初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè) 探究線段的垂直平分線的性質(zhì)（全國一等獎(jiǎng)）

探究線段的垂直平分線的性質(zhì)為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購物中心，試問，該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等。ABC實(shí)際問題線段的垂直平分線你能用不同的方法驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點(diǎn)，請(qǐng)猜想點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之間的數(shù)量關(guān)系．相等．ABlP1P2P3（度量、折疊）探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)

請(qǐng)?jiān)趫D中的直線l上任取一點(diǎn)，那么這一點(diǎn)與線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等嗎？線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．ABlP1P2P3（幾何畫板驗(yàn)證）已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在l上．求證：PA=PB．探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)證明：“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．”ABPCl探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)用幾何語言表示為：∵CA=CB，l⊥AB，∴PA=PB．證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）∴PA=PB．ABPCl線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在l上．求證：PA=PB．8課堂練習(xí)練習(xí)1如圖，在△ABC中，BC=8，AB的中垂線交BC于D，AC的中垂線交BC與E，則△ADE的周長等于______．ABCDE2.如圖，如果△ACD的周長為18cm，△ABC的周長為28cm，DE是BC的垂直平分線,根據(jù)這些條件，你可以求出哪條線段的長?（1）△ACD的周長＝AD＋CD＋AC＝18cm.（2）△ABC的周長＝AB＋AC＋BC＝28cm.（3）由DE是BC的垂直平分線得：BD＝CD；所以AD＋CD＝AD＋BD＝AB.（4）由（2）中式子－（1）中式子得BC＝10cm.【解析】探索并證明線段垂直平分線的判定動(dòng)手作圖：做線段AB=4cm，利用圓規(guī)找到距離點(diǎn)A、B是3cm的點(diǎn)，再找到距離點(diǎn)A、B是4cm的點(diǎn)，5cm的點(diǎn)……你還能找到與A、B距離相等的其他點(diǎn)嗎？這些點(diǎn)在線段AB的垂直平分線上嗎，怎樣驗(yàn)證？由此你能得到什么猜想？探索并證明線段垂直平分線的判定

已知：如圖，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．PAB猜想：與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。探索并證明線段垂直平分線的判定PABC已知：如圖，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．歸納證明的方法：①作垂直，證平分；②作平分，證垂直．③作角分線，證垂直平分探索并證明線段垂直平分線的判定用幾何符號(hào)表示為：∵

PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．

線段垂直平分線的判定與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．PABC3.已知直線l與線段AB交于點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上，且AP=PB，下列結(jié)論正確的有

①OA=OB②PO⊥AB③∠APO=∠BPO④點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上如何判斷一條直線是否是線段的垂直平分線？4.用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋，做一個(gè)簡易的“弓”，“箭”通過木棒中央的孔射出去，怎樣才能保持射出去的方向與木棒垂直呢？只要AC=BC就可以了ABC為什么？5.為了方便居民的生活，計(jì)劃在三個(gè)住宅小區(qū)A、B、C之間修建一個(gè)購物中心，試問，該購物中心應(yīng)建于何處，才能使得它到三個(gè)小區(qū)的距離相等。ABC實(shí)際問題BAC

線段的垂直平分線求作一點(diǎn)P，使它和已△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.實(shí)際問題數(shù)學(xué)化pPA=PB=PC實(shí)際問題

（1）線段AB的垂直平分線上的所有點(diǎn)都滿足“與點(diǎn)A、B的距離相等”這一條件嗎？

線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有的點(diǎn)的集合想一想（2）滿足“與A、B的距離相等”的所有點(diǎn)都在線段AB的垂直平分線上嗎？13.3角的平分線ODEABPC定理1

在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。定理2

到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。

角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合14.1線段的垂直平分線定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

線段的垂直平分線可以看作是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合ABMNP點(diǎn)的集合是一條射線點(diǎn)的集合是一條直線6．如圖，在△ABC中，D為BC中點(diǎn)，DE⊥BC交∠BAC的平分線AE于E，EF⊥AB于F，EG⊥AC交AC的延長線于G，求證：BF=CG課堂小結(jié)（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（2）有什么收獲,還有什么困惑？必做題:教科書習(xí)題13.1第6