初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)綜合強化練習(xí)2

初中數(shù)學(xué)三角函數(shù)綜合強化練習(xí)2

學(xué)校:姓名：班級:考號：

一、單選題

4

1.在△ABC中，ZC=90°,sinA=-,則cotB=（）.

A.-B.-C.-D.-

3455

2.下列計算正確的是（）

A.囪=±3B.sin2a=2sinaC.（6a6）（-2a2）=-3d'

D.a2+b2=（a+bf

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系系中，直線y=k|X+2與x軸交于點A,與y軸交于點C,

與反比例函數(shù)y=k在第一象限內(nèi)的圖象交于點B,連接B0.若SAOBC=1,

4.已知，點A、B是C￡＞為直徑的。。上兩點，分別在直徑的兩側(cè).其中點A是弧

CZ5B的中點，若ta〃/ACB=2,則的值為（）

A.與B.斜C.|D.1

5.如圖，在RSABC中，ZABC=90°,tan/BAC=2,A(0,a),B(b,0),點C

在第二象限，BC與y軸交于點D（0,c）,若y軸平分NBAC,則點C的坐標(biāo)不能表

示為（）

A.(b+2a,2b)B.(-b-2c,2b)

C.（-b-c,-2a-2c）D.（a-c,-2a-2c）

6.在此聞史中，NC=90,若sinA$,則cosA的值為（）

A.AB.AC.ID.”

1213313

7.如圖，在菱形"CD中，ZA=60。，點E,F分別在AB,AD.h,沿E尸折疊菱

形，使點A落在BC邊上的點G處，且EGJ.8O于點M,若（取&=1.4，

6=1.7）,則AE等于（）

8.如圖，在正方形ABCZ）中，對角線AC與8。相交于點。，點E在8c的延長線上,

連接DE,點F是OE的中點，連接OF交CO于點G,連接CF,若CE=4,

OF=6.則下列結(jié)論：@GF=2；②。。=0OG;③tanNCDE=g；④

NODF=NOCF=90°；⑤點D到CF的距離為亞.其中正確的結(jié)論是（）

A.①②③④B.①③④⑤C.①②③⑤D.①②④⑤

二、填空題

9.如圖，在Rt/kABC中NA8C=90。，AB=3,BC=4,點P是AC邊上不與端點重合

的一動點，將ABPC沿著BP對折，得對應(yīng)△3PZ）,在點P的移動過程中，若尸。平行

于4ABC的一邊，則CP的長度為.

10.如圖，矩形ABCD中，AB=5,8c=3,點E在邊上（不與A,。重合），將

矩形沿CE折疊，使點A,8分別落在點尸，G處，有下列結(jié)論：①NFED與NGCD

「AF4

互余；②若C。平分ZECG,貝lJtanN8CE=W；③若直線FG經(jīng)過點。，則七=一；

ED5

④若直線對交邊A。，C。分別于〃，N,當(dāng)A￡>MN為等腰三角形時，五邊形

ABCMW的周長為11忘.其中正確結(jié)論的序號是.

11.小明用一塊含有60。（ND4E=60。）的直角三角尺測量校園內(nèi)某棵樹的高度，示

意圖如圖所示，若小明的眼睛與地面之間的垂直高度AB為1.62機，小明與樹之間的水

平距離8c為4,〃，則這棵樹的高度約為—m.（結(jié)果精確到0.1相，參考數(shù)據(jù)：6。

1.73)

12.如圖、在正六邊形A88所中，連接線A。，AE,AC,DF,DB,AC與8。

交于點M,AE與DF交于點、為N,MN與AD交于點、0,分別延長AB,OC于點

G,設(shè)AB=3.有以下結(jié)論：①肋V_LA￡>；②MN=2+;③△D4G的重心、內(nèi)心及外

心均是點M；④四邊形E4CD繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)30°與四邊形AB0E重合.則所有正

確結(jié)論的序號是

13.如圖，在AABC中，sinB=j,tanC=J,AB=4,則AC的長為

14.如圖，在矩形ABCQ中，A8=4,A￡>=5,點E,尸分別是邊AB,8c上的動點，點

E不與A,B重合，且￡F=Afi,G是五邊形AEFCD內(nèi)滿足GE=G尸且N￡GF=90。

的點.現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①ZGEB與NGFB一定互補；

②點G到邊A8,BC的距離一定相等；

③點G到邊AD,DC的距離可能相等；

④點G到邊AB的距離的最大值為2&.

其中正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

15.一人乘雪橇沿坡角為30。的斜坡筆直滑下，滑下的距離S（米）與時間t（秒）的

關(guān)系式為S=10t+t2,若滑坡底的時間為2秒，則此人下滑的高度為

16.某不透明容器的底面為正六邊形（如圖所示），將容器內(nèi)擲一顆有彈性的橡皮球,

則橡皮球恰好落在圖中陰影部分的概率為.

三、解答題

17.如圖，BC為。。的直徑，4c與。。相切，以AO、0B為邊的平行四邊形AO8E

交。。于點。，連AO.

(1)求證：A"是。。的切線；

(2)連AB,若AE=3,40=4,求tan/D4B的值.

18.嘉琪在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果：

sin27。+sin283。?0.122+0.992=0.9945,

sin222°+sin268°?0.372+0.932=1.0018.

sin?29。+sin261。=0.482+0.872=0.9873,

sin2370+sir?53°s0.602+0.802=1.0000，

(5Y//-\2

sin245o+sin245°=—+—=1.

\27\27

據(jù)此，嘉琪猜想：在RAABC中，ZC=90°,設(shè)NA=a,有

sin2a+sin2(90-a)=1.

（1）當(dāng)a=30°時,驗證sin2a+sin2（90°-a）=l是否成立.

（2）請你對嘉琪的猜想進行證明.

19.圖1所示的是某景區(qū)的“關(guān)帝圣像”，它從2007年1月開始鑄造，共用銅500噸，

鐵2000噸，甚是偉岸壯觀.其側(cè)面示意圖如圖2所示.在8處測得圣像頂A的仰角為

528,在點E處測得圣像頂A的仰角為63.4。.已知AC,BC于點C,EG，8c于點

G,EF//BC,BG=30米，尸C=19米，求圣像的高度的.（結(jié)果保留整數(shù).參考數(shù)

據(jù)：s山528飛0.80,cav52.8°?0.60,3?52.8°?1.32,s山63.4°?0.89,

cos63A?0.45,/?！?3.4°?2.00)

圖1圖2

20.如圖，四邊形ACBE中，ZACB+ZAEB=im0,AB平分NCAE,CC_LA8于點

H,交AE于點。，連結(jié)8D

(1)如圖1,求證：BD=BE；

(2)如圖2,NA8C的平分線8尸交4c邊的垂直平分線F。于點F,BF交CD于點、

M,連結(jié)OC,ZCMF=2ZCBF,NOFB=NOCD,求NFOC的度數(shù).

(3)如圖3,在(2)的條件下，若點。在BC邊的垂直平分線上，過點。作

ON1BF千點N,連結(jié)OD,BC=46，0。=7,求ON的長.

21.如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的交BC于點。，交

54的延長線于點E,交AC于點F.

(1)求證：OE是。。的切線;

3

(2)若AC=6,lanE=一,求AF的長.

4

22.在等腰AADE中，AE=DE,AABC是直角三角形，NC鉆二90。,

NABC=；/AED,連接CZX皮)，點尸是8。的中點，連接EF.

(1)當(dāng)NEW=45。，點8在邊AE上時，如圖①所示，求證：EF=《CD.

(2)當(dāng)NE4￡>=45。，把A48C繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，頂點8落在邊AO上時，如圖②所

示，當(dāng)NE4Z>=60。，點8在邊AE上時，如圖③所示，猜想圖②、圖③中線段E尸和

C。又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想，不需證明.

參考答案:

1.A

【解析】

【分析】

利用三角函數(shù)的定義及勾股定理求解.

【詳解】

nr4

如圖，sinA=—=-,設(shè)BC=4x.則AB=5x.

AB5

根據(jù)勾股定理可得AC=^AB2-BC2=3x，

【點睛】

求銳角的三角函數(shù)值的方法：利用銳角三角函數(shù)的定義，通過設(shè)參數(shù)的方法求三角函數(shù)

值.

2.C

【解析】

【分析】

直接利用算術(shù)平方根定義、三角函數(shù)定義、單項式除以單項式的運算法則與完全平方公式

判斷即可得出答案.

【詳解】

解：A.因為囪=3,所以A項錯誤；

B.當(dāng)。=30°時，sin2a=sin60°=—,2sina=2sin30°=l,此時sin2aH2sina,故B

2

項錯誤；

C.(6/y(-2a?)=-a6-2=3-3a4,故C項正確；

D.(?+Z>)2-cr+2ab+b2■故D項錯誤；

答案第1頁，共30頁

故選：c.

【點睛】

本題主要考查了算術(shù)平方根定義、三角函數(shù)定義、單項式除以單項式的運算法則與完全平

方公式，能用特值法判斷Sin2cw2sinc是解題的難點.

3.D

【解析】

【詳解】

試題分析：先求得直線y=kix+2與y軸交點C的坐標(biāo)為(0,2),然后根據(jù)△BOC的面積

求得BD的長為1,然后利用NBOC的正切求得OD的長為3,,從而求得點B的坐標(biāo)為

(1,3),代入y=k求得k2=3.故答案選D.

X

考點：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.

4.C

【解析】

【分析】

AT

連接AB,連接A。，延長AO交于T.由tan/ACT=而=2,假設(shè)CT=k,AT=2k,

設(shè)OA=OC=r,在配△OCT中，根據(jù)勾股定理，確定r,左之間的數(shù)量關(guān)系，由此計算即

可.

【詳解】

解：連接AB,連接AO,延長4。交8c于T.

.點A是弧CZ)B的中點，

J.ATLBC,

AT

tanZACT==2,

CT

???可以假設(shè)CT=A,AT=2k,設(shè)OA=OC=r,

在OCT中，

答案第2頁，共30頁

OC2=CT2^OT2,

：.r2=k2+(2k-r)\

3

AOT=AT-r=-k,

4

九

AsinZBCD=-=^-=-,

*九5

4

故選：C.

【點睛】

本題考查圓周角定理，解直角三角形，垂徑定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助

線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

5.C

【解析】

【分析】

作CH_Lx軸于H,AC交OH于F.由△CBHsaBAO,推出處=d=.=2,推出

AOBOAB

HF

BH=-2a,CH=2b,推出C(b+2a,2b),由題意可證△CHFs^BOD,可得^推

BOOD

FH

出一=---，推出FH=2c,可得C(-b-2c,2b),因為2c+2b=-2a,推出2b=-2a-

hc

2c,b=-a-c,可得C(a-c,-2a-2c),由此即可判斷；

【詳解】

解：作CH_Lx軸于H,AC交OH于F.

V

VZCBH+ZABH=90°,ZABH+ZOAB=90°,

答案第3頁，共30頁

AZCBH=ZBAO,VZCHB=ZAOB=90°,

AACBH^ABAO,

.BHCHBC

??茄一茄一花一’

ABH=-2a,CH=2b,

AC(b+2a,2b),

由題意可證△CHFs^BOD,

,CHHF

.?--=--,

BOOD

.2bFH

??—=---，

bc

AFH=2c,

AC(-b-2c,2b),

V2c+2b=-2a,

2b=-2a-2c,b=-a-c,

AC(a-c,-2a-2c),

故選C.

【點睛】

本題考查解直角三角形、坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)

鍵是正確尋找相似三角形解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

6.D

【解析】

【分析】

由三角函數(shù)的定義可知sinA=空，可設(shè)8c=5k,AB=13%由勾股定理可求得AC=12Z,再

AB

利用余弦的定義代入計算即可.

【詳解】

解：如圖：

答案第4頁，共30頁

在心△ABC中，sinA=——,可設(shè)BC=5Z,AB=13k.

AB

由勾股定理可求得AC=，4夕-BO?=J(13Z)2_(5A)2=12k.

七”“AC\2k12

所以，cosA=--=--=—.

AB13%13

故選：D.

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù)的定義，掌握正弦、余弦函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

7.D

【解析】

【分析】

首先連接AC,在R3AB。中，求出A。的長度，進而求出AC的長度是多少；然后根據(jù)

EGBE

EG±BD,AC±BD,可得EG〃AC,所以——=——，據(jù)此求出AE的長為多少即可.

ACAB

【詳解】

解：如圖，連接AC,交8。于點O,

???四邊形A8CO是菱形,

：.AC±BD,AC=2AOf

,?ZA=60°,

???ZBAO=30°f

：.AO=AB^cos300=—a,

2

***AC=，

???沿E尸折疊菱形，使點A落在BC邊上的點G處,

：.EG=AEf

VEG±BD,AC.LBD,

C.EG//AC,

答案第5頁，共30頁

.EGBE

??一,

ACAB

又?：EG=AE,

.AEa-AE

"6aa'

解得AE=a=-a,

V93+127

17

.?.AE的長為三a.

27

故選：D.

【點睛】

(1)此題主要考查了翻折變換問題，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：折疊是一種

對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角

相等.

(2)此題還考查了菱形的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①菱形具

有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對角線互相垂直，并且

每一條對角線平分一組對角；④菱形是軸對稱圖形，它有2條對稱軸，分別是兩條對角線

所在直線.

8.C

【解析】

【分析】

由題意易得BC=CD,BO=OD=OA=OC,ZBDC=45°,NBCD=ZDCE=90°,①由三角形

中位線可進行判斷；②由△DOC是等腰直角三角形可進行判斷；③根據(jù)三角函數(shù)可進行求

解；④根據(jù)題意可直接進行求解；⑤過點。作。交CF的延長線于點H,然后根

據(jù)三角函數(shù)可進行求解.

【詳解】

解：；四邊形A8C。是正方形，

BC=CD,BO=OD=OA=OC/BDC=45°,Z.BCD=ZDCE=90°,AC±BD,

,??點尸是的中點，

??.OF=-BE,OF//BE,

2

?：OF=6,CE=4,

答案第6頁，共30頁

；?BE=12,則C￡>=3C=8,

OF//BE,

???△DGFsADCE,

.DG_GF\

^~CD~~CE~29

***GF=2,故①正確；

J點G是CO的中點，

:.OGA.CD,

??ZODC=45°,

???△OOC是等腰直角三角形，

:?OD=COG，故②正確；

VCE=4,CD=8,/DCE=90°,

rpi

AtanZC￡>E=—=一，故③正確；

CD2

tanZ.CDE=—^1,

2

，45°,

90。,故④錯誤；

過點。作交CF的延長線于點兒如圖所示:

??,點F是CO的中點，

:.CF=DF,

：.ZCDE=ZDCFf

tanZ.CDE-tanZ.DCF=—,

2

設(shè)OH=x,則C”=2x,

22

在RfADHC中,X+4X=64,

答案第7頁，共30頁

解得：X=±———,

5

座，故⑤正確；

5

，正確的結(jié)論是①②③⑤；

故選C.

【點睛】

本題主要考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)，熟練掌握正方形的性

質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)與判定及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

9.2或4

【解析】

【分析】

分兩種情況討論，由折疊的性質(zhì)BZ)=BC=4,ZD=ZC,DP=PC,由平行四邊形的性質(zhì)

和銳角三角函數(shù)可求解.

【詳解】

解：如圖1,當(dāng)。P〃AB時，

圖1

VZAfiC=90°,AB=3,BC=4,

.，?AC=ylAB2+BC2=>/32+42=5

；將公BPC沿著8P對折，

：.BD=BC^4,ND=NC,DP=PC,

'：DP//AB,

：.ZD=ZABD=ZC,

VZC+ZA=90°,

ZA+ZABD=90°,

：.ZAEB=90°,

：.NDEP=90°

答案第8頁，共30頁

S^BC=^AC.BE=^AB.BC

AB?BC3x412

BE=

AC"I"T

12Q

:.DE=BD-BE=4——=-

55

DE

VcosC=cosD=—

AC~DP

AC?DE

DP==2,

BC

：.CP=2,

.".ZDEB=ZABC=90°,

?.?將與BPC沿著3P對折，

：.ZC=ZPDB,BC=DB=4,

VZC+ZA=90°,ND+NDBE=90。,

：.NDBE=NA,

：.DB//AC,

四邊形BCP。是平行四邊形，

；.PC=BD=4,

故答案為：2或4.

【點睛】

本題考查了翻折變換，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識，利用

分類討論思想解決問題是解決本題的關(guān)鍵.

10.①②③④

【解析】

【分析】

①根據(jù)折疊可得/尸=NG=9()。，N49C=90。，再利用直角三角形兩個銳角互余即可判

答案第9頁，共30頁

斷；

②根據(jù)折疊可得/8CE=NECG,再根據(jù)CO平分/ECG,可得/BCE=60。，進而即可判

斷；

③根據(jù)題意可知：直線FG經(jīng)過點Q,證明QGC,對應(yīng)邊成比例可得AE=EF=

445

ED=3--=~,進而即可判斷；

333

④當(dāng)AOWV為等腰三角形時，可得AMGC,△￡>〃％均為等腰直角三角形，如圖，根據(jù)等

腰直角三角形的性質(zhì)即可判斷.

【詳解】

①根據(jù)折疊可得/尸=NG=90。，

???ZFED+ZEDF=90°,ZCDG+NGCD=90。,

???ZADC=90°,

ZCDG+ZEDF=90°,

ZFED=ZCDG,

ZFED+NGCD=90°，故①正確；

②根據(jù)折疊可知：NBCE=NECG,

■,-CD^^-ZECG,

；.3NECD=90。,

ZECD=30°,

■■■/BCE=60。，

tanZBCE-y/3,故②正確；

③根據(jù)題意可知：直線FG經(jīng)過點O,

,:BC=CG=3,CD=5,

*4-DG-4,DF=1,

???ZF=NG=NA￡>C=90。，

/.△EFD-ADGC,

.EFDF

,,一，

DGCG

EF1

??_?___一，

43

答案第10頁，共30頁

LL4

E卜——,

3

4

...AE=EF=一,

3

.?.￡￡)=3--=-,

33

AE4jc—TH

~z~二二,故③正確;

ED5

④當(dāng)△OWN為等腰三角形時,

可得AMGC,△DMN均為等腰直角三角形,

如圖,

???BC=CG=3,

...用G=3,

:.CM=3近,

:.DN=DM=5-3y/2，

???MN=(5-3y/2)=5-Jl-6,

五邊形ABCMN的周長為：

AB+BC+CM+MN+AN

=5+3+3及+5正一6+30-2=11正，故④正確，

故答案為：①②③④.

【點睛】

本題考查了折疊問題，同時與相似三角形、特殊三角函數(shù)值、等腰三角形、矩形等知識相

結(jié)合，轉(zhuǎn)化相關(guān)線段和角度之間的關(guān)系是解題關(guān)鍵.

11.8.5

【解析】

【分析】

先根據(jù)題意得出4。的長，在放AAE。中利用銳角三角函數(shù)的定義求出CZ)的長，由CE=

CO+OE即可得出結(jié)論.

答案第II頁，共30頁

【詳解】

解："：ABLBC,DCLBC,AD//BC,

，四邊形ABC。是矩形，

BC=4m,AB=1.62m,

.'.AD—BC=4m,DC—AB=l.62m,

在Rt&AED中,

*；NDAE=6。。,AD^4m,

.?.￡>￡=AZ>tan60°=4x6=46(/n),

ACE=ED+DC=473+1.62=8.5(m)

答：這棵樹的高度約為8.5%

故答案為：8.5.

【點睛】

本題考查的是解直角三角形在實際生活中的應(yīng)用，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的

關(guān)鍵.

12.①?③

【解析】

【分析】

由題意易得AB=BC=CD=DE=EF=FA,

ZABC=NBCD=NCDE=NDEF=NEFA=NFAB=120P,則有N￡7D=NED尸=30°,進

而可得N￡>B4=ZFDC=90。，則有四邊形E4CO是矩形，然后可得A/=7W也，

△ADG為等邊三角形，最后可得答案.

【詳解】

解：；六邊形A88E尸是正六邊形，

,AB=BC=CD=DE=EF=FA,

ZABC=ZBCD=Z.CDE=NDEF=ZEFA=ZFAB=120°,

]80。_/力尸產(chǎn)

在^DEF中，NEFD=NEDF=------------=30°,

2

/.ZDFA=ZFDC=90°,

同理可得ZMC=ZDCA=90°,

，四邊形必。是矩形，

答案第12頁，共30頁

同理可證四邊形ABZ組是矩形,

JDN//AM.AN//MD,

???四邊形AMZW是平行四邊形，

?.?AF=AB,/NFA=ZMBA=90°,/FAN=Z.MAB=30°,

AFAN'BAM(ASA),

???AN=AM,

???四邊形AMZW是菱形，

/.MN.LADf

：.NNAM=6。。,

???△NAM是等邊三角形，

:?AM=MN,

VAB=3,

A3

???AM=2上,

cosNMAB

；?MN=2百，

：/MAB=30°,NACG=90°,

二ZG=60°,

...△AOG是等邊三角形，

：AC與BO交于點M,

.?.由等邊三角形的性質(zhì)及重心、內(nèi)心、外心可得：△DAG的重心、內(nèi)心及外心均是點

M,

連接OF,如圖所示:

易得/FOA=60。，

二四邊形E4c。繞點。逆時針旋轉(zhuǎn)60。與四邊形重合,

???綜上所述：正確結(jié)論的序號是①②③；

答案第13頁，共30頁

故答案為①②③.

【點睛】

本題主要考查正多邊形的性質(zhì)、矩形及菱形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、三

角形的重心、內(nèi)心、外心及三角函數(shù)，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)、矩形及菱形的判定與性

質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)與判定、三角形的重心、內(nèi)心、外心及三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.

13.75

【解析】

【分析】

過A作垂直于8C,在中，利用銳角三角函數(shù)定義求出的長，在R/AACD

中，利用銳角三角函數(shù)定義求出C￡＞的長，再利用勾股定理求出AC的長即可.

【詳解】

解：過A作AD_LBC,

在RrAABD中，sinB=-,AB=4,

4

AD=sinB=1,

在MAAS中，tanC=g,

——=—,即CD=2,

CD2

根據(jù)勾股定理得：AC=ylAD2+CD1=7174=^)

故答案為：后.

【點睛】

此題考查了解直角三角形，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，以及勾股定理，熟練掌握

各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

14.①②④

【解析】

【分析】

答案第14頁，共30頁

①利用四邊形內(nèi)角和為360。即可求證；

②過G作GM_LAB,GNA.BC,證明△GME絲△GNF即可得結(jié)論;

③分別求出G到邊AROC的距離的范圍，再進行判斷；

④點G到邊AB的距離的最大值為當(dāng)GELAB時，GE即為所求.

【詳解】

?:NEGF=9O。GE=GF

:.ZGEF=45°

①???四邊形ABC。是矩形

:.ZB=9O°

?.?NEGF=90。,四邊形內(nèi)角和為360。

；.NGEB+NGFB=180。

???①正確.

NGEB+NGFB=180°,NGEM+NGEB=180°

:.NGFN=GEM

又GE=GF

△GME^AGNF(AAS)

:.GM=GN

即點G到邊AB,BC的距離一定相等

.??②正確.

③如圖：過G作GN，AQGM_LC。

答案第15頁，共30頁

AND

NG<AB-；EF=2,GM<AD-^EF=3

NGWAB-EFxsin45°=4-2夜，

GM>AD-EFxsin450=5-2y/2

:.4-2y/2<NG<2,5-2y[2<GM<3

Wv2<5-2>/2

所以點G到邊A。,OC的距離不可能相等

.1③不正確.

④如圖：

AD

E

BFC

當(dāng)GE_L鉆時，點G到邊AB的距離的最大

答案第16頁，共30頁

GE=EFxsin45°=4x—=2^

2

??.④正確.

綜上所述：①②④正確.

故答案為①②④.

【點睛】

本題考查了動點問題，四邊形內(nèi)角和為360。，全等三角形的證明，點到直線的距離，銳角

三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)，熟悉矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.12米

【解析】

【分析】

由S=10t+t2可求得滑下的距離S,結(jié)合坡角為30。，通過三角函數(shù)計算從而得到答案.

【詳解】

：S=10t+t2且f=2

AS=20+4=24

:坡角為30。且sin30°=y

此人下滑的高度為Sxsi〃30°=24x；=12

故答案為：12米.

【點睛】

本題考察了一元二次函數(shù)和三角函數(shù)的知識；求解的關(guān)鍵是結(jié)合實際問題，熟練掌握并運

用一元二次函數(shù)和三角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

1

6-

【解析】

【分析】

根據(jù)幾何概型概率公式，分別求出正六邊形面積和陰影部分的面積，利用面積比解得.

【詳解】

解：：六邊形A88EFG是正六邊形

:.AB=BC=CD=DE=EF,ZABC=ZBCD=NCDE=ZDEF=ZEFA=NFAB=120°

過點B作于點4,

答案第17頁，共30頁

AZAB/7=60°,ZBAH=300

設(shè)AB=2m

；?AH=ABxcos/BAH=2a?cos300=2a

2

/.BH=AB.cos600=a

，AC=2y/3a

同理，AE=CE=2y/3a

/.SMRC=—XACXBH==x26a義a=6a?

xvinc22

同理，5AA=SACDE=G。-

過點A作AGJ_CE,交CE于點G,

9：AC=CE=AE

???△AC石為等邊三角形，

.\AG=ACxsinZACE=AC9sin60°=2y/3a?^=3a

2

：.S^CE=；CEMG=gx2y/3ax3。=36a?

橡皮球恰好落在圖中陰影部分的概率為負(fù)儂—=*r石=I

、六m%ABDEF73a+\3a+73a+373ao

故答案為：7

【點睛】

本題考查了幾何概型的計算問題，涉及定積分在求面積中的應(yīng)用，關(guān)鍵是正確算出陰影部

分的面積.

27

17.(1)見解析；(2)—

【解析】

答案第18頁，共30頁

【分析】

(1)如圖1,連接OO,可證△ACgAAZX?(S4S),得到NA￡X9=ZACO=90。即可；

(2)如圖2,連接。。交AB于點H,連接C￡＞交4。于點M,通過平行四邊形和勾股定理

求出A。的長，再根據(jù)條件和垂徑定理證明點M為CQ的中點，推出OM為△BCD的中位

線，再利用等面積法求出CM,再根據(jù)勾股定理求出OM,得到BZ),最后根據(jù)

r)i-f

ABHD^AAHO,可求出即可得到tan/D4B=r的值.

AD

【詳解】

解：(1)證明：如圖1,連OO,

??,8C為O。的直徑，AC與。。相切，

ZACO=90°f

v四邊形AOBE為平行四邊形，

/.AO//BE,

ZAOD=NBDO,ZAOC=ZDBO,

OB=OD,

???4BDO=NDBO,

ZDBO=ZAOD,

/.ZAOD=ZAOC9

在△ACO和△AOO中，

OC=OD

<NAOC=ZAOD,

OA=AO

AAC3AA￡>O（S4S）,

,-.ZADO=ZACO=90°,

AO是G）O的切線；

圖1

(2)如圖2,連接。。交48于點”，連接8交AO于點

答案第19頁，共30頁

AE=3,AD=4,

??.在平行四邊形AO8E中，OB=AE=3,

.?.OD=OB=3,

在冊“UXKp,AO=JA/^+OD2=5,

vAO11BE.

NOMC=NBDC=90。,

/,CD1AO,

???點M為CQ的中點，

.?.OA/為△BCD的中位線，

Sj0c，4C?℃=；?A°?CM,

?.?AC=AD=4,OC=OB=3,

5

??.OM=>JOC2-CM2=-,

5

IQ

:.BD=2OM=—,

5

*/AO//EB,

18

???DHBD二三二18,

~OH~~AO~~5~?5

1o

???DH=—xOH

25

.\DH=—,

43

54

.DH4327.

tanZ/Dn4ADB==—=—

AD486

答案第20頁，共30頁

【點睛】

本題主要考查圓的性質(zhì)綜合，涉及勾股定理，全等三角形，相似三角形，銳角三角函數(shù),

比較綜合，也有一定難度，熟練掌握圓的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

18.(1)成立，理由詳見解析；(2)成立，證明詳見解析

【解析】

【分析】

(1)將a=30。代入，根據(jù)三角函數(shù)值計算可得；

(2)設(shè)NA=a,則/B=90"a,根據(jù)正弦函數(shù)的定義及勾股定理即可驗證.

【詳解】

解：(1)當(dāng)a=30°時，

sin2a+sin2(90°-a)

-sin230°+sin260°

證明：如解圖，在中，ZC=90°,

設(shè)ZA=a,則N3=9()o-a,

sin2a+sin2(90°-a)=j=3c2+3AB2,

^一

【點睛】

本題主要考查特殊銳角的三角函數(shù)值及正弦函數(shù)的定義，熟練掌握三角函數(shù)的定義及勾股

定理是解題的關(guān)鍵.

19.圣像的高度"■約為61米

【解析】

答案第21頁，共30頁

【分析】

設(shè)圣像的高度AF約為x米，根據(jù)已知出AAE尸中S〃ZAEF的值用x表示EF的長，根據(jù)

EF=GC進而可求出BC的長，從而利用用AAC8中S〃NABC列出關(guān)于x的方程，解得x

的值，即為圣象的高度.

【詳解】

解：設(shè)AF=x米，

AC1BC,EG±BC,EF//BC,

.??四邊形FCGE為矩形,

:.EF=GC,

Ap

在RtAAEF中，tanZAEF=——,

EF

,EF二人尸二一=x

tanZAEF563.4。2

：.GC=~,

2

BG=30米，

BC=(30+2)米，

2

AQ

在RtAACB中，tanZABC=---,

BC

“ccx+19

tan52.S=------

3o八0+x，

2

x+19”

.---------?1f.32

*'30+-'

2

解得,

答：圣像的高度所約為61米.

【點睛】

本題主要考查三角函數(shù).解題的關(guān)鍵在于在直角三角形中，根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合已

知條件，列出關(guān)于x的方程，求解方程即可得解.

20.(1)證明見詳解：(2)ZFOC=60°；(3)ON=巫.

2

【解析】

【分析】

(1)由A3平分/C4E,CDLAB,碉NCAH=/DAH,NCHA=NDHA=90°,可證

答案第22頁，共30頁

△ACH也△A?！?AS4),可得AB為C￡>的垂直平分線，可證N8CD=N8OC,利用等角的

補角性質(zhì)可得/AEB=NBOE即可；

(2)設(shè)0C與FB的交點為G,由/OFB=NOCD,NFGO=NCGM,可證

ZFOC=ZCMF,由FB平分/ABC,,NFBA=NCBF=L/CBH,由NCMF=

2

2ZCBF,可得NCMF=NCBH,與NHCB=NCBF=NHBF,由CHLBH,

NHCN+NHBC=90。,可求NHCB=30。即可；

(3)過點。作DKA.。4于K,由NMCB=NMBC=30。，可得MC=MB,可證點M在BC的

垂直平分線0L上，可得NNMO=NDMO=NCML=NBML=60。，根據(jù)三角函數(shù)

逋=4

ML=BLtan300=2,BH=BCsin30°=2g,MB=CM=CL+cos30*框,再利用30°直角三

T

角形性質(zhì)可得/)M=2M8=8；利用三角函數(shù)可求MK=OM-cos60o=4,DK=A7Dsin60°=473.

利用勾股定理OK=JO￡)2_￡>K2=1，可得OM=OK+KM=5即可.

【詳解】

解：(1)〈AB平分NCAE,CDVAB,

：.ZCAH=ZDAHfZCHA=ZDHA=90°f

在aAC〃和△AO"中，

ZCAH=4DAH

AH=AH,

ZCHA=ZDHA

：.LACH^LADH(ASA),

:?CH=DH,ZACH=ZADH,

???A3為CO的垂直平分線，

:?BC=BD,

；?/BCD=/BDC,

：.ZADB=ZACH+ZBDC=ZACH+ZBCD=ZACBf

???NACB+NAEB=180。，NAQ8+NBDE=180。，

???NAEB=NBDE,

:?BD=BE；

答案第23頁，共30頁

c

(2)設(shè)OC與網(wǎng)的交點為G,

?：NOFB=NOCD,NFGO=/CGM,

：.ZFOC=180°-ZOFB-ZFGO=180°-ZOCD-ZCGM=ZCMF

VFB平分NABC,

???ZFBA=ZCBF=-ZCBH

2

■:ZCMF=2/CBF,

:?NCMF=NCBH,4HCB"CBF=2/CBF,

JZHCB=ZCBF=ZHBFf

■:CH人BH,

：.NHCN+NHBC=9。。,BPZHCB+ZCBF+ZHBF=3ZHCB=90°

:.N”CB=30。，

JNABC=2NBCH=60。,

???ZEOC=ZABC=60°；

FC

(3)過點。作。K_LOL于K,

ZMCB=ZMBC=30°f

答案第24頁，共30頁

...點M在8C的垂直平分線0L上，

，NCML=/BML=9Q°-NMBL=60°,

：.NNMO=NDMO=NCML=NBML=60。,

,:BC=46,

:.CL=BL=26，

：.ML=8Ltan3(T=2gx3=2,S/7=BCsin30°=2g,

3

空

/.A/B=CA/=CL-?cos30°=6,

T

?；BC=BD,

：.ZBDC=ZBCD=30°,

??ZDMB=180O-ZCML-ZBML=60°,

???ZSDM+ZDMB=30°+60°=90°,

，NDBM=180。-/BDM-NDMB=90。

：.DM=2MB=S；

?:DK上MK,NKA〃>60。，

???MK=QMcos600=4,DK="Dsin600=4G

在RtAODK中，由勾股定理OK=y]OD2-DK2="-(46j=1

OM=OK+KM=1+4=5,

在RtAONM中，NNMO=60。

:.0心0跖5360。=5x—=偵.

22

答案第25頁，共30頁

【點睛】

本題考查角平分線定義，等腰三角形性質(zhì)，線段垂直平分線判定與性質(zhì)，三角形全等判定

與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)綜合利用，本題較難，解題思路較復(fù)雜，通過輔助線畫

出準(zhǔn)確圖形，綜合性較強，需要較強解題與推理能力，掌握以上知識是解題關(guān)鍵.

21.(1)證明見解析；(2)AF=|

【解析】

【分析】

(1)要證明OE是。。的切線，只要證明NOOE=90即可.連接根據(jù)條件證明

OD//AC,則可推導(dǎo)出/ODE=90.

(2)根據(jù)條件，在必中，求出OE的長，然后證明?從而根據(jù)相

似比求解即可.

【詳解】

(1)證明：如下圖，連接

AB=AC,OB=OD,

：.NB=NC,ZB=NODB,

：.NODB=NC,

答案第26頁，共30頁

OD//AC,

:.NODE=/CFD,

又???QE_LAC,

???NCFD=90,

?-NODE=90,

???￡)￡：是OO的切線.

(2)解：VAC=6,

???OD=OB=-AB=-AC=3

22t

在Rt△ODE中，tanE==—,