向量的線性表示與坐標運算

向量的線性表示與坐標運算匯報人：XX2024-01-262023XXREPORTING向量基本概念與性質(zhì)坐標系中向量表示法向量線性組合與線性表示矩陣與向量乘法運算向量空間與子空間概念總結(jié)回顧與拓展延伸目錄CATALOGUE2023PART01向量基本概念與性質(zhì)2023REPORTING向量定義及表示方法向量定義向量是既有大小又有方向的量，通常用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向。向量表示方法向量可以用小寫字母加粗表示，如a、b、c等，也可以用表示起點和終點的兩個大寫字母表示，如AB、CD等，其中起點在前，終點在后。向量加法運算規(guī)則向量加法滿足平行四邊形法則或三角形法則。設(shè)兩個向量a與b不共線，則以a、b為鄰邊作平行四邊形，這兩個鄰邊之間的對角線就代表a+b。若a、b共線，則向量a+b的方向與a、b相同，大小等于二者大小之和。向量數(shù)乘運算規(guī)則實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，記作λa，它的模等于|λ|與|a|的積，方向與a相同（當λ>0時），或與a相反（當λ<0時）。向量加法與數(shù)乘運算規(guī)則若向量a與向量b共線，則存在實數(shù)λ使得a=λb，或者兩向量對應的分量成比例。若向量a與向量b垂直，則它們的點積為零，即a·b=0。向量共線、垂直條件向量垂直條件向量共線條件向量的模長（或稱為向量的長度）是一個標量，表示向量的大小。向量模長定義對于二維向量a=(x,y)，其模長|a|的計算公式為|a|=√(x2+y2)。對于三維向量a=(x,y,z)，其模長|a|的計算公式為|a|=√(x2+y2+z2)。向量模長計算公式向量模長計算公式PART02坐標系中向量表示法2023REPORTING平面直角坐標系由兩條互相垂直、原點重合的數(shù)軸構(gòu)成，分別稱為x軸和y軸。在平面直角坐標系中，任意一點P都可以用一對有序?qū)崝?shù)(x,y)來表示，稱為點P的坐標。平面直角坐標系中的向量可以用有向線段來表示，起點為坐標原點O，終點為向量所表示的點。平面直角坐標系簡介空間直角坐標系由三條互相垂直、原點重合的數(shù)軸構(gòu)成，分別稱為x軸、y軸和z軸。在空間直角坐標系中，任意一點P都可以用一組有序?qū)崝?shù)(x,y,z)來表示，稱為點P的坐標?？臻g直角坐標系中的向量可以用有向線段來表示，起點為坐標原點O，終點為向量所表示的點。空間直角坐標系簡介在平面直角坐標系中，向量可以用一對有序?qū)崝?shù)(a,b)來表示，其中a表示向量在x軸上的投影長度，b表示向量在y軸上的投影長度。在空間直角坐標系中，向量可以用一組有序?qū)崝?shù)(a,b,c)來表示，其中a、b、c分別表示向量在x軸、y軸和z軸上的投影長度。向量的坐標表示法具有唯一性，即一個向量對應一組唯一的坐標。向量在坐標系中表示方法0102向量的加法運算設(shè)向量A的坐標為(a1,a2)，向量B的坐標為(b1,b2)，則向量A與向量B的和向量C的坐標為(a1+b1,a2+b2)。向量的減法運算設(shè)向量A的坐標為(a1,a2)，向量B的坐標為(b1,b2)，則向量A與向量B的差向量D的坐標為(a1-b1,a2-b2)。向量的數(shù)乘運算設(shè)向量A的坐標為(a1,a2)，實數(shù)k為標量，則k與向量A的數(shù)乘結(jié)果向量E的坐標為(k*a1,k*a2)。向量的點積運算設(shè)向量A的坐標為(a1,a2)，向量B的坐標為(b1,b2)，則向量A與向量B的點積為一個標量，其值為a1*b1+a2*b2。向量的叉積運算設(shè)向量A的坐標為(a1,a2,a3)，向量B的坐標為(b1,b2,b3)，則向量A與向量B的叉積結(jié)果向量C的坐標為(c1,c2,c3)，其中c1=a2*b3-a3*b2，c2=a3*b1-a1*b3，c3=a1*b2-a2*b1。030405向量坐標運算規(guī)則PART03向量線性組合與線性表示2023REPORTING向量組的兩個線性組合的和或差仍是該向量組的線性組合。向量組中任一向量的倍數(shù)仍是該向量組的線性組合。零向量是任意向量組的線性組合，即$0=0a_1+0a_2+ldots+0a_m$。線性組合定義：對于向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$和標量$k_1,k_2,ldots,k_m$，稱向量$b=k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m$為向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$的一個線性組合。線性組合性質(zhì)線性組合定義及性質(zhì)線性表示定理向量$b$能由向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$線性表示的充分必要條件是存在一組數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_m$，使得$b=k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m$。證明必要性顯然，充分性可通過構(gòu)造法或反證法證明。線性表示定理及其證明線性相關(guān)定義如果存在不全為零的數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_m$，使得$k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m=0$，則稱向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$線性相關(guān)。線性無關(guān)定義如果只有當$k_1=k_2=ldots=k_m=0$時，才有$k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m=0$，則稱向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$線性無關(guān)。線性相關(guān)與線性無關(guān)概念通過直觀觀察向量組是否共線或共面來判斷其線性相關(guān)性。觀察法定義法定理法根據(jù)線性相關(guān)和線性無關(guān)的定義，通過計算判斷是否存在不全為零的數(shù)使得向量組線性相關(guān)。利用一些已知的定理或性質(zhì)來判斷向量組的線性相關(guān)性，如向量空間基的性質(zhì)、矩陣的秩等。030201判斷向量組線性相關(guān)性方法PART04矩陣與向量乘法運算2023REPORTING0102矩陣乘法定義設(shè)A為m×n矩陣，B為n×p矩陣，則A與B的乘積C為m×p矩陣，記作C=AB。C的第i行第j列元素cij等于A的第i行元素與B的第j列元素對應相乘后之和。結(jié)合律(AB)C=A(BC)分配律(A+B)C=AC+BC，C(A+B)=CA+CB數(shù)乘結(jié)合律k(AB)=(kA)B=A(kB)單位矩陣與任何同階方陣…IE=EI=I030405矩陣乘法定義及性質(zhì)矩陣乘法在向量變換中應用通過矩陣乘法，可以實現(xiàn)向量的線性變換，如旋轉(zhuǎn)、縮放、平移等。向量線性變換在不同坐標系之間轉(zhuǎn)換向量時，需要用到矩陣乘法。例如，將笛卡爾坐標系中的點轉(zhuǎn)換為極坐標系中的點。向量坐標變換VS設(shè)A、B、C為任意可乘矩陣，則有(AB)C=A(BC)。這一性質(zhì)在矩陣運算中非常重要，它保證了矩陣乘法的連貫性和一致性。分配律驗證設(shè)A、B、C為任意可乘矩陣，且存在數(shù)與矩陣的乘法，則有(A+B)C=AC+BC和C(A+B)=CA+CB。分配律在矩陣運算中同樣具有重要地位，它使得我們可以靈活地進行矩陣的拆分和組合。結(jié)合律驗證矩陣乘法滿足結(jié)合律和分配律對角矩陣與任意同階方陣相乘時，只需將對角線上的元素與對應方陣的元素相乘即可。這大大簡化了計算過程。對角矩陣乘法稀疏矩陣中大部分元素為零，因此在進行乘法運算時可以采用特殊算法以減少計算量。例如，只計算非零元素與對應位置的乘積并累加。稀疏矩陣乘法對于大型矩陣，可以將其劃分為若干個子矩陣（塊），然后分別進行塊間乘法運算。這種方法可以降低計算復雜度并提高計算效率。分塊矩陣乘法特殊矩陣乘法技巧PART05向量空間與子空間概念2023REPORTING一個非空集合V，對于數(shù)域P中的加法和數(shù)量乘法滿足八條性質(zhì)，則稱V是數(shù)域P上的一個線性空間或向量空間。向量空間具有加法封閉性、加法結(jié)合律、加法交換律、零元存在性、負元存在性、數(shù)量乘法封閉性、數(shù)量乘法結(jié)合律、數(shù)量乘法對向量加法的分配律、數(shù)量乘法對數(shù)的乘法的分配律等性質(zhì)。向量空間定義向量空間性質(zhì)向量空間定義及性質(zhì)設(shè)W是數(shù)域P上的線性空間V的一個非空子集，若W對于V中的加法和數(shù)量乘法也構(gòu)成數(shù)域P上的線性空間，則稱W是V的一個線性子空間或子空間。子空間定義子空間具有加法封閉性、數(shù)量乘法封閉性、零元存在性、負元存在性、加法結(jié)合律、加法交換律、數(shù)量乘法結(jié)合律、數(shù)量乘法對向量加法的分配律等性質(zhì)。子空間性質(zhì)子空間定義及性質(zhì)基設(shè)V是數(shù)域P上的線性空間，如果V中存在n個線性無關(guān)的向量a1,a2,...,an，使得V中任一向量a都可以由它們線性表示，則稱向量組a1,a2,...,an是V的一個基。維數(shù)向量空間的基所含向量的個數(shù)稱為向量空間的維數(shù)。秩矩陣的秩等于其列向量組的秩，也等于其行向量組的秩?；⒕S數(shù)和秩概念判斷一個子集是否為子空間，需要驗證該子集是否滿足向量空間的定義和性質(zhì)，特別是加法和數(shù)量乘法的封閉性。常見的判斷方法包括：驗證零向量是否屬于該子集；驗證該子集中任意兩個向量的和是否仍屬于該子集；驗證該子集中任意向量與任意標量的乘積是否仍屬于該子集。判斷子空間方法PART06總結(jié)回顧與拓展延伸2023REPORTING向量的線性表示向量可以由其他向量的線性組合來表示，即存在一個系數(shù)矩陣使得向量等式成立。向量的坐標運算向量的加、減、數(shù)乘和點積等運算都可以通過向量的坐標來進行。矩陣與向量的乘法矩陣與向量的乘法可以通過矩陣的列向量或行向量與向量的點積來實現(xiàn)。關(guān)鍵知識點總結(jié)回顧030201例題1已知向量a=(1,2)，向量b=(2,3)，求向量a+b和向量a-b。例題3已知向量a和b的點積為0