初中數(shù)學(xué)+特殊平行四邊形的證明及詳細(xì)答案

初中數(shù)學(xué)特殊平行四邊形的證明

一.解答題（共30小題）

1.（泰安模擬）如圖,在SBC中，NACB=90。，BC的

垂直平分線DE交BC于D,交AB于E,F在DE上，并且

AF=CE.

（1）求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

（2）當(dāng)/B滿足什么條件時(shí),四邊形ACEF是菱形？請回答

并證明你的結(jié)論.

2.（福建模擬）已知：如圖,在^ABC中，D、E分別是

AB、AC的中點(diǎn)，BE=2DE,延長DE到點(diǎn)F,使得EF=BE,

連接CF.

求證：四邊形BCFE是菱形.

3.（深圳一模）如圖，四邊形ABCD中，ABIICD,AC

平分/BAD,CEIIAD交AB于E.

（1）求證：四邊形AECD是菱形；

（2）若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),試判斷SBC的形狀，并說明理

由.

4.（濟(jì)南模擬）如圖,四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E是邊

AD的中點(diǎn).

求證:EB=EC.

5.（臨淄區(qū)校級模擬）如圖所示，在矩形ABCD中，DE

±AC于點(diǎn)E,設(shè)/ADE=a,且cosa=s,AB=4,則AC的

5

長為多少？

6.（宿城區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD是矩形,對角

線AC、BD相交于點(diǎn)0,BEIIAC交DC的延長線于點(diǎn)E.求

證:BD=BE.

7.(雅安)如圖：在口ABCD中，AC為其對角線，過

點(diǎn)D作AC的平行線與BC的延長線交于E.

(1)求證:△ABC^DCE;

(2)若AC=BC,求證：四邊開?ACED為菱形.

8.(貴陽)如圖，在RfABC中,zACB=90°,D、E

分別為AB,AC邊上的中點(diǎn)，連接DE,將AADE繞點(diǎn)E旋

轉(zhuǎn)180。得到aCFE,連接AF,AC.

(1)求證：四邊形ADCF是菱形;

(2)若BC=8,AC=6,求四邊形ABCF的周長.

9.(遂寧)已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、

BD相交于點(diǎn)O,E是CD中點(diǎn)，連結(jié)OE.過點(diǎn)C作CFII

BD交線段OE的延長線于點(diǎn)F,連結(jié)DF.求證：

(1)AODE^FCE;

(2)四邊形ODFC是菱形.

10.(寧德)如圖，在梯形ABCD中，ADllBC,點(diǎn)E

是BC的中點(diǎn)，連接AC,DE,AC=AB,DEllAB.求證:

四邊形AECD是矩形.

11.(欽州)如圖,在正方形ABCD中，E、F分別是

AB、BC上的點(diǎn),且AE=BF.求證：CE=DF.

12.(貴港)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線

AC上一點(diǎn),且CE=CD,過點(diǎn)E作EF±AC交AD于點(diǎn)F,

連接BE.

(1)求證：DF=AE;

(2)當(dāng)AB=2時(shí)，求BE2的值.

13.（吳中區(qū)一模）已知：如圖，菱形ABCD中，E、F

分別是CB、CD上的點(diǎn),zBAF=zDAE.

（1）求證:AE=AF;

（2）若AE垂直平分BC,AF垂直平分CD,求證：4AEF

為等邊三角形.

14.（新鄉(xiāng)一模）小明設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖的風(fēng)箏，其中，

四邊形ABCD與四邊形AEFG都是菱形，點(diǎn)C在AF上，點(diǎn)

E,G分另（］在BC,CD上，若NBAD=135°,zEAG=75°z

AE=100cm,求菱形ABCD的邊長.

15.（槐蔭區(qū)三模）如圖，菱形ABCD的邊長為1

D=120°.求又寸角線AC的長.

16.（歷城區(qū)一模）如圖，已知菱形ABCD的對角線AC、

BD的長分別為6cm、8cm,AE±BC于點(diǎn)E,求AE的長.

17.（湖南校級模擬）如圖，AE=AF,點(diǎn)B、D分別在

AE、AF上,四邊形ABCD是菱形，連接EC、FC

（1）求證：EC=FC;

若求的周長.

（2）AE=2,zA=60°,MEF

18.（清河區(qū)一模）如圖，在SBC中，AB=AC,點(diǎn)D、

E、F分別是^ABC三邊的中點(diǎn).

求證：四邊形ADEF是菱形.

19.（防城區(qū)期末）如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊

形，DE_LAB,DFJ_BC,垂足分別是為E尸，并且DE=DF.求

證：四邊形ABCD是菱形.

20.(通州區(qū)一模)如圖，在四邊形ABCD中，AB=DC,

E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),G、H分別是對角線BD、AC

的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形EGFH是菱形；

(2)若AB=1，則當(dāng)NABC+NDCB=90°時(shí)，求四邊形EGFH

21.(順義區(qū)二模)如圖，在^ABC中，D、E分別是

AB、AC的中點(diǎn)，BE=2DE,過點(diǎn)C作CFlIBE交DE的延長

線于F.

(1)求證：四邊形BCFE是菱形；

(2)若CE=4,zBCF=120°,求菱形BCFE的面積.

22.(祁陽縣校級模擬)如圖，O為矩形ABCD對角線

的交點(diǎn)，DEllAC,CEIIBD.

(1)求證：四邊形OCED是菱形.

(2)若AB=6,BC=8,求四邊形OCED的周長.

23.(荔灣區(qū)校級一模)已知點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD

延長線上的一點(diǎn)，且AD=DE,連結(jié)BE交CD于點(diǎn)0,求證:

△AOD^^BOC.

24.(東海縣二模)已知：如圖，在正方形ABCD中，

點(diǎn)E、F在又寸角線BD上，且BF=DE,

(1)求證：四邊形AECF是菱形；

(2)若AB=2,BF=1,求四邊形AECF的面積.

25.(玉溪模擬)如圖,正方形ABCD的邊CD在正方

形ECGF的邊CE上，連接BE、DG.

求證:BE=DG?

26.(工業(yè)園區(qū)一模)已知：如圖正方形ABCD中，E

為CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長線上一點(diǎn)，且CE=CF

(1)求證:△BCE^DCF;

(2)若NFDC=30。，求NBEF的度數(shù).

27.(深圳模擬)四邊形ABCD是正方形,E、F分別是

DC和CB的延長線上的點(diǎn),且DE=BF,連接AE、AF、EF.

(1)求證：AADE^ABF;

(2)若BC=8,DE=6,求aAEF的面積.

28.(碑林區(qū)校級模擬)在正方形ABCD中，AC為對

角線，E為AC上一點(diǎn),連接EB、ED.求證：/BEC:/DEC.

29.（溫州一模）如圖，AB是CD的垂直平分線，交

于點(diǎn)過點(diǎn)作垂足分別為

CDM,MME±ACzMF±AD,

E、F.

（1）求證:zCAB=zDAB;

（2）若NCAD=90。，求證：四邊形AEMF是正方形.

于

B

30.（湖里區(qū)模擬）已知：如圖,△ABC中,zABC=90°,

BD是/ABC的平分線，DE_LAB于點(diǎn)E,DF_LBC于點(diǎn)F.求

證：四邊形DEBF是正方形.BFC

初中數(shù)學(xué)特殊平行四邊形的證明

參考答案與試題解析

一.解答題（共30小題）

1.（泰安模擬）如圖,在MBC中,zACB=90°,BC的

垂直平分線DE交BC于D,交AB于E,F在DE上，并且

AF=CE.

(1)求證：四邊形ACEF是平行四邊形；

(2)當(dāng)/B滿足什么條件時(shí)，四邊形ACEF是菱形？請回答

并證明你的結(jié)論.

考菱形的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的判

點(diǎn)：定.

專證明題.

題：

分(1)ED是BC的垂直平分線，根據(jù)中垂線的性質(zhì)：中

析：垂線上的點(diǎn)線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等,則EB二EC,故有

/3=/4,在直角三角形ACB中，z2與/4互余，與

z3互余，則可得到AE=CE,從而證得^ACE和^EFA都

是等腰三角形，又因?yàn)镕DJLBC,AC_LBC,所以ACII

FE,再根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等得到AFIICE,故四邊形ACEF是

平行四邊形；

(2)由于^ACE是等腰三角形，當(dāng)/1=60°時(shí)^ACE是

等邊三角形，有AC二EC,有平行四邊形ACEF是菱形.

解解：(1)「ED是BC的垂直平分線

答：/.EB=EC,ED±BC,

/.z3=z4,

\zACB=90°,

.".FEIIAC,

/.zl=z5,

vz2與N4互余,zl與N3互余

/.zl=z2,

/.AE=CE,

又.AF=CE,

??.△ACE和^EFA都是等腰三角形,

/.z5=zF,

/.z2=zF,

??在aEFA和^ACE中

，Z5=Z1

?'NF=N2,

,AF=EC

「.△EFA3ACE(AAS),

.zAEC二NEAF

/.AFllCE

」?四邊形ACEF是平行四邊形；

(2)當(dāng)/B=30°時(shí),四邊開鄉(xiāng)ACEF是菱開鄉(xiāng).證明如下:

?/zB=30°,zACB=90°

/.zl=z2=60°

/.zAEC=60°

「.ACnEC

，平行四邊形ACEF是菱形.

點(diǎn)本題綜合利用了中垂線的性質(zhì)、等邊對等角和等角對等

評：邊、直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形和判定和性質(zhì)、菱

形的判定求解，有利于學(xué)生思維能力的訓(xùn)練.涉及的知

識點(diǎn)有：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.

2.（福建模擬）已知：如圖,在^ABC中，D、E分別是

AB、AC的中點(diǎn)，BE=2DE,延長DE到點(diǎn)F,使得EF=BE,

連接CF.

求證：四邊形BCFE是菱形.

考菱形的判定.

占?

八、、?

專證明題.

題：

分由題意易得，EF與BC平行且相等，二四邊形BCFE是

析：平行四邊形.又EF=BE,??.四邊形BCFE是菱形.

解解:/BE=2DE,EF=BE,

答：..EF=2DE.（1分）

??D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

??.BO2DE且DEIIBC.（2分）

/.EF=BC.（3分）

又EFIIBC,

???四邊形BCFE是平行四邊形.（4分）

又EF二BE,

???四邊形BCFE是菱形.（5分）

點(diǎn)此題主要考查菱形的判定，綜合利用了平行四邊形的性

評：質(zhì)和判定.

3.（深圳一模）如圖，四邊形ABCD中，ABIICD,AC

平分/BAD,CEIIAD交AB于E.

（1）求證：四邊形AECD是菱形；

（2）若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，試判斷MBC的形狀，并說明理

由.

D

考菱形的判定與性質(zhì).

/占\\\?.

專幾何圖形問題.

題：

分（1）利用兩組對邊平行可得該四邊形是平行四邊形，進(jìn)

析：而證明一組鄰邊相等可得該四邊形為菱形；

（2閑」用菱形的鄰邊相等的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)可

得兩組角相等，進(jìn)而證明/ACB為直角即可.

解解：

（1）;ABIICD,CEllAD,

答：「?四邊形AECD為平行四邊形,z2=z3,

又.AC平分/BAD,

/.zl=z2,

/.zl=z3,

「.AD二DC,

???四邊形AECD是菱形；

（2）直角三角形.

理由:/AE=EC

/.z2=z4,

/AE=EB,

/.EB=EC,

/.z5=zB,

又因?yàn)槿切蝺?nèi)角和為180。，

/.z2+z4+z5+zB=180°,

/.zACB=z4+z5=90°,

「.△ACB為直角三角形.

點(diǎn)考查菱形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用；用到的知識點(diǎn)為：一組

評：鄰邊相等的平行四邊形是菱形；菱形的4條邊都相等.

4.（濟(jì)南模擬）如圖,四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E是邊

AD的中點(diǎn).

求證:EB=EC.

考矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

占.

八、、?

專證明題.

題：

分利用矩形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出^

析：ABE24DCE(SAS),即可得出答案.

解證明：二?四邊形ABCD是矩形，

答：/.AB=DC,zA=zD=90°,

???點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，

/.AE=ED,

在^ABE和^DCE中,

AB=DC

<ZA=ZD/

AE=DE

「.△ABE%DCE(SAS),

???EB=EC.

點(diǎn)此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的性

評：質(zhì),得出MBE標(biāo)4DCE是解題關(guān)鍵.

5.(臨淄區(qū)校級模擬)如圖所示,在矩形ABCD中，DE

±AC于點(diǎn)E,設(shè)NADE=a,且cosa二心,AB=4,貝!]AC的

5

長為多少？

考矩形的性質(zhì).

占.

/\x\?

分根據(jù)等角的余角相等，得NBAC=NADE=C（;根據(jù)銳角三

析：角函數(shù)定義可求AC的長.

解解：二.四邊形ABCD是矩形，

答：/.zABC=90°,ADllBC,

/.zEAD=zACB,

??在3BC與MED中，

?.DE_LAC于E,zABC=90°

/.zBAC=zADE=a.

/.coszBAC=cosa=3,

5

...AC=AB=次.

cosZ;BAC3

點(diǎn)此題綜合運(yùn)用了銳角三角函數(shù)的知識、勾股定理、矩形

評：的性質(zhì).

6.（宿城區(qū)校級月考）如圖，四邊形ABCD是矩形，對角

線AC、BD相交于點(diǎn)0,BEIIAC交DC的延長線于點(diǎn)E.求

證:BD=BE.

考矩形的性質(zhì)；平行四邊形的判定與性質(zhì).

/占\\\?.

專證明題.

題：

分根據(jù)矩形的對角線相等可得ACnBD,對邊平行可得AB

析：IICD,再求出四邊形ABEC是平行四邊形，根據(jù)平行四

邊形的對邊相等可得AC=BE,從而得證.

解證明：二?四邊形ABCD是矩形，

:「.AC=BD,ABIICD,

又「BEllAC,

???四邊形ABEC是平行四邊形，

「?AC=BE,

???BD=BE.

點(diǎn)本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟

評：記各性質(zhì)并求出四邊形ABEC是平行四邊形是解題的關(guān)

鍵.

7.(雅安)如圖：在口ABCD中,AC為其對角線,過點(diǎn)

D作AC的平行線與BC的延長線交于E.

(1)求證:MBC^DCE;

(2)若ACnBC,求證：四邊形ACED為菱形.

BE

考菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的

點(diǎn)：性質(zhì).

專證明題.

題：

分（1）利用AAS判定兩三角形全等即可；

析：（2）首先證得四邊形ACED為平行四邊形，然后證得

AC=AD,利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定即可.

解證明：（1）二?四邊形ABCD為平行四邊形，

:.，ABIICD,AB二CD,

/.zB=zl,

又.DEllAC

/.z2=zE,

在^ABC與SCE中,

'AB=CD

■Z2=ZE/

ZB=Z1

...△ABC祇DCE;

(2)?.平行四邊形ABCD中,

/.ADllBC,

即ADllCE,

由DEIIAC,

???ACED為平行四邊形，

\AC=BC,

/.zB=zCAB,

由ABIICD,

/.zCAB=zACD,

又.2B=/ADC,

/.zADC=zACD,

/.AC=AD,

，四邊形ACED為菱形.

點(diǎn)本題考查了菱形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握

評：菱形的判定定理，難度不大.

8.(貴陽)如圖，在RfABC中ACB=90°,D、E分

別為AB,AC邊上的中點(diǎn)，連接DE,將3DE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)

180。得至！hCFE,連接AF,AC.

(1)求證：四邊形ADCF是菱形；

(2)若BC=8,AC=6,求四邊形ABCF的周長.

考菱形的判定與性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

/占\\\?,

專幾何綜合題.

題：

分(1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得AE=CE,DE=EF,可判定四邊形

析：ADCF是平行四邊形，然后證明DF±AC,可得四邊形

ADCF是菱形；

(2)首先利用勾股定理可得AB長，再根據(jù)中點(diǎn)定義可

得AD=5,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AF=FC=AD=5,進(jìn)而

可得答案.

解(1)證明：?.將“UDE繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)180。得至"CFE,

答：/.AE=CE,DE=EF,

，四邊形ADCF是平行四邊形，

??D、E分別為AB,AC邊上的中點(diǎn),

??.DE是aABC的中位線，

/.DEllBC,

?.NACB=90°,

/.zAED=90°,

..DFJ_AC,

???四邊形ADCF是菱形；

(2)解：在RbABC中，BC=8,AC=6,

???AB:10,

?.D是AB邊上的中點(diǎn)，

，AD=5,

???四邊形ADCF是菱形，

/.AF=FC=AD=5,

「?四邊形ABCF的周長為8+10+5+5=28.

點(diǎn)此題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握菱形四

評：邊相等，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.

9.(遂寧)已知：如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、

BD相交于點(diǎn)O,E是CD中點(diǎn)，連結(jié)OE.過點(diǎn)C作CFII

BD交線段OE的延長線于點(diǎn)F,連結(jié)DF.求證：

(1)△ODE2FCE;

(2)四邊形ODFC是菱形.

BC

考矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定.

占.

/\x\?

專證明題.

題：

分(1)根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得/ODE:/FCE,

析：根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得CE=DE,然后利用“角邊角"

證明^ODE和^FCE全等；

(2)根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得0D=FC,再根據(jù)

一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判斷出四邊

形ODFC是平行四邊形，根據(jù)矩形的對角線互相平分且

相等可得0C=0D,然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是

菱形證明即可.

解證明：(1)???CFIIBD,

答：/.zODE=zFCE,

?.E是CD中點(diǎn)，

，CE二DE,

在^ODE和PCE中,

2ODE=NFCE

■CE=DE,

,ZDE0=ZCEF

/.△ODE^FCE(ASA);

(2)/AODE^FCE,

.QD=FC,

,/CFlIBD,

，四邊形ODFC是平行四邊形，

在矩形ABCD中,OC=OD,

「?四邊形ODFC是菱形.

點(diǎn)本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，菱

評：形的判定，熟記各性質(zhì)與平行四邊形和菱形的判定方法

是解題的關(guān)鍵.

10.（寧德）如圖，在梯形ABCD中，ADIIBC,點(diǎn)E是

BC的中點(diǎn)，連接AC,DE,AC=AB,DEllAB.求證：四邊

形AECD是矩形.

考矩形的判定.

占?

/\x\?

專證明題.

題：

分先判斷四邊形AECD為平行四邊形，然后由NAEC=90。

析：即可判斷出四邊形AECD是矩形.

解證明:/ADllBC,DEllAB,

答：，四邊形ABED是平行四邊形.

，AD=BE.

???點(diǎn)E是BC的中點(diǎn),

???ECnBE=AD.

，四邊形AECD是平行四邊形.

?.AB=AC,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，

「.AEJLBC,即/AEC=90°.

??。AECD是矩形.

點(diǎn)本題考查了梯形和矩形的判定，難度適中，解題關(guān)鍵是

評：掌握平行四邊形和矩形的判定定理.

11.（欽州）如圖,在正方形ABCD中，E、F分別是AB、

BC上的點(diǎn)，且AE=BF.求證：CE=DF.

考正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

占.

八、、?

專證明題.

題：

分根據(jù)正方開鄉(xiāng)的性質(zhì)可得AB=BCnCD,zB=zBCD=90°,

析：然后求出BEnCF,再利用“邊角邊"證明YCE和aCDF

全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等證明即可.

解證明：在正方形ABCD中,AB=BC=CD,zB=z

答:BCD=90°,

\AE=BF,

/.AB-AE=BC-BFz

即BE=CF,

在^BCE和^CDF中,

rBC=CD

<ZB=ZBCD=90°,

,BE=CF

??.△BCE%CDF(SAS),

/.CE=DF.

點(diǎn)本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

評：熟記性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.

12.(貴港)如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是對角線

AC上一點(diǎn),且CE=CD,過點(diǎn)E作EF±AC交AD于點(diǎn)F,

連接BE.

(1)求證：DF=AE;

(2)當(dāng)AB=2時(shí)，求BE2的值.

考正方形的性質(zhì);角平分線的性質(zhì)；勾股定理.

/占\\\?.

分(1)連接CF,根據(jù)"HL"證明RfCDF和RfCEF全

析：等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=EF,根據(jù)正方

形的對角線平分一組對角可得/EAF=45。，求出aAEF是

等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得

AE=EF,然后等量代換即可得證；

(2)根據(jù)正方形的對角線等于邊長的血倍求出AC,然

后求出AE,過點(diǎn)E作EH_LAB于H,判斷出小￡1~1是等

腰直角三角形，然后求出EH二AH二返A(chǔ)E,再求出BH,

2

然后利用勾股定理列式計(jì)算即可得解.

解(1)證明：如圖，連接CF,

答：在RdCDF和Rt^CEF中,

[CFXF

lCE=CD'

/.RtACDF^RtACEF(HL),

???DF二EF,

/AC是正方形ABCD的對角線，

/.zEAF=45°,

「.△AEF是等腰直角三角形,

/.AE=EF,

/.DF=AE;

(2)解："8=2,

」?AC-RAB=2我,

?.CE=CD,

」.AE=2&-2,

過點(diǎn)E作EH_1AB于H,

則△AEH是等腰直角三角形，

「.EH=AH二?E=爭(2&-2):2-a,

--BH=2-(2-72)=V2,

在Rt△BEH中,BE2=BH2+EH2=(a)2+(2-a)2:8

點(diǎn)本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

評：等腰直角三角形的判定與性質(zhì),勾股定理的應(yīng)用，作輔

助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵.

13.(吳中區(qū)一模)已知：如圖，菱形ABCD中，E、F

分別是CB、CD上的點(diǎn),zBAF=zDAE.

(1)求證:AE=AF;

(2)若AE垂直平分BC,AF垂直平分CD,求證：4AEF

為等邊三角形.

考菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的

點(diǎn)：判定?

專證明題.

題：

分(1)首先利用菱形的性質(zhì)得出AB=AD,zB=zD,進(jìn)

析：而得出aABE當(dāng)ADF(ASA),即可得出答案；

(2)利用垂直平分線的性質(zhì)得出△ABC和^ACD都是等

邊三角形，進(jìn)而得出/EAF=NCAE+NCAF=60°,求出△

AEF為等邊三角形.

解(1)證明：二?四邊形ABCD是菱形，

答:..AB=AD,zB=zD,

又「NBAF=/DAE,

/.zBAE=zDAF,

在^ABE和aADF中，

rZB=ZD

■AB=AD，

,ZBAE=ZDAF

??.△ABE%ADF(ASA),

/.AE=AF;

(2)解：連接AC,

\AE垂直平分BC,AF垂直平分CD,

「.AB二AC=AD,

/AB=BC=CD=DA,

「.△ABC和aACD都是等邊三角形，

???/CAE=NBAE=30。，zCAF=zDAF=30°,

/.zEAF=zCAE+zCAF=60°,

又「AE=AF,

「.△AEF是等邊三角形.

點(diǎn)此題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及全等三角

評：形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定方

法是解題關(guān)鍵.

14.(新鄉(xiāng)一模)小明設(shè)計(jì)了一個(gè)如圖的風(fēng)箏，其中，四

邊形ABCD與四邊形AEFG都是菱形，點(diǎn)C在AF上，點(diǎn)E,

G分別在BC,CD上，若/BAD=135。，zEAG=75°,

AE=100cm,求菱形ABCD的邊長.

考菱形的性質(zhì).

占?

八、、?

分根據(jù)菱形的性質(zhì)可得出/BAE=30。，NB=45。，過點(diǎn)E

析：作EMJ_AB于點(diǎn)M,設(shè)EM=X,則可得出AB、AE的

長度，繼而可得出包的值，求出AB即可.

AE

解解:-.zBAD=135o,zEAG=75°,四邊形ABCD與四

答：邊形AEFG都是菱形，

/.zB=180°-zBAD=45°zzBAE=zBAC-zEAC=30°,

過點(diǎn)E作EM±AB于點(diǎn)M,設(shè)EM=x,

在Rt^AEM中，AE=2EM=2x,AM二四,

在Rt^BEM中，BM=x,

貝=AM+BM='巧+1

AEAE2'

,/AE=100cm,/.AB=50(V3+I)cm,

???菱形ABCD的邊長為:50(73+1)cm.

點(diǎn)本題考查了菱形的性質(zhì)及解直角三角形的知識，屬于基

評：礎(chǔ)題，關(guān)鍵是掌握菱形的對角線平分一組對角.

15.（槐蔭區(qū)三模）如圖，菱形ABCD的邊長為1,/

D=120。.求對角線AC的長.

考菱形的性質(zhì).

占,

八、、?

分連接BD與AC交于點(diǎn)O根據(jù)菱形的性質(zhì)可得ABnAD,

析：AC=2AO,/ADB二系A(chǔ)DC,AC_LBD，然后判斷出aABD

是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出AO,再根

據(jù)AC=2AO計(jì)算即可得解.

解解：如圖，連接BD與AC交于點(diǎn)O,

答：?.四邊形ABCD是菱形，

?.AB=AD,AC=2AO,zADB=lzADC,AC±BD,

?.zD=120°,

??.NADB=60°,

「.△ABD是等邊三角形，

..AO:ADxsin/ADB二立,

2

..AC=2AO=V3.

點(diǎn)本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟

評：記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出等邊三角形是解題的關(guān)鍵.

16.（歷城區(qū)一模）如圖,已知菱形ABCD的對角線AC、

BD的長分別為6cm、8cm,AE±BC于點(diǎn)E,求AE的長.

考菱形的性質(zhì)；勾股定理.

占?

/\x\?

分根據(jù)菱形的對角線互相垂直平分求出co、B0,再利用

析：勾股定理列式求出BC,然后利用菱形的面積等于底乘以

高和對角線乘積的一半列出方程求解即可.

解解：??四邊形ABCD是菱形,

答：/.C0=lAC=3cmB0=lBD=4cm,AO±BO,

22,

?1-BC=7BoW=7?^=5cm，

二?S菱形ABCD=^^?二BC?AE,

即lx6x8=5?AE,

2

解得AE二義cm.

5

答：AE的長是&cm.

5

點(diǎn)本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，熟記菱形的對角線

評：互相垂直平分是解題的關(guān)鍵，難點(diǎn)在于利用菱形的面積

列出方程.

17.(湖南校級模擬)如圖，AE=AF,點(diǎn)B、D分別在

AE、AF上,四邊形ABCD是菱形,連接EC、FC

(1)求證：EC=FC;

(2)若AE=2,zA=60°,求MEF的周長.

考菱形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

/占\\\?

分(1)連接AC,根據(jù)菱形的對角線平分一組對角可得N

析：CAE:NCAF,然后利用“邊角邊"證明MCE和MCF

全等,根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EC=FC;

(2)判斷出aAEF是等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形

的三條邊都相等解答.

解(1)證明：如圖，連接AC,

答：?.四邊形ABCD是菱形，

/.zCAE=zCAF,

在^ACEffl^ACF中，

，AE=AF

<ZCAE=ZCAF,

,AC=AC

??.△ACE%ACF(SAS),

/.EC=FC;

(2)解：連接EF,

?.AE=AF,zA=60°z

」.△AEF是等邊三角形,

「.△AEF的周長=3AE=3x2=6.

點(diǎn)本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等

評：邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并作出輔助線是解

題的關(guān)鍵.

18.（清河區(qū)一模）如圖，在SBC中，AB=AC,點(diǎn)D、

E、F分別是^ABC三邊的中點(diǎn).

求證：四邊形ADEF是菱形.

考菱形的判定；三角形中位線定理.

/占\\\?

專證明題.

題：

分利用三角形中位線的性質(zhì)得出DEX1AC,EFX1AB,進(jìn)

析：而得出四邊形ADEF為平行四邊形.，再利用DE=EF

即可得出答案.

解證明：?.D、E、F分別是3BC三邊的中點(diǎn)，

答：「.DEXIACEFX1AB,

口2z2

，四邊形ADEF為平行四邊形.

又.AC=AB,

?.DE=EF.

，四邊形ADEF為菱形.

點(diǎn)此題主要考查了三角形中位線的性質(zhì)以及平行四邊形的

評：判定和菱形的判定等知識，熟練掌握菱形判定定理是解

題關(guān)鍵.

19.（2014春?防城區(qū)期末）如圖,已知四邊形ABCD是

平行四邊形，DE±AB,DFJLBC,垂足分別是為E,F,并

且DE=DF.求證：四邊形ABCD是菱開鄉(xiāng).

考菱形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的

點(diǎn)：性質(zhì).

專證明題.

題：

分首先利用已知條件和平行四邊形的性質(zhì)判定△ADE^a

析：CDF,再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形即可證明四

邊形ABCD是菱形.

解證明：在^ADEfflACDF中,

答：?.四邊形ABCD是平行四邊形,

/.zA=zC,

-/DE±AB,DF±BC,

/.zAED=zCFD=90°.

又.DE=DF,

??.△ADE2CDF(AAS)

.".DA=DC,

，平行四邊形ABCD是菱形.

點(diǎn)本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性

評：質(zhì)以及菱形的判定方法，解題的關(guān)鍵是熟練掌握各種圖

形的判定和性質(zhì).

20.(通州區(qū)一模)如圖,在四邊形ABCD中,AB=DC,

E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),G、H分別是對角線BD、AC

的中點(diǎn).

(1)求證：四邊形EGFH是菱形；

(2)若AB=1，則當(dāng)NABC+NDCB=90°時(shí)，求四邊形EGFH

考菱形的判定與性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì)；中點(diǎn)四邊

點(diǎn)：形.

分(1)利用三角形的中位線定理可以證得四邊形EGFH

析：的四邊相等，即可證得；

(2)根據(jù)平行線的性質(zhì)可以證得/GFH=90。，得到菱

形EGFH是正方形，利用三角形的中位線定理求得GE

的長，則正方形的面積可以求得.

解(1)證明：二?四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是

答：AD、BC、BD、AC的中點(diǎn),

/.FG=1CD,HE=1CD,FH=1AB,GE=1AB.

2222

?.AB=CD,

.?.FG:FH二HE=EG.

，四邊形EGFH是菱形.

(2)解：???四邊形ABCD中，G、F、H分別是BD、BC、

AC的中點(diǎn)，

??.GFllDC,HFllAB.

/.zGFB=zDCB,zHFC=zABC.

/.zHFC+zGFB=zABC+zDCB=90°.

??./GFH=90°.

，菱形EGFH是正方形.

?/AB=1,

.-.EG=1AB=1.

22

，正方形EGFH的面積f)2十

點(diǎn)本題考查了三角形的中位線定理，菱形的判定以及正方

評：形的判定，理解三角形的中位線定理是關(guān)鍵.

21.(順義區(qū)二模)如圖,在MBC中，D、E分別是AB、

AC的中點(diǎn),BE=2DE,過點(diǎn)C作CFlIBE交DE的延長線于

F.

(1)求證：四邊形BCFE是菱形；

(2)若CE=4,zBCF=120°,求菱形BCFE的面積.

考菱形的判定與性質(zhì).

占?

八、、?

分(1)由題意易得，EF與BC平行且相等，故四邊形BCFE

析：是平行四邊形.又麟邊EF二BE,則四邊形BCFE是菱形;

(2)連結(jié)BF,交CE于點(diǎn)0.利用菱形的性質(zhì)和等邊

三角形的判定推知△BCE是等邊三角形.通過解直角△

BOC求得B0的長度，則BF=2B0.利用菱形的面積

=3CE?BF進(jìn)行解答.

2

解(1)證明：:D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，

答:/.DEllBC,BC=2DE.

?/CFllBE,

???四邊形BCFE是平行四邊形.

\BE=2DE,BC=2DE,

?.BE=BC.

???□BCFE是菱形;

(2)解：連結(jié)BF,交CE于點(diǎn)0.

.?四邊開鄉(xiāng)BCFE是菱開鄉(xiāng),zBCF=120°,

/.zBCE=zFCE=60°,BF±CE,

「.△BCE是等邊三角形.

???BC=CE=4.

???BF=2BO=2BC?sin60°=2X4X冬力?

「.S菱形BCFE與E?BF=■1x4X4a=8^^?

點(diǎn)此題主要考查菱形的性質(zhì)和判定以及面積的計(jì)算，使學(xué)

評:生能夠靈活運(yùn)用菱形知識解決有關(guān)問題.

22.(祁陽縣校級模擬)如圖，0為矩形ABCD對角線

的交點(diǎn)，DEllAC,CEIIBD.

(1)求證：四邊形OCED是菱形.

(2)若AB=6,BC=8,求四邊形OCED的周長.

考矩形的性質(zhì)；菱形的判定.

/占\\\?

分(1)根據(jù)矩形性質(zhì)求出OC=OD，根據(jù)平行四邊形的判

析：定得出四邊形OCED是平行四邊形，根據(jù)菱形判定推出

即可；

(2)根據(jù)勾股定理求出AC,求出0C,得出

OC=OD=CE=ED=5,相力口即可.

解(1)證明：二?四邊形ABCD是矩形，

答:/.AC=2OC,BD=2OD,AC=BD,

.*.OD=OC,

/DEllAC,CEllBD,

?,四邊形OCED是菱形.

(2)解：???四邊形ABCD是矩開?，

/.zABC=90°,

".'AB=6,BC=8,

??在RfABC中,由勾股定理得：AC=10,

即OC=1AC=5,

2

???四邊形OCED是菱形，

/.OC=OD=DE=CE=5,

?.四邊形OCED的周長是5+5+5+5=20.

點(diǎn)本題考查了勾股定理，平行四邊形的判定，菱形的判定

評：和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力

23.(荔灣區(qū)校級一模)已知點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AD

延長線上的一點(diǎn)，且AD=DE,連結(jié)BE交CD于點(diǎn)O,求證:

△AOD^ABOC.

考矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

/占\\\?.

專證明題.

題：

分根據(jù)矩形的對邊相等可得AD=BC,根據(jù)矩形的對邊平

析：行可得ADIIBC,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得/E二

NOBC,再求出BC=DE,然后禾IJ用"角角邊"證明SOD

和△BOC全等即可.

解證明：在矩形ABCD中，AD=BC,ADllBC,

答:/.zE=zOBC,

?.AD;DE,

?.BODE,

在^AOD和△BOC中,

rZE=Z0BC

-ZE0D=ZB0C,

BC=DE

/.△AOD^BOC(AAS).

點(diǎn)本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定，熟練掌握

評：矩形的對邊平行且相等找出三角形全等的條件是解題的

關(guān)鍵.

24.(東海縣二模)已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)

E、F在對角線BD上，且BF=DE,

(1)求證：四邊形AECF是菱形；

(2)若AB=2,BF=1,求四邊形AECF的面積.

D

考正方形的性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì).

/占\\\?,

分(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得正方形的四條邊相等，對

析：角線平分對角，根據(jù)SAS,可得MBF與"BF與^CDE

與AADE的關(guān)系，根據(jù)三角形全等，可得對應(yīng)邊相等，

再根據(jù)四條邊相等的四邊形，可得證明結(jié)果；

(2)根據(jù)正方形的邊長、對角線，可得直角三角形，根

據(jù)勾股定理,可得AC、EF的長，根據(jù)菱形的面積公式,

可得答案.

解(1)證明：正方開?ABCD中，對角線BD,

答:/.AB=BC=CD=DA,

zABF=zCBF=zCDE=zADE=45°.

?.BF=DE,

/.△ABF^ACBF^ADCE^ADAE(SAS).

AF=CF=CE=AE

「?四邊開?AECF是菱形；

(2)解：在RfABD中，由勾股定理，得

=7AB2+BD2=V22+22=2V2，

BC=AD=2V2,

EFnBC-BF-DE=2&-1-1,

四邊形AECF的面積:AD?EF：2

=2&x(2^-2)+2

=4-2&.

點(diǎn)本題考查了正方形的性質(zhì)，(1)先證明四個(gè)三角形全等,

評：再證明四邊相等的四邊形是菱形；(2)先求出菱形的對

角線的長，再求出菱形的面積.

25.(玉溪模擬)如圖,正方形ABCD的邊CD在正方形

ECGF的邊CE上，連接BE、DG.

求證:BE=DG.

考正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

占?

八、、?

專證明題.

題：

分根據(jù)正方形的性質(zhì)得出CD=CB,CG=CE,zBCE=z

析：DCG=90°,再利用全等三角形的判定定理"SAS",即

可得出^BCE合4DCG,進(jìn)而得出BE=DG.

解證明：二?四邊形ABCD和四邊形ECGF都是正方形，

答：.?在4BCE和^DCG中,

rCD=BC

-ZBCE=ZDCG,

CG=EC

??.△BCE%DCG(SAS),

..BE二DG.

點(diǎn)此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與

評：性質(zhì)，正方形性質(zhì)的考查經(jīng)常與三角形的全等相結(jié)合綜

合考查，同學(xué)們分析問題時(shí)應(yīng)多從這個(gè)角度思考.

26.(工業(yè)園區(qū)一模)已知：如圖正方形ABCD中，E為

CD邊上一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長線上一點(diǎn),且CE=CF

(1)求證:△BCE^DCF;

(2)若/FDC=30。，求NBEF的度數(shù).

考正方形的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì).

/占\\\?.

分(1)根據(jù)正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角，

析：BC二CD、zBCE=zDCF=90°,yCE=CF,根據(jù)邊角邊

定理即可證明3CE和SCF全等;

(2)由(1)可知△BCE*DCF得/EBC二NFDC=30°,

可得/BEC=60。，從而可求/BEF的度數(shù).

解證明：二?四邊形ABCD是正方形，

答：/.BC=DC,zBCD=90°

???F為BC延長線上的點(diǎn)，

/.zDCF=90°,

/.zBCD=zDCF,

在^BCE和aDCF中，

fBC=DC

,ZBCD=ZDCF,

CE=CF

??.△BCE2DCF(SAS);

(2)?「△BCE*DCF,

/.zEBC=zFDC=30°,

/.zBEC=60°,

?.NDCF=90。，CE=CF,

???/FEC=45°,

/.zBEF=zBEC+zFEC=60o+45o=105°.

點(diǎn)本題主要考查正方形的四條邊都相等和四個(gè)角都是直角

評：的性質(zhì)以及三角形全等的判定和全等三角形對應(yīng)邊相等

的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，題目比較簡單.

27.(深圳模擬)四邊形ABCD是正方形，E、F分別是

DC和CB的延長線上的點(diǎn),且DE=BF,連接AE、AF、EF.

(1)求證：AADE^ABF;

(2)若BC=8,DE=6,求MEF的面積.

考正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).

/占\\\?

分(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得AD=AB,zD=zABC=90°,

析：然后利用"SAS"易證得aADE2ABF;

(2)先利用勾股定理可計(jì)算出AE=10,再根據(jù)△ABF

可以由4ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點(diǎn),按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°

得到AE=AF,zEAF=90°,然后根據(jù)直角三角形的面積

公式計(jì)算即可.

解(1)證明：二?四邊形ABCD是正方形，

答：/.AD=AB,/D=/ABC=90°,

而F是CB的延長線上的點(diǎn),

/.zABF=90°,

在aADE和3BF中,

'AB二AD

-NABF=/ADE,

BF=DE

??.△ADE2ABF(SAS);

(2)解：.「BC=8,

..AD=8,

在RbADE中,DE=6,AD=8,

?■-AE=7AD2+DE2=1°，

?「△ABF可以由^ADE繞旋轉(zhuǎn)中心A點(diǎn)，按順時(shí)針方向

旋轉(zhuǎn)90。得到，

???AE=AF,zEAF=90°,

「.△AEF的面積=1AE2=。x100=50.

22

點(diǎn)本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，

評：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理等知識點(diǎn).

28.(碑林區(qū)校級模擬)