(人教A版2019選擇性必修第一冊)高二數(shù)學(xué)上冊數(shù)學(xué)同步精講 3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（精練）（原卷版+解析）

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·海南·瓊海市嘉積第三中學(xué)高三階段練習(xí)）雙曲線的離心率為，且過，則雙曲線方程為（

）A． B． C． D．2．（2022·湖南·長沙一中高三開學(xué)考試）已知雙曲線C：（，）的一條漸近線為y=2x，則C的離心率為（

）A． B． C． D．3．（2022·河南南陽·高二期末（理））王老師在課堂中與學(xué)生探究某雙曲線的性質(zhì)時(shí)，有四位同學(xué)分別給出了一個(gè)結(jié)論：甲：該雙曲線的實(shí)軸長是；乙：該雙曲線的虛軸長是2；丙：該雙曲線的焦距為8；?。涸撾p曲線的離心率為．如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，那么這位同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁4．（2022·全國·高二）若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．9 C． D．35．（2022·福建·莆田八中高三開學(xué)考試）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，將于2022年2月在北京和張家口舉行，北京冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，運(yùn)用中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將厚重的東方文化底蘊(yùn)與國際化的現(xiàn)代風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出新時(shí)代的中國新形象、新夢想．會徽圖形上半部分展現(xiàn)滑冰運(yùn)動員的造型，下半部分表現(xiàn)滑雪運(yùn)動員的英姿．中間舞動的線條流暢且充滿韻律，代表舉辦地起伏的山巒、賽場、冰雪滑道和節(jié)日飄舞的絲帶，下部為奧運(yùn)五環(huán)，不僅象征五大洲的團(tuán)結(jié)，而且強(qiáng)調(diào)所有參賽運(yùn)動員應(yīng)以公正、坦誠的運(yùn)動員精神在比賽場上相見．其中奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距按以下比例（如圖）：若圓半徑均為12，則相鄰圓圓心水平距離為26，兩排圓圓心垂直距離為11，設(shè)五個(gè)圓的圓心分別為，若雙曲線C以為焦點(diǎn)、以直線為一條漸近線，則C的離心率為（

）A． B． C． D．6．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））雙曲線，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A是雙曲線C的斜率為正的漸近線與直線的交點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，D是線段OF的中點(diǎn)，若B是圓上的一點(diǎn)，則△ABD的面積的最大值為（

）A． B． C．3 D．7．（2022·廣東廣州·高二期末）已知方程，則E表示的曲線形狀是（

）A．若，則E表示橢圓B．若E表示雙曲線，則或C．若E表示雙曲線，則焦距是定值D．若E的離心率為，則8．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末（理））已知M是雙曲線右支上的一動點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，N是圓上任一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2022·全國·高二）下列雙曲線中以為漸近線的是（

）A． B． C． D．10．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知曲線：，則下列說法正確的是（

）A．若曲線表示雙曲線，則B．若曲線表示橢圓，則且C．若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線且離心率為，則D．若曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，則三、填空題11．（2022·陜西渭南·高一期末）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為_______.12．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．四、解答題14．（2022·全國·高一）分別求滿足下列條件的曲線方程(1)以橢圓的短軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓方程；(2)過點(diǎn)，且漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．14．（2022·四川省資陽中學(xué)高二期末（理））已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求的方程.B能力提升1．(多選）（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．內(nèi)切圓的半徑為C．D．點(diǎn)到軸的距離為2．（多選）（2022·湖南·模擬預(yù)測）已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線B．當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓C．若實(shí)數(shù)的值為2，則曲線的離心率為D．存在實(shí)數(shù)，使得曲線表示漸近線方程為的雙曲線3．（多選）（2022·全國·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)，，則（

）A．若時(shí)，則B．對任意的，存在直線使得C．對任意的，存在直線使得D．對任意的，存在直線使得C綜合素養(yǎng)1．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線過點(diǎn)，且離心率(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)如果，為雙曲線上的動點(diǎn)，直線與直線的斜率互為相反數(shù)，證明直線的斜率為定值，并求出該定值.2．（2021·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知動圓M與圓E：和圓F：都外切.(1)求圓心M的軌跡方程C；(2)已知點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)A（8，0），點(diǎn)P是曲線C上任意一點(diǎn)，求的最小值..

3.2.2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)（精練）A夯實(shí)基礎(chǔ)B能力提升C綜合素養(yǎng)A夯實(shí)基礎(chǔ)一、單選題1．（2022·海南·瓊海市嘉積第三中學(xué)高三階段練習(xí)）雙曲線的離心率為，且過，則雙曲線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D解：由雙曲線離心率為，得，所以所以，所以雙曲線方程為，將代入得.所以雙曲線的方程為.故選：D2．（2022·湖南·長沙一中高三開學(xué)考試）已知雙曲線C：（，）的一條漸近線為y=2x，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D因?yàn)殡p曲線的一條漸近線為,所以,所以雙曲線的離心率為.故選：D.3．（2022·河南南陽·高二期末（理））王老師在課堂中與學(xué)生探究某雙曲線的性質(zhì)時(shí)，有四位同學(xué)分別給出了一個(gè)結(jié)論：甲：該雙曲線的實(shí)軸長是；乙：該雙曲線的虛軸長是2；丙：該雙曲線的焦距為8；?。涸撾p曲線的離心率為．如果只有一位同學(xué)的結(jié)論是錯(cuò)誤的，那么這位同學(xué)是（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁【答案】B甲：；乙：；丙：；?。?；所以甲、丙、丁三者同時(shí)滿足，此時(shí)，所以乙同學(xué)結(jié)論錯(cuò)誤.故選：B4．（2022·全國·高二）若直線與雙曲線的一條漸近線平行，則實(shí)數(shù)m的值為（

）A． B．9 C． D．3【答案】A的漸近線方程滿足，所以漸進(jìn)線與平行，所以漸近線方程為，故故選：A5．（2022·福建·莆田八中高三開學(xué)考試）第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動會，將于2022年2月在北京和張家口舉行，北京冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，運(yùn)用中國書法的藝術(shù)形態(tài)，將厚重的東方文化底蘊(yùn)與國際化的現(xiàn)代風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出新時(shí)代的中國新形象、新夢想．會徽圖形上半部分展現(xiàn)滑冰運(yùn)動員的造型，下半部分表現(xiàn)滑雪運(yùn)動員的英姿．中間舞動的線條流暢且充滿韻律，代表舉辦地起伏的山巒、賽場、冰雪滑道和節(jié)日飄舞的絲帶，下部為奧運(yùn)五環(huán)，不僅象征五大洲的團(tuán)結(jié)，而且強(qiáng)調(diào)所有參賽運(yùn)動員應(yīng)以公正、坦誠的運(yùn)動員精神在比賽場上相見．其中奧運(yùn)五環(huán)的大小和間距按以下比例（如圖）：若圓半徑均為12，則相鄰圓圓心水平距離為26，兩排圓圓心垂直距離為11，設(shè)五個(gè)圓的圓心分別為，若雙曲線C以為焦點(diǎn)、以直線為一條漸近線，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)，直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，點(diǎn)，設(shè)雙曲線C的方程為，其漸近線為，因直線為一條漸近線，則有，雙曲線C的離心率為.故選：B6．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)模擬預(yù)測（理））雙曲線，已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A是雙曲線C的斜率為正的漸近線與直線的交點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，D是線段OF的中點(diǎn)，若B是圓上的一點(diǎn)，則△ABD的面積的最大值為（

）A． B． C．3 D．【答案】A根據(jù)題意，雙曲線斜率為正的漸近線方程為，因此點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)D是線段OF的中點(diǎn)，則直線AD的方程為，點(diǎn)B是圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)B到直線AD距離的最大值也就是圓心O到直線AD的距離d加上半徑，即，，則故選：A7．（2022·廣東廣州·高二期末）已知方程，則E表示的曲線形狀是（

）A．若，則E表示橢圓B．若E表示雙曲線，則或C．若E表示雙曲線，則焦距是定值D．若E的離心率為，則【答案】B由題意得，當(dāng)時(shí)，，即，要表示橢圓，需滿足，解得且，故A錯(cuò)誤；若E表示雙曲線，則不能為0，故化為，則，即或，故B正確；由B的分析知，時(shí)，，此時(shí)c不確定，故焦距不是定值，C錯(cuò)誤；若E的離心率為，則此時(shí)曲線表示橢圓，由A的分析知，且，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則，解得，故D錯(cuò)誤，故選：B8．（2022·內(nèi)蒙古赤峰·高二期末（理））已知M是雙曲線右支上的一動點(diǎn)，F(xiàn)是雙曲線的右焦點(diǎn)，N是圓上任一點(diǎn)，當(dāng)取最小值時(shí)，的面積為（

）A． B．C． D．【答案】C由雙曲線的方程可得，圓的圓心為，半徑為，設(shè)，則，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，有最小值為，所以取最小值為，此時(shí)共線，直線的方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離為，所以的面積為，故選：C二、多選題9．（2022·全國·高二）下列雙曲線中以為漸近線的是（

）A． B． C． D．【答案】ABDA選項(xiàng)：漸近線方程，正確；B選項(xiàng)：漸近線方程，正確；C選項(xiàng)：漸近線方程，錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：漸近線方程，正確；故選：ABD.10．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知曲線：，則下列說法正確的是（

）A．若曲線表示雙曲線，則B．若曲線表示橢圓，則且C．若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線且離心率為，則D．若曲線與橢圓有公共焦點(diǎn)，則【答案】BCD解：對于A：若曲線：表示雙曲線，則，解得或，故A錯(cuò)誤；對于B：若曲線：表示橢圓，則，解得且，故B正確；對于C：若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線且離心率為，則，所以，則，解得，故C正確；對于D：橢圓的焦點(diǎn)為，若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則，則，則，解得（舍去）；若曲線表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則，則，則，解得，符合題意，故，故D正確；故選：BCD三、填空題11．（2022·陜西渭南·高一期末）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的離心率為，則它的漸近線方程為_______.【答案】由題意可知，則，解得則它的漸近線方程為故答案為：12．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知是雙曲線的左右焦點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．【答案】，是雙曲線的左右焦點(diǎn)，以圓心，為半徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于，兩點(diǎn)，則焦點(diǎn)到漸近線的距離：，所以，，，可得，即：，可得，所以，所以，又，所以雙曲線的離心率的取值范圍是：．故答案為：．四、解答題14．（2022·全國·高一）分別求滿足下列條件的曲線方程(1)以橢圓的短軸頂點(diǎn)為焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓方程；(2)過點(diǎn)，且漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．【答案】(1)(2)(1)的短軸頂點(diǎn)為(0，－3)，(0，3)，∴所求橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，且c＝3．又，∴a＝6．∴．∴所求橢圓方程為．(2)根據(jù)雙曲線漸近線方程為，可設(shè)雙曲線的方程，把代入得m＝1．所以雙曲線的方程為．14．（2022·四川省資陽中學(xué)高二期末（理））已知雙曲線的一條漸近線方程為，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為1.(1)求的方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，求的方程.【答案】(1)(2)(1)解：雙曲線的漸近線為，即，所以，又焦點(diǎn)到直線的距離，所以，又，所以，，所以雙曲線方程為(2)解：設(shè)，，直線的斜率為，則，，所以，，兩式相減得，即即，所以，解得，所以直線的方程為，即，經(jīng)檢驗(yàn)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，滿足條件，所以直線的方程為.B能力提升1．(多選）（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是雙曲線右支上的一點(diǎn)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．雙曲線的漸近線方程為B．內(nèi)切圓的半徑為C．D．點(diǎn)到軸的距離為【答案】ABD解：由雙曲線的方程，得，，，所以雙曲線的漸近線方程為，A正確；因?yàn)?，，，所以，，解得，故，C錯(cuò)誤；內(nèi)切圓的半徑為，B正確；設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，由的面積為，可得，解得.故選：ABD．2．（多選）（2022·湖南·模擬預(yù)測）已知曲線的方程為，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線B．當(dāng)時(shí)，曲線是橢圓C．若實(shí)數(shù)的值為2，則曲線的離心率為D．存在實(shí)數(shù)，使得曲線表示漸近線方程為的雙曲線【答案】AC對A，當(dāng)時(shí)，，曲線的方程為，表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故A正確；對B，當(dāng)時(shí)，曲線為，曲線表示圓，故B不正確；對C，，曲線表示橢圓，焦點(diǎn)在軸上，可得，故選項(xiàng)C正確；對D，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得曲線表示漸近線方程為的雙曲線，此時(shí)有，得或，當(dāng)時(shí)，，無解；當(dāng)時(shí)，，無解，所以滿足題意的實(shí)數(shù)不存在，故D不正確.故選：AC.3．（多選）（2022·全國·模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線相交于不同的兩點(diǎn)，，則（

）A．若時(shí)，則B．對任意的，存在直線使得C．對任意的，存在直線使得D．對任意的，存在直線使得【答案】AD由題意，直線為，與雙曲線聯(lián)立得：，易知且.若，則為的中點(diǎn)，所以，可得，A正確；由，即，結(jié)合可得，解得或，D正確，BC錯(cuò)誤.故選：AD.C綜合素養(yǎng)1．（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)高二階段練習(xí)（文））已知雙曲線過點(diǎn)，且離心率(1)求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)如果，