高考數(shù)學(xué) 真題分類(lèi)匯編 選修4系列（含解析）

選修4系列

1.（2012?北京高考卷?T5?5分）如圖.ZACB=90°,CD1AB于點(diǎn)D,以BD為直徑的圓與

BC交于點(diǎn)E.則（）

A.CE?CB=AD?DBB.CE?CB=AD?AB

C.AD?AB=CD2D.CE?EB=CD2

【答案】A

【解析】在AACB中，ZACB=90",CDJ_AB于點(diǎn)D,所以CZ^=AO?08,由切割線(xiàn)定理的

CD2=CE?CB,所以CE?CB=AD?DB。

2.（2012?湖北高考卷?T15?4分）（選修4-1：幾何證明選講）

如圖，點(diǎn)。在。的弦46上移動(dòng)，AB=4,連接如，過(guò)點(diǎn)。

作0。的垂線(xiàn)交。于點(diǎn)心則勿的最大值為.

【答案】2

【解析】（由于0。，8,因此CD=y]OC2-OD2,線(xiàn)段OC長(zhǎng)為定值,

即需求解線(xiàn)段。。長(zhǎng)度的最小值，根據(jù)弦中點(diǎn)到圓心的距離最短，此

時(shí)。為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C與點(diǎn)8重合，因此|CD|=g|A8|=2.

X=，+1,.

3.（2012?湖南高考卷?T9?4分）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線(xiàn)g：<（t

[y=l-2，

x=asinff,

為參數(shù))與曲線(xiàn)a：\(。為參數(shù)，。＞0)有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上，則〃=_.

y=3cos6

3

【答案】-

2

x—t+13

【解析】曲線(xiàn)C：1—'直角坐標(biāo)方程為y=3—2x,與x軸交點(diǎn)為(3,0)；

[y=l-2r2

x=asin6,x2y2

曲線(xiàn)C,：\直角坐標(biāo)方程為)+±=1,其與x軸交點(diǎn)為(—a,0),(a,0),

y=3cos。a~9

3

由a〉0,曲線(xiàn)G與曲線(xiàn)G有一個(gè)公共點(diǎn)在X軸上，知。=彳.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線(xiàn)的參數(shù)方程、橢圓的參數(shù)方程，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法等.曲線(xiàn)G

與曲線(xiàn)的參數(shù)方程分別等價(jià)轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，找出與X軸交點(diǎn)，即可求得.

4.(2012?新課標(biāo)卷?T22?10分)選修4-1：幾何證明選講

如圖，Z),E分別為AABC邊AB,AC的中點(diǎn)，直線(xiàn)交

A4BC的外接圓于兩點(diǎn)，若CF//4B,證明：

(1)CD=BC；

(2)ABCDNGBD

【答案】⑴CF//AB,DFMBCnCFIJBDIJADnCD=BF

CF//AB=AF=BCoBC=CD

(2)BC//GF=BG=FC=BD

BCIIGF=>ZGDE=NBGD=ZDBC=ZBDC=>帖CD\GBD

5.(2012?新課標(biāo)卷?T23?10分)選修4一4；坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知曲線(xiàn)G的參數(shù)方程是廠"？。。*?為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸

y=3sin0

為極軸建立坐標(biāo)系，曲線(xiàn)。2的坐標(biāo)系方程是0=2,正方形ABCD的頂點(diǎn)都在。2上，

7T

且A,B,C,D依逆時(shí)針次序排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為(2,-)

3

(1)求點(diǎn)A,的直角坐標(biāo)；

(2)設(shè)P為G上任意一點(diǎn)，求歸A『+|P同2+|PC「+|PO「的取值范圍.

【答案】

yr57r47r1XTT

(1)點(diǎn)A氏C,。的極坐標(biāo)為(2,—),(2,—),(2,—),(2,——)

3636

點(diǎn)A,8,C,。的直角坐標(biāo)為(1,百),(一6,1),(-1,一百),(百,-1)

x=2cos0、，.、出

(2)設(shè)Pg,%);則n°°.(。為參數(shù))

%=3sin夕

f=|呻+附2+附『+1PO「=4f+4/+40

=56+20sin2^e［56,76］

6.(2012?新課標(biāo)卷?T24?10分)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)/(x)=,+。|+k-2|

(1)當(dāng)。=一3時(shí)，求不等式/(x)23的解集；

(2)若/。)<,一4|的解集包含［1,2］,求。的取值范圍.

【答案】⑴當(dāng)a=—3時(shí)，/(x)>3<^|x-3|+|x-2|>3

x<22cx<33［x>3

O<或<=><或Ov

3—x+2—xN33—x+x—223x-3+x—223

oxWl或x24

(2)原命題0/(元)工卜一4|在［1,2］上恒成立

<=>k+a|+2-x44一工在［1,2］上恒成立

o-2-xWaW2-x在［1,2］上恒成立

<=>-3<a<0

7.(2012陜西高考卷?T15?4分)A.(不等式選做題)若存在實(shí)數(shù)x使|x-a|+|x-1區(qū)3

成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

【答案】-2<i/<4-

【解析】不等式|x-a|+|x-1%3可以表示數(shù)軸上的點(diǎn)％到點(diǎn)。和點(diǎn)1的距離之和小于等

于3,因?yàn)閿?shù)軸上的點(diǎn)％到點(diǎn)a和點(diǎn)1的距離之和最小時(shí)即是％在點(diǎn)a和點(diǎn)1之間時(shí)，此時(shí)

距離和為|。一1|,要使不等式|x-a|+|x—l區(qū)3有解，則|a-1飪3,解得一2WaW4.

8.（2012陜西高考卷?T15?4分）（幾何證明選做題）如圖，在圓0中，直徑AB與弦CD

垂直，垂足為E,EFLDB,垂足為F,若AB=6,AE=\,則江.

【答案】5.

np

【解析】?.-48=6,4￡=1,.?.￡8=5.連接人口，則.?.華=乙，

DEBE

n/7r）p

：.DE=y/5,又\DFE^ADEB,=—,即DFDB=DE2=5.

DEDB

9.（2012陜西高考卷?T15?4分）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）直線(xiàn)2pcosO=l與圓夕=2cos8

相交的弦長(zhǎng)為,

【答案】V3.

［解析】直線(xiàn)2pcos8=1與圓0=2cos。的普通方程為2x=1和（x—1）2+y2=1,圓心到

直線(xiàn)的距離為l—g=g,所以弦長(zhǎng)為2.—(；)2=JL

2COSJC

10.(2012上海高考卷?T3?4分)函數(shù)/(%)='的值域是___________o

sinx-1

53

【答案】

22

【解析】函數(shù)/(%)=-2-sinxcosx=-2-gsin2x,因?yàn)?14sin2xWl,所以

11151353

—W—sir2xW—,—W—2—sin2xW—，即函數(shù)/(x)的值域?yàn)椋邸?—］。

22222222

11.（2012上海高考卷?T10?4分）

TT

如圖，在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)加（2,0）的直線(xiàn)/與極軸的夾角a=H,

6

【答案】p=----------

sin（-

7T

【解析】設(shè)直線(xiàn)上的任一點(diǎn)為P（夕,6）,因?yàn)閆PA3=J,所以

ZOPA=--0,根據(jù)正弦定理得°P=°A,即——2——=——-——，即

6

sin?！眘inOPAsin(￡_^)

2sin^1

P_______6_=__

y————o

sin（工一，）sin（衛(wèi)一6）

66

12.（2012江西高考卷?T15?4分）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程

為/+丫2-2叢=0,以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立積坐標(biāo)系，則曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方

程為?

【命題立意】本題考查參數(shù)方程，考查極坐標(biāo)與平面直角坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)化。

2

【解析】因?yàn)閅+J?=02/=pcos6?,所以代入直角坐標(biāo)方程整理得p-2pcos6>=0,

所以0―2cosd=0,即極坐標(biāo)方程為夕=2cos6。

【答案】Q=2COS6

13.（2012遼寧高考卷?T22?10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖，。。和相交于A8兩點(diǎn)，過(guò)力作兩圓的切線(xiàn)分別交兩圓于C,。兩點(diǎn)，連接

的并延長(zhǎng)交。。于點(diǎn)及證明

(I)ACBD^ADAB；

(II)AC=A￡。

(D)由4Dm00相切于4,得

LAED-A.BAD,

又乙AOE=^LBDA,得

△EADsRABD.從而

AEAD

—■,=—■?

ABBD9

IPAE-BD^AD-AB....8分

結(jié)合(I)的結(jié)論，AC^AE.……10分

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圓的基本性質(zhì)，等弧所對(duì)的圓周角相等，同時(shí)結(jié)合三角形相似這一知

識(shí)點(diǎn)考查.本題屬于選講部分，涉及到.圓的性質(zhì)的運(yùn)用，考查的主要思想方法為等量代換

法，屬于中低檔題，難度較小，從這幾年的選講部分命題趨勢(shì)看，考查圓的基本性質(zhì)的題目

居多，在練習(xí)時(shí)，要有所側(cè)重.

14.(2012?遼寧高考卷?T23?10分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)中，圓G：/+y2=4,圓。2：(工一2)2+；/=4。

(I)在以。為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別寫(xiě)出圓G，G的極坐標(biāo)方程，

并求出圓C1，G的交點(diǎn)坐標(biāo)(用極坐標(biāo)表示);

（n）求出G與G的公共弦的參數(shù)方程。

【答案】

（23）（1）解：

圓G的極坐標(biāo)方程為p=2,

圓。2的極坐標(biāo)方程p=4cos仇

解,=2,得p=2,6=土;，

故圓Cl與圓。2交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,y）,（2,-y）.……6分

注：極坐標(biāo)系下點(diǎn)的表示不唯一.’

（n）（解法一）

由卜=pcos。，得圓Cl與。2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為（1.、③，（1，-V3）.

卬=psin￡

故圓G與C2的公共弦的參數(shù)方程為-V3<t<V3.……10分

（或參數(shù)方程寫(xiě)成｛:2y-V3<y<V3）

（解法二）

將x=l代入卜="gs。'得p8s0=l,從而

ly=psin。

1

0=??一?■

COS0

于是圓C］與Q的公共弦的參數(shù)方程為官［n8.

……10分

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線(xiàn)的參數(shù)方程和圓的極坐標(biāo)方程、普通方程與參數(shù)方程的互化、極

坐標(biāo)系的組成.本題要注意圓￡:V+y2=4的圓心為（0,0）半徑為4=2,圓

G:（x-2/+>2=4的圓心為（2,0）半徑為々=2,從而寫(xiě)出它們的極坐標(biāo)方程；對(duì)于兩

圓的公共弦，可以先求出其代數(shù)形式，然后化成參數(shù)形式，也可以直接根據(jù)直線(xiàn)的參數(shù)形式

寫(xiě)出。對(duì)于極坐標(biāo)和參數(shù)方程的考查，主要集中在常見(jiàn)曲線(xiàn)的考查上，題目以中低檔題為主.

15.（2012?遼寧高考卷?T24?10分）選修4-5：不等式選講

已知/（x）=|0X4-11G7?）,不等式/（X）<3的解集為｛乂一2<x<l｝o

（I）求a的值;

(II)若4%恒成立，求4的取值范圍。

【答案】

(24)解：

(I)由|以+1］這3得一44axV2,又f(x)W3的解集為1x|-2?x&l},所以

當(dāng)aWO時(shí)，不合題意.

42

當(dāng)G>0時(shí)，一,得

aa

a=2.……5分

1,xM—1.

x1

(H)記h(x)=/(x)-2f(丁)，則h(x)=一4%-3.-1<x<--y?

z乙

1

-1,x>,

12

所以因此

k>l........10分

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)、不等式的基本性質(zhì)、絕對(duì)值不等式及其運(yùn)用，考查分類(lèi)討

論思想在解題中的靈活運(yùn)用，第(I)問(wèn)，要真對(duì)。的取值情況進(jìn)行討論，第(II)問(wèn)要真對(duì)

/(x)-2/(1)的正負(fù)進(jìn)行討論從而用分段函數(shù)表示，進(jìn)而求出A的取值范圍。本題屬于中

檔題，難度適中.平時(shí)復(fù)習(xí)中，要切實(shí)注意絕對(duì)值不等式的性質(zhì)與其靈活運(yùn)用。

16.(2012?江西高考卷?T16?4分)(不等式選做題)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不等式

|2xT|+|2x+l|W6的解集為。

【答案】A={x-13<x<^3}

【命題立意】本題考查絕對(duì)值不等式的解法，以及分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想。

【解析】原不等式等價(jià)為卜-曰+x+；W3,方法(1)討論：

1113

①當(dāng)不〈一5時(shí)，不等式等價(jià)為一(工一2)-(冗+/)?3,即一2x<3,

31

此時(shí)—W九v—；

22

②當(dāng)—gwxvg時(shí)，不等式等價(jià)為(x—g)-(x+g)?3,即—1K3,恒成立,

此時(shí)-‘4x4」；

22

11i3

③當(dāng)x>上時(shí)，不等式等價(jià)為（x—±）+（x+上）43,即2x<3,x<-,

2222

13

此時(shí)-<x<-,

22

綜上不等式的解為一三3Kx<3-,所以不等式的解集為A={x-3-<x<3-}.

2222

方法（2）利用絕對(duì)值的幾何意義，不等式X--+X+-<3的幾何意義是數(shù)軸上的點(diǎn)x到

22

33—11

點(diǎn)-的距離之和小于等于3的解。當(dāng)工=——或無(wú)=一時(shí)有x——+x+一=3,所以

222222

113333

X---+XH-<--3的解為一±4x4?,所以不等式的解集為=。

2222

17.(2012?湖南高考卷?T10?4分)不等式12x+l-21x-11>0的解集為.

［答案］<xx>—>

4

-3,(x<-；)

4x—l,(—gwx41K號(hào)/(x)>0的解集

【解析】令/（x）=|2x+l|—2,一1|,則由/（幻=<

3,(x>l)

為<XX>一/.

I4/

【點(diǎn)評(píng)】絕對(duì)值不等式解法的關(guān)鍵步驟是去絕對(duì)值，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式（組）.

18.（2012湖南高考卷?門(mén)1?4分）如下圖所示，過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)與圓0相交于A,B兩點(diǎn).

若PA=1,AB=2,P0=3,則圓0的半徑等于.

【答案】76

【解析】設(shè)P。交圓0于C,D,如圖，設(shè)圓的半徑為R,由割線(xiàn)定理知

PAPB=PC-PD,即1x(1+2)=(3-r)(3+r),\r=&.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查切割線(xiàn)定理，考查數(shù)形結(jié)合思想，由切割線(xiàn)定理知2=

從而求得圓的半徑.

19.(2012?湖北高考卷?T16?4分)(選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)在直角坐標(biāo)系x勿

中，以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系.己知射線(xiàn)6=二與曲線(xiàn)

4

「""I’為參數(shù))，相交于48兩點(diǎn)，則線(xiàn)段4?的中點(diǎn)的直角坐標(biāo)為.

[y=(r-D2

【答案】P(1,j)

【解析】，=二在直角坐標(biāo)系下的一般方程為y=x(xeR),將參數(shù)方程?(￡為

4[y=(r-l)-

參數(shù))轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系下的一般方程為y=(f-l)2=(x-l—l)2=(x-2)2表示一條拋

物線(xiàn)，聯(lián)立上面兩個(gè)方程消去y有5X+4=0,設(shè)A、3兩點(diǎn)及其中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)分

別為》A、XB、/，則有韋達(dá)定理玉)=當(dāng)3=g，又由于點(diǎn)「點(diǎn)在直線(xiàn)y=x上，因此

4?的中點(diǎn)P(|1).

x=2+/x=3cosa

20.(2012北京高考卷?T9?4分)直線(xiàn)＜。為參數(shù))與曲線(xiàn)＜'(a為參

y=-l-r[y=3sina

數(shù))的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____。

【答案】2

【解析】直線(xiàn)的普通方程x+y—1=0,圓的普通方程為f+y2=9,可以直線(xiàn)圓相交，

故有2個(gè)交點(diǎn)。

21.（2012廣東高考卷?T9?4分）不等式|x+2|-|x|W1的解集為.

【答案】｛x|x?—；｝

’2,x>0

【解析】/（x）=（2x+2,—2?x<0,當(dāng)xNO時(shí)，2<1不成立；當(dāng)一2Wx<0時(shí)，2%+2<1

—2,x<—2

得當(dāng)x<—2時(shí)，-2W1恒成立，故不等式的解集為｛x|x4—g｝.

22.（2012廣東高考卷?T15?4分）（兒何證明選講選做題）如圖所示，圓0的半徑為1,

A、B、C是圓周上的三點(diǎn)，滿(mǎn)足NABC=30°,過(guò)點(diǎn)A做圓0的切線(xiàn)與0C的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P,

則PA=_____________

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何證明選講內(nèi)容與余弦定理，意在考查學(xué)生的思維能力、運(yùn)算求解能力.

【答案】V3

【解析】法一：連接0A得NA0P=60°,所以0P=2,PC=1,

所以BA?=pcx（PC+2）=lx3,所以24=仃。

法二：延長(zhǎng)P0交圓于點(diǎn)D,連接AD、0A,則NO=N8=30°,因?yàn)镺A=OD,所以

ZDAO=Z￡)=30°,又因?yàn)镼4J_PA,所以NP=180P—90°-30°—30°=30°,所以

PA=AD,在中，由余弦定理得，AD=712+12-2xlxlxcosHO9=73,故

PA=6

23.（2012?安徽高考卷?T13?4分）在極坐標(biāo)系中，圓0=4sin8的圓心到直線(xiàn)

7T

e=—gR)的距離是______

6

【答案】73

【命題立意】本題考查極坐標(biāo)中的點(diǎn)與直線(xiàn)的距離。

【解析】圓夕=4sinec尤2+(y—2)2=4的圓心C(0,2),

兀廠|0-2>/3|

直線(xiàn)/：e=±（0eR）—x—Jiy=O；點(diǎn)C到直線(xiàn)/的距離是J-----------'-=6

62

24.（2012?天津高考卷?T12?4分）已知拋物線(xiàn)的參數(shù)方程為'（t為參數(shù)），

J=2Pt

其中p>0,焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為/.過(guò)拋物線(xiàn)上一點(diǎn)M作/的垂線(xiàn)，垂足為E.若|EF|=|MF|,點(diǎn)

M的橫坐標(biāo)是3,則p=

【答案】2

【解析】消去參數(shù)f得拋物線(xiàn)方程為V=2px,準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-5，因M為拋物線(xiàn)上一

點(diǎn)，所以有四月=|“耳，又惘升=怛耳，所以三角形ME廠為等邊三角形，則

忸月=河=2〃=3—（—9=3+5，解得p=2。

25.（2012天津高考卷?U3?4分）如圖，已知力3和47是圓的兩條弦，過(guò)點(diǎn)B作

圓的切線(xiàn)與AC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)I）.過(guò)點(diǎn)C作BD的平行線(xiàn)與圓相交于點(diǎn)E,與AB相交于點(diǎn)

3

F,AF=3,FB=1,EF=—,則線(xiàn)段CD的長(zhǎng)為

2

【解析】如圖連結(jié)BC,BE,則Nl=/2,Z2-ZA

NA=N1,又/B=/B,ACBF^AABC，，包=竺，0=0，代入數(shù)值得BC=2,

ABBCABAC

ACAP4

AC=4,又由平行線(xiàn)等分線(xiàn)段定理得，=——，解得CD=—.

CDFB3

26.（2012?江蘇高考卷?T21?10分）［選修4-1：幾何證明選講］（10分）如圖，AB

是圓。的直徑，為圓上位于異側(cè)的兩點(diǎn)，連結(jié)8D并延長(zhǎng)至點(diǎn)C,使BD=DC,

連結(jié)AC,A￡,OE.

求證：NE=NC.

【答案】證明：連接AZ＞。

：/歸是圓。的直徑，NA33=9O°（直徑所對(duì)的圓周角是直角）。/

：.AD±BD（垂直的定義）。

又???比＞=￡9，A。是線(xiàn)段BC的中垂線(xiàn)（線(xiàn)段的中垂線(xiàn)定義）。

AAB=AC（線(xiàn)段中捶線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端的距離相等）。力卜1一FJ

N5=NC（等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)）。

又,:2E為圓上位于45異側(cè)的兩點(diǎn)，

J.N8=NE（同弧所對(duì)圓周角相等）。

：.ZE=NC（等量代換）。

【考點(diǎn)】圓周角定理，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)。

【解析】要證NE=NC，就得找一個(gè)中間量代換，一方面考慮到和NE是同弧所對(duì)圓周

角，相等；另一方面由AB是圓。的直徑和3￡＞=DC可知AZ＞是線(xiàn)段3c的中垂線(xiàn)，從而根

據(jù)線(xiàn)段中垂線(xiàn)上的點(diǎn)到線(xiàn)段兩端的距離相等和等腰三角形等邊對(duì)等角的性質(zhì)得到

ZB=NC。從而得證。本題還可連接OO,利用三角形中位線(xiàn)來(lái)求證N8=NC。

27.（2012?福建高考卷?T21?7分）選修4-2：矩陣與變換

設(shè)曲線(xiàn)2x?+2xy+y2=l在矩陣對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線(xiàn)為x2+y2=l.

(1)求實(shí)數(shù)a,b的值.

(II)求M的逆矩陣.

【答案】本題主要考查矩陣與變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化思想.

解：(I)設(shè)曲線(xiàn)2?+2xy42=1上任優(yōu)點(diǎn)次%,)在矩陣人對(duì)應(yīng)的變換作用下的像是尸?，，,，).

由叱飛

又點(diǎn)尸(//)在/+/=I上，所以〈，4=1,即<?/?(bx^y=1.

整理孫(a：+t2)/+2㈣+)3=1.

依題意得第2解喉［或｛；：”

因?yàn)?>0,所以｛；：；.'?

⑺由⑴知，儀;小八(；)(")=(").

所以M2|=I,(T)T=(L?).

28.(2012?福建高考卷?T22?7分)選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在平面直角坐標(biāo)系

中，以坐標(biāo)原點(diǎn)0為幾點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。已知直線(xiàn)/上兩點(diǎn)M,N的極

座JL)工=2+2cg0,.a

/=70?n（”為二數(shù)）

坐標(biāo)分別為(2,0),3｛產(chǎn)73+2sm6

(I)設(shè)P為線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，求直線(xiàn)0P的平面直角坐標(biāo)方程；

(II)判斷直線(xiàn)/與圓C的位置關(guān)系。

【答案】

解：(I)由尊老知,M,N的平面立角坐標(biāo)分別為(2.0),(0,竽).

又P為線(xiàn)段MV的中點(diǎn)，從而點(diǎn)P的平面直角坐標(biāo)為(I,亨)，

故直線(xiàn)OP的平面木角坐標(biāo)方程為y=爭(zhēng).

(D)因?yàn)橹本€(xiàn)I上兩點(diǎn)M,N的平面力角坐標(biāo)刷別為(2,0),(0,竽).

所以直線(xiàn)/的平面直角坐標(biāo)方程為歷+3y-2萬(wàn)'=().

又E1C的圓心坐標(biāo)為(2.-6)，半徑r=2,

國(guó)心到n線(xiàn)I的距離公2叱紇刈.v,，故直及i與圓c相交

J3+91

29.(2012?福建高考卷?T23?7分)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)f(x)=m-|x-2|,mER,且f(x+2)20的解集為［T,1］.

(I)求m的值；

/n、至u(=p曰上?+：+9~=,7t'求證：&+26+349.

(II)若a,b,cGR,且。263c

【答案】本題主要考查絕對(duì)值不等式、柯西不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力，以及化

歸與轉(zhuǎn)化思想.

解：（1）因?yàn)椤▁+2）=m-W,〃x+2）去0等價(jià)于Wm,

由Ixl矣/n有斛，得mNO,且其解集為{x|-m苑x《m}.

又"x+2）A0的斛狼為［-1,1］,故m=l.

（D）rtl（I）知十+/廿I.又叫b,ceR.,由柯西不等式得

a+2b+3c=(a+2b+3c)(——+~-+-^—)

a2b3c

*(后?*+v/5??=9.

30.（2012?江蘇高考卷?T22?10分）［選修4-2：矩陣與變換］（10分）已知矩陣A的

3

~44

逆矩陣4一|=，求矩陣A的特征值.

,2~2

-,-，

【解】：AA=Ef/.A=(A)o

3

~423

VA-14,?，?A=Wi=

21

,2-2

2-2

???矩陣4的特征多項(xiàng)式為/（2）==22-32-4o

-2

令"4）=0,解得矩陣A的特征值4=-1,4=4。

【考點(diǎn)】矩陣的運(yùn)算，矩陣的特征值。

【解析】由矩陣A的逆矩陣，根據(jù)定義可求出矩陣A,從而求出矩陣A的特征值。

31.（2012?江蘇高考卷?T23?10分）［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（10分）在極

坐標(biāo)中，己知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（夜，：），圓心為直線(xiàn)0sin（e--弓與極軸的交點(diǎn)，求圓C

的極坐標(biāo)方程.

【解】?.?圓C圓心為直線(xiàn)0sin（。-2=-號(hào)與極軸的交點(diǎn),

，=一?中令。=0,得夕=晨

???在psin0-

...圓C的圓心坐標(biāo)為（1,0）?

?圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸（拉，；），

...圓C的半徑為PC=J（&）2+12-2X1XV2COS^=1?

.,.圓C經(jīng)過(guò)極點(diǎn)。.?.圓C的極坐標(biāo)方程為°=2cos6。

【考點(diǎn)】直線(xiàn)和圓的極坐標(biāo)方程。

【解析】根據(jù)圓C圓心為直線(xiàn)夕sin與極軸的交點(diǎn)求出的圓心坐標(biāo)；根據(jù)圓C

經(jīng)過(guò)點(diǎn)p（VL求出圓c的半徑。從而得到圓c的極坐標(biāo)方程。

32.（2012?江蘇高考卷?T24?10分）［選修4-5：不等式選講］（10分）己知實(shí)數(shù)x,

y滿(mǎn)足：|x+y|<：,|2x—y|<!，求證：1田<怖?

3o18

【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的基本知識(shí)。

【解析】根據(jù)絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求證。

【證明】V31yI=13yI=|2（x+>'）+（2x-y）|<2|x+y\+\2x-y\,

由題設(shè)|%+'|<4，|2》一■<2，...3及|<彳+2=3。；.及|<'^。

3o36618

33.（2011年福建）本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2

題做答，滿(mǎn)分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分，做答時(shí)，先用2B鉛筆在答題

卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中。

（1）（本小題滿(mǎn)分7分）選修4-2：矩陣與變換

（a0}

M—

設(shè)矩陣1°b）（其中a>0,b>0）.

（I）若a=2,b=3,求矩陣M的逆矩陣M-l；

2

x2_

----by=1

（II）若曲線(xiàn)C：x2+y2=l在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性變換作用下得到曲線(xiàn)C'：4,

求a,b的值.

（2）（本小題滿(mǎn)分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直接坐標(biāo)系xOy中，直線(xiàn)1的方程為x-y+4=0,曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為

<x=Kc°sa（a為參數(shù)）

y=sina

（I）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)0為極點(diǎn)，以x軸正

JT

半軸為極軸）中，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為（4,2）,判斷點(diǎn)P與直線(xiàn)1的位置關(guān)系;

（II）設(shè)點(diǎn)Q是曲線(xiàn)C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線(xiàn)1的距離的最小值.

（3）（本小題滿(mǎn)分7分）選修4-5：不等式選講

設(shè)不等式12xT<l的解集為M.

（I）求集合M；

（II）若a,bGM,試比較ab+1與a+b的大小.

（1）選修4—2：矩陣與變換

本小題主要考查矩陣與交換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，滿(mǎn)

分7分。

10}

MM-1=

0U

解：（I）設(shè)矩陣M的逆矩陣%，貝！I

20、20、(\0、

M

°3人所以03

又yz)101J

2x,=1,2y,=0,3々=0,3%=1,即%=[,乂=。,々=°，%￡

所以235

o

2

W1

1

0

故所求的逆矩陣3>

（ID設(shè)曲線(xiàn)c上任意一點(diǎn)口乂?。?，

它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性變換作用下得到點(diǎn)P'（x'，y'）,

a0、(x(x'\ax=x

，即

0

則h)by=y'

又點(diǎn)P'（x',y'）在曲線(xiàn)c上,

—+y'2=\

所以4

則4為曲線(xiàn)C的方程，

22?卜q-=4,

/+卜2=1,故’2

又已知曲線(xiàn)C的方程為l”=L

a>0,0>0,所以，”2，

又V=1,

（2）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

本小題主要考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化、橢圓的參數(shù)方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求

解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想。滿(mǎn)分7分。

P（4，。

解：（I）把極坐標(biāo)系下的點(diǎn)2化為直角坐標(biāo)，得P（0,4）?

因?yàn)辄c(diǎn)P的直角坐標(biāo)（0,4）滿(mǎn)足直線(xiàn)/的方程彳一丁+4=°,

所以點(diǎn)P在直線(xiàn)/上，

（II）因?yàn)辄c(diǎn)Q在曲線(xiàn)C上，故可設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（6cosa,sina）,

從而點(diǎn)Q到直線(xiàn)/的距離為

兀

,|6cosa-sina+4|2cos(a+—)+4

-------廣^----=41cos(a+—)+25/2

6V26

cos（a+—）=—1

由此得，當(dāng)6時(shí)，d取得最小值,且最小值為

（3）選修4—5：不等式選講

本小題主要考查絕對(duì)值不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想,

滿(mǎn)分7分。

解：（I）山—得一1<2%一1<1,解得0<x<L

所以M={x[0<x<l}.

(II)由(I)和M可知0〈a〈l,0<b<l

所以(ab+1)—(a+Z?)=(6?—1)(力—1)>0.

故。6+1>〃+A.

X=COS(P

34.(2011年遼寧)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為夕?為參數(shù))，

[x=acQs(p

曲線(xiàn)C2的參數(shù)方程為ly="sine(。＞匕＞0,8為參數(shù))，在以。為極點(diǎn)，x軸的正半軸

為極軸的極坐標(biāo)系中“射線(xiàn)1：與Cl,C2各有一個(gè)交點(diǎn).當(dāng)。=0時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)間

乃

的距離為2,當(dāng)夕=2時(shí)，這兩個(gè)交點(diǎn)重合.

(I)分別說(shuō)明Cl,C2是什么曲線(xiàn)，并求出a與b的值；

7171

(II)設(shè)當(dāng)。=4時(shí)，1與Cl,C2的交點(diǎn)分別為Al,B1,當(dāng)。=4時(shí)，1與ci,C2的交

點(diǎn)為A2,B2,求四邊形A1A2B2B1的面積.

解：

(I)C1是圓，C2是橢圓.

當(dāng)。=°時(shí)，射線(xiàn)1與Cl,C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(1,0),(a,0),因?yàn)檫@兩

點(diǎn)間的距離為2,所以a=3.

7t

Ct———

當(dāng)2時(shí)，射線(xiàn)1與Cl,C2交點(diǎn)的直角坐標(biāo)分別為(0,1),(0,b),因?yàn)檫@兩

點(diǎn)重合，所以b=l.

x24-y2=1和—+)/=1.

(II)Cl,C2的普通方程分別為9

71\[2

OL——X-------

當(dāng)4時(shí)，射線(xiàn)1與ci交點(diǎn)A1的橫坐標(biāo)為2,與C2交點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為

,3A/10

X=---------.

10

71

CC——

當(dāng)4時(shí)，射線(xiàn)1與ci,C2的兩個(gè)交點(diǎn)A2,B2分別與Al,B1關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，因此,

四邊形A1A2B2B1為梯形.

(2xf+2x)(xf—x)_2

故四邊形A1A2B2B1的面積為25,

35.(2011年遼寧)選修4-5：不等式選講

已知函數(shù)/(?=|x-2|一％-5|.

(I)證明：-3近f(x)W3；

(II)求不等式/(x)》x2-8X+15的解集.

解：

(I)因?yàn)镋C=ED,所以NEDC=NECD.

因?yàn)锳,B,C,D四點(diǎn)在同一圓上，所以NEDC=NEBA.

故/ECD=NEBA,

所以CD//AB.

(II)由(I)知，AE=BE,因?yàn)镋F=FG,故NEFD=NEGC

從而NFED=NGEC.

連結(jié)AF,BG,則4EFA名△EGB,故NFAE=/GBE,

又CD//AB,ZEDC=ZECD,所以/FAB=/GBA.

所以NAFG+NGBA=180°.

故A,B,G,F四點(diǎn)共圓

解：