蘇科版2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)（上）：第3章 勾股定理 單元達(dá)標(biāo)測(cè)試卷(二)含答案與解析

蘇科版八年級(jí)（上）第三單元達(dá)標(biāo)測(cè)試卷（二）

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：100分鐘滿分：120分）

學(xué)校：班級(jí)：考號(hào)：得分：

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.若等邊三角形ABC的邊長為10,那么它的面積為（）

2525

A.2573B.25x/5C.—y/3D.—A/5

22

2.如圖，一只螞蟻繞著圓柱向上螺旋式爬行，假設(shè)螞蟻繞圓柱外壁從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B,圓周

率乃取近似值3,則螞蟻爬行路線的最短路徑長為（）

66cmC.2V13cmD.10cm

3.如圖，已知RtZkABO的頂點(diǎn)A,3分別在x軸，y軸上，AB=4也,5（0,4）,按

以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A,8為圓心，大于;的長為半徑作弧，交于點(diǎn)P,。；

②作直線P。交》軸于點(diǎn)c,交y軸于點(diǎn)。，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

A.(3,0)B.(-3,0)

4.如圖，在△A8C中，Z8=15°,NC=30。，MN是A8的垂直平分線，PQ是AC的垂直平分

線，已知SAANQ=1,則8c的長為（）

A.6B.3+73D.2+273

5.有一個(gè)邊長為1的正方形，經(jīng)過一次"生長”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其

中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長"后，變成了如圖，如果繼續(xù)

"生長"下去，它將變得"枝繁葉茂"，請(qǐng)你算出"生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形

的面積和是（）

A.2022B.2021C.2020

6.七巧板是大家熟悉的一種益智玩具，用七巧極能拼出許多有趣的圖案，小聰將一塊等腰

直角三角形硬紙板（如圖①）切割成七塊，正好制成一副七巧板（如圖②），已知

AB=8（）cm,則圖中陰影部分的面積為（）cm?.

200

A.200C.50D.100

7.如圖，在RtAABC中，NACB=90。，AC=3,8c=4,BEABC,CD_LAB于。，BE

與CD相交于F,則CF的長是（）

D.2

8.如圖是兩個(gè)全等的三角形紙片，其三邊長之比為3:4:5,按圖中方法分別將其對(duì)折,

使折痕（圖中虛線）過其中的一個(gè)頂點(diǎn)，且使該頂點(diǎn)所在兩邊重合，記折疊后不重疊部分面

積分別為邑,SB，已知SA-SB=15,則紙片的面積是（）

D.108

9.如圖，在AA6c中,ZAC3=90°,AC=8,BC=7,以斜邊AB為邊向外作等腰直角

三角形他￡>,連接8,則8的長為（）

A.15B.16C.17D.18

10.如圖，AASC中，ZA=90°,角平分線80、CE交于點(diǎn)/,〃交C4于F,下

3

列結(jié)論：①/。汨=45°；②CF+BE=BC：③若AB=3,AC=4,則=其

中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（)

c.②③D.①②③

11.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M,N為CD,BC上的點(diǎn)，且。M=CN,AM與DN交于點(diǎn)、

P,連接AN,點(diǎn)Q為AN中點(diǎn)，連接PQ,若A8=10,DM=4,則PQ的長為（）

D

C.取興

12.如圖，在四邊形ABC。中，已知AO//8C,/8。=90。,448。=45°,8。平分

ZABC.若8=1cm,則AC等于（）

A.行cmB.GcmC.2cmD.3cm

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13.如圖，AA6c中，NACB=90°,ZA=30°,以8為圓心，BC為半徑作弧，交

于點(diǎn)。，分別以C,。為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)￡,射線8E交AC

于點(diǎn)口，若AE=4,則BD的長為；

14.如圖，在四邊形A8CD中，N8=NC=45°,尸是BC上一點(diǎn)，PA=PD，

AB+CD

ZAPD=90°,

BC

15.如圖，點(diǎn)。為AABC的邊AB上一點(diǎn)，且AD=AC，ZB=45°,過。作OELAC

于E，若AE=3,四邊形8DEC的面積為8,則8□的長度為

16.如圖，在△A5C中，NACB=90°,AC=8,8C=6,40為邊上的中線，BE是

△A6C的角平分線，AD,BE交于點(diǎn)F.則即的長為

17.如圖等邊三角形ABC中，點(diǎn)。是△A8C的NB和NC的角平分線的交點(diǎn)，ZFOG=120",

繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)NFOG,分別交線段A8、8C于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，連接。E,若0A=2,則△ODE周長

最小值為.

18.如圖，Rtz\AC3中，ZACB^90°,△AC8的角平分線AO,3E相交于點(diǎn)P,過P

作PF，AD交5c的延長線于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)H,則下列結(jié)論：①NAPB=135°；

②DH=y/iPD；③S^APH=S2DE；④DH平分NCDE；其中正確的結(jié)論是

.(填正確結(jié)論的序號(hào))

三、解答題(本大題共6小題，共66分，解答應(yīng)寫出文字說明'演算步驟或推理過程)

19.如圖，在Rt△岫C中，ZC=90°,AC^BC=a,4。是BC邊上的中線，將A點(diǎn)翻折與點(diǎn)

。重合，得到折痕EF.

(1)若。=4,求CE的長；

(2)求烏的值.

20.已知：如圖，在AADC中，AD=CD,且ABIIDC,CB_LAB于B,CE_L4D交A。的延長

線于E,連接BE.

(1)求證：CE=CB;

(2)若NG4E=30。，CE=2,求BE的長度.

21.如圖，在用AA3C中，NC=90°,直線DE是邊A8的垂直平分線，連接

(1)若NA=35°,則NCBE=。；

(2)若AE=3,EC=1,求AABC的面積.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形，AMC

的位置如圖所示，AMC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-1,3).

(1)作AABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△44G；

(2)將AABC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，作出旋轉(zhuǎn)后得到的；

(3)在(2)的條件下，求線段A8在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積.

23.如圖①，對(duì)角線AC將邊長為2的正方形ABC。分成△ABC和AADC,將AADC繞

點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(O。<a<\80°).

(1)如圖②，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)4落在CB的延長線上時(shí)，連接A4',A'。與AB交于點(diǎn)

0,連接CO并延長交AA'于點(diǎn)G,求證：CG垂直平分AV；

(2)當(dāng)4A=A'C時(shí)，在圖③中補(bǔ)全圖形，并求出此時(shí)A'B的長.

24.如圖①，點(diǎn)A為射線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)。重合)，點(diǎn)民C分別位于射線OM兩

側(cè)，OB^OC=4,AB=AC=2,連接8C.

圖①圖②

(1)求證：ZOBA=ZOCA；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到BC右側(cè)時(shí)，若ZBOC與NB4c互補(bǔ)，求OA的長；

(3)設(shè)點(diǎn)/為AOBC的內(nèi)心，NBlC=a,直接寫出a的取值范圍.

參考答案

二、選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只

有一項(xiàng)是符合題目要求的)

1.若等邊三角形A8C的邊長為10,那么它的面積為()

A.2573B.25>/5C.”百D.—45

22

【答案】A

【分析】

作AD,8c于點(diǎn)D,先求出三角形的高，即可求解結(jié)果.

【詳解】

解：如圖，作AD_LBC于點(diǎn)D,

■,1△A8c是等邊三角形,

「?ZB4C=60°,AD平分NBAC.

1

/.ZC4D=-ZB4C=30\

2

1

/.CD=—AC=5,

2

?.AD=VAC2-CD2=7IO2-52=5石

??48。=—BC9AD=25yf^?

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形與直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等邊三角形與直角三角

形的性質(zhì).

2.如圖，一只螞蟻繞著圓柱向上螺旋式爬行，假設(shè)螞蟻繞圓柱外壁從點(diǎn)A爬到點(diǎn)8,圓周

率乃取近似值3,則螞蟻爬行路線的最短路徑長為（）

6小cmC.2V13cmD.10cm

【答案】A

【分析】

首先畫出示意圖，連接AB,根據(jù)圓的周長公式算出底面圓的周長，AC=Jx底面圓的周長,

再在R3ACB中利用勾股定理算出AB的長即可，

【詳解】

解：將圓柱體的側(cè)面展開并過點(diǎn)B作BC±AE于點(diǎn)C.

B

圓柱的底面直徑為4cm,

AE=4/r—4x3-12cm,

AC--AE-6cm

2

在RtxACB中，AB2=AC2+CB1=62+62，

AB-6A/2CITI

螞蟻爬行的最短的路線長是60cm，

故選：A.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了平面展開圖，最短路徑問題，做此類題目先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面

圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑.一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短.在平面圖形上構(gòu)造

直角三角形解決問題.

3.如圖，已知的頂點(diǎn)A,3分別在％軸，丁軸上，AB=4B8（0,4）,按

以下步驟作圖：①分別以點(diǎn)A,B為圓心，大于;A8的長為半徑作弧，交于點(diǎn)P,Q；

②作直線PQ交x軸于點(diǎn)c,交y軸于點(diǎn)。，則點(diǎn)。的坐標(biāo)為（）

【答案】B

【分析】

連接8C,如圖，先利用勾股定理計(jì)算出。A=8,再由作法得CA=C8,利用勾股定理得到

。02+42=（8-0C）2,然后求出。C得到C點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】

解：連接BC,如圖,

,0B=4,

2223

在Rt&ABO中,OA=-JAB-OB-42=8,

由作法得PQ垂直平分A8,

CA=CB,

在RS8OC中，BC=AC=OA-OC=8-OC,

■：。。+42=(8-0C)2,

0C=3,

■C點(diǎn)坐標(biāo)為（-3,0）.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了作圖-基本作圖：熟練掌握5種基本作圖（作一條線段等于已知線段：作一個(gè)角

等于已知角；作己知線段的垂直平分線;作已知角的角平分線;過一點(diǎn)作已知直線的垂線）.也

考查了線段垂直平分線的性質(zhì)和勾股定理.

4.如圖，在ZkABC中，Z6=15",ZC=30°,MN是AB的垂直平分線，PQ是AC的垂直平分

線，已知貝IJBC的長為（）

2

A.6B.3+百C.3D.2+2y/j

【答案】B

【分析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出AQ=CQ,BN=AN,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和已知條件得出

ZBAN=Z8=15。，ZC4Q=ZC=30°,根據(jù)三角形外角性質(zhì)得出NANQ=^B+ZBAN=30°,

ZAQN=NC+ZCAQ=60°,求出NNAQ=90°,再根據(jù)三角形的面積求出AQ,最后求出8C即可.

【詳解】

解：MN是A8的垂直平分線，PQ是AC的垂直平分線，

AQ=CQ,BN=AN,

■：Z8=15°,ZC=30°,

ZBAN=^B=15°,ZG4Q=ZC=30",

ZANQ=Nfi+ZBAA/=15°+15°=30°,ZAQN=ZC+ZCAQ=300+30°=60°,

ZA/AQ=1800-ZANQ-ZAQN=90Q,

NQ=2AQ,AN={NQ：_AQ）=yl（2AQ）2-AQ2=屬＜2，

..._V3

?ANQ-----?

-x4QxV3^Q=—.

22

解得：AQ=1（負(fù)數(shù)舍去）,

即CQ=4Q=1,AN=BN=下＞AQ=6,NQ=2AQ=2,

BC=BN+NQ+CQ=眄+2+1=3+6,

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了含30。角的直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面

積，三角形的外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是

解此題的關(guān)鍵.

5.有一個(gè)邊長為1的正方形，經(jīng)過一次"生長”后，在他的左右肩上生出兩個(gè)小正方形，其

中，三個(gè)正方形圍成的三角形是直角三角形，再經(jīng)過一次“生長"后，變成了如圖，如果繼續(xù)

"生長”下去，它將變得"枝繁葉茂"，請(qǐng)你算出"生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形

的面積和是（）

A.2022B.2021C.2020D.1

【答案】A

【分析】

根據(jù)勾股定理求出“生長”了1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和，結(jié)合圖形總結(jié)規(guī)

律，根據(jù)規(guī)律解答即可.

【詳解】

解：由題意得，正方形A的面積為1,

由勾股定理得，正方形8的面積+正方形C的面積=1,

"生長"/1次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2,

同理可得，"生長”了2次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為3,

."生長”了3次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為4,

二"生長”了2021次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2022.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是。，b,斜邊長為C,那么

a2+b2-c2.

6.七巧板是大家熟悉的一種益智玩具，用七巧極能拼出許多有趣的圖案，小聰將一塊等腰

直角三角形硬紙板（如圖①）切割成七塊，正好制成一副七巧板（如圖②），已知

AB=80cm,則圖中陰影部分的面積為（）cm，

D.100

【答案】A

【分析】

如圖，設(shè)OF=EF=FG=xcm,可得EH=2J5x=40cm,解方程即可解決問題.

【詳解】

解：如圖：設(shè)。F=EF=FG=x（cm）,

OE=OH=2x,

在HtAEOH中，由勾股定理得：EH=2垃X,

?48=80cm,

由題意得EH=40cm,

40=2V2x,

■-x—10\p2.>

陰影部分的面積=（1072）2=200（cm2）

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意,

靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題.

7.如圖，在RtAABC中，Z4CB=90°,AC=3,BC=4,BEABC,CD_LAB于。，BE

與CD相交于F,則CF的長是（）

【答案】B

【分析】

過點(diǎn)E作EG_LAB于點(diǎn)G,由EGJ_AB,CD±AB,可得EGIICD,由平行線的性質(zhì)可得

NGEB=NEFC:在RtAABC中，由勾股定理求得AB的值；由HL判定RtAEBC些RtAEBG,

由全等三角形的性質(zhì)可得NCEB=ZEFC及AG的值，進(jìn)而可判定CF=CE.設(shè)CF=EG=EC=x,則

AE=3-x,在RMAEG中，由勾股定理得關(guān)于X的方程，解得X的值即為CF的長.

【詳解】

解：過點(diǎn)E作EGJ.AB于點(diǎn)G,如圖：

EGIICD,

：.ZGEB=ZEFC,

,在RSABC中,ZACB=90°,

EC±CB,

又：8E平分NABC,EGA.AB,

EG=EC.

在心△ABC中，ZACB=90°,AC=3,8c=4,

48=5.

在RtAEBC和RtAEBG中，

EB=EB

EC=EG'

：.RtAEBC^RtAEBG(HL),

ZCE8=NGEB,BG^BC=4,

ZCE8=NEFC,AG^AB-BG=5-4=1,

CF=CE.

設(shè)CF=EG=EC=x,則AE=3-x,

在RtAAEG中，由勾股定理得：

(3-x)2=x2+l2,

4

解得y

4

CF的長是

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)定理及等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合并熟練

掌握相關(guān)性質(zhì)及定理是解題的關(guān)鍵.

8.如圖是兩個(gè)全等的三角形紙片，其三邊長之比為3:4:5,按圖中方法分別將其對(duì)折，

使折痕(圖中虛線)過其中的一個(gè)頂點(diǎn)，旦使該頂點(diǎn)所在兩邊重合，記折疊后不重疊部分面

積分別為名,SB，已知SA-SB=15,則紙片的面積是()

【答案】D

【分析】

設(shè)AC=FH=3x,則BC=G"=4x,AB=GF=5x,根據(jù)勾股定理即可求得CD的長，利

用X表示出梟，同理表示出SB，根據(jù)叢-%=15,即可求得X的值，進(jìn)而求得三角形的

面積.

【詳解】

解：設(shè)AC=m=3x,則BC=G〃=4x,AB=GF=5x.

設(shè)CO=y,則B￡)=4x—y,DE=CD=y,

在直角ABDE中,BE=5x-3x=2x,

根據(jù)勾股定理可得：4x2+y2=(4x-y)2,

3

解得：y=2x,

1133

則5.=-BE.DE=-x=-

“2222

2

2

同理可得：SB=-x,

'''SA-SB=15,

*#=i5,

解得：x=36，

二紙片的面積是：gx3xMx=6-=108,

故選：D.

本題主要考查了翻折變換(折疊問題)，三角形面積的計(jì)算，根據(jù)勾股定理求得8的長是

解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在AABC1中，NAC3=90。,AC=8,BC=7,以斜邊AB為邊向外作等腰直角

三角形可，連接CD，則CD的長為（)

A.15B.16C.17D.18

【答案】C

【分析】

過點(diǎn)D作DE_La,交8的延長線于點(diǎn)E,借助等腰直角三角形的性質(zhì)，證明△ADE^&BAC,

得到CE和DE的長，再利用勾股定理計(jì)算出CD.

【詳解】

解：如圖，過點(diǎn)D作DE_LCA,交CA的延長線于點(diǎn)E,

V△ABD是等腰直角三角形，

ZBAD=90°,AD=AB,

：.ZDAE+NBAC=90°,

■：ZACB=90°,

：.ZB4C+ZCBA=90°,

.ZDAE=Z.CBA,

■：DELAE,

：.ZDEA=90",

在△4。￡和48AC中，

NDEA=NACB

-ZDAE=NCBA,

AD=AB

△ADE^&BAC(AA5),

BC=AE=7,AC=DE=8,

：.CE=AE+AC=7+8=15,

在小CED中,

CD=YJDE2+CE2=17,

故選c.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是作

出輔助線，構(gòu)造全等三角形.

10.如圖，AA5c中，NA=90°,角平分線BD、CE交于點(diǎn)/,/F，CE交C4于F,下

3

列結(jié)論：①NO/b=45°；②CF+BE=BC：③若A3=3,AC=4,則4/=二.其

中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【分析】

如圖延長77交丁M，作EKLACTK,EH1BCTH.利用角平分線的性質(zhì)定理,

全等三角形的性質(zhì)一一判斷即可；

【詳解】

解：如圖延長F/交BC于M，作EK_LAC于K,EH1.BC于H.

???NA=90。，角平分線80、CE交于點(diǎn)/,

21BC+ZICB=g(ZABC+ZACB)=45°,

ZDIC=4IBC+ZJCB=45°,

-.-IFYEC,

:.ZFIC=90°,

;.ZDIF=45。,故①正確，

.CI=IC,NCIF=NCIM=90。,Z1CF=Z1CM,

:.CF=CM,

■：ZEBI=AMB1.ZEIB=ZBIM=45°,BI=BI,

BC=BM+CM=BE+CF,故②正確，

EK±CA,EHLCB,EC1平分NACB,

EK=EH，

?.?A8=3,AC=4,ZA=90°,

BC=5,

BE

S由CE-BCxEH

2

AE:BE=AC:BC=4:5,

.?.BE=-X3=-,

93

3

,CF=CM=5--=—,

:33

in2

.-.AF=4-=~,故③錯(cuò)誤.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活

運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考常考題型.

11.如圖，在正方形A8CD中，點(diǎn)M,N為CD,8c上的點(diǎn)，且DM=CN,AM與DN交于點(diǎn)、

P,連接AN,點(diǎn)Q為AN中點(diǎn)，連接PQ,若AB=10,DM=4,則PQ的長為()

A.475B.872C.后D.當(dāng)逐

【答案】C

【分析】

由^ADM與△DCN全等，得出NCDN=NDAM,從而得到NCDP+NPMD=90",由此得NAPN

=90。，再由直角三角形斜邊的中線的性質(zhì)和勾股定理求出PQ.

【詳解】

解：在正方形ABCD中，

AD=CD,NADC=4DCN=90°,

在^ADM與^DCN中，

AD=CD,DM=CN,4ADC—DCN,

：.4ADM^ADCN(SAS),

ZDAM—CDN,

：.ZDMA=ZCND,

在^DPM中NPD/W+ZPMD=90°,

：.ZDPM=90°'

■：ZDPM=ZAPN,

AANP為直角三角形，

AN為宜角三角形的斜邊，由直角三角形的性質(zhì)得PQ=；AN,

在4ANB中AN=y/AB2+NB2=25/34?

PQ——AN=y/34,

2

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊的

中線、勾股定理等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

12.如圖，在四邊形A8CQ中，已知4D//BC,/88=90。,443。=45°,8。平分

ZABC.若CZ）=lcm,則AC等于（）

A.-72cmB.6cmC.2cmD.3cm

【答案】B

【分析】

過。作DE8A交BA的延長線于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到。E=CD,推出△ADE是等腰

直角三角形，得到AE=DE=1,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：過D作DE_L8A交8A的延長線于E,

ZBCD=90°,BD平分NABC,

：.DE=CD,

-：CD=1,

DE=1,

---ADWBC,NABC=45°,

/.ZEAD=ZA8c=45°,

△ADE是等腰直角三角形，

AE=DE^1,

?'-AD=6,

■：ADWBC,ZBCD=90°,

ZADC=90°,

22

AC=y]AD+CD=J（夜不+]2=6,

故選B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行線的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是

解題的關(guān)犍.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

13.如圖，中，NACB=9（）°,ZA=30°,以3為圓心，8C為半徑作弧，交AB

于點(diǎn)。，分別以C，。為圓心，大于'C。長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，射線8E交AC

2

于點(diǎn)尸，若AE=4,則80的長為

【答案】2百

【分析】

先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和得到A8=28C、NA8c=60。，再根據(jù)角平分線的作法可得

N1=N2=30°,進(jìn)而得到N1=NA=30°,即8F=AF=4,然后再根據(jù)三角形的性質(zhì)求得FC,最后

運(yùn)用勾股定理解答即可.

【詳解】

解：「ZACB=90°,ZA=30°,

AB=2BC/ABC=60°

?.?作圖可知BC平分NA8C,BC=BD

Z1=Z2=30°

Z1=Z4=30°

/.BF=AF=4

.ZACB=90%Z2=30°,

BF=2FC,即FC=2

8C=^BF2-FC2=V42-22=2百

8D=8c=2百.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)、角平分的作法、等腰三角形的性質(zhì)以及勾股定理的靈活

應(yīng)用，掌握含30。直角三角形的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵.

14.如圖，在四邊形ABCD中，N8=NC=45°,P是3c上一點(diǎn)，PA=PD,

AB+CD

ZAPD=90°,

BC

【答案】—

2

【分析】

通過等腰直角三角形構(gòu)建一線三等角模型求解即可.

【詳解】

D

解：如圖所示，分別過A、。作A￡_L3C于E,DFLBC于F

ZAEP=ZDFP=90°

ZAPE+ZPAE=90°,ZDPF+ZPDF=90°

ZAP。=90°

ZAPE+ZDPF=90°

ZAPE=ZDPF,/PAE=ZDPF

在AAEP與△OFP中

2APE=ADPF

<PA=PD

ZPAE=ZDPF

：.^AEP^DPF（ASA）

AE=PF，PE=DF

ZC=45°,

NFDC=NC=45。,

:.DF=FC=PE,

在RtAABE中,NB=45°

AB=NBE?+松=垃BE=6AE

同理可得：CD=6CF=6DF

AB+CD?BE+及CFC（BE+CF）立

BC--BE+PE+PF+CF-2（BE+CF）~~T

故答案為：叵.

2

【點(diǎn)睛】

本題考察特殊的直角三角形，靈活運(yùn)用一線三等角模型及特殊宜角三角形三邊關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

15.如圖，點(diǎn)。為的邊上一點(diǎn)，且AD=AC，NB=45°,過。作。

于￡,若AE=3,四邊形8DEC的面積為8,則8□的長度為.

【答案】2

【分析】

過點(diǎn)。作CF，于點(diǎn)F,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到4尸=4E=3,推出4BFC是等

腰直角三角形，根據(jù)三角形的面積公式得到防=C"=4,根據(jù)勾股定理得到

AD=AC=y/AF2+CF2=5>于是得到結(jié)論?

【詳解】

解：過點(diǎn)。作C/LAB于點(diǎn)尸，

\DELAC,

ZAFC=ZBFC=ZAED=90°，

,：ZA=ZA，AD=AC，

:.^ADE^^ACF（AAS）,

:.AF^AE^3,

：.S&BFC=四邊形BDEQ的面積=8,

?/ZB=45°,

ABFC是等腰直角三角形，

11,

:.-BFCF=-BF2=8,

22

：.BF=CF=4,

AD=AC=ylAF2+CF2=5'

:.DF=2<

BD——2，

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔助

線構(gòu)造等腰一角形是解決問題的關(guān)鍵.

16.如圖，在AABC中，/4。3=90。,4。=8,8。=6,4。為邊8。上的中線，BE是

△A6C的角平分線，4),BE交于點(diǎn)F.則族的長為

【答案】史叵

13

【分析】

過點(diǎn)E作EGA.AB,垂足為G,證明△CBE^△GBE,求得CE,EG,AE的長，過點(diǎn)F作FO±AC,

垂足為。，利用平行線分線段成比例定理求解即可.

【詳解】

ZACB=90°,AC=8,BC=6,

AB=^AC2+BC-=V82+62=10,

過點(diǎn)E作EG_LAB,垂足為G,

；3E是AAbC的角平分線，

，ZCBf=ZGBE,

■：ZC=ZBGE=90°,BE=BE,

CBE^△GBE,

BC=BG=6,EC=EG,

設(shè)CE=x,貝I」EG=x,AE=8-x,AG=AB-BG=4,

在直角三角形AEG中，根據(jù)勾股定理，得AE?EG2+AE2,

即(8-X)2=X2+42,

解得x=3,

.CE=3,AE=5,

過點(diǎn)F作FO_LAC,垂足為。，NACB=9()°,

FOUBC,

OFOE

~BC~~CE'

OFBC6c

——=——=-=2即F0=20E,

OECE3

「AD是中線，BC=6,

CD=3,

FOUDC,

OFAE+OE

DC8

2OE5+OE

38

“，。15

解得。￡=百，

在直角三角形OFF中，EF2=EO2+OF2=5ECP,

■-EF=yf5OE^^^--

13

故答案為：臣叵.

13

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，三角形全等，平行線分線段成比例定理，中線，角的平分線，構(gòu)造輔

助線實(shí)施全等證明，平行線分線段成比例證明是解題的關(guān)鍵.

17.如圖等邊三角形48c中，點(diǎn)。是△ABC的NB和NC的角平分線的交點(diǎn)，ZTOG=120",

繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)NFOG,分別交線段A8、BC于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，連接DE,若。A=2,則△ODE周長

【答案】2+73

【分析】

如圖（見解析），先根據(jù)角平分線的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)可得OM=ON,ZMAO=30°,

ZMOA=60°,從而得到NDOM+NDON=120。，再根據(jù)角的和差可得NDOM=NNOE,然后證

明RthDOM^RtAA/OE,得到DO=OE,NODE=30°,又根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得。

2

DH=HE=^OD,△ODE的周長為2。。+百D0=（2+百）D。，最后根據(jù)垂線段最短計(jì)算

即可.

【詳解】

如圖，過點(diǎn)。作。M_LA8,垂足為M,連接A。并延長交BC于點(diǎn)N,

點(diǎn)。是等邊△ABC的NB和NC的角平分線的交點(diǎn)，

ON±BC,OM=ON,ZMAO=30°,ZMOA=60°,

ZDOM+ZDON=120°,

ZDOE=120°,

ZNOE+NDON=120°,

：.ZDOM=ZNOE,

RSDOM"RtANOE,

DO=OE,ZODE=30°,

過點(diǎn)。作OH±DE,垂足為H,

：.OH=-OD,DH=HE=—OD.

22

「.AODE的周長為2DO+百。。=（2+百）DO,

??.△ODE的周長要想取最小值，只需。。最小，

根據(jù)垂線段最短，當(dāng)OD=OM時(shí)，。。最小，周長最小,

,/ZMAO=30°,04=2,

OM=1,

二△ODE的周長最小為2+JL

故答案為：2+.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，垂線段最短，利用等邊三角形的性質(zhì),

等腰三角形的性質(zhì)，ffl0D表示三角形ODE的周長是解題的關(guān)鍵.

18.如圖，RtZkACB中，ZACB=90°,△AC3的角平分線A。，3E相交于點(diǎn)P,過P

作交5c的延長線于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)H,則下列結(jié)論：①NAPB=135°；

（2）DH=42PD:③SA”H=SFDE；④。"平分NCDE；其中正確的結(jié)論是

.（填正確結(jié)論的序號(hào)）

【答案】①②③

【分析】

由三角形的角平分線的含義結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理可判斷①，先證明AA8的&FBP

(ASA)與△APH號(hào)△FPD(ASA),結(jié)合NHPD=90°,可判斷②，由△A8的△FBP,

△APH”FPD,可得5AAM=SAFPB，SAAPH=SAFPD,再證明HDII￡P(guān),可判斷③，若D”平分

ZCDE,推導(dǎo)DEIIA8,這個(gè)顯然與條件矛盾，可判斷④；

【詳解】

解：在AABC中，

zACB=90°,：.ZBAC+ZABC=9Q°,

又；AD、BE分別平分NBAC.ZABC,

：.ZB4D+ZABE=-1P0=45?,

2

NAP8=135°,故①正確.

Z8PD=45°,

又?；PFA.AD,

：.ZFP8=90°+45°=135°,

ZAPB=ZFPB,

又：ZABP=NFBP,BP=BP,

AABP^AFBP(ASA),

:.NBAP=4BFP,AB=FB,PA=PF,

?.?ZR4D=NCAZ),

ZPAH=ZPFD,

在^APH和小FPD中,

NAPH=NFPD=90°

<PA=PF,

NPAH=NPFD

AAPH^AFPD（ASA）,

PH=PD,

ZHPD=90°,

：.DH=y[2PD>故②正確，

△AB匿△FBP,△APH"AFPD,

?1SAAPB=S&FPB'APH=SA印°,PH=PD,

---ZHPD=9O°,

ZHDP=ZDHP=45°=ZBPD,

HDWEP,

SA印H=S&EPD<

■?SAAPH=SAACD<故③）正確，

若DH平分NCDE,則NCDH=NEDH,

■：DHWBE,

ZCDH=NCBE=ZABE,

：.ZCDE=4ABC,

..DEWAB,這個(gè)顯然與條件矛盾，故④錯(cuò)誤；

故答案為：①②③.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的角平分線的性質(zhì)，三角形全等的判定方法，三角形內(nèi)角和定理，三角形

的面積，勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常

考題型.

三、解答題（本大題共6小題，共66分，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程）

19.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=BC=a,4。是BC邊上的中線，將A點(diǎn)翻折與點(diǎn)

。重合，得到折痕EF.

（1）若a=4,求CE的長；

（2）求丁的值.

E

CDB

3

【答案】(1)CE=1.5；(2)-

5

【分析】

(1)設(shè)CE=x,根據(jù)勾股定理列出方程(4-x)2=22+f,解方程求出x,計(jì)算即可：

(2)設(shè)CE=y,根據(jù)勾股定理列出方程(a—y)2=上。+/,解方程求事x、y的關(guān)系,

計(jì)算即可.

【詳解】

解：(1)設(shè)C￡=x,

VAC=BC=4.AD是8c邊上的中線，

CD=2,

由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，DE=AE=4-x,

由勾股定理得，(4-X)2=22+X2,

解得，x=1.5,

則CE=1.5.

(2)設(shè)CE=y,

???AC^BC^a,AD是8c邊上的中線，

:.CD=-a,

2

由翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，DE=AE=a_y,

由勾股定理得，(a—y)2=(ga)+/,

3

解得，y=弓。，

O

則CE=23a,A￡=5^a,

88

CE3

族一3一？

【點(diǎn)睛】

本題考查了利用勾股定理解直角三角形的過程，解題的關(guān)鍵是：在直角三角形中利用勾股定

理建立等式。進(jìn)行求解.

20.己知：如圖，在AADC中，AD^CD,且A8IIDC,CB_LAB于B,CE_LAD交A。的延長

線于E,連接8E.

(1)求證：CE=CB；

(2)若NCAE=30。，CE=2,求8￡的長度.

【答案】(1)見解析；(2)BE=26.

【分析】

(1)利用等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)得到AC是4EAB的角平分線，根據(jù)角平分線的

性質(zhì)即可得到CE=CB；

(2)通過倒角證明AAEB是等邊三角形，所以8E=AB,在R3ABC中，根據(jù)30。所對(duì)的直角

邊是斜邊的一半求得AC,再根據(jù)勾股定理求出AB,即得出BE的長.

【詳解】

(1)證明：??,AD=CD,

/.ZDAC=NDCA,

■：4811CD,

ZDCA=4CAB,

：.ZD4C=ZCAB,

47是NEAB的角平分線，

又;CE±AD,CBA.AB,

「?CE=CB.

(2):人。是NE48的角平分線，

/.ZEA8=2NCAE=60°,

,/N0C4=ND/AC=30°,

/.ZEDC=ZDC4+ZD4C=60°,

,/CE±ADf

/.ZCED=90°,

「?Z￡8=30°,

?/CB±AB,

ZCBA=9Q°,

,/ABWCD,

：.ZC84+NDCB=180°,

ZDCB=90°,

ZECB=NECD+NDCB=120°f

'：CE=CB=2,

/.ZCBE=NCEB=—(180°-ZECB)=30°,

2

/.Z￡84=60°,

ZAEB=NEAB=NABE=60°f

??.△AEB是等邊三角形，

/.BE=AB；

在RtA48c中，

?/BC±AB,ZCAB=30°f

/.4c=28C=4,

JA02-BC?=V42-22=26，

/.8￡=2百.

【點(diǎn)睛】

本題考查了角平分線的性質(zhì)，含30。角的宜角三角形，勾股定理，等邊三角形的判定與性質(zhì),

其中，判定AAEB是等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

21.如圖，在冊(cè)AABC中，NC=90°,直線OE是邊AB的垂直平分線，連接

(1)若乙4=35°,則NCBE=。；

(2)若AE=3,EC=1,求AABC的面積.

【答案】⑴20；(2)S4ABe=4日

【分析】

(1)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出NABC,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到)=E8,進(jìn)而得

到NE8A=NA=35°,計(jì)算即可；

(2)根據(jù)勾股定理求出8C,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算，得到答案.

【詳解】

解：(1)ZC=90",ZA=35°,

：.ZABC=90°-35°=55°,

DE是線段AB的垂直平分線，

EA=EB,

：.ZfB4=Z4=35°,

ZCBE=550-35-=20%

故答案為：20；

(2)?.■直線是邊AB的垂直平分線,

EB=EA=3,

乂：ZC=90°,

???BC=ylEB2-EC2=20，

/.S△ZAiR1C，=—x4x2>/2=4>/2.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積計(jì)算，掌握垂直平分線上任

意一點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度的正方形，AABC

的位置如圖所示，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中點(diǎn)4的坐標(biāo)為（-1,3）.

（1）作AA3c關(guān)于x軸對(duì)稱的△A4G；

（2）將繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，作出旋轉(zhuǎn)后得到的4AB2G；

（3）在（2）的條件下，求線段A8在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過的面積.

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）—.

2

【分析】

（1）分別作出點(diǎn)A、B、。關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)A