2024屆吉林省吉化第一高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末檢測模擬試題含解析

2024屆吉林省吉化第一高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末檢測模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知復(fù)數(shù)滿足，則其共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．如圖，分別為棱長為的正方體的棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別為面對(duì)角線和棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列關(guān)于四面體的體積正確的是（）A．該四面體體積有最大值，也有最小值 B．該四面體體積為定值C．該四面體體積只有最小值 D．該四面體體積只有最大值3．若復(fù)數(shù)（其中為虛數(shù)單位，）為純虛數(shù)，則等于（）A． B． C． D．4．已知，則（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，則=（）A． B． C． D．6．在一組樣本數(shù)據(jù)不全相等的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（）A．3 B．0 C． D．17．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，在內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A． B． C． D．9．在的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為（）A． B． C． D．10．曲線對(duì)稱的曲線的極坐標(biāo)方程是()A． B． C． D．11．箱子中有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5，6且大小、形狀完全相同的6個(gè)球，從箱子中一次摸出兩個(gè)球，記下號(hào)碼并放回，如果兩球號(hào)碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎(jiǎng)．若有4人參與摸獎(jiǎng)，則恰好有3人獲獎(jiǎng)的概率為()A．16625 B．96625 C．62412．已知三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，平面，，，，則球的體積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一組數(shù)據(jù)1，3，2，5，4，那么這組數(shù)據(jù)的方差為____．14．將10個(gè)志愿者名額分配給4個(gè)學(xué)校，要求每校至少有一個(gè)名額，則不同的名額分配方法共有______種.用數(shù)字作答15．已知直線的極坐標(biāo)方程為，為極點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，線段上的點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程為_______________.16．直角三角形中，兩直角邊分別為，則外接圓面積為．類比上述結(jié)論，若在三棱錐中，、、兩兩互相垂直且長度分別為，則其外接球的表面積為________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）中央政府為了應(yīng)對(duì)因人口老齡化而造成的勞動(dòng)力短缺等問題，擬定出臺(tái)“延遲退休年齡政策”.為了了解人們]對(duì)“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責(zé)成人社部進(jìn)行調(diào)研.人社部從網(wǎng)上年齡在15∽65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查100人，調(diào)査數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖和支持“延遲退休”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：年齡支持“延遲退休”的人數(shù)155152817（1）由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對(duì)“延遲退休年齡政策”的支持度有差異；45歲以下45歲以上總計(jì)支持不支持總計(jì)（2）若以45歲為分界點(diǎn)，從不支持“延遲退休”的人中按分層抽樣的方法抽取8人參加某項(xiàng)活動(dòng).現(xiàn)從這8人中隨機(jī)抽2人①抽到1人是45歲以下時(shí)，求抽到的另一人是45歲以上的概率.②記抽到45歲以上的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，其中18．（12分）已知：在中，，，分別是角，，所對(duì)的邊長，是和的等差中項(xiàng)．（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若的面積，且，求的周長．19．（12分）已知函數(shù)，集合.（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)的定義域?yàn)?，求函?shù)的值域.20．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程，并指出曲線是什么曲線；（2）若直線與曲線相交于兩點(diǎn)，，求的值.21．（12分）已知O是平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，雙曲線.（1）過雙曲線的右焦點(diǎn)作x軸的垂線，交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長；（2）設(shè)M為的右頂點(diǎn)，P為右支上任意一點(diǎn)，已知點(diǎn)T的坐標(biāo)為，當(dāng)?shù)淖钚≈禐闀r(shí)，求t的取值范圍；（3）設(shè)直線與的右支交于A，B兩點(diǎn)，若雙曲線右支上存在點(diǎn)C使得，求實(shí)數(shù)m的值和點(diǎn)C的坐標(biāo).22．（10分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的極大值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解題分析】分析：先求出z，然后根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義結(jié)合復(fù)數(shù)坐標(biāo)寫法即可.詳解：由題可知：，所以所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為（-1,1），故在第二象限，選B.點(diǎn)睛：考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解題分析】

易證，從而可推出面積為定值，則只需研究點(diǎn)到平面的距離的取值范圍即可得到四面體體積的取值范圍【題目詳解】分別為棱長為的正方體的棱的中點(diǎn)，所以，又，故點(diǎn)到的距離為定值，則面積為定值，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為平面構(gòu)不成四面體，故只能無限接近點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，有最大值，體積有最值，所以四面體體積有最大值，無最小值故選D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了四面體體積的判斷，運(yùn)動(dòng)中的定量與變量的分析，空間想象與轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題3、D【解題分析】

先利用復(fù)數(shù)的除法將復(fù)數(shù)表示為一般形式，結(jié)合題中條件求出的值，再利用復(fù)數(shù)求模公式求出.【題目詳解】，由于復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，，得，，因此，，故選D.【題目點(diǎn)撥】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)求模，解決復(fù)數(shù)問題，要通過復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算將復(fù)數(shù)表示為一般形式，結(jié)合復(fù)數(shù)相關(guān)知識(shí)求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4、B【解題分析】

由題意首先求得的值，然后利用二倍角公式整理計(jì)算即可求得最終結(jié)果.【題目詳解】由題意結(jié)合誘導(dǎo)公式可得：，則.本題選擇B選項(xiàng).【題目點(diǎn)撥】本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5、C【解題分析】

由積分運(yùn)算、微積分基本定理、積分的幾何意義分別求出，從而求得.【題目詳解】因?yàn)橛晌⒎e分基本定理得：，由積分的幾何意義得：所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題考查積分的運(yùn)算法則及積分的幾何意義的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力.6、D【解題分析】

根據(jù)回歸直線方程可得相關(guān)系數(shù)．【題目詳解】根據(jù)回歸直線方程是可得這兩個(gè)變量是正相關(guān)，故這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為正值，且所有樣本點(diǎn)（xi，yi）（i＝1，2，…，n）都在直線上，則有|r|＝1，∴相關(guān)系數(shù)r＝1．故選：D．【題目點(diǎn)撥】本題考查了由回歸直線方程求相關(guān)系數(shù)，熟練掌握回歸直線方程的回歸系數(shù)的含義是解題的關(guān)鍵．7、D【解題分析】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,在第四象限,選D.8、C【解題分析】

求導(dǎo)令導(dǎo)函數(shù)等于0，得出，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，，，的交點(diǎn)問題，畫出圖象即可判斷.【題目詳解】令得出令函數(shù)，，，它們的圖象如下圖所示由圖可知，函數(shù)，，，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則在內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)故選：C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了求函數(shù)零點(diǎn)或方程的根的個(gè)數(shù)，屬于中檔題.9、B【解題分析】

根據(jù)展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是，由此求出它的系數(shù)．【題目詳解】的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是其系數(shù)為-1．

故選B.．【題目點(diǎn)撥】本題考查了二項(xiàng)式展開式系數(shù)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．10、A【解題分析】

先把兩曲線極坐標(biāo)方程化為普通方程，求得對(duì)稱曲線，再轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)方程。【題目詳解】化為標(biāo)準(zhǔn)方程可知曲線為，曲線為，所以對(duì)稱直線為，化為極坐標(biāo)方程為，選A.【題目點(diǎn)撥】由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)互換公式，利用這個(gè)公式可以實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的相互轉(zhuǎn)化。11、B【解題分析】獲獎(jiǎng)的概率為p=6C62=25，記獲獎(jiǎng)的人數(shù)為ξ，ξ~B(4,12、B【解題分析】

根據(jù)所給關(guān)系可證明，即可將三棱錐可補(bǔ)形成長方體，即可求得長方體的外接球半徑，即為三棱錐的外接球半徑，即可得球的體積.【題目詳解】因?yàn)槠矫鍮CD，所以，又AB=4，，所以，又，所以，則．由此可得三棱錐可補(bǔ)形成長方體如下圖所示：設(shè)長方體的外接球半徑為，則，所以球的體積為，故選:B.【題目點(diǎn)撥】本題考查了三棱錐外接球體積的求法，將三棱錐補(bǔ)全為棱柱是常用方法，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2；【解題分析】

先求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再代入方差公式，求方差.【題目詳解】因?yàn)椋讲?【題目點(diǎn)撥】本題考查平均數(shù)與方差公式的簡單應(yīng)用，考查基本的數(shù)據(jù)處理能力.14、84【解題分析】

根據(jù)題意，用隔板法分析：先將將10個(gè)名額排成一列，在空位中插入3個(gè)隔板，由組合數(shù)公式計(jì)算即可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意，將10個(gè)名額排成一列，排好后，除去2端，有9個(gè)空位，在9個(gè)空位中插入3個(gè)隔板，可將10個(gè)名額分成4組，依次對(duì)應(yīng)4個(gè)學(xué)校，則有種分配方法，故答案為：84.【題目點(diǎn)撥】本題考查組合數(shù)公式的應(yīng)用，注意10個(gè)名額之間是相同的，運(yùn)用隔板法求解，屬于基礎(chǔ)題.15、【解題分析】

設(shè)的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線上得出，由，得，得，代入后化簡看得出答案?！绢}目詳解】設(shè)的極坐標(biāo)為，的極坐標(biāo)為.所以,,且.由得，即.故答案為：。【題目點(diǎn)撥】本題考查動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)方程，考查相關(guān)點(diǎn)法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，解本題的關(guān)鍵在于弄清楚主動(dòng)點(diǎn)與從動(dòng)點(diǎn)兩點(diǎn)之間極徑與極角之間的關(guān)系，并用這種相互關(guān)系進(jìn)行替換，考查推理能力，屬于中等題。16、【解題分析】

直角三角形外接圓半徑為斜邊長的一半，由類比推理可知若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直且長度分別為，將三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長方體，其外接球的半徑為長方體體對(duì)角線長的一半?！绢}目詳解】由類比推理可知：以兩兩垂直的三條側(cè)棱為棱，構(gòu)造棱長分別為的長方體，其體對(duì)角線就是該三棱錐的外接球直徑，則半徑．所以表面積【題目點(diǎn)撥】本題考查類比推理的思想以及割補(bǔ)思想的運(yùn)用，考查類用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題。三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）能（2）①②見解析【解題分析】分析：（1）由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表，計(jì)算觀測值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論；

（2）①求抽到1人是45歲以下的概率，再求抽到1人是45歲以上的概率，

②根據(jù)題意知的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫出隨機(jī)變量的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．詳解：（1）由頻率分布直方圖知45歲以下與45歲以上各50人，故填充列聯(lián)表如下：45歲以下45歲以上總計(jì)支持354580不支持15520總計(jì)5050100因?yàn)榈挠^測值，所以在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為以45歲為分界點(diǎn)的不同人群對(duì)“延遲退休年齡政策”的支持度有差異.（2）①抽到1人是45歲以下的概率為，抽到1人是45歲以下且另一人是45歲以上的概率為，故所求概率.②從不支持“延遲退休”的人中抽取8人，則45歲以下的應(yīng)抽6人，45歲以上的應(yīng)抽2人.所以的可能取值為0,1,2.，，.故隨機(jī)變量的分布列為：012所以.點(diǎn)睛：本題考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，也考查了古典概型的概率計(jì)算問題，是中檔題．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解題分析】

（Ⅰ）根據(jù)正弦定理得到，即，解得答案.（Ⅱ）根據(jù)面積公式得到，根據(jù)余弦定理得到，得到周長.【題目詳解】（Ⅰ）由已知得，由正弦定理得，即．∵，∴，∴．由于，∴．∵，∴．（Ⅱ）由得，，代入上式得．由余弦定理得，∴，∴，∴的周長為．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正弦定理，余弦定理，面積公式，等差中項(xiàng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19、（1）；（2）；（3）當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋窘忸}分析】分析：（1）先根據(jù)一元二次方程解得ex＞3，再解對(duì)數(shù)不等式得解集，（2）解一元二次不等式得集合A,再根據(jù)，得log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，利用變量分離法得a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值得結(jié)果,（3）先轉(zhuǎn)化為對(duì)勾函數(shù)，再根據(jù)拐點(diǎn)與定義區(qū)間位置關(guān)系，分類討論，結(jié)合單調(diào)性確定函數(shù)值域.詳解：（1）當(dāng)a＝－3時(shí)，由f(x)＞1得ex－3e-x－1＞1，所以e2x－2ex－3＞0，即(ex－3)(ex＋1)＞0，所以ex＞3，故x＞ln3，所以不等式的解集為(ln3，+∞).（2）由x2－x≤0，得0≤x≤1，所以A＝{x|0≤x≤1}.因?yàn)锳∩B≠，所以log2f(x)≥1在0≤x≤1上有解，即f(x)≥2在0≤x≤1上有解，即ex＋ae-x－3≥0在0≤x≤1上有解，所以a≥3ex－e2x在0≤x≤1上有解，即a≥[3ex－e2x]min.由0≤x≤1得1≤ex≤e，所以3ex－e2x＝－(ex－)2＋∈[3e－e2，]，所以a≥3e－e2.（3）設(shè)t＝ex，由（2）知1≤t≤e，記g(t)＝t＋－1(1≤t≤e，a＞1)，則，t(1，)(，＋∞)g′(t)－0＋g(t)↘極小值↗①當(dāng)≥e時(shí)，即a≥e2時(shí)，g(t)在1≤t≤e上遞減，所以g(e)≤g(t)≤g(1)，即．所以f(x)的值域?yàn)?②當(dāng)1＜＜e時(shí)，即1＜a＜e2時(shí)，g(t)min=g()＝2－1，g(t)max=max{g(1)，g(e)}=max{a，}．1°若a，即e＜a＜e2時(shí)，g(t)max=g(1)=a；所以f(x)的值域?yàn)椋?°若a，即1＜a≤e時(shí)，g(t)max=g(e)=，所以f(x)的值域?yàn)椋C上所述，當(dāng)1＜a≤e時(shí)，f(x)的值域?yàn)?；?dāng)e＜a＜e2時(shí)，f(x)的值域?yàn)?；?dāng)a≥e2時(shí)，f(x)的值域?yàn)椋c(diǎn)睛：不等式有解是含參數(shù)的不等式存在性問題時(shí)，只要求存在滿足條件的即可；不等式的解集為R是指不等式的恒成立，而不等式的解集的對(duì)立面（如的解集是空集，則恒成立）)也是不等式的恒成立問題，此兩類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題，即恒成立?，恒成立?.20、(1)曲線的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓.(2)【解題分析】

（1）由曲線的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即可得到曲線的普通方程，得出結(jié)論；（2）把直線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，再由點(diǎn)到直線的距離公式，列出方程，即可求解?！绢}目詳解】（1）由（為參數(shù)），消去參數(shù)得，故曲線的普通方程為.曲線的軌跡是以為圓心，3為半徑的圓.（2）由，展開得，的直角坐標(biāo)方程為.則圓心到直線的距離為，則，解得.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了參數(shù)