（課標全國版）高考數(shù)學第一輪復習講練測 第08講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) （練）原卷版+解析

第08講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【練基礎】1．（2023·山西省忻州一中模擬）實數(shù)lg4＋2lg5的值為()A．2 B．5C．10 D．202.(2021·遼寧沈陽模擬)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－1，x≤0，,log2x，x＞0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝()A．－1 B．1C．－eq\f(1,2) D.eq\f(\r(2),2)3．（2023·江蘇省南京模擬函數(shù)f(x)＝eq\f(ln（x＋3）,\r(1－2x))的定義域是()A．(－3，0) B．(－3，0]C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0)4．（2023·遼寧省錦州模擬若實數(shù)a滿足logaeq\f(2,3)＞1＞logeq\f(1,4)a，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))5．（2023·安徽省懷遠模擬若函數(shù)f(x)＝ax－1的圖象經(jīng)過點(4，2)，則函數(shù)g(x)＝logaeq\f(1,x＋1)的圖象是()6．(2021·云南曲靖模擬)設a＝log0.30.4，b＝log30.4，則()A．a(chǎn)b＜a＋b＜0 B．a(chǎn)＋b＜ab＜0C．a(chǎn)b＜0＜a＋b D．a(chǎn)＋b＜0＜ab7．（2023·安徽省阜陽一中模擬設函數(shù)f(x)＝logeq\s\do3(\f(1,2))(x2＋1)＋eq\f(8,3x2＋1)，則不等式f(log2x)＋f(logeq\s\do3(\f(1,2))x)≥2的解集為()A．(0，2] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))C．[2，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)8．（2023·福建省莆田模擬已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ln(2－x)，則()A．f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增B．f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減C．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱D．y＝f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱【練提升】1．（2023·江西省新余一中模擬設x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則()A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z2．（2023·山東省東營模擬設x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則()A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z3．(2021·浙江寧波高三模擬)兩個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，稱這兩個函數(shù)為“同形”函數(shù)，給出四個函數(shù)：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函數(shù)是()A．f2(x)與f4(x) B．f1(x)與f3(x)C．f1(x)與f4(x) D．f3(x)與f4(x)4．(2021·北京海淀模擬)如圖，點A，B在函數(shù)y＝log2x＋2的圖象上，點C在函數(shù)y＝log2x的圖象上，若△ABC為等邊三角形，且直線BC∥y軸，設點A的坐標為(m，n)，則m＝()A．2 B．3C.eq\r(2) D.eq\r(3)5．(2021·湖北宜昌模擬)若函數(shù)f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)在區(qū)間(a－1，a＋1)上單調(diào)遞增，且b＝lg0.9，c＝20.9，則()A．c<b<a B．b<c<aC．a(chǎn)<b<c D．b<a<c6．(2021·浙江寧波高三調(diào)研)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)單調(diào)遞減，若實數(shù)a滿足f(log3a)＋f(logeq\s\do3(\f(1,3))a)≥2f(1)，則a的取值范圍是________．7．（2023·河南省汝州模擬若函數(shù)f(x)＝loga(x2－ax＋1)(a＞0且a≠1)沒有最小值，則a的取值范圍是________．8．（2023·湖北省鐘祥模擬函數(shù)f(x)＝logeq\s\do3(\f(1,3))(ax－3)(a>0且a≠1)．(1)若a＝2，求函數(shù)f(x)在(2，＋∞)上的值域；(2)若函數(shù)f(x)在(－∞，－2)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍．

第08講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)【練基礎】1．（2023·山西省忻州一中模擬）實數(shù)lg4＋2lg5的值為()A．2 B．5C．10 D．20【答案】A【解析】lg4＋2lg5＝2lg2＋2lg5＝2(lg2＋lg5)＝2lg(2×5)＝2lg10＝2.故選A.2.(2021·遼寧沈陽模擬)設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－1，x≤0，,log2x，x＞0，))則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝()A．－1 B．1C．－eq\f(1,2) D.eq\f(\r(2),2)【答案】A【解析】feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝log2eq\f(1,2)＝－1.3．（2023·江蘇省南京模擬函數(shù)f(x)＝eq\f(ln（x＋3）,\r(1－2x))的定義域是()A．(－3，0) B．(－3，0]C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0)【答案】A【解析】因為f(x)＝eq\f(ln（x＋3）,\r(1－2x))，所以要使函數(shù)f(x)有意義，需使eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋3>0，,1－2x>0，))即－3<x<0.4．（2023·遼寧省錦州模擬若實數(shù)a滿足logaeq\f(2,3)＞1＞logeq\f(1,4)a，則a的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，\f(3,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))【答案】A【解析】由logaeq\f(2,3)>1>logeq\f(1,4)a，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga\f(2,3)>1，①,log\f(1,4)a<1，②))由①得，當a>1時，a<eq\f(2,3)，此時a∈?；當0<a<1時，a>eq\f(2,3)，則eq\f(2,3)<a<1.由②得，a>eq\f(1,4).因此eq\f(2,3)<a<1.5．（2023·安徽省懷遠模擬若函數(shù)f(x)＝ax－1的圖象經(jīng)過點(4，2)，則函數(shù)g(x)＝logaeq\f(1,x＋1)的圖象是()【答案】D【解析】由題意可知f(4)＝2，即a3＝2，a＝eq\r(3,2).所以g(x)＝logeq\r(3,2)eq\f(1,x＋1)＝－logeq\r(3,2)(x＋1)．由于g(0)＝0，且g(x)在定義域上是減函數(shù)，故排除A，B，C.6．(2021·云南曲靖模擬)設a＝log0.30.4，b＝log30.4，則()A．a(chǎn)b＜a＋b＜0 B．a(chǎn)＋b＜ab＜0C．a(chǎn)b＜0＜a＋b D．a(chǎn)＋b＜0＜ab【答案】A【解析】因為a＝log0.30.4＞log0.31＝0，b＝log30.4＜log31＝0，所以ab＜0，又eq\f(a＋b,ab)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝log0.40.3＋log0.43＝log0.40.9∈(0,1)，所以0＜eq\f(a＋b,ab)＜1，所以ab＜a＋b＜0.7．（2023·安徽省阜陽一中模擬設函數(shù)f(x)＝logeq\s\do3(\f(1,2))(x2＋1)＋eq\f(8,3x2＋1)，則不等式f(log2x)＋f(logeq\s\do3(\f(1,2))x)≥2的解集為()A．(0，2] B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))C．[2，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)【答案】B【解析】因為f(x)的定義域為R，f(－x)＝logeq\s\do3(\f(1,2))(x2＋1)＋eq\f(8,3x2＋1)＝f(x)，所以f(x)為R上的偶函數(shù)．易知其在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞減，令t＝log2x，所以logeq\s\do3(\f(1,2))x＝－t，則不等式f(log2x)＋f(logeq\s\do3(\f(1,2))x)≥2可化為f(t)＋f(－t)≥2，即2f(t)≥2，所以f(t)≥1，又因為f(1)＝logeq\s\do3(\f(1,2))2＋eq\f(8,3＋1)＝1，f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，在R上為偶函數(shù)，所以－1≤t≤1，即log2x∈[－1，1]，所以x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，故選B.8．（2023·福建省莆田模擬已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ln(2－x)，則()A．f(x)在(0,2)上單調(diào)遞增B．f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減C．y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱D．y＝f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱【答案】C【解析】f(x)的定義域為(0,2)．f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝ln[x(2－x)]＝ln(－x2＋2x)．設u＝－x2＋2x，x∈(0,2)，則u＝－x2＋2x在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減．又y＝lnu在其定義域上單調(diào)遞增，∴f(x)＝ln(－x2＋2x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞減．∴A，B錯誤．∵f(x)＝lnx＋ln(2－x)＝f(2－x)，∴f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，∴C正確．∵f(2－x)＋f(x)＝[ln(2－x)＋lnx]＋[lnx＋ln(2－x)]＝2[lnx＋ln(2－x)]，不恒為0，∴f(x)的圖象不關(guān)于點(1,0)對稱，∴D錯誤．故選C.【練提升】1．（2023·江西省新余一中模擬設x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則()A．2x<3y<5z B．5z<2x<3yC．3y<5z<2x D．3y<2x<5z【答案】D【解析】設2x＝3y＝5z＝k>1，所以x＝log2k，y＝log3k，z＝log5k.因為2x－3y＝2log2k－3log3k＝eq\f(2,logk2)－eq\f(3,logk3)＝eq\f(2logk3－3logk2,logk2·logk3)＝eq\f(logk32－logk23,logk2·logk3)＝eq\f(logk\f(9,8),logk2·logk3)>0，所以2x>3y；因為3y－5z＝3log3k－5log5k＝eq\f(3,logk3)－eq\f(5,logk5)＝eq\f(3logk5－5logk3,logk3·logk5)＝eq\f(logk53－logk35,logk3·logk5)＝eq\f(logk\f(125,243),logk3·logk5)<0，所以3y<5z；因為2x－5z＝2log2k－5log5k＝eq\f(2,logk2)－eq\f(5,logk5)＝eq\f(2logk5－5logk2,logk2·logk5)＝eq\f(logk52－logk25,logk2·logk5)＝eq\f(logk\f(25,32),logk2·logk5)<0，所以5z>2x.所以5z>2x>3y，故選D.2．（2023·山東省東營模擬設x，y，z為正數(shù)，且2x＝3y＝5z，則()A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z【答案】D【解析】∵2x＝3y＝5z，∴l(xiāng)n2x＝ln3y＝ln5z，∴xln2＝y(tǒng)ln3＝zln5，∴eq\f(x,y)＝eq\f(ln3,ln2)，∴eq\f(2x,3y)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝eq\f(ln32,ln23)＝eq\f(ln9,ln8)＞1，∴2x＞3y，同理可得2x＜5z.∴3y＜2x＜5z.故選D.3．(2021·浙江寧波高三模擬)兩個函數(shù)的圖象經(jīng)過平移后能夠重合，稱這兩個函數(shù)為“同形”函數(shù)，給出四個函數(shù)：f1(x)＝2log2(x＋1)，f2(x)＝log2(x＋2)，f3(x)＝log2x2，f4(x)＝log2(2x)，其中“同形”函數(shù)是()A．f2(x)與f4(x) B．f1(x)與f3(x)C．f1(x)與f4(x) D．f3(x)與f4(x)【答案】A【解析】f3(x)＝log2x2是偶函數(shù)，而其余函數(shù)無論怎樣變換都不是偶函數(shù)，故其他函數(shù)圖象經(jīng)過平移后不可能與f3(x)的圖象重合，故排除選項B，D；f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x，將f2(x)＝log2(x＋2)的圖象沿著x軸先向右平移兩個單位得到y(tǒng)＝log2x的圖象，再沿著y軸向上平移一個單位可得到f4(x)＝log2(2x)＝1＋log2x的圖象，根據(jù)“同形”函數(shù)的定義可知選A.4．(2021·北京海淀模擬)如圖，點A，B在函數(shù)y＝log2x＋2的圖象上，點C在函數(shù)y＝log2x的圖象上，若△ABC為等邊三角形，且直線BC∥y軸，設點A的坐標為(m，n)，則m＝()A．2 B．3C.eq\r(2) D.eq\r(3)【答案】D【解析】因為直線BC∥y軸，所以B，C的橫坐標相同；又B在函數(shù)y＝log2x＋2的圖象上，點C在函數(shù)y＝log2x的圖象上，所以|BC|＝2.即正三角形ABC的邊長為2.由點A的坐標為(m，n)，得B(m＋eq\r(3)，n＋1)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n＝log2m＋2，,n＋1＝log2m＋\r(3)＋2，))所以log2m＋2＋1＝log2(m＋eq\r(3))＋2，所以m＝eq\r(3).5．(2021·湖北宜昌模擬)若函數(shù)f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)在區(qū)間(a－1，a＋1)上單調(diào)遞增，且b＝lg0.9，c＝20.9，則()A．c<b<a B．b<c<aC．a(chǎn)<b<c D．b<a<c【答案】B【解析】由5＋4x－x2>0，得－1<x<5，又函數(shù)t＝5＋4x－x2的對稱軸方程為x＝2，∴復合函數(shù)f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2,5)，∵函數(shù)f(x)＝log0.9(5＋4x－x2)在區(qū)間(a－1，a＋1)上單調(diào)遞增，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≥2，,a＋1≤5，))則3≤a≤4，而b＝lg0.9<0，1<c＝20.9<2，所以b<c<a.6．(2021·浙江寧波高三調(diào)研)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)單調(diào)遞減，若實數(shù)a滿足f(log3a)＋f(logeq\s\do3(\f(1,3))a)≥2f(1)，則a的取值范圍是________．【解析】由于函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則f(－x)＝f(x)，即有f(x)＝f(|x|)，由實數(shù)a滿足f(log3a)＋f(logeq\s\do3(\f(1,3))a)≥2f(1)，則有f(log3a)＋f(－log3a)≥2f(1)，即2f(log3a)≥2f(1)即f(log3a)≥f(1)，即有f(|log3a|)≥f(1)，