人教版八年數學上冊培優(yōu)試題

人教版八年數學上冊培優(yōu)試題(幾何)

1、如圖，在中，AB=AC,點、D、E、Q分別在8aAB、47邊上，旦BE=CF,BD=CE.

(1)求證：△麻是等腰三角形；

(2)當/4=四°時，求/比產的度數；

(3)△頗'可能是等腰直角三角形嗎？為什么？

1）'：AB=AC

：.ZB=AC

,:BE=CF,BD^CE

：4DB恒XECF

:.DE=EF

，△頗是等腰三角形3分

（2）當/4=40°時，由（1）知N6=NC

：.4B=NC=70°

又由（1）知△&53/\氏況得NBDE=NCEF

：./BED+NCEF=/BED+ABDE

:.NDEF=/B=7Q°7分

(3)沒有可能8分

當/DEF=90",由(2)知/夕=90°,有/6+/C+ZA>180°,

這與三角形內角和等于180°矛盾.10分

2、如圖，已知在△4?。中，N84C為直角,A比AC,。為4c上一點,CE1BD于E.

(1)若BD平■分4ABC,求證CE=-BD-,

2

(2)若。為〃■上一動點，/力切如何變化，若變化，求它的變化范圍；若不變，求出

它的度數，并說明理由.

(1)延長物、。'相交于點尸，先證△班黑△aF(ASA)3分

:.C序FE,：.CE^CF.物C是直角，:.NBAANCA六,

而NRNFB樣NFCA+N490°,：.NAC戶NFBE4分

又,：AC=AB,:.叢BAgACAF(除N,C.BD^CF,B|JCB^BD6分

(2)/岫不變?yōu)?5°7分

理由如下:

過點A作//叱跖垂足為//,作戊…應交應延長線于G,

先證戶N4BD(8分)得/胡儂△OG(AAS),

：.A//=AG9分

而他EB,AGLEG,:.EA平■分4BEF,

：./儆?=45°12分

或：由⑴證得△物密△G4/7(ASA),△劭〃的面積=△“b的面積,

:.BD?A+CF+AG,而盼CF,

AH=AG(余下同上).

3、已知，△力比是等邊三角形，將一塊含有30°角的直角三角板龐尸如圖放置(如

圖1),讓三角板在外所在的直線上向右平移，如圖1,當點￡與點8重合時，點4恰

好落在三角形的斜邊加上(如圖2),

(1)利用圖2證明：E戶2BC

(2)在三角板的平移過程中，圖1中線段盼4/是否始終成立(假定4c與三角板

斜邊的交點為C、M?如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由？

(1)

尸=30°,二/。尸=60°-30°=30°.

:.NCAF=/F,：.CF=AC.：.CF=AC=EC.

:.EF=2BC5分

(2)成立2分

先用(1)中證g/C的方法證CH=CF,

'：EF=2BC

:.BE+CF=BC

'：AHA-CII=AC,AC=BC,

:*AH=BE10分

4、數學課上，李老師出示了如下框中的題目.

A

在等邊三角形ABB,點E在AB上，/\.

點。在的延長線上，目如圖.

?C8EO=￡C,E/\?1

|試確定線段與08的大小關系，并說明y7\\

I________________________________________________________________?

小敏與同桌小聰討論后，進行了如下解答：

（1）特殊情況，探索結論

當點￡■為46的中點時，如圖1,確定線段與陽的大小關系，請你直接寫出結論:

AEDB（填或“="）.

（2）特例啟發(fā)，解答題目

解：題目中，4?與加的大小關系是：AE_DB（±?或“="）.理由如下：

如圖2,過點、E&EF//BC,交然于點尸.（請你完成以下解答過程）

（3）拓展結論，設計新題

在等邊三角形四。中，點￡在直線四上，點〃在直線比'上，旦EQEC.若的邊

長為1,力￡=2,則制的長為（請你直接寫出結果）.

（1）故答案為：=.2分

（2）故答案為：=.3分

證明：在等邊△/阿中，NABONACFNBA俏60°,AB=BC=AC,

'：EF//BC,

NA止N/陷60°=ZBAC,5分

：.AE=AF^EF,

：.AB~AE=AC-AF,BPBE-CF,

■：ED=EC,

AEDB-AECB,

又,：/ABC=NE吩r/BEF60°,

ZACFZEC&r匕FC扶60°,

4BED=乙FCE,

:.△DBE^XEFC,7分

：.DB=EF,

:.A芹BD.8分

(3)5的長是1或3.10分

5、如圖，等邊比1中，D、￡分別為4從6C邊的延長線上的點，且除第加的延長線交

AE于點、F,/人必于點G.

(1)求證：/XACF9IXCBD：(6分)

(2)若/43,試求AC的長.(4分)

D

24.(1)..?△/回是等邊三角形，

：.ZASOZACB=60°,AOBC,B/\\

:./DBS8G-60°=120",/\\

同理/￡。=120。，乙二2fc

ADBC-ZECA,A

：.XDBC烏l\ECA(SIS),

即△兒匡△物；4分

(2)由(1)知△/磔必△曲，

：.2CAE=NBCD,N歷/反

:NABC=N>/BCD=60°,

:.NE+NBCI>60°,6分

又NAFC=/E+/ECF,ZEC打/BCD,

：.ZAF<=Z&-ZBCD=60o,

■:AGLDC,

；.N曲片30°,8分

：.ZGAI^30°,

:仍3

13

在RtZU〃"中，FG=-x3=-10分

22

6、如圖①，8是乙姒V'的平分線，請你利用該圖形畫一對以“所在直線為對稱軸的全等三

角形(2分).請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題:

(1)如圖②，在中，N/G9是直角，N生60°,AD、CF分別是/胡C、的平

分線，疝、CE相交于點凡請你判斷并寫出咫與項之間的數量關系；(3分)

(2)如圖③，在中，如果N4%不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在

(D中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.(2分)

第6題圖

在⑺上任找一點反過￡分別做血力于GED10B于D.如圖①，2分

(1)結論為上也.

如圖②，在47上截取4左/￡,連接AG.

是/胡。的平分線，

.".Z1=Z2,

在△｛跖與△丸/中，AG=AENl=/2AF=AF

：.XAEF^XAGF(弘S).

：.NAFE=/AFG,FE=FG.

由/廬60°,AD,龍分別是/物C,N6G4的平分線，

V2Z2+2Z3+ZB=180",

AZ2+Z3=60°.

又//也為△加仁的外角，

陷/677>=//次/2+/3=60°.

AZ(7^60°.

即/照>/"匕

在△的與△0D中，4GFC=4DFCFC=FCZ3=Z4

:./\CFG沿ACFD(A5A).

：.FG=FD.

J.FE-FD.5分

(2)止外仍然成立.

如圖③，過點尸分別作用，/18于點GFH1BC于點、H.

：.4FGk/FHd=9Q°,

斤60°,且/〃綏分別是N氏1GN8C4的平分線,

?.Z2+Z3=60°,尸是△45C的內心

.?./庇尸/為3/3=60°+Z1,

?./是的內心，即廠在Z45C的角平分線上，

...除月/(角平分線上的點到角的兩邊相等).

又/物片/用/I(外角的性質)，

：.AGEI^ZIIDF.

在△呼與△%1中，ZGEA/HDFNFG44FHD=90°

:ZG2XDIIF(AAS),

：.FE=FD.7分

7、在中，AB=AC,力〃和成是高，它們所在的直線相交于"

（1）若NB4C=45°（如圖①），求證：AH=2CD：

（2）若/%。=135°（如圖②），⑴中的結論是否依然成立？請在圖②中畫出圖形并證明

你的結論.

第7題圖

(1)?:止AC,ADA.BC

：.BC=2CD1分

?:CELAB、N為C=45°

:"ECA=45°

:.A序CE

又AD1.BC,CE1AB

可得4ECB

：.Rt^AEHRt/XCEB

：.AH=BC4分

：.AH=2CD.5分

(2)⑴中結論依然成立.

所畫圖形如圖所示.6分

VABAC=135°,

AZCAE=45°

?:AELHC,

AAACE=4CAE=45°

：.AE=CE

HDLBC.BELHC

可得N分

???Rt△幽會Rt△儂

：.A/I=BC9分

又BC=2CD

：.A//=2CD.10分

8、如圖，中，/力除50°,/ACBW0：〃為邊回上一點（〃與反。不重合），連

接/〃，//團的平分線所在直線分別交直線/反4C于點反F.

(1)求證：2NAED—/CAD=17Q°；

(2)若/破叱,且〃為射線⑦上一點，(1)中其他條件不變，請直接寫出N

4&與NC4〃的數量關系.(用含〃的代數式表示)

(1)；DE平分乙4以，

，設/AD人BDE=x0.

■:NAEA/ABC+ZBDE,NABC=50°,

：.ZAED=xQ+50°①

,：ZADB=ZAC&-ZCAD,

：./CAF/ADB-NACB

VZACB=70°,4ADB=Qx)°,

...NG4加(2x)°-70°②

二由①X2-②，得:2/4￡9—/。介170°6分

(2)2N4勿-NCI氏3n0或2//歌NG4分540°—3n)°10分

9、已知，RtZvlBt'中，ZJG5=90°,N04斤30°.分別以/6、47為邊，向形外作等邊△/切

和等邊△力幽

(1)如圖1,連接線段8￡、CD.求證：BE=CD；

(2)如圖2,連接以'交48于點E

0EF▲FD(填“〉”、“〈”或“=”)；

②請證明你的結論.

圖1圖2

第9題圖

(1)..?△/劭和△/酸是等邊三角形,

：.AB=AD,AC=AE,NDA斤NEAO60。,

二ZDAB+NBAONEAC+NBAC,即/的俏/BAE,2分

在△的。和△為6中,

AC^AE

ZDAC=ZBAE,

AD=AB

:ZAC^XBAE(SAS),

:WBE；4分

(2)①周汐6分

圖1

②證明

如圖，炸DGHAE,交47于點G,

由/力用60°,N。廬30°得：ZFA^ZEAC+ZCAB=90°,

:.NDG六NFAE=90°,

又或=90°,氏30°,

，/力盼60°,

又?.?△4%為等邊三角形，NDBG=60°,DB=AB,

二/如G=46C=60°,

在△說和中,

4DGB=4ACB

NDBG=NABC,

DB=AB

圖2

：./\DGB^/\ACB(AAS),

：.DG=AC,8分

又?，為等邊三角形，.?.1氏/lG

：.DG=AE,

在△及孑'和△歷伊中,

ZDGF=ZEAF

ZDFG=NEFA,

DG=EA

:,△DGF^XEAF(AAS),

：.DP^EF.12分

10、如圖，△/a'是等腰三角形，AB=AC,是角平分線，以“1為邊向外作等邊三角形

BE分別與4。、4C交于點尸、G,連結CF.

(1)求證：4FBD=4FCD；

(2)求N6/%的度數；

(3)若加2=3,DE,求"的值.

1)???△力6。是等腰三角形，AB=AC,是角平分線,

二49垂直平分8G第10題圖

:.FFFC,

:.NFB2/FCD；

(2)-：AB=AC,4〃是角平分線，

.\Z1=Z2,AD1BC

:A斤股AB,

：./3=N4

又/￡4e60°,

.?.2/1+2/3=120°

.,.Zl+Z3=60°

AZ7=120°,即/族=120°

(3)方法一：作CH//AD交蔗于點H,

由(1)、(2)可得Z5=Z6=60°

二/4役N5=60°

AZ10=60°

CH//AD

：.N9=60°

△戚是等邊三角形

NFCH=NACB=6Q°

：.ZFCA=Z8

又AC=EC

:ZHI運XAFC

：.EH=AF,又眸CF

而在Rtz\a?-中，Z6=60°,DA3可求得C用2

:.E行EIKH2ARC行3+2=510分

方法二：作交應于點M(過程略)

11、如圖，在△應?，中，BA=BC,〃在邊⑦上，旦嶼DA=4C.

(1)如圖1,/比▲,ZO▲；

(2)如圖2,M為線段先上一動點，過材作直線"于〃，分別交直線四、4c于點

N、E,

①請寫出5MCE、切之間的數量關系，并證明；

②當必是比中點時，土CD-的值是▲.(不需證明)

第11題圖

(1)36°、72°4分

(2)①CD-BN^CE6分

理由如下：在切中，/08180°-72°X2=36°,

廬N加介36°,

：./BAD=NCAD,

'：MilLAD,1

:"AH2NAH后9Q°,>/7\

?.?在△兒陽和△川用中，入//\

*廬"AD,V

：./^ANH^/\AEH(ASA),

：.AN=AE,

又,：AB=BC,

：.B^AB-AN=BC~AE,

由圖可知，CE=AE-AC,

又,/Cl>BC~BD=BC~AD=BC~AC,

：.CD=BN^CE-,10分

(3)212分

12、如圖，AABC是等邊三角形，ABDC是頂角NBDC=120°的等腰三角形，M是AB延長線

上一點，N是CA延長線上一點，且NMDN=60°.試探究BM、MN、CN之間的數量關系，并

給出證明.

X|

解：CN=MN+BM

證明：在CN上截取點E,使CE=BM,連接DE,

:△ABC為等邊三角形，

；.NACB=NABC=60°,

又ABDC為等腰三角形，且NBDC=120°,

.,.BD=DC,ZDBC=ZBCD=30°,

ZABD=ZABC+ZDBC=ZACB+ZBCD=ZECD=90°,

在aMBD和AECD中，

'BD=DC

<ZMBD=ZECD

BM=EC,

/.△MBD^AECD(SAS),

；.MD=DE,ZMDB=ZEDC,

又/MDN=60°,ZBDC=120°,

ZEDN=ZBDC-(ZBDN+ZEDC)=ZBDC-(ZBDN+ZMDB)=ZBDC-ZMDN=120°-60°

=60°,

ZMDN=ZEDN,

在aMND與AEND中，

，ND=ND

'ZMDN=ZEDN

ID=DE,

AAMND^AEND(SAS),

；.MN=NE,

.*.CN=NE+CE=MN+BM.

13、在aABC中，AB=AC,點D是直線BC上一點（不與B、C重合），以AD為一邊在AD的右

側作AADE,使AD=AE,ZDAE=ZBAC,連接CE.

（1）如圖1,當點D在線段BC上，如果NBAC=90°,則/BCE=度；

（2）設NBAC=a,ZBCE=3.

①如圖2,當點D在線段BC上移動，則a,6之間有怎樣的數量關系？請說明理由；

②當點D在直線BC上移動，則a,B之間有怎樣的數量關系？請直接寫出你的結論.

圖1圖2

解：⑴90。.

理由：VZBAC=ZDAE,

???ZBAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC.

即NBAD=/CAE.

在aABD與4ACE中，

AAABD^AACE(SAS),

???NB二NACE.

???ZB+ZACB=ZACE+ZACB,

AZBCE=ZB+ZACB,

又???NBAC=90°

AZBCE=90°；

(2)?a+0=180°,

理由：VZBAC=ZDAE,

，ZBAD+ZDAC=ZEAC+ZDAC.

即/BAD二NCAE.

在AABD與AACE中，

AAABD^AACE(SAS),

???NB=NACE.

NB+NACB=NACE+NACB.

???NB+NACB=B,

a+ZB+ZACB=180°,

a+p=180°；

②當點D在射線BC上時，a+p=180°；

理由：VZBAC=ZDAE,

...ZBAD=ZCAE,

V^EAABD^DAACE中

AAABD^AACE(SAS),

AZABD=ZACE,

VZBAC+ZABD+ZBCA=180°,

JZBAC+ZBCE=ZBAC+ZBCA+ZACE=ZBAC+ZBCA+ZB=180°,

，a+6=180°；

當點D在射線BC的反向延長線上時，a二B.

理由：VZDAE=ZBAC,

AZDAB=ZEAC,

VSAADB^AAEC中,

AAADB^AAEC(SAS),

AZABD=ZACE,

*.?NABD=NBAC+NACB,ZACE=ZBCE+ZACB,

JNBAONBCE,

即a=B.

點評：本題考查三角形全等的判定，以及全等三角形的性質；兩者綜合運用，促進角與角相

互轉換，將未知角轉化為己知角是關鍵.本題的亮點是由特例引出一般情況.

14、已知NA0B=90°,在NA0B的平分線0M上有一點C,0C=2,將一個三角板的直角頂

點與C重合，它的兩條直角邊分別與OA,0B(或它們的反向延長線)相交于點D,

(1)當三角板繞點C旋轉到CD與0A垂直時(如圖1),求證：0D+0E=2.

(2)當三角板繞點C旋轉到CD與0A不垂直時：

①在圖2這種情況下，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段0D,

0E之間又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，并給予證明.

②在圖3這種情況下，上述結論是否還成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段0D,

0E之間又有怎樣的數量關系？請直接寫出你的猜想，并給予證明.

(1)證明：如圖1,VZA0B=90°,NA0B的平分線0M,

ZD0C=ZE0C=45°,

VCD10A,

/.ZCD0=90°,

AZDC0=45°,

.\ZDC0=ZD0C,

...0D=DC,

V0C=2

ACD=OD=1,

同理OE二CE二L

A0D+0E=2；

(2)結論還成立,

證明：過C作CM_LOB于M,CN_LOA于N,

則NCND=NCME=90°,

由(1)知：ON=CN=OM=CM=1,

VZCN0=ZCM0=ZA0B=90°,

AZMCN=90°,

VZDCE=90°,

/.ZNCD=ZECM=90°-ZDCM,

在ACND和△CME中

ZCND=ZCME

CN=CM

ZNCD=ZMCE

AACND^ACME(ASA),

「.ND二EM,

.?.0D+0E=l-MD+l+ME=2,

即結論還成立；

(3)結論不成立，是0E-0D=2,

證明：證明：過C作CMLOB于M,CN_LOA于N,

則NCND=NCME=90°,

由(1)知：0N=CN=0M=CM=l,

VZCN0=ZCM0=ZA0B=90°,

AZMCN=90°,

VZDCE=90°,

/.ZNCD=ZECM=900-ZDCM,

在ACND和△CME中

ZCND=ZCME

CN=CM

ZNCD=ZMCE

.'.△CND^ACME(ASA),

AND=ME,

A0E-0D=(1+ME)-(ND-1)=2,

即結論不成立，是0E-0D=2.

15、如圖，已知△ABC中，A8=AC=1O厘米，8c=8厘米，點。為43的中點.

(1)如果點尸在線段回上以3厘米/秒的速度由夕點向。點運動，同時，點。在線段

CA上由C點向力點運動.

①若點。的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，與△CQP是否全

等，請說明理由；

②若點。的運動速度與點產的運動速度不相等，當點。的運動速度為多少時，能夠使

△BPD與/XCQP全等?

（2）若點0以②中的運動速度從點。出發(fā)，點P以原來的運動速度從點6同時出發(fā)，都

逆時針沿△A8C三邊運動，求經過多長時間點一與點。第一次在△A6C的哪條邊上相遇

⑴①~=1秒，

8尸=。。=3乂1=3厘米，

???43=10厘米，點。為AB的中點,

80=5厘米.

又,：PC=BC—BP,BC=8厘米，

???PC=8—3=5厘米，

PC=BD.

又：AB=AC,

：.ZB=NC,

：.^BPD^ACQP......................（4分）

②丫戶HBPwCQ,

又?：△BPDeACQP,NB=NC,則3P=PC=4,CQ=BD=5,

BP4

...點P,點。運動的時間，=才=§秒，

...%=式=?="厘米/秒...........................................（7分）

Q/44

3

（2）設經過x秒后點P與點。第一次相遇，

由題意，得"x=3x+2xl0,

4

QA

解得X=竺秒.

3

QA

.?.點P共運動了空x3=80厘米.

3

80=2x28+24,

...點P、點。在4B邊上相遇，

QQ

經過號秒點P與點0第一次在邊A8上相遇..........................（12分）

16、如圖，在等腰aABC中，CH是底邊上的高線，點P是線段CH上不與端點重合的任意，?

點，連接AP交BC于點E,連接BP交AC于點F。

c

(1)證明:ZCAE=ZCBF；

(2)證明：AE=BF；

(3)以線段AE,BF和AB為邊構成一個新的三角形ABG(點E與點F重合于點G),記aABC

^△ABG的面積分別為SAABC和S△倆，如果存在點P,能使得SAXS&M,求/ACB的取值范圍。

解：(1)證明：???△ABC是等腰三角形，CH是底邊上的高線，

；.AC=BC,ZACP=ZBCP,

又

.,.△ACP^ABCP,

ZCAP=ZCBP,即ZCAE=ZCBF；

(2)證明：VZACE=ZBCF,ZCAE=ZCBF,AC=BC,

.,.△ACE^ABCF

；.AE=BF；

⑶由⑵知AAIiG是以AB為底邊的等腰三角形，

△戒=S△威等價于AE=AC,

①當/C為直角或鈍角時，在4ACE中，不論點P在CII何處，均有AE>AC,所以結論不成立；

1

②當/C為銳角時，ZA=90°-2ZC,而/CAE〈NA,要使AE=AC,只需使/C=/CEA,

1

此時，ZCAE=180°-2ZC,只需180°-2ZC<90°-2ZC,解得60°<ZC<90°,

(也可在ACEA中通過比較NC和/CEA的大小而得到結論)。

17、

如圖，已知等邊三角形ABC中，點D、E、F分別為邊AB、AC、BC的中點，M為直線BC上一

動點，4DMN為等邊三角形(點M的位置改變時，△口灰也隨之整體移動)。

(1)如圖(1),當點M在點B左側時，請你連接EN,并判斷EN與MF有怎樣的數量關系？

點F是否在直線NE上？請寫出結論，并說明理由；

(2)如圖(2),當點M在BC上時，其他條件不變，(1)的結論中EN與MF的數量關系是否

仍然成立？若成立，請利用圖(2)證明；若不成立，請說明理由；

(3)如圖(3),若點M在點C右側時，請你判斷(1)的結論中EN與MF的數量關系是否仍

然成立？若成立，請直接寫出結論；若不成立，請說明理由。

解：(1)判斷：EN二MF,點F在直線NE上，

證明：如圖(1),連接DE、DF、EF,

VAABC是等邊三角形，

AAB=AC=BC

又???D、E、F是三邊的中點，

???DE、DF、EF為aABC的中位線,

ADE=DF=EF,

???ZFDE=ZDFE=60°

?「△DMN是等邊三角形，

AZMDN-600,DM=DN,

???NFDE+NNDF=NMDN+NNDF,

???ZMDF=ZNDE,

在△DMF和aDNE中，

DF=DE,ZMDF=ZNDE,OM=DN,

.,.△DMF^ADNE,

???MF=NE,

設EN與BC交點為P,連接NF,

由aABC是等邊三角形且D、F分別是AB、BC的中點,

可得△DBF是等邊三角形，

AZMDN=ZBDF=60°,

???ZMDN-ZBDN=ZBDF-ZBDN,BPZMDB=ZNDF,

在△DMB和Z\DNF中,

DM=DN,NMDB=NNDF,DB=DF,

.'.△DMB^ADNF,

???NDBM二NDFN,

VZABC=60°,

：.ZDBM=120°,

AZNFD=120°,

ZNFD+ZDFE=120°+60°=180°,

AN,F、E三點共線,

，F與P重合，F在直線NE上；A

(2)成立，證明：

如圖(2),連接DE、DF、EF,

「△ABC是等邊三角形<,>

；.AB=AC=BC,

又：D,E,F是三邊的中點，

ADE,DF,EF為△ABC的中位線,

A

；.DE=DF=EF,ZFDE=60°ZMDF+ZFDN=60°ZNDE+ZFDN=60/\

AZMDF=ZNDE,/\

在△DMF和ADNE中，/

DF=DE,ZMDF=ZNDE,DM=DN,//\

△DMF四△DNE,—L-----\―

BMFC

/.MF=NE,

(3)MF=NE仍成立，設EN與BC交點為P,連接NF。A

17、如圖，已知等邊三角形ABC中，點D,E,F分別為邊AB,AC,

BC上一動點，△DMN為等邊三角形(點M的位置改變時，△DMN也B-V

(1)如圖1,當點M在點B左側時，請你判斷EN與MF有怎樣的數\C

直線NE上？都請直接寫出結論，不必證明或說明理由；*

(2)如圖2,當點M在BC上時，其它條件不變，(1)的結論中EN，圖③

仍然成立？若成立，請利用圖2證明；若不成立，請說明理由；

(3)若點M在點C右側時，請你在圖3中畫出相應的圖形，并判斷(1)的結論中EN與

MF的數量關系是否仍然成立？若成立，請直接寫出結論，不必證明或說明理由.

(1)判斷：EN與MF相等(或EN=MF),點F在直線NE上,

(2)成立.

連接DF,NF,證明△DBM和4DFN全等(SAS),

VAABC是等邊三角形，

.*.AB=AC=BC.

又「D,E,F是三邊的中點，

；.EF=DF=BF.

VZBDM+ZMDF=60°,ZFDN+ZMDF=60°,

NBDM=/FI)N,

又：DM=DN,ZABM=ZDFN=60°,

.'.△DBM絲△DFN,

，BM=FN,NDFN=NFDB=60°,

，NF〃BD,

VEF/7BD,

，F在直線NE上，

：BF=EF,

；.MF=EN.

(3)如圖③，MF與EN相等的結論仍然成立(或MF=NE成立).

連接DF、DE,

由(2)知DE=DF,NNDE2FDM,DN=DM,

.?.△DNE四△DMF,

/.MF=NE.

18、如圖，D、E、F分別為等邊△ABC中邊BC、AC,AB的中點，M是BC邊上一動點(不與

D點重合).AEMG是等邊三角形，連接CG、DG.下列結論：①S四邊形②△FBM

^△MCG；③CG〃AB；④DG=FM.其中結論正確的是

A.只有③④

B.只有①②④

C.只有①③④

D.①②③④

19、已知：zXABC中，ZA=90°,AB=AC,D為BC的中點，

(1)如圖，E,F分別是AB,AC上的點，且BE=AF,求證：ZiDEF為等腰直角三角形：

(2)若E,F分別為AB,CA延長線上的點，仍有BE=AF,其他條件不變，那么，4DEF是否仍為等腰直角

三角形？證明你的結論.

①連結AD,

?/AB=ACfNBAC=90°,D為BC的中點

AAD1BC,BD=AD

.\ZB=ZDAC=45°

又?.,BE=AF

AABDE^AADF(SAS)

AED=FD,ZBDE=ZADF

ZEDF=ZEDA4-ZADF=ZEDA+ZBDE=ZBDA=90°

???△DEF為等腰直角三角形；

②若E,F分別是AB,CA延長線上的點，如圖所示，連結AD

VAB=AC,ZBAC=90°,D為BC的中點

/.AD=BD,AD±BC

/.ZDAC=ZABD=45°

/.ZDAF=ZDBE=135°

又AF=BE

AADAF^ADBE(SAS)

??.FD=ED,NFDA=NEDB

?,.NEDF=ZEDB+NFDB=ZFDA+NFDB=NADB=90°

??.△DEF仍為等腰直角三角形.

20、如圖，在aABC中，ZA=60°,BE1AC,垂足為E,CF1AB,垂足為F,點D是BC的中

點，BE,CF交于點M.

(1)如果AB=AC,求證：ADEF是等邊三角形；

(2)如果ABWAC,試猜想aDEF是不是等邊三角形？如果ADEF是等邊三角形，請加以證

明；如果ADEF不是等邊三角形，請說明理由；

(3)如果CM=4,FM=5,求BE的長度.

(1)△DEF是等邊三角形.

理由如下：VZA=60°,BE±AC,CF_LAB,

，ZABE=ZACF=qO°-6O°=3O°,

在小ABC中，ZBCF+ZCBE=180o-60°-00ox2=60°,

,點D是BC的中點，BE±AC,CF±AB,

，DE=DF=BD=CD,

NBDF=2NBCF,/CDE=2NCBE,

NBDF+NCDE=2(ZBCF+ZCBE)=2x65°=425。,

ZEDF=60°,

.'.△DEF是等邊三角形；

(2)

(3)VBE±AC,CFXAB

.,.在△RSABE中，ZA=60°

那么NABE=30°

在RSACF中，ZA=60°

那么NACF=30。

.?.在RSBFM中：ZFBM=ZABE=30°

那么BM=2FM=2x5=10厘米

在RtACEM中：ZECM=ZACF=30°

那么ME=l/2CM=l/2x4=2厘米

，BE=BM+ME=10+2=12厘米

21、在AABC中，BA=BC,ZBAC=a,M是AC的中點，P是線段BM上的動點,

將線段PA繞點P順時針旋轉2a得到線段PQ。

(1)若a=60。且點P與點M重合(如圖1),線段CQ的延長線交射線BM于點D,

請補全圖形，并寫出NCDB的度數；

(2)在圖2中，點P不與點B,M重合，線段CQ的延長線與射線BM交于點D,猜

想NCDB的大小(用含a的代數式表示)，并加以證明;

(3)對于適當大小的a,當點P在線段BM上運動到某一位置(不與點B,M重合)

時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D,且PQ二QD,請直接寫出a的范圍。

AA

(圖1)(圖2)

(1)補全圖形如下：

A

c

錦元數學工作室繪制

ZCDB=30°.

(2)作線段CQ的延長線交射線BM于點D,連接PC,AD,

?/AB-BC,M是AC的中點，.\BMLLAC。

：.AD=CD,AP=PC,PI>PD.

在4APD與△€?口中，?「AUD,PD=PD,PA=PC

/.AAPD^ACPD(SSS).

/.AP=PC,ZADB=ZCDB,ZPAD=ZPCD.

X,.PQ=PA,.,.PQ=PC,ZADC=2ZCDB,ZPQC=ZPCD=ZPA

/.ZPAI>ZPQD=ZPQC+ZPQD=130°.

錦元數學工作室繪制

ZAPQ+ZADC=360°-(ZPAIHZPQD)=180°.

c

ZADC=1800-ZAPQ=18O0-2aJRP2ZCDB=180-2a.

...ZCDB=90°-a.

(3)45c<a<60°.

(3)在(2)的條件下，連結DE,若NDEC=45。，求Q的值。

(1)30°-la.

2

(2)AABE為等邊三角形.證明如下：

連接AD,CD,ED,

.??線段BC繞點B逆時針旋轉60。得到線段BD,

.,.BC=BD,ZDBC=60c.

又：ZABE=60°,

ZABD=600-ZDBE=NEBC=30°-La且△BCD為等邊三角形.

2

在^ABD與△ACD中，,.，AB=AC,AD=AD,BD=CD,

/.AABD^AACD(SSS).ZBAD=ZCAD=lzTBAC=la.

22

,/ZBCE=150°,.1.ZBEC=18Or-(3O0-lc)-15O,>=la./.ZBEC=ZBAD.

在ZiABD和△EBC中，?/ZBEC=ZBAD,ZEBC=ZABD,BOBD,

.,.AABD^AEBC(AAS)./.AB=BE.

/.AABE為等邊三角形.

(3)ZBCD=60c,ZBCE=150°,ZDCE=15O0-6O°=90°.

又?「NDEC=45。，...△DCE為等腰直角三角形…..00=(下=6€.

?/ZBCE=150°,二ZEBC=Q80°二15?！?=肯.

2

而ZEBC=3O0-La=150.「.a=30°.

2

23、如圖，在數軸上，從原點A開始，以AB=1為邊長畫等邊三角形，記為第一個等邊三

角形；以BC=2為邊長畫等邊三角形，記為第二個等邊三角形；以CD=4為邊長畫等邊三角

形，記為第三個等邊三角形；以DE=8為邊長畫等邊三角形，記為第四個等邊三角形；……

按此規(guī)律，繼續(xù)畫等邊三角形，那么第五個等邊三角形的面積是第n個等邊

三角形的面積是.

24、如圖，在平面直角坐標系中，已知點4(-3,0),8(0,4),對△A08連續(xù)作旋轉變化，依

次得到三角形①、②、③、④、…，則第⑦個三角形的直角頂點的坐標是;第

@個三角形的直角頂點的坐標是.

25、已知：E是線段AC上一點，AE=AB,過點E作直線EF,在EF上取一點D,使得/

EDB=NEAB,聯結AD

(1)若直線所與線段AB相交于點P,當NEAB=60°時，如圖1,求證：ED=AD+BD；

(