇D選項(xiàng).點(diǎn)睛：對于指數(shù)冪的大小的比較，我們通常都是運(yùn)用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，但很多時(shí)候，因冪的底數(shù)或指數(shù)不相同，不能直接利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較．這就必須掌握一些特殊方法．在進(jìn)行指數(shù)冪的大小比較時(shí)，若底數(shù)不同，則首先考慮將其轉(zhuǎn)化成同底數(shù)，然后再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷．對于不同底而同指數(shù)的指數(shù)冪的大小的比較，利用圖象法求解，既快捷，又準(zhǔn)確．6.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)A.在區(qū)間上單調(diào)遞增B.在區(qū)間上單調(diào)遞減C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.在區(qū)間上單調(diào)遞減【答案】A【解析】分析：由題意首先求得平移之后的函數(shù)解析式，然后確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可.詳解：由函數(shù)圖象平移變換的性質(zhì)可知：將的圖象向右平移個(gè)單位長度之后的解析式為：.則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間滿足：，即，令可得一個(gè)單調(diào)遞增區(qū)間為：.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間滿足：，即，令可得一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間為：.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的判斷等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7.已知雙曲線的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn).設(shè)A，B到雙曲線同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：由題意首先求得A,B的坐標(biāo)，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求得b的值，之后求解a的值即可確定雙曲線方程.詳解：設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為（c>0），則，由可得：，不妨設(shè)：，雙曲線的一條漸近線方程為：，據(jù)此可得：，，則，則，雙曲線的離心率：，據(jù)此可得：，則雙曲線的方程為.本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是待定系數(shù)法．具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值．如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出λ的值即可.8.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，，.若點(diǎn)E為邊CD上的動點(diǎn)，則的最小值為A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：由題意建立平面直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)得到數(shù)量積的坐標(biāo)表示，最后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，點(diǎn)在上，則，設(shè)，則：，即，據(jù)此可得：，且：，，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算法則可得：，整理可得：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，取得最小值.本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用．2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)數(shù)學(xué)(理工類)第Ⅱ卷注意事項(xiàng)：1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上。2.本卷共12小題，共110分。二.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。9.i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)___________.【答案】4–i【解析】分析：由題意結(jié)合復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.詳解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得：.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及其應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.10.在的展開式中，的系數(shù)為____________.【答案】【解析】分析：由題意結(jié)合二項(xiàng)式定理展開式的通項(xiàng)公式得到r的值，然后求解的系數(shù)即可.詳解：結(jié)合二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式有：，令可得：，則的系數(shù)為：.點(diǎn)睛：(1)二項(xiàng)式定理的核心是通項(xiàng)公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項(xiàng))和通項(xiàng)公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時(shí)要注意二項(xiàng)式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負(fù)整數(shù)，且n≥r，如常數(shù)項(xiàng)指數(shù)為零、有理項(xiàng)指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項(xiàng)．(2)求兩個(gè)多項(xiàng)式的積的特定項(xiàng)，可先化簡或利用分類加法計(jì)數(shù)原理討論求解．11.已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐的體積為__________.【答案】【解析】分析：由題意首先求解底面積，然后結(jié)合四棱錐的高即可求得四棱錐的體積.詳解：由題意可得，底面四邊形為邊長為的正方形，其面積，頂點(diǎn)到底面四邊形的距離為，由四棱錐的體積公式可得：.點(diǎn)睛：本題主要考查四棱錐的體積計(jì)算，空間想象能力等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.12.已知圓的圓心為C，直線(為參數(shù))與該圓相交于A，B兩點(diǎn)，則的面積為___________.【答案】【解析】分析：由題意首先求得圓心到直線的距離，然后結(jié)合弦長公式求