初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè) 平行線截三角形相似定理【市一等獎(jiǎng)】

平行線截三角形相似定理一、復(fù)習(xí)回顧1.什么樣的兩個(gè)多邊形是相似多邊形？

前面我們學(xué)習(xí)了相似多邊形及相似比的有關(guān)概念，下面請(qǐng)同學(xué)們思考以下幾個(gè)問題：

兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形，如果它們的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比相等，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.2.什么是相似比（相似系數(shù)）？

相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似比或相似系數(shù).二、引入新知記作:△ABC∽△A′B′C′CABB′C′A′圖1

說明：兩個(gè)三角形相似，用相似符號(hào)表示時(shí)，與全等一樣，應(yīng)把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，這樣便于找出相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊.

已知△ABC與△A′B′C′相似.讀作△ABC相似于△A′B′C′1.知識(shí)要點(diǎn)二、引入新知CABB′C′A′圖1

若兩三角形相似寫成△ABC∽△A′B′C′，表明對(duì)應(yīng)關(guān)系是唯一確定的，即A與A′、B與B′、C與C′分別對(duì)應(yīng).如果僅說“這兩個(gè)三角形相似”，沒有用“∽”表示的，則沒有說明對(duì)應(yīng)關(guān)系.注意：2.相似三角形的對(duì)應(yīng)關(guān)系：對(duì)于△ABC∽△A′B′C′，根據(jù)相似形的定義，應(yīng)有：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，說明：三邊對(duì)應(yīng)成比例也可寫成AB:BC:CA=A′B′:B′C′:C′A′3.相似三角形的相似比1.將△ABC∽△A′B′C′的相似比記為：K1，2.△A′B′C′∽△ABC的相似比記為：K2，4.鞏固練習(xí)1.

已知△ABC∽△DEF,請(qǐng)指出所有的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角.并分別指出它們的關(guān)系.2.如果將上題中“△ABC∽△DEF”改為“△ABC與△DEF相似”你還能指出它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系嗎？4.鞏固練習(xí)：

簡(jiǎn)析：=，=，≠，.==13.已知△ABC∽△DEF，AB=2，DE=3則△ABC與△DEF的相似比K1和△DEF與△ABC的相似比K2是否相等？如果不相等，K1

和K2滿足什么關(guān)系？如果AB=2，DE=2呢？

若將△ABC∽△A′B′C′的相似比記為K1，△A′B′C′∽△ABC的相似比記為K2

，一般有K1

=

當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)三角形全等時(shí)，才有K1

=K2=1.5.歸納總結(jié)：因此，三角形全等是三角形相似的特例.三、類比猜想1.兩個(gè)三角形全等的判定有哪幾種方法？2.是不是需要所有的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角都相等？3.猜想：兩個(gè)三角形相似是不是也有簡(jiǎn)便的方法？簡(jiǎn)析：1.兩個(gè)三角形全等的判定方法有：SAS、ASA、SSS、AAS,直角三角形還有HL.2.不需要所有的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角都相等.3.猜想：兩個(gè)三角形相似也不需要所有的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比相等.四、探究論證：

在△ABC中，D為AB上任意一點(diǎn)，如圖2所示.過點(diǎn)D作BC的平行線交AC于點(diǎn)E，那么△ADE與△ABC相似嗎？ADBCEAEACEACEABCEADBCA圖2已知:在△ABC中，DE∥BC,DE分別交AB，AC于D，E.求證：△ADE∽△ABC.

1.根據(jù)相似多邊形的定義△ADE與△ABC

相似必須滿足哪些條件？分析：

由已知和圖2可知△ADE與△ABC相似必須有：∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C,2.已經(jīng)具備哪些條件？為什么？還需要什么條件？已有條件：∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C，

，還需要條件：ADBCEAEACEACEABCEADBCA圖2分析

3.解決這個(gè)問題的關(guān)鍵在哪里？怎么解決？

轉(zhuǎn)化：將DE平移到BC上（可過點(diǎn)D作AC的平行線，交BC于F，則CF=DE）運(yùn)用定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊延長(zhǎng)線），所得對(duì)應(yīng)線段成比例.即可得到ADEBCF證明：

過點(diǎn)D作AC的平行線，交BC于F.∵DE∥BC,DF∥AC，∴因?yàn)樗倪呅蜠FCE是平行四邊形，∴DE=FC，又∵∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC.ABCDEF五、定理歸納：

由以上探究過程你能得出什么結(jié)論？如果這條直線與三角形兩邊的延長(zhǎng)線相交呢？圖3ABCDEBCDEAEDCAB定理

平行于三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，截得的三角形與原三角形相似.

符號(hào)語言：在△ABC中,因?yàn)镈E∥BC，所以△ADE∽△ABC.六、鞏固練習(xí)：

如圖4，在ABCD中，DE交BC于F,交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.（1）請(qǐng)寫出圖中相似的三角形；（2）請(qǐng)由其中的一對(duì)相似三角形寫出相應(yīng)的比例式；（3）請(qǐng)說明AE·BF與AD·BE是否相等？F圖4ABCDE簡(jiǎn)析：（1）△EBF∽△EAD，△CDF∽△BEF，△EAD∽△DCF；也可寫成

△EBF∽△EAD∽△DCF(3)由（2）中比例式化成乘積式可得AE·BF=AD·BE.

（2）舉一例：在△EBF∽△EAD中有

，

還有兩種情形同學(xué)們自己解答.F圖4ABCDE七、目標(biāo)總結(jié)本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？

本節(jié)課首先講述了相似三角形的有關(guān)概念，然后通過探究得出“三角形一邊的平行線截三角形兩邊或其延長(zhǎng)線所得的三角形與原三角形相似”這一判定定理.三角形一邊的平行線的判定定理不僅可以直接用來證明有關(guān)的三角形相似的問題，而且是證明其他三個(gè)判定定理的主要依據(jù)，所以有時(shí)也把它叫做相似三角形判定定理的預(yù)備定理.熟練掌握這一定理對(duì)后面三個(gè)定理的證明至關(guān)重要.

學(xué)習(xí)了哪些思想方法？

類比和轉(zhuǎn)化的思想，作輔助線的方法.你掌握了哪些知