初中數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)期中復(fù)習(xí)課件：專題 三角形

期中復(fù)習(xí)課件

三角形第一課時(shí)認(rèn)識(shí)三角形三角形知識(shí)梳理邊與三角形有關(guān)的線段三角形的內(nèi)角和三角形的外角和多邊形的內(nèi)角和多邊形的外角和中線高角平分線與三角形有關(guān)的線段1.三角形的三邊關(guān)系

三角形兩邊之和大于第三邊，三角形兩邊之差小于第三邊.2.三角形的高、中線、角平分線的定義從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它所對(duì)的邊所在直線畫垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的線段叫做三角形的這條邊上的高.連接三角形的一個(gè)頂點(diǎn)和它所對(duì)的邊的中點(diǎn)，所得線段叫做三角形這條邊上的中線.知識(shí)梳理三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.3.三角形的重心

三角形的三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心.知識(shí)梳理4.三角形的穩(wěn)定性

三角形具有穩(wěn)定性，四邊形具有不穩(wěn)定性.與三角形有關(guān)的線段重點(diǎn)解析11.下列各組線段能構(gòu)成三角形的是（）

A.3cm，3cm，7cmB.4cm，2cm，8cm

C.1cm，1cm，2cmD.3cm，5cm，6cm動(dòng)腦想一想，動(dòng)手練一練DA.3+3<7，不能構(gòu)成三角形.

B.4+2<8，不能構(gòu)成三角形.C.1+1=2，不能構(gòu)成三角形.D.3+5>6，可以構(gòu)成三角形.判斷三條線段是否可以構(gòu)成三角形，只需根據(jù)“兩條較短的線段之和大于第三條線段”判斷即可.（1）若AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，則（）=（）=90°；（2）若點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，則（）=（），且線段AE為（）；（3）若AF是△ABC的角平分線，則（）=（）.重點(diǎn)解析12.如圖所示，請(qǐng)按照要求填空.動(dòng)腦想一想，動(dòng)手練一練∠ADB∠ADCBECE△ABC的中線∠BAF∠CAFABDEF┌C解：若5cm為腰，設(shè)另外一邊為xcm.

則：5+5+x=23，解得：x=13.

此時(shí)5+5<13，不能構(gòu)成三角形；若5cm為底邊，設(shè)另外一邊為xcm.

則：5+x+x=23，解得：x=9.此時(shí)5+9>9，可以構(gòu)成三角形.重點(diǎn)解析13.等腰三角形的周長(zhǎng)為23cm，一邊長(zhǎng)5cm，則另外一邊長(zhǎng)為（）.動(dòng)腦想一想，動(dòng)手練一練9cm要利用三角形的三邊關(guān)系判斷是否能構(gòu)成三角形.

A.正方形B.平行四邊形C.直角三角形D.長(zhǎng)方形重點(diǎn)解析14.下列具有穩(wěn)定性的是（）動(dòng)腦想一想，動(dòng)手練一練C5.在△ABC中，AD是中線，若△ABC的面積為16，則△ABD的面積為（）8三角形具有穩(wěn)定性.三角形的中線將三角形分成面積相等的兩個(gè)小三角形.與三角形有關(guān)的角1.三角形的內(nèi)角和定理

三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.2.直角三角形的性質(zhì)

直角三角形的兩個(gè)銳角互余.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.知識(shí)梳理與三角形有關(guān)的角3.三角形內(nèi)角和定理的推論

三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.4.三角形外角和的性質(zhì)

三角形的外角和等于360°.知識(shí)梳理重點(diǎn)解析1.已知△ABC中，∠B=2（∠A+∠C），則∠B的度數(shù)是（）

A.60°

B.100°

C.120°

D.140°動(dòng)腦想一想，動(dòng)手練一練C解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.∵∠B=2（∠A+∠C），

∴∠A+2（∠A+∠C）+∠C=180°，即：3（∠A+∠C）=180°.∴∠A+∠C=60°，則∠B=120°.1重點(diǎn)解析2.在△ABC中，AB⊥BC，則∠C的度數(shù)是70°，則∠A的度數(shù)是（）動(dòng)腦想一想，動(dòng)手練一練20°解：∵AB⊥BC，

∴∠A+∠C=90°.

∵∠C=70°，

∴∠A=20°.3.在△ABC中，∠A=70°，∠B=40°，則∠ACD的度數(shù)是（）ABCD110°解：∵∠ACD是△ABC的外角，

∠A=70°，∠B=40°，

∴∠ACD=∠A+∠B=110°.2多邊形及其內(nèi)角和1.多邊形和正多邊形的定義

在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.

各個(gè)角都相等，各個(gè)邊都相等的多邊形叫做正多邊形.2.n邊形的內(nèi)角和

n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）×180°.知識(shí)梳理3.多邊形的外角和

多邊形的外角和等于360°.多邊形及其內(nèi)角和4.正多邊形的每一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的表示5.正多邊形的每一個(gè)外角度數(shù)的表示知識(shí)梳理6.n邊形的對(duì)角線

正多邊形的各個(gè)內(nèi)角相等，則每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為.

正多邊形的各個(gè)內(nèi)角相等，則各個(gè)外角相等，即為.

從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有（n-3）條對(duì)角線，將n邊形分成（n-2）個(gè)三角形，n邊形共有條對(duì)角線.重點(diǎn)解析11.一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是720°，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）

A.4B.5C.6D.7動(dòng)腦想一想，動(dòng)手練一練C解：設(shè)邊數(shù)為n，

多邊形內(nèi)角和為（n-2）×180°，則（n-2）×180?=720°，解得：n=6.重點(diǎn)解析22.已知一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的2倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù).動(dòng)腦想一想，動(dòng)手練一練解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n.∵內(nèi)角和是外角和的2倍，

∴（n-2）×180°=360°×2，

解得：n=6，這個(gè)多邊形的邊數(shù)為6.重點(diǎn)解析33.正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于120°，則該多邊形是正（）邊形.動(dòng)腦想一想，動(dòng)手練一練六解：∵正多邊形的一個(gè)內(nèi)角等于120°，∴正多邊形的一個(gè)外角等于60°，

∴邊數(shù)為360°÷60°=6.

4.已知過(guò)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以作出325條對(duì)角線，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（）.解：設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n.

根據(jù)題意，得n-3=325，解得n=328.328解：當(dāng)?shù)走厼?cm，腰為2cm時(shí)，∵2+2<5，

∴不能構(gòu)成三角形；當(dāng)?shù)走厼?cm，腰為5cm時(shí)，

∵2+5>5，

∴能構(gòu)成三角形.周長(zhǎng)為5+5+2=12（cm）.深化練習(xí)1

等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為2cm，5cm，則它的周長(zhǎng)為（）

A.9cmB.12cm

C.9cm或12cmD.10cm或12cmB解：∵a，b，c為△ABC的三條邊，∴a+b>c，c-a<b，即a+b-c>0，c-a-b<0.

∴∣a+b-c∣+∣c-a-b∣=（a+b-c）+（-c+a+b）=2a+2b-2c.深化練習(xí)2

已知a，b，c是△ABC的三條邊，化簡(jiǎn)∣a+b-c∣+∣c-a-b∣的結(jié)果為（）

A.2a+2b-2c

B.2a+2b

C.2c

D.0A解：∵BD平分∠ABC，∠ABC=∠C=2∠A，

∴∠1=∠2=∠A.

設(shè)∠1=∠2

=∠A=x°，則∠ABC=∠C=2x°.

∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°.

∴x+2x+2x=180，解得x=36.

∴∠A=36°，∠ABC=∠C=2∠A=72°.深化練習(xí)3

如圖，已知BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，且∠ABC=∠C=2∠A，求△ABC各角的度數(shù).

ABDC21解：∵∠ABD和∠ACE是△ABC的外角，∴∠ABD=∠A+∠ACB，

∠ACE=∠A+∠ABC.

∴∠ABD+∠ACE

=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC

=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+55°

=235°.深化練習(xí)4∠ABD和∠ACE是△ABC的兩個(gè)外角，若∠A=55°，則∠ABD+∠ACE=（）.235°ABDCE解：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=∠B

=∠ACB=60°.∵∠ACB是△GCD的外角，∴∠ACB=∠CGD+∠GDC=60°.∵CG=CD，

∴

∠CGD=∠GDC=30°.

同理，∠DFE=∠E=15°.深化練習(xí)5已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一條直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E的度數(shù)為多少？ABDCEFG第二課時(shí)全等三角形全等三角形知識(shí)梳理全等三角形的定義全等三角形的表示方法和有關(guān)概念全等三角形的性質(zhì)及實(shí)際應(yīng)用全等三角形1.全等三角形的定義

能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.

重合的點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角.知識(shí)梳理①兩個(gè)圖形是否全等只與它們的形狀、大小有關(guān)，與所在位置沒有關(guān)系；②一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，得到的新圖形與原圖形全等.2.全等三角形的表示方法

全等用符號(hào)“≌”表示，記作“△ABC≌△DEF”.知識(shí)梳理ABCDEF

對(duì)應(yīng)邊：AB和DE，BC和EF，AC和DF.

對(duì)應(yīng)角：∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F.

對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)：點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F.對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置.全等三角形

①對(duì)應(yīng)邊相等；②對(duì)應(yīng)角相等；③周長(zhǎng)相等；④面積相等；⑤對(duì)應(yīng)邊上的高相等；⑥對(duì)應(yīng)角的平分線相等；⑦對(duì)應(yīng)邊上的中線相等.

如上圖，△ABC≌△DEF.知識(shí)梳理3.全等三角形的性質(zhì)全等三角形ABCDEF知識(shí)梳理4.全等三角形的對(duì)應(yīng)元素①全等三角形中，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊，公共角一定是對(duì)應(yīng)角，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；②全等三角形中，最長(zhǎng)的邊與最長(zhǎng)的邊是對(duì)應(yīng)邊，最短的邊與最短的邊是對(duì)應(yīng)邊，最大的角與最大的角是對(duì)應(yīng)角，最小的角與最小的角是對(duì)應(yīng)角；③對(duì)應(yīng)角的對(duì)邊為對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊的對(duì)角為對(duì)應(yīng)角.全等三角形重點(diǎn)解析11.在△ABC中，∠B=∠C，與△ABC全等的三角形有一個(gè)角是95°，那么在△ABC中與這個(gè)95°的角對(duì)應(yīng)相等的角是（）

A.∠A

B.∠B或∠C

C.∠A、∠B或∠C

D.不能確定動(dòng)腦想一想，動(dòng)手練一練（1）若在△ABC中與95°的角對(duì)應(yīng)相等的角是∠A

，則∠A=95°，因?yàn)椤螧=∠C，所以由三角形的內(nèi)角和定理可得，∠B=∠C=42.5°.（2）若在△ABC中與95°的角對(duì)應(yīng)相等的角是∠B（∠C）

，則∠B=95°（∠C=95°），因?yàn)椤螧=∠C，所以由三角形的內(nèi)角和定理可得，∠B+∠C=190°>180°，不能構(gòu)成三角形的三個(gè)內(nèi)角.A∵△ABC≌△BAD且點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C和點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，∴AB=BA，AC=BD，BC=AD.∵AD=8cm，

∴BC=8cm.

重點(diǎn)解析22.△ABC≌△BAD，若點(diǎn)A和點(diǎn)B，點(diǎn)C和點(diǎn)D是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，如果AB=5cm，BD=6cm，AD=8cm，,那么BC的長(zhǎng)是（）

A.5cmB.6cmC.8cmD.不能確定動(dòng)腦想一想，動(dòng)手練一練C解：∵∠A=80°，∠B=25°.∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-80°-25°=75°.∵△ABC≌△DEF，∴∠C=∠E，AB=DF.∵∠C=75°，DF=10cm，

∴∠E=75°，AB=10cm.重點(diǎn)解析33.如圖，△ABC≌△DEF，∠A=80°，∠B=25°，DF=10cm.求∠E的度數(shù)和邊AB的長(zhǎng)度.動(dòng)腦想一想，動(dòng)手練一練ADFEBC重點(diǎn)解析44.已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面積為18cm2，則EF邊上的高是（）.

動(dòng)腦想一想，動(dòng)手練一練6cm解：∵△ABC≌△DEF，

∴△ABC的面積等于△DEF的面積.

∵EF=6cm，△DEF的面積為18cm2，

∴EF邊上的高為6cm.

或∵△ABC≌△DEF，△ABC的面積為18cm2，BC=6cm，

∴BC邊上的高為6cm.

∵BC=EF，

∴EF邊上的高為6cm.

重點(diǎn)解析55.在△ABC中，∠A：∠ABC：∠ACB=3：5：10，△MNC≌△BAC，則∠BCN=（）

A.10°

B.20°

C.50°

D.80°

動(dòng)腦想一想，動(dòng)手練一練B解：設(shè)

∠A為3x，∠ABC為5x，∠ACB

為10x.由三角形內(nèi)角和得：3x+5x+10x=180°

，解得x=10°

.則

∠A=30°

，∠ABC=50°

，∠ACB=100°

.∵△MNC≌△BAC，

∴∠M=∠ABC=50°

，∠N=∠A=30°

，∠ACN=∠M+∠N=80°

，∠BCN=∠ACB-∠ACN=20°

.ANMCB重點(diǎn)解析66.如圖，沿著AM折疊，使得點(diǎn)D落在BC的N點(diǎn)處，如果AD=7cm，DM=5cm，∠DAM=30°，則AN、NM的長(zhǎng)度以及∠NAM的度數(shù)分別是多少？動(dòng)腦想一想，動(dòng)手練一練解：∵△ADM沿著AM折疊得到△ANM，

∴△ADM≌△ANM.∴AN=AD=7cm，NM=DM=5cm，∠NAM=∠DAM=30.ABCDNM重點(diǎn)解析77.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，且AC=BC=4cm，已知△BCD≌△ACE.求四邊形AECD的面積.動(dòng)腦想一想，動(dòng)手練一練AECBD解：∵△BCD≌△ACE，

∴△BCD的面積和△ACE的面積相等.∴四邊形AECD的面積

=△ACD的面積+△ACE的面積

=△ACD的面積+△BCD的面積

=△ABC的面積=×4×4=8cm2.分析：利用三角形全等的性質(zhì)得到相等的角，再根據(jù)等角加（減）等角，其和（差）仍是等角來(lái)轉(zhuǎn)化成結(jié)論；同理，根據(jù)等邊加（減）等邊，其和（差）仍是等邊來(lái)轉(zhuǎn)化成結(jié)論.深化練習(xí)1

如圖，已知△ABD≌△ACE，點(diǎn)B、D、E、C在同一條直線上.（1）∠BAE和∠CAD有什么關(guān)系？說(shuō)明理由；（2）BE與CD相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

BDECA解：（1）∠BAE=∠CAD，理由如下：∵△ABD≌△ACE，

∴∠BAD=∠CAE.∵∠BAE=∠BAD+∠DAE，∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE.∴∠BAE=∠CAD.深化練習(xí)1

如圖，已知△ABD≌△ACE，點(diǎn)B、D、E、C在同一條直線上.（1）∠BAE和∠CAD有什么關(guān)系？說(shuō)明理由；（2）BE與CD相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

BDECA解：（2）BE=CD，理由如下：∵△ABD≌△ACE，

∴BD=CE.∵BE=BD+DE，CD=CE+DE，∴BD+DE=CE+DE.∴BE=CD.深化練習(xí)1

如圖，已知△ABD≌△ACE，點(diǎn)B、D、E、C在同一條直線上.（1）∠BAE和∠CAD有什么關(guān)系？說(shuō)明理由；（2）BE與CD相等嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

BDECA分析：1.利用三角形內(nèi)角和定理，結(jié)合題目已知的角度求出∠CAB；2.利用三角形全等的性質(zhì)，得到對(duì)應(yīng)角相等∠EAD=∠CAB；3.已經(jīng)得出的結(jié)論可以求出∠EAB、∠AEB，從而利用∠AED、∠AEB求解.深化練習(xí)2如圖，已知△ABC≌△ADE，BC的延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF的度數(shù).ACEDFB解：∵∠ACB=105°，∠B=50°，∴∠CAB=180°-∠B-∠ACB=25°.

∵

△ABC≌△ADE，

∴∠EAD=∠CAB=25°.

又∵∠EAB=∠EAD+∠CAD+∠CAB，∠CAD=10°，

∴∠AEB=180°-∠EAB-∠B=70°.

∴∠DEF=∠AED-∠AEB=35°.深化練習(xí)2如圖，已知△ABC≌△ADE，BC的延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，∠ACB=∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，求∠DEF的度數(shù).ACEDFB深化練習(xí)3如圖，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=8，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A以每秒a個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.（1）求CP的長(zhǎng)（用含有t的式子表示）；（2）若以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以點(diǎn)B、D、P為頂點(diǎn)的三角形全等，且∠B和∠C是對(duì)應(yīng)角，求a和t的值.CABQDP深化練習(xí)3如圖，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=8，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A以每秒a個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.分析：（1）用BC的長(zhǎng)減去BP的長(zhǎng)即得CP的長(zhǎng)；（2）分別為BD與CP是對(duì)應(yīng)邊，BP與CP是對(duì)應(yīng)邊兩種情況討論.題目只能確定一組對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊，所以需要分情況討論另外兩組邊的對(duì)應(yīng)位置.ABQDPC深化練習(xí)3解：（1）由題意得：BP=3t.∵BC=8，

∴CP=BC-BP=8-3t.點(diǎn)P在線段BC上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，有時(shí)間和速度可以表示出運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)度.如圖，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=8，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A以每秒a個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.ABQDPC深化練習(xí)3解：（2）①若△BDP≌△CPQ，∵AB=10，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD=5.

根據(jù)題意：BP=3t，CP=8-3t，CQ=at.∵△BDP≌△CPQ，

∴BD=CP，BP=CQ，∴5=8-3t，3t=at，解得t=1，a=3.如圖，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=8，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A以每秒a個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.ABQDPC深化練習(xí)3解：（2）②若△BDP≌△CQP，∵AB=10，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴BD=5.

根據(jù)題意：BP=3t，CP=8-3t，CQ=at.∵△BDP≌△CQP，

∴BP=CP，BD=CQ.∴3t=8-3t，5=at，解得t=，a=.如圖，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=8，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A以每秒a個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.ABQDPC深化練習(xí)3解：（1）BP=3t.（2）t=1，a=3或者t=，a=.要學(xué)會(huì)利用全等三角形的性質(zhì)探究動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，還要形成分情況討論的邏輯思維.如圖，已知△ABC中，AB=AC=10，BC=8，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A以每秒a個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.ABQDPC解：由折疊的性質(zhì)可知，△AMN≌△DMN，∴NA=ND.∵D為BC邊的中點(diǎn)，BC=6，

∴BD=3.

∴△DNB的周長(zhǎng)為ND+NB+BD=NA+NB+BD=AB+BD=12.深化練習(xí)4如圖，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與BC邊的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，若AB=9，BC=6，則△DNB的周長(zhǎng)為（）

A.12B.13C.14D.15ABDCANM本題旨在培養(yǎng)直觀想象思維和邏輯推理思維，通過(guò)觀察題目得出翻折前后的兩個(gè)三角形全等，依托題目已經(jīng)給出的條件，將已知邊長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為要求解的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出三角形的周長(zhǎng).深化練習(xí)4ABDCANM如圖，將△ABC折疊，使點(diǎn)A與BC邊的中點(diǎn)D重合，折痕為MN，若AB=9，BC=6，則△DNB的周長(zhǎng)為（）

A.12B.13C.14D.15第三課時(shí)全等三角形判定三角形全等的判定知識(shí)梳理三邊對(duì)應(yīng)相等“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”“HL”兩邊及其夾角對(duì)應(yīng)相等兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等三角形全等的判定知識(shí)梳理在△ABC和△A′B′C′中，

AB=A′B′，

AC=A′C′，

BC=B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′.1.三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或者“SSS”）.ABCB’A’C’三角形全等的判定知識(shí)梳理2.兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或者“SAS”）.在△ABC和△A′B′C′中，

AB=A′B′，

∠B=∠B′，

BC=B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′.ABCB’A’C’三角形全等的判定知識(shí)梳理3.兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或者“ASA”）.ABCB’A’C’在△ABC和△A′B′C′中，∠B=∠B′，

BC=∠B′C′，

∠C=∠C′，

∴△ABC≌△A′B′C′.三角形全等的判定知識(shí)梳理4.兩角和其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角角邊”或者“AAS”）.ABCB’A’C’在△ABC和△A′B′C′中，

∠A=∠A′，

∠B=∠B′，

BC=B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′.

在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,

AC=A′C′，

BC=B′C′，

∴△ABC≌△A′B′C′（HL）.三角形全等的判定知識(shí)梳理ABCB′A′┐┐C′5.斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“斜邊、直角邊”或者“HL”）.知識(shí)梳理證明兩個(gè)三角形全等的基本類型找這條邊的另外一個(gè)鄰角“ASA”已知兩邊找第三邊“SSS”找兩邊的夾角“SAS”看是否是直角三角形，若是“HL”已知兩角找兩角的夾邊“ASA”找任意一角的對(duì)邊“AAS”已知一邊一角一邊和它的鄰角一邊和它的對(duì)角找這個(gè)角的另外一邊“SAS”找這條邊的對(duì)角“AAS”看這個(gè)角是否是直角，若是，找任意一條直角邊“HL”找另外任意一個(gè)角“AAS”重點(diǎn)解析1如圖，AB=AC，AE=AD，BD=CE.求證：△ADC≌△AEB.證明：∵BD=CE，∴BD-ED=CE-ED，即BE=CD.

∵在△ADC和△AEB中，AD=AE，

AC=AB，

CD=BE，∴△ADC≌△AEB（SSS）.

EDABC重點(diǎn)解析2證明：∵AB=AC，CE=BD，∴

AB-BD=AC-CE，即AD=AE.

∵在△ADC和△AEB中,

AC=AB，

∠A=∠A，

AD=AE，∴

△ADC≌△AEB（SAS）.

如圖，AB=AC，CE=BD，求證△ADC≌△AEB.ABCDEF重點(diǎn)解析3如圖，已知點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，BE和CD相交于點(diǎn)O，AB=AC，∠B=∠C.求證：BD=CE.證明：在△ADC和△AEB中，

∠A=∠A，

AC=AB，

∠C=∠B，

∴△ADC≌△AEB（ASA）.∴AD=AE.

又∵AB=AC，

∴AB-AD=AC-AE，即BD=CE.

ABCDEO重點(diǎn)解析4

如圖，已知∠1=∠2，∠C=∠D.求證：AC=AD.證明：∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠ABD（平角之和等于180°）.

在△ABC和△ABD中，∠ABC=∠ABD，

∠C=∠D，

AB=AB（公共邊），∴△ABC≌△ABD（AAS），∴AC=AD.AC2B1D重點(diǎn)解析5如圖，已知在△ABC和△ABD中，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分別為C、D，AD=BC.求證：AC=BD.證明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D

=90°.

在Rt△ABC和Rt△BAD中，

AB=BA，

BC=AD，

∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴AC=BD.DCBA深化練習(xí)1分析：從求證結(jié)果的形式來(lái)看，能想到已經(jīng)學(xué)過(guò)的三角形兩邊之和大于第三邊，但是AD、AB、AC三條邊并不在同一個(gè)三角形內(nèi).怎樣添加輔助線使得AD，AB，AC三條邊在同一個(gè)三角形內(nèi)，并且能得出2倍或的大小關(guān)系呢？

如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：AD<（AB+AC）.深化練習(xí)1

證明：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E，使得DE=AD，連接BE.∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD.∵在△BDE和△CDA中，BD=CD，

∠BDE=∠CDA，

DE=DA，

∴△BDE≌△CDA（SAS）.

∴BE=AC.

在△ABE中，AE<AB+BE，即2AD<AB+BE，化簡(jiǎn)得，2AD<AB+AC，AD<（AB+AC）.

如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：AD<（AB+AC）.深化練習(xí)1“倍長(zhǎng)中線”法構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題：（1）將三角形的中線延長(zhǎng)至一倍，構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.（2）延長(zhǎng)已知中線到某點(diǎn)，使得新線段的長(zhǎng)度等于已知中線的長(zhǎng)度，在利用“SAS”證明，其中隱含條件是對(duì)頂角相等.

如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：AD<（AB+AC）.深化練習(xí)2如圖，已知AC//BD，AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證：AB=AC+BD.分析：證明結(jié)論來(lái)看，AB等于AC、BD兩段線段之和，能不能將較長(zhǎng)的AB截成與AC、BD相等的線段，再加以證明；或者能不能延長(zhǎng)較短的線段使得延長(zhǎng)后的線段等于AB，再加以證明.深化練習(xí)2證明：方法一：在線段AB上截取AF=AC，連接EF.∵AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵在△ACE和△AFE中，AC=AF，

∠1=∠2，

AE=AE，

∴△ACE≌△AFE.

∴∠5=∠C.

如圖，已知AC//BD，AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證：AB=AC+BD.深化練習(xí)2∵AC//BD，

∴∠C+∠D=180°.

又∵∠5+∠6=180°，

∴∠6=∠D.∵在△EFB和△EDB中，∠6=∠D，

∠3=∠4，

BE=BE，∴△EFB≌△EDB.∴FB=BD.∴AB=AF+FB=AC+BD，即AB=AC+BD.

（截長(zhǎng)法）

如圖，已知AC//BD，AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證：AB=AC+BD.深化練習(xí)2證明：方法二：延長(zhǎng)AC至點(diǎn)F，使得AF=AB，連接EF∵AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA.∴∠1=∠2，∠3=∠4.∵在△AEF和△AEB中，AF=AB，∠1=∠2，

AE=AE，

∴△ACE≌△AFE

∴EF=EB，∠F=∠3.

如圖，已知AC//BD，AE，BE分別平分∠CAB和∠DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證：AB=AC+BD.深化練習(xí)2∵∠3=∠4，

∴∠F=∠4.∵AC//BD，

∴∠FCE=∠D.∵在△CEF和△DEB中，∠FCE=∠D，

∠F=∠4，

EF=EB，∴△CEF≌△DEB