上海市上海理工大附中2024屆數(shù)學高二第二學期期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

上海市上海理工大附中2024屆數(shù)學高二第二學期期末教學質(zhì)量檢測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，則不等式的解集是（）A． B． C． D．2．已知等差數(shù)列的第項是二項式展開式的常數(shù)項，則（）A．B．C．D．3．已知雙曲線的焦距為，兩條漸近線的夾角為，則雙曲線的標準方程是（）A． B．或C． D．或4．已知，，則等于()A． B． C． D．5．.盒子里有25個外形相同的球，其中10個白的，5個黃的，10個黑的，從盒子中任意取出一球，已知它不是白球，則它是黑球的概率為A．15B．25C．16．已知圓,在圓中任取一點,則點的橫坐標小于的概率為（）A． B． C． D．以上都不對7．已知X的分布列為X－101P設(shè)Y＝2X＋3，則E(Y)的值為A． B．4 C．－1 D．18．在中，，則（）A． B． C． D．9．已知命題,那么命題為A． B．C． D．10．若正數(shù)滿足，則的最小值為（）A．3 B．4 C．5 D．611．拋物線的焦點坐標為（）A． B． C． D．12．如表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后在生產(chǎn)A產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)品（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗(噸)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程為，那么表中的值為（）A．4.5 B．3.75 C．4 D．4.1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如果，且為第四象限角，那么的值是____.14．已知，直線：和直線：分別與圓：相交于、和、，則四邊形的面積為__________．15．設(shè)函數(shù),，則函數(shù)的遞減區(qū)間是________．16．若函數(shù)有且只有一個零點，是上兩個動點（為坐標原點），且，若兩點到直線的距離分別為，則的最大值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）食品安全一直是人們關(guān)心和重視的問題，學校的食品安全更是社會關(guān)注的焦點.某中學為了加強食品安全教育，隨機詢問了36名不同性別的中學生在購買食品時是否看保質(zhì)期，得到如下“性別”與“是否看保質(zhì)期”的列聯(lián)表：男女總計看保質(zhì)期822不看保持期414總計（1）請將列聯(lián)表填寫完整，并根據(jù)所填的列聯(lián)表判斷，能否有的把握認為“性別”與“是否看保質(zhì)期”有關(guān)？（2）從被詢問的14名不看保質(zhì)期的中學生中，隨機抽取3名，求抽到女生人數(shù)的分布列和數(shù)學期望.附：，（）.臨界值表：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82818．（12分）設(shè)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間.（Ⅱ）當時，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在求出的最小值，若不存在，說明理由.19．（12分）已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的最大值，并求取最大值時的取值集合；（Ⅱ）若且，求．20．（12分）已知,且.證明：（Ⅰ）；（Ⅱ）.21．（12分）在心理學研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用，現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示.（I）求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含的頻率。（II）用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望EX.22．（10分）已知

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

先判斷出函數(shù)為奇函數(shù)且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，然后把不等式變形為，再利用單調(diào)性求解即可．【題目詳解】由題意得，函數(shù)的定義域為R．∵，∴函數(shù)為奇函數(shù)．又根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增．由得，∴，解得，∴不等式的解集為．故選C．【題目點撥】解答本題的關(guān)鍵是挖掘題意、由條件得到函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，最后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解，這是解答抽象不等式（即不知表達式的不等式）問題的常用方法，考查理解和應(yīng)用能力，具有一定的難度和靈活性．2、C【解題分析】試題分析：二項式展開中常數(shù)項肯定不含，所以為，所以原二項式展開中的常數(shù)項應(yīng)該為，即，則，故本題的正確選項為C.考點：二項式定理.3、B【解題分析】

根據(jù)題意，有，根據(jù)斜率公式求出的值，進而聯(lián)立組成方程組求出，的值，將其代入雙曲線的標準方程即可得出結(jié)果.【題目詳解】解：根據(jù)題意雙曲線的焦距為，則雙曲線的一個焦點為，則①，雙曲線的兩條漸近線的夾角為，一條漸近線的斜率為或則或②，聯(lián)立①、②可得或.則雙曲線的標準方程是或.故選：B.【題目點撥】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，涉及雙曲線的焦點、漸近線的求法，屬于中檔題.4、B【解題分析】

根據(jù)余弦的半角公式化簡、運算，即可求解，得到答案．【題目詳解】由題意，可知，則，又由半角公式可得，故選B．【題目點撥】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡、求值問題，其中解答中熟練應(yīng)用余弦函數(shù)的半角公式，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解題分析】解：由題意知本題是一個等可能事件的概率，試驗發(fā)生包含的事件是從盒子中取出一個不是白球的小球，共有5+10=15種結(jié)果，滿足條件的事件是取出的球是一個黑球，共有10種結(jié)果，∴根據(jù)等可能事件的概率得到P==106、C【解題分析】分析：畫出滿足條件的圖像，計算圖形中圓內(nèi)橫坐標小于的面積，除以圓的面積。詳解：由圖可知，點的橫坐標小于的概率為，故選C點睛：幾何概型計算面積比值。7、A【解題分析】由條件中所給的隨機變量的分布列可知EX=﹣1×+0×+1×=﹣，∵E（2X+3）=2E（X）+3，∴E（2X+3）=2×（﹣）+3=．故答案為：A．8、D【解題分析】

利用余弦定理計算出的值，于此可得出的值．【題目詳解】，，由余弦定理得，，因此，，故選D．【題目點撥】本題考查利用余弦定理求角，解題時應(yīng)該根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)確定對象角，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題．9、C【解題分析】

全稱命題的否定是特稱命題,要前改量詞，后面否定結(jié)論,故選C.10、B【解題分析】

先根據(jù)已知得出的符號及的值，再根據(jù)基本不等式求解.【題目詳解】∵；∴∴∴當且僅當，即時，等號成立.故選B.【題目點撥】本題考查基本不等式，注意基本不等式成立的條件“一正二定三相等”.11、C【解題分析】

根據(jù)拋物線的標準方程可得出拋物線的焦點坐標.【題目詳解】由題意可知，拋物線的焦點坐標為，故選：C.【題目點撥】本題考查拋物線焦點坐標的求解，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【解題分析】

根據(jù)回歸直線必過，求出代入回歸直線可構(gòu)造出方程求得結(jié)果.【題目詳解】由數(shù)據(jù)表可知：，由回歸直線可知：，即：，解得：本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用回歸直線求解實際數(shù)據(jù)點的問題，關(guān)鍵是能夠明確回歸直線必過點，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用先求得,再利用求解即可,注意利用角的范圍確定三角函數(shù)值的符號.【題目詳解】由題,因為,且,則或,因為為第四象限角,所以,則,所以,故答案為:【題目點撥】本題考查利用同角的三角函數(shù)關(guān)系求三角函數(shù)值,屬于基礎(chǔ)題.14、8【解題分析】由題意，直線l1：x+2y=a+2和直線l2：2x﹣y=2a﹣1，交于圓心（a，1），且互相垂直，∴四邊形ABCD是正方形，∴四邊形ABCD的面積為4×8，故答案為：8.15、【解題分析】,如圖所示，其遞減區(qū)間是．16、【解題分析】

根據(jù)函數(shù)的奇偶性先求解出的值，然后根據(jù)判斷出中點的軌跡，再根據(jù)轉(zhuǎn)化關(guān)系將的最大值轉(zhuǎn)化為圓上點到直線的距離最大值，由此求解出結(jié)果.【題目詳解】因為的定義域為，且，所以是偶函數(shù)，又因為有唯一零點，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，設(shè)的中點為，，如下圖所示：所以，又因為，所以，所以的軌跡是以坐標原點為圓心，半徑為的圓，所以當取最大值時，為過垂直于的線段與的交點，所以，所以.故答案為：.【題目點撥】本題考查函數(shù)奇偶性、圓中的軌跡方程、圓上點到直線的距離最值，屬于綜合型題型，難度較難.圓上點到一條與圓相離直線的距離最值求解方法：先計算出圓心到直線的距離，則距離最大值為，距離最小值為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）有的把握認為“性別”與“是否看食品保質(zhì)期”有關(guān)系（1）分布列見解析，【解題分析】（分析：1）將列聯(lián)表填寫完整，求出，然后判斷性別與是否看保質(zhì)期之間是否有關(guān)系．

（1）判斷的取值為0，1，1．3，求出概率，然后得到分布列，求解期望即可．詳解：（1）填表如下：男女總計看保質(zhì)期81411不看保質(zhì)期10414總計181836根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得.故有的把握認為“性別”與“是否看食品保質(zhì)期”有關(guān)系.（1）由題意可知，的所有可能取值為，，，，，所以.點睛：本題考查離散型隨機變量的分布列期望的求法，對立檢驗的應(yīng)用，考查計算能力．18、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）0.【解題分析】

（Ⅰ）對分三種情況討論，利用導數(shù)求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）先求出函數(shù)h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，再求出，即得解.【題目詳解】解：（I）時，令令故在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；0≤≤1時，恒成立，故在單調(diào)遞增.時，令令故在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上：在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；時在單調(diào)遞增.時，在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（II）當時，由于在上單調(diào)遞增且故唯一存在使得即故h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故又且在上單調(diào)遞增，故即依題意：有解，故又故【題目點撥】本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查利用導數(shù)研究不等式存在性問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.19、（Ⅰ），（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求出取最大值時的取值集合．（Ⅱ）根據(jù)且，求得，再利用兩角差的余弦公式求出．【題目詳解】（Ⅰ）∴，由，得（Ⅱ）由得，得若，則，所以，∴．【題目點撥】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的最值，兩角和差的三角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．20、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)均值不等式可以證明；（Ⅱ）根據(jù)均值不等式和已知條件的靈活應(yīng)用可以證明.【題目詳解】證明Ⅰ，b，，且，，，當且僅當時，等號成立

Ⅱ，，，，，【題目點撥】本題主要考查不等式的證明，均值不等式是常用工具，側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).21、（1）（2）見解析【解題分析】（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包含但不包含的事件為M，計算即得(II)由題意知X可取的值為：.利用超幾何分布概率計算公式得X的分布列為X01234P進一步計算X的數(shù)學期望.試題解析：（I）記接受甲種心理暗示的志愿者中包