利用空間向量解決立體幾何問題

利用空間向量解決立體幾何問題數(shù)學(xué)專題二1學(xué)習(xí)提綱二、立體幾何問題的類型及解法1、判斷直線、平面間的位置關(guān)系；

(1)直線與直線的位置關(guān)系;(2)直線與平面的位置關(guān)系;(3)平面與平面的位置關(guān)系;2、求解空間中的角度；3、求解空間中的距離。1、直線的方向向量；2、平面的法向量。一、引入兩個(gè)重要空間向量21、直線的方向向量2、平面的法向量空間中的兩個(gè)重要向量3lAP１．直線的方向向量直線ｌ的向量式方程換句話說,直線上的非零向量叫做直線的方向向量4

直線的方向向量的理解把直線上任意兩點(diǎn)的向量或與它平行的向量都稱為直線的方向向量.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中,由A(x1,y1,z1)與B(x2,y2,z2)確定的直線AB的方向向量是zxyAB52、平面的法向量

AlP平面α的向量式方程換句話說,與平面垂直的非零向量叫做平面的法向量6平面的法向量的理解如果表示向量n的有向線段所在的直線垂直于平面α,稱這個(gè)向量垂直于平面α,記作n⊥α,這時(shí)向量n叫做平面α的法向量.

αn7oxyzABCO1A1B1C1例1.如圖所示,正方體的棱長(zhǎng)為1直線OA的一個(gè)方向向量坐標(biāo)為___________平面OABC的一個(gè)法向量坐標(biāo)為___________平面AB1C的一個(gè)法向量坐標(biāo)為___________(-1,-1,1)(0,0,1)(1,0,0)8例2(1)設(shè)分別是直線的方向向量,根據(jù)下列條件判斷與的位置關(guān)系:②③分析:直線方向向量與直線位置關(guān)系,據(jù)此可判斷兩直線的位置關(guān)系①平行②垂直③相交或異面9例1(2)設(shè)分別是平面的法向量,根據(jù)下列條件判斷與的位置關(guān)系:②③分析:平面法向量與兩平面位置關(guān)系,據(jù)此可判斷兩平面的位置關(guān)系①垂直②平行③相交(不垂直)例2(2)設(shè)分別是平面的法向量,根據(jù)下列條件判斷與的位置關(guān)系:②③10分析:直線方向向量與平面法向量關(guān)系和直線與平面位置關(guān)系,據(jù)此可判斷直線和平面的位置關(guān)系例2(3)設(shè)是平面的法向量,是直線的方向向量,根據(jù)下列條件判斷與的位置關(guān)系:②③①②垂直③相交(斜交)11例4已知平面經(jīng)過三點(diǎn)A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0),試求平面的一個(gè)法向量.解:∵A(1,2,3)、B(2,0,-1)、C(3,-2,0)∴設(shè)平面的法向量是依題意,有,即解得z=0且x=2y,令y=1,則x=2∴平面的一個(gè)法向量是12求平面的法向量的坐標(biāo)的一般步驟:第一步(設(shè)):設(shè)出平面法向量的坐標(biāo)為n=(x,y,z).第二步(列):根據(jù)n·a=0且n·b=0可列出方程組第三步(解):把z看作常數(shù),用z表示x、y.第四步(取):取z為任意一個(gè)正數(shù)(當(dāng)然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐標(biāo).13ABCA1B1C1D1D14A1xD1B1ADBCC1yzEFCD中點(diǎn)，求證：D1F例6.在正方體中，E、F分別是BB1,，平面ADE

證明：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，為單位正交基底，建立如圖所示坐標(biāo)系D-xyz，則可得：所以15鞏固性訓(xùn)練1.設(shè)分別是直線l1,l2的方向向量,根據(jù)下列條件,判斷l(xiāng)1,l2的位置關(guān)系.平行垂直平行16垂直平行相交2.設(shè)分別是平面的法向量,根據(jù)下列條件,判斷的位置關(guān)系.173、設(shè)平面的法向量為(1,2,-2),平面的法向量為(-2,-4,k),若，則k=

；若,則k=

.

4、已知，且的方向向量為(2,m,1)