數(shù)學-專項21 最值問題中的阿氏圓模型（帶答案）

專題21最值問題中的阿氏圓模型【模型展示】特點“PA+k·PB”型的最值問題是近幾年中考考查的熱點更是難點。當k值為1時，即為“PA+PB”之和最短問題，用“飲馬問題”模型來處理，即可以轉(zhuǎn)化為軸對稱問題來處理。當k取不為1的正數(shù)時，再以常規(guī)的軸對稱思想來解決問題，則無法進行，因此必須轉(zhuǎn)換思路。此類問題的處理通常以動點P所在圖像的不同來分類：點P在直線上運動和點P在圓上運動。其中點P在直線上運動的類型稱之為“胡不歸”問題；點P在圓周上運動的類型稱之為“阿氏圓”問題?！鞍⑹蠄A”又稱“阿波羅尼斯圓”，已知平面上兩點A、B，則所有滿足PA=k·PB（k≠1）的點的軌跡是一個圓，這個軌跡最早由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”。如圖1所示，圓O的半徑為r，點A、B都在圓O外，P為圓O上一動點，已知r=kOB，連接PA、PB，則當“PA+kPB”的值最小時，P點的位置如何確定？如圖2，在線段OB上截取OC使△BPO與△PCO相似，即k·PB=PC。故本題中“PA+k·PB”的最小值可以轉(zhuǎn)化為“PA+PC”的最小值，其中A與C為定點，P為動點，故當A、P、C三點共線時，“PA+PC”值最小，如圖3

一般將含有k的線段兩端點分別與圓心O相連，即連接OB、OP；計算出線段OP與OB及OP與OA的線段比，找到線段比為k的情況連接AC，與圓O的交點即為點P將圖2中△BPO單獨提取出，如圖4，△PCO∽△BPO（母子型相似模型）（構造出△PCO∽△BPO，就可以得到OC/OP=OP/OB，進而推出OP2=OB·OC，即“半徑的平方＝原有線段×構造線段”，確定C的位置后，連接AC，求出AC的長度“阿氏圓”即可破解）結(jié)論“PA+k·PB”型的最值

【題型演練】一、單選題1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝7，AC＝9，以C為圓心、3為半徑作⊙C，P為⊙C上一動點，連接AP、BP，則AP＋BP的最小值為（

）A．7 B．5 C． D．【答案】B【詳解】思路引領：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．利用相似三角形的性質(zhì)證明MPPA，可得AP+BP＝PM+PB≥BM，利用勾股定理求出BM即可解決問題．答案詳解：如圖，在CA上截取CM，使得CM＝1，連接PM，PC，BM．∵PC＝3，CM＝1，CA＝9，∴PC2＝CM?CA，∴，∵∠PCM＝∠ACP，∴△PCM∽△ACP，∴，∴PMPA，

∴AP+BP＝PM+PB，∵PM+PB≥BM，在Rt△BCM中，∵∠BCM＝90°，CM＝1，BC＝7，∴BM5，∴AP+BP≥5，∴AP+BP的最小值為5．故選：B．二、填空題2．如圖，在中，，以點B為圓心作圓B與相切，點P為圓B上任一動點，則的最小值是___________．【答案】【分析】作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得BH為⊙B的半徑，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到BHAC，接著證明△BPD∽△BCP得到PDPC，所以PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當且僅當A、P、D共線時取等號），從而計算出AD得到PA的最小值．【詳解】解：作BH⊥AC于H，取BC的中點D，連接PD，如圖，∵AC為切線，∴BH為⊙B的半徑，

∵∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，∴ACBA＝2，∴BHAC，∴BP，∵，，而∠PBD＝∠CBP，∴△BPD∽△BCP，∴，∴PDPC，∴PAPC＝PA+PD，而PA+PD≥AD（當且僅當A、P、D共線時取等號），而AD，∴PA+PD的最小值為，即PA的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．解決問題的關鍵是利用相似比確定線段PDPC．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)．3．如圖，已知正方ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則的最大值為_______．

【答案】【分析】如圖，連接，在上取一點，使得，進而證明,則在點P運動的任意時刻，均有PM=，從而將問題轉(zhuǎn)化為求PD-PM的最大值．連接PD，在△PDM中，PD-PM＜DM，故當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值，勾股定理即可求得．【詳解】如圖，連接，在上取一點，使得，，在△PDM中，PD-PM＜DM，

當D、M、P共線時，PD-PM=DM為最大值，四邊形是正方形在中，故答案為：．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，構造是解題的關鍵．4．如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則PA＋PB的最小值為________．【答案】【分析】PA＋PB＝（PA＋PB），利用相似三角形構造PB即可解答．【詳解】解：設⊙O半徑為r，

OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點I，連接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP＋PB＝AP＋PI，∴當A、P、I在一條直線上時，AP＋PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB?BE＝3，∴AI＝，∴AP＋PB最小值＝AI＝，∵PA＋PB＝（PA＋PB），∴PA＋PB的最小值是AI＝．故答案是．【點睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關鍵是構造相似三角形．

5．【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點A,B，所有滿足k(k為定值)的P點形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”，【問題解決】如圖，在△ABC中，CB4，AB2AC，則△ABC面積的最大值為_____．【答案】【分析】以A為頂點，AC為邊，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP與BC的延長線交于點P，證出△APC∽△BPA，列出比例式可得BP=2AP，CP=AP，從而求出AP、BP和CP，即可求出點A的運動軌跡，最后找出距離BC最遠的A點的位置即可求出結(jié)論．【詳解】解：以A為頂點，AC為邊，在△ABC外部作∠CAP=∠ABC，AP與BC的延長線交于點P，∵∠APC=∠BPA，AB2AC∴△APC∽△BPA，∴∴BP=2AP，CP=AP∵BP－CP=BC=4∴2AP－AP=4解得：AP=∴BP=，CP=，即點P為定點∴點A的軌跡為以點P為圓心，為半徑的圓上，如下圖所示，過點P作BC的垂線，交圓P于點A1，此時A1到BC的距離最大，即△ABC的面積最大S△A1BC=BC·A1P=×4×=即△ABC面積的最大值為故答案為：．

【點睛】此題考查的是相似三角形的判定及性質(zhì)、確定點的運動軌跡和求三角形的面積，掌握相似三角形的判定及性質(zhì)、圓的定義和三角形的面積公式是解決此題的關鍵．6．如圖，在Rt中，AB＝AC＝4，點E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，點P是扇形AEF的上任意一點，連接BP，CP，則BP+CP的最小值是_____．【答案】．【分析】在AB上取一點T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．證明，推出＝＝，推出PT＝PB，推出PB+CP＝CP+PT，根據(jù)PC+PT≥TC，求出CT即可解決問題．【詳解】解：在AB上取一點T，使得AT＝1，連接PT，PA，CT．∵PA＝2．AT＝1，AB＝4，∴PA2＝AT?AB，∴＝，∵∠PAT＝∠PAB，

∴，∴＝＝，∴PT＝PB，∴PB+CP＝CP+PT，∵PC+PT≥TC，在Rt中，∵∠CAT＝90°，AT＝1，AC＝4，∴CT＝＝，∴PB+PC≥，∴PB+PC的最小值為．故答案為．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，勾股定理的應用，三角形的三邊關系，圓的基本性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關鍵．7．如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，點P是⊙B上的一個動點，則PD﹣PC的最大值為_____．【答案】5【詳解】分析:由PD?PC＝PD?PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，PD?PC的值最大，最大值為DG＝5．詳解:在BC上取一點G，使得BG＝1，如圖，

∵，，∴，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴，∴PG＝PC，當點P在DG的延長線上時，PD?PC的值最大，最大值為DG＝＝5．故答案為5點睛:本題考查圓綜合題、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會構建相似三角形解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，把問題轉(zhuǎn)化為兩點之間線段最短解決，題目比較難，屬于中考壓軸題．8．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以點C為圓心，6為半徑的圓上有一個動點D.連接AD、BD、CD，則2AD+3BD的最小值是________.【答案】【分析】如下圖，在CA上取一點E，使得CE=4，先證△DCE∽△ACD，將轉(zhuǎn)化為DE，從而求得

的最小距離，進而得出2AD+3BD的最小值．【詳解】如下圖，在CA上取一點E，使得CE=4∵AC=9，CD=6，CE=4∴∵∠ECD=∠ACD∴△DCE∽△ACD∴∴ED=在△EDB中，ED+DB≥EB∴ED+DB最小為EB，即ED+DB=EB∴在Rt△ECB中，EB=∴∴2AD+3DB=故答案為：．【點睛】本題考查求最值問題，解題關鍵是構造出△DCE∽△ACD．三、解答題9．如圖1，在RT△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圓C的半徑為2，點P為圓上一動點，連接AP，BP，求：

①，②，③，④的最小值．【答案】①；②；③；④．【分析】①在CB上取點D，使，連接CP、DP、AD．根據(jù)作圖結(jié)合題意易證，即可得出，從而推出，說明當A、P、D三點共線時，最小，最小值即為長．最后在中，利用勾股定理求出AD的長即可；②由，即可求出結(jié)果；③在CA上取點E，使，連接CP、EP、BE．根據(jù)作圖結(jié)合題意易證，即可得出，從而推出，說明當B、P、E三點共線時，最小，最小值即為長．最后在中，利用勾股定理求出BE的長即可；④由，即可求出結(jié)果．【詳解】解：①如圖，在CB上取點D，使，連接CP、DP、AD．

∵，，，∴．又∵，∴，∴，即，∴，∴當A、P、D三點共線時，最小，最小值即為長．∵在中，．∴的最小值為；②∵，∴的最小值為；③如圖，在CA上取點E，使，連接CP、EP、BE．∵，，，∴．又∵，∴，∴，即，∴，∴當B、P、E三點共線時，最小，最小值即為長．

∵在中，．∴的最小值為；④∵，∴的最小值為．【點睛】本題考查圓的基本性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理．正確的作出輔助線，并且理解三點共線時線段最短是解答本題的關鍵．10．如圖，Rt△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以C為頂點的正方形CDEF（C、D、E、F四個頂點按逆時針方向排列）可以繞點C自由轉(zhuǎn)動，且CD＝，連接AF，BD（1）求證：△BDC≌△AFC（2）當正方形CDEF有頂點在線段AB上時，直接寫出BD＋AD的值；（3）直接寫出正方形CDEF旋轉(zhuǎn)過程中，BD＋AD的最小值．【答案】（1）見解析；（2）或；（3）【分析】（1）利用SAS，即可證明△FCA≌△DCB；（2）分兩種情況當點D，E在AB邊上時和當點E，F(xiàn)在邊AB上時，討論即可求解；（3）取AC的中點M．連接DM，BM．則CM＝1，可證得△DCM∽△ACD，可得DM＝AD，從而得到當B，D，M共線時，BD+AD的值最小，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形CDEF是正方形，∴CF＝CD，∠DCF＝∠ACB＝90°，∴∠ACF＝∠DCB，∵AC＝CB，∴△FCA≌△DCB（SAS）；

（2）解：①如圖2中，當點D，E在AB邊上時，∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，∴，∵CD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴BD+AD＝；②如圖3中，當點E，F(xiàn)在邊AB上時．BD＝CF＝，AD＝＝，∴BD+AD＝，綜上所述，BD＋AD的值或；（3）如圖4中．取AC的中點M．連接DM，BM．則CM＝1，

∵CD＝，CM＝1，CA＝2，∴CD2＝CM?CA，∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，∴BD+AD＝BD+DM，∴當B，D，M共線時，BD+AD的值最小，最小值．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，熟練掌握相關知識點是解題的關鍵．11．如圖，點A、B在上，且OA＝OB＝6，且OA⊥OB，點C是OA的中點，點D在OB上，且OD＝4，動點P在上．求2PC＋PD的最小值．【答案】

【分析】連接OP，在射線OA上截取AE=6，連接PE．由題意易證，即得出，從而得出，由此可知當P、D、E三點共線時，最小，最小值為DE的長，最后在中利用勾股定理求出DE的長即可．【詳解】如圖，連接OP，在射線OA上截取AE=6，連接PE．∵C是OA的中點，∴．∴在△OPC和△OEP中，，∴，∴，即，∴，.∴當P、D、E三點共線時，最小，最小值即為DE的長，如圖，

在中，，∴的最小值為．【點睛】本題考查同圓半徑相等、三角形相似的判定和性質(zhì)和勾股定理等知識．正確作出輔助線并理解當P、D、E三點共線時，最小，最小值為DE的長是解答本題的關鍵．12．婆羅摩芨多是公元7世紀古印度偉大的數(shù)學家，他在三角形、四邊形、零和負數(shù)的運算規(guī)則，二次方程等方面均有建樹，他也研究過對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形，我們把這類對角線互相垂直的圓內(nèi)接四邊形稱為“婆氏四邊形”．（1）若平行四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，則四邊形ABCD是．（填序號）①矩形；②菱形；③正方形（2）如圖1，RtABC中，∠BAC=90°，以AB為弦的⊙O交AC于D，交BC于E，連接DE、AE、BD，AB=6，，若四邊形ABED是“婆氏四邊形”，求DE的長．（3）如圖2，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，連接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求證：四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；②當AD+BC=4時，求⊙O半徑的最小值．

【答案】（1）③；（2）3；（3）①見解析；②【分析】（1）根本圓內(nèi)接四邊形對角互補和平行四邊形對角相等可得∠ABC=∠ADC=90°，從而可證明四邊形ABCD為矩形，再根據(jù)對角線互相垂直的矩形是正方形即可判斷；（2）根據(jù)垂徑定理和圓周角定理可得AD=DE，∠DEB=∠DEC=90°，設AD=DE=m，則DC=8-m，EC=10-6=4，在Rt△DEC中解直角三角形即可；（3）①根據(jù)圓周角定理即可得出，從而可得∠CED=90°，繼而證明結(jié)論；②作OM，ON分別垂直與AD，BC，證明△OAM≌△BON，設，則，，，在Rt△BON中，根據(jù)勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出半徑的最小值．【詳解】解：（1）如下圖，∵平行四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠ABC=∠ADC，∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴平行四邊形ABCD為矩形，∵四邊形ABCD是“婆氏四邊形”，∴AC⊥BD，∴矩形ABCD為正方形，故答案為：③；（2）∵∠BAC=90°，AB=6，，

∴，,BD為直徑，∴∠BED=∠DEC=90°，∵四邊形ABED是“婆氏四邊形”，∴AE⊥BD，∴AD=DE，AB=BE=6，設AD=DE=m，則DC=8-m，EC=10-6=4，在Rt△EDC中，根據(jù)勾股定理,,即，解得，即DE=3；（3）①設AC，BD相交于點E如圖所示∵，，∠BOC+∠AOD=180°，∴，∴∠CED=90°，即AC⊥BD，又∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴四邊形ABCD是“婆氏四邊形”；②如下圖，作OM，ON分別垂直與AD，BC，∴，，∠AMO=∠BNO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∵OA=OB=OC=OD，∴,，∵∠BOC+∠AOD=180°，∴，∴，

在△OAM和△BON中∵∴△OAM≌△BON（AAS），∴，∵AD+BC=4設，則，，，在Rt△BON中，，當時，取得最小值，即⊙O半徑的最小值為．【點睛】本題考查圓周角定理、垂徑定理、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、勾股定理、正方形的判定定理、二次函數(shù)的性質(zhì)等．（1）中能正確證明出四邊形的一個角是90°是解題關鍵；（2）中能正確表示出Rt△EDC的三個邊是解題關鍵；（3）中①正確利用圓周角定理是解題關鍵；②正確作出輔助線構造全等三角形是解題關鍵．13．閱讀以下材料，并按要求完成相應任務．阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga），古希臘人（公元前262~190年），數(shù)學家，寫了八冊圓錐曲線論著，其中有七冊流傳下來，書中詳細討論了圓錐曲線的各種性質(zhì)，阿波羅尼斯圓是他的論著中一個著名的問題．一動點與兩定點，的距離之比等于定比，則點的軌跡是以定比內(nèi)分和外分線段的兩個分點的連線為直徑的圓，這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱“阿氏圓”．

如圖1，點，為兩定點，點為動點，滿足，點在線段上，點在的延長線上且，則點的運動軌跡是以為直徑的圓．下面是“阿氏圓”的證明過程（部分）：過點作交的延長線于點．∴，．∴．∴．又∵，∴．∴．∴．∴．如圖2，在圖1（隱去，）的基礎上過點作交于點，可知，……任務：（1）判斷是否平分，并說明理由；（2）請根據(jù)上面的部分證明及任務（1）中的結(jié)論，完成“阿氏圓”證明的剩余部分；（3）應用：如圖3，在平面直角坐標系中，，，，則點所在圓的圓心坐標為________．【答案】（1）平分．理由見解析；（2）點的運動軌跡是以為直徑的圓，見解析；（3）【分析】（1）利用相似三角形的判定及性質(zhì)仿照圖1的證明即可得證；（2）根據(jù)90°的圓周角所對的弦是直徑即可證得點的運動軌跡是以為直徑的圓；（3）結(jié)合題目所給的材料分別求得AB的內(nèi)分點和外分點的坐標，進而可求得點所在圓的圓心坐標．

【詳解】解：（1）平分．理由如下：∵，，∴．∴．∴．∵，∴，．∴，即平分．（2）∵，，且，∴．∴為直徑．∴點的運動軌跡是以為直徑的圓．（3）∵，，∴AB＝3，且AO＝2OB，∵，∴點O為AB的內(nèi)分點，當點C為AB的外分點時，CA＝2CB，∴CB＝AB＝3，∴OC＝OB+BC＝4，∴點C的坐標為（4，0），∴點所在圓的圓心坐標為（2，0）．

【點睛】本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)，直徑的判定，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解決本題的關鍵．14．如圖1，拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，其中點的坐標為，拋物線的對稱軸是直線．(1)求拋物線的解析式；(2)若點是直線下方的拋物線上一個動點，是否存在點使四邊形的面積為16，若存在，求出點的坐標若不存在，請說明理由；(3)如圖2，過點作交拋物線的對稱軸于點，以點為圓心，2為半徑作，點為上的一個動點，求的最小值．【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）根據(jù)點的坐標為，拋物線的對稱軸是直線．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可，（2）先求得直線解析式，設，則，過點作軸交直線于點，根據(jù)等于16建立方程，解一元二次方程即可求得的值，然后求得的坐標，（3）在上取，過點作，構造，則當

三點共線時，取得最小值，最小值為，勾股定理解直角三形即可．（1）解：∵拋物線與軸交于兩點，與軸交于點，點的坐標為，拋物線的對稱軸是直線，∴，，解得，拋物線解析式為：，（2）當，即，解得，，，設直線解析式為，，解得，直線解析式為，設，過點作軸交直線于點，

則，，四邊形的面積為16，，解得，或，（3）如圖，過點作交拋物線的對稱軸于點，以點為圓心，2為半徑作，

是拋物線的對稱軸，，，，，，，在上取，過點作，交軸于點，交拋物線對稱軸于點，則，，，，，，，，

，當三點共線時，取得最小值，最小值為，．則的最小值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關鍵．15．如圖1所示，⊙O的半徑為r，點A、B都在⊙O外，P為⊙O上的動點，已知r＝k·OB．連接PA、PB，則當“PA＋k·PB”的值最小時，P點的位置如何確定？【答案】見解析【詳解】1：連接動點至圓心0（將系數(shù)不為1的線段兩端點分別與圓心相連接），即連接OP、OB；2：計算連接線段OP、OB長度；3：計算兩線段長度的比值；

4：在OB上截取一點C，使得構建母子型相似：5：連接AC，與圓0交點為P，即AC線段長為PA＋K*PB的最小值．本題的關鍵在于如何確定“k·PB”的大小，（如圖2）在線段OB上截取OC使OC＝k·r，則可說明△BPO與△PCO相似，即k·PB＝PC．∴本題求“PA＋k·PB”的最小值轉(zhuǎn)化為求“PA＋PC”的最小值，即A、P、C三點共線時最?。ㄈ鐖D3），時AC線段長即所求最小值．16．問題提出：如圖①，在中，，，，⊙C的半徑為2，P為圓上一動點，連接AP、BP，求的最小值．（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP，在CB上取一點D，使，則．又，所以∽．所以．所以，所以．請你完成余下的思考，并直接寫出答案：的最小值為________；（2）自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求的最小值；（3）拓展延伸：如圖②，已知在扇形COD中，，，，，P是上一點，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）13．【分析】（1）根據(jù)題意可知最小值為AD長度，利用勾股定理即可求出AD長度．（2）連接CP，在CA上取一點D，使，即可證明∽，得到，即，所以的最小值為BD長度，利用勾股定理即可求出BD長度．

（3）延長OC到E，使，連接PE，OP，即可證明∽，得到，即，所以的最小值為BE長度，利用勾股定理即可求出BE長度．【詳解】（1）根據(jù)題意可知，當A、P、D三點共線時，最小，最小值．故答案為：．（2）連接CP，在CA上取一點D，使，則有，∵，∴∽，得，∴，故，僅當B、P、D三點共線時，的最小值．（3）延長OC到E，使，連接PE，OP，

則，∵，∴∽，∴，∴，∴，僅當E、P、B三點共線時，，即的最小值為13．【點睛】本題考查圓的綜合，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)閱讀材料的思路構造出∽和∽是解題的關鍵．本題較難．17．如圖1，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣5x+5與x軸，y軸分別交于A，C兩點，拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點，與x軸的另一交點為B（1）求拋物線解析式及B點坐標；（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，連接MA、MB、BC，當點M運動到某一位置時，四邊形

AMBC面積最大，求此時點M的坐標及四邊形AMBC的面積；（3）如圖2，若P點是半徑為2的⊙B上一動點，連接PC、PA，當點P運動到某一位置時，PC+PA的值最小，請求出這個最小值，并說明理由．【答案】（1）y＝x2﹣6x+5，B（5，0）；（2）當M（3，﹣4）時，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18；（3）PC+PA的最小值為，理由詳見解析.【分析】（1）由直線y＝﹣5x+5求點A、C坐標，用待定系數(shù)法求拋物線解析式，進而求得點B坐標．（2）從x軸把四邊形AMBC分成△ABC與△ABM；由點A、B、C坐標求△ABC面積；設點M橫坐標為m，過點M作x軸的垂線段MH，則能用m表示MH的長，進而求△ABM的面積，得到△ABM面積與m的二次函數(shù)關系式，且對應的a值小于0，配方即求得m為何值時取得最大值，進而求點M坐標和四邊形AMBC的面積最大值．（3）作點D坐標為（4，0），可得BD＝1，進而有，再加上公共角∠PBD＝∠ABP，根據(jù)兩邊對應成比例且夾角相等可證△PBD∽△ABP，得等于相似比，進而得PD＝AP，所以當C、P、D在同一直線上時，PC+PA＝PC+PD＝CD最?。脙牲c間距離公式即求得CD的長．【詳解】解：（1）直線y＝﹣5x+5，x＝0時，y＝5∴C（0，5）y＝﹣5x+5＝0時，解得：x＝1∴A（1，0）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過A，C兩點∴

解得：∴拋物線解析式為y＝x2﹣6x+5當y＝x2﹣6x+5＝0時，解得：x1＝1，x2＝5∴B（5，0）（2）如圖1，過點M作MH⊥x軸于點H

∵A（1，0），B（5，0），C（0，5）∴AB＝5﹣1＝4，OC＝5∴S△ABC＝AB?OC＝×4×5＝10∵點M為x軸下方拋物線上的點∴設M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）∴MH＝|m2﹣6m+5|＝﹣m2+6m﹣5∴S△ABM＝AB?MH＝×4（﹣m2+6m﹣5）＝﹣2m2+12m﹣10＝﹣2（m﹣3）2+8∴S四邊形AMBC＝S△ABC+S△ABM＝10+[﹣2（m﹣3）2+8]＝﹣2（m﹣3）2+18∴當m＝3，即M（3，﹣4）時，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18（3）如圖2，在x軸上取點D（4，0），連接PD、CD∴BD＝5﹣4＝1∵AB＝4，BP＝2∴∵∠PBD＝∠ABP∴△PBD∽△ABP∴∴PD＝AP∴PC+PA＝PC+PD∴當點C、P、D在同一直線上時，PC+PA＝PC+PD＝CD最小∵CD＝∴PC+PA的最小值為

【點睛】此題主要考查二次函數(shù)綜合，解題的關鍵是熟知二次函數(shù)的性質(zhì)、圓的性質(zhì)及相似三角形的判斷與性質(zhì).18．如圖，拋物線與軸交于，，兩點（點在點的左側(cè)），與軸交于點，且，的平分線交軸于點，過點且垂直于的直線交軸于點，點是軸下方拋物線上的一個動點，過點作軸，垂足為，交直線于點．（1）求拋物線的解析式；（2）設點的橫坐標為，當時，求的值；（3）當直線為拋物線的對稱軸時，以點為圓心，為半徑作，點為上的一個動點，求的最小值．【答案】（1）yx2x﹣3；（2）；（3）．【分析】對于（1），結(jié)合已知先求出點B和點C的坐標，再利用待定系數(shù)法求解即可；對于（2），在Rt△OAC中，利用三角函數(shù)的知識求出∠OAC的度數(shù)，再利用角平分線的定義求出∠OAD的度數(shù)，進而得到點D的坐標；接下來求出直線AD的解析式，表示出點P，H，F(xiàn)的坐標，再利用兩點間的距離公式可完成解答；對于（3），首先求出⊙H的半徑，在HA上取一點K，使得HK=14，此時K

（-，）；然后由HQ2=HK·HA，得到△QHK∽△AHQ，再利用相似三角形的性質(zhì)求出KQ=AQ，進而可得當E、Q、K共線時，AQ+EQ的值最小，據(jù)此解答.【詳解】（1）由題意A（，0），B（﹣3，0），C（0，﹣3），設拋物線的解析式為y＝a（x+3）（x），把C（0，﹣3）代入得到a，∴拋物線的解析式為yx2x﹣3．（2）在Rt△AOC中，tan∠OAC，∴∠OAC＝60°．∵AD平分∠OAC，∴∠OAD＝30°，∴OD＝OA?tan30°＝1，∴D（0，﹣1），∴直線AD的解析式為yx﹣1，由題意P（m，m2m﹣3），H（m，m﹣1），F(xiàn)（m，0）．∵FH＝PH，∴1m﹣1﹣（m2m﹣3）解得m或（舍棄），∴當FH＝HP時，m的值為．（3）如圖，∵PF是對稱軸，∴F（，0），H（，﹣2）．∵AH⊥AE，∴∠EAO＝60°，∴EOOA＝3，∴E（0，3）．∵C（0，﹣3），∴HC2，AH＝2FH＝4，∴QHCH＝1，在HA上取一點K，使得HK，此時K（）．∵HQ2＝1，HK?HA＝1，∴HQ2＝HK?HA，∴．∵∠QHK＝∠AHQ，∴△QHK∽△AHQ，∴，∴KQAQ，∴AQ+QE＝KQ+EQ，∴當E、Q、K

共線時，AQ+QE的值最小，最小值．【點睛】本題考查了相似三角形對應邊成比例、兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的表達式、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、數(shù)軸上兩點間的距離公式，熟練掌握該知識點是本題解題的關鍵.19．閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務.已知平面上兩點，則所有符合且的點會組成一個圓.這個結(jié)論最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓.阿氏圓基本解法：構造三角形相似.【問題】如圖1，在平面直角坐標中，在軸，軸上分別有點，點是平面內(nèi)一動點，且，設，求的最小值.阿氏圓的關鍵解題步驟：第一步：如圖1，在上取點，使得；第二步：證明；第三步：連接，此時即為所求的最小值.下面是該題的解答過程(部分)：解：在上取點，使得，又.任務：將以上解答過程補充完整.

如圖2，在中，為內(nèi)一動點，滿足，利用中的結(jié)論，請直接寫出的最小值.【答案】（1）（2）.【分析】

⑴

將PC+kPD轉(zhuǎn)化成PC+MP，當PC+kPD最小，即PC+MP最小，圖中可以看出當C、P、M共線最小，利用勾股定理求出即可；⑵

根據(jù)上一問得出的結(jié)果，把圖2的各個點與圖1對應代入，C對應O,D對應P，A對應C，B對應M，當D在A