初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè) 垂徑定理（市一等獎(jiǎng)）

垂徑定理歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！2024/2/1610:27１、圓的基本元素:圓心、半徑。一、知識(shí)點(diǎn)：２、圓的對(duì)稱性:圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性、圓是中心對(duì)稱圖形、圓是軸對(duì)稱圖形。4、圓周角、圓心角、弦、弦心距的關(guān)系:定理:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦、所對(duì)弦心距的也相等。推論:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角,兩條弧,兩條弦、兩條弦心距中有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。5過三點(diǎn)的圓:(1)定理:不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。(2)三角形的外接圓的圓心是三邊的垂直平分線的交點(diǎn)。3、垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧。歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！2024/2/1610:276、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:①點(diǎn)在圓外;②點(diǎn)在圓上;③點(diǎn)在圓內(nèi).判斷方法:①交點(diǎn)個(gè)數(shù)②點(diǎn)與圓心的距離d和半徑r的大小關(guān)系.7、直線與圓的位置關(guān)系:①相離,②相切,③相交.判斷方法:①交點(diǎn)個(gè)數(shù)②圓心與直線的距離d和半徑r的大小關(guān)系.8、兩圓的位置關(guān)系:①外離②相切③相交④內(nèi)切⑤內(nèi)含判斷方法:①交點(diǎn)個(gè)數(shù)②圓心距d與半徑r1、r2的大小關(guān)系.2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！9、圓的切線:(1)與圓有唯一一個(gè)交點(diǎn)的直線是圓的切線。

(2)切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端點(diǎn)且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

(3)切線性質(zhì)定理:________________________。10、切線長定理:________________________。2024/2/1610:27歡迎的同學(xué)九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！填空、1、在同圓或等圓中，如果圓心角相等，那么它所對(duì)的弧____，所對(duì)的弦____；2、在同圓或等圓中，如果弧相等，那么__________相等，__________相等；3、在同圓或等圓中，如果弦相等，那么__________相等，_________相等；2024/2/1610:27歡迎的同學(xué)九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵?。?、垂徑定理：_______________。５、半圓或直徑所對(duì)的圓周角都是_____。６、９０°的圓周角所對(duì)的弦是_____。７、在同一圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角_____，都等于該弧所對(duì)的_____的一半，相等的圓周角所對(duì)的____相等。2024/2/1610:27歡迎九（4）的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！一、垂徑定理●OABCDM└③AM=BM,重視：模型“垂徑定理直角三角形”

若①CD是直徑②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.

1.定理

垂直于弦的直徑平分弦,并且平分弦所的兩條弧.九（4）班2、垂徑定理的推論2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵?、贑D⊥AB,由①CD是直徑③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●OCD●MAB┗平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧.2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！垂徑定理及推論直徑(過圓心的線)；(2)垂直弦；(3)平分弦；(4)平分劣?。?5)平分優(yōu)弧.知二得三注意:“直徑平分弦則垂直弦.”這句話對(duì)嗎?()錯(cuò)●OABCDM└2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！●OABCD1.兩條弦在圓心的同側(cè)●OABCD2.兩條弦在圓心的兩側(cè)例⊙O的半徑為10cm，弦AB∥CD，AB=16，CD=12，則AB、CD間的

距離是___.2cm或14cm2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！

在同圓或等圓中,如果①兩個(gè)圓心角,②兩條弧,③兩條弦,④兩條弦心距中,有一組量相等,那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等.●OAB┓DA′B′D′┏如由條件:②AB=A′B′⌒⌒③AB=A′B′④OD=O′D′可推出①∠AOB=∠A′O′B′二、圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！三、圓周角定理及推論

90°的圓周角所對(duì)的弦是

.●OABC●OBACDE●OABC

定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這弧所對(duì)的圓心角的一半.

推論:直徑所對(duì)的圓周角是

.直角直徑判斷:(1)相等的圓心角所對(duì)的弧相等.(2)相等的圓周角所對(duì)的弧相等.(3)等弧所對(duì)的圓周角相等.(×)(×)(√)2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！

1、如圖1，AB是⊙O的直徑，C為圓上一點(diǎn)，弧AC度數(shù)為60°，OD⊥BC，D為垂足，且OD=10，則AB=_____，BC=_____；

2、已知、是同圓的兩段弧，且弧AB等于2倍弧AC，則弦AB與CD之間的關(guān)系為（）；

A.AB=2CD B.AB<2CD C.AB>2CD D.不能確定

3、如圖2，⊙O中弧AB的度數(shù)為60°，AC是⊙O的直徑，那么∠BOC等于()；

A．150°B．130°C．120°D．60°

4、在△ABC中，∠A＝70°，若O為△ABC的外心，∠BOC=

；若O為△ABC的內(nèi)心，∠BOC=

．圖1圖220BC14001250

5、兩個(gè)同心圓的直徑分別為5cm和3cm，則圓環(huán)部分的寬度為_____cm；

6、如圖1,已知⊙O，AB為直徑，AB⊥CD，垂足為E，由圖你還能知道哪些正確的結(jié)論?請(qǐng)把它們一一寫出來

；

7、為改善市區(qū)人民生活環(huán)境，市建設(shè)污水管網(wǎng)工程，某圓柱型水管的直徑為100cm，截面如圖2，若管內(nèi)污水的面寬AB=60cm，則污水的最大深度為

cm；

圖1圖21102024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！.p.or.o.p.o.p四、點(diǎn)和圓的位置關(guān)系Op＜r點(diǎn)p在⊙o內(nèi)Op=r點(diǎn)p在⊙o上Op＞r點(diǎn)p在⊙o外2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！

不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓（這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形，這個(gè)圓叫做三角形的外接圓，圓心叫做三角形的外心）

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對(duì)角互補(bǔ)。反證法的三個(gè)步驟：1、提出假設(shè)2、由題設(shè)出發(fā)，引出矛盾3、由矛盾判定假設(shè)不成立，肯定結(jié)論正確2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！

1、⊙O的半徑為R，圓心到點(diǎn)A的距離為d，且R、d分別是方程x2－6x＋8＝0的兩根，則點(diǎn)A與⊙O的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)A在⊙O內(nèi)部B．點(diǎn)A在⊙O上C．點(diǎn)A在⊙O外部D．點(diǎn)A不在⊙O上

2、M是⊙O內(nèi)一點(diǎn)，已知過點(diǎn)M的⊙O最長的弦為10cm，最短的弦長為8cm，則OM=_____cm.

3、圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可以是（）

A、1∶2∶3∶4

B、1∶3∶2∶4

C、4∶2∶3∶1

D、4∶2∶1∶32024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！

練：有兩個(gè)同心圓，半徑分別為Ｒ和r，Ｐ是圓環(huán)內(nèi)一點(diǎn)，則ＯＰ的取值范圍是＿＿＿＿＿.r<OP<R2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！五.直線與圓的位置關(guān)系1、直線和圓相交dr;dr;2、直線和圓相切3、直線和圓相離dr.●O●O相交●O相切相離rrr┐dd┐d┐<=>切線的判定定理2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！定理

經(jīng)過半徑的外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.CD●OA如圖∵OA是⊙O的半徑,且CD⊥OA,∴CD是⊙O的切線.2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！判定切線的方法：（１）定義（２）圓心到直線的距離d＝圓的半徑r（３）切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端,并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！切線的判定定理的兩種應(yīng)用

1、如果已知直線與圓有交點(diǎn)，往往要作出過這一點(diǎn)的半徑，再證明直線垂直于這條半徑即可；

2、如果不明確直線與圓的交點(diǎn)，往往要作出圓心到直線的垂線段，再證明這條垂線段等于半徑即可．切線的性質(zhì)定理2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.∵CD切⊙O于Ａ,OA是⊙O的半徑CD●OA∴CD⊥OA.2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！切線的性質(zhì)定理出可理解為

如果一條直線滿足以下三個(gè)性質(zhì)中的任意兩個(gè)，那么第三個(gè)也成立。①經(jīng)過切點(diǎn)、②垂直于切線、③經(jīng)過圓心。如①②③①③②②③①2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！

1、兩個(gè)同心圓的半徑分別為3cm和4cm，大圓的弦BC與小圓相切，則BC=_____cm；

2、如圖2，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，P為切點(diǎn)，設(shè)AB=12，則兩圓構(gòu)成圓環(huán)面積為_____；

3、下列四個(gè)命題中正確的是（）．①與圓有公共點(diǎn)的直線是該圓的切線；②垂直于圓的半徑的直線是該圓的切線；③到圓心的距離等于半徑的直線是該圓的切線；④過圓直徑的端點(diǎn)，垂直于此直徑的直線是該圓的切線．A.①② B.②③ C.③④ D.①④2C2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！一、判斷。1、三角形的外心到三角形各邊的距離相等；（）2、直角三角形的外心是斜邊的中點(diǎn)．（）二、填空：1、直角三角形的兩條直角邊分別是5cm和12cm，則它的外接圓半徑

，內(nèi)切圓半徑

；2、等邊三角形外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑之比

．三、選擇題：下列命題正確的是（）A、三角形外心到三邊距離相等B、三角形的內(nèi)心不一定在三角形的內(nèi)部C、等邊三角形的內(nèi)心、外心重合D、三角形一定有一個(gè)外切圓×√6.5cm2cm2:1C四、一個(gè)三角形,它的周長為30cm,它的內(nèi)切圓半徑為2cm,則這個(gè)三角形的面積為______．30cm交點(diǎn)個(gè)數(shù)名稱0外離1外切2相交1內(nèi)切0內(nèi)含同心圓是內(nèi)含的特殊情況d,R,r的關(guān)系dRrd>R+rd=R+rR-r<d<R+rd=R-rd<R-r六.圓與圓的位置關(guān)系A(chǔ)BCO七.三角形的外接圓和內(nèi)切圓：ABCI三角形內(nèi)切圓的圓心叫三角形的內(nèi)心。三角形外接圓的圓心叫三角形的外心實(shí)質(zhì)性質(zhì)三角形的外心三角形的內(nèi)心三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)三角形三內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)到三角形各邊的距離相等到三角形各頂點(diǎn)的距離相等2024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！銳角三角形的外心位于三角形內(nèi),直角三角形的外心位于直角三角形斜邊中點(diǎn),鈍角三角形的外心位于三角形外.ABC●OABCCAB┐●O●O三角形的外心是否一定在三角形的內(nèi)部？從圓外一點(diǎn)向圓所引的兩條切線長相等;并且這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角.ABP●O┗┏12ABC●┗┏┓ODEF┗●ABC●O●┗┓ODEF┗切線長定理及其推論:直角三角形的內(nèi)切圓半徑與三邊關(guān)系.三角形的內(nèi)切圓半徑與圓面積.∵PA,PB切⊙O于A,B∴PA=PB∠1=∠22024/2/1610:27歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！1.如圖：圓O中弦AB等于半徑R，則這條弦所對(duì)的圓心角是＿＿＿,圓周角是＿＿＿＿＿＿.60度30或150度歡迎九（4）班的同學(xué)們！注意聽課，積極思考呵！2024/2/1610:27

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