高考數(shù)學(xué) 三輪必考熱點(diǎn)集中營(yíng)（10）（教師版）

【三年真題重溫】1.【2011新課標(biāo)全國(guó)理，9】由曲線，直線及軸所圍成的圖形的面積為()．A．B．4C．D．62.【2010新課標(biāo)全國(guó)理，4】曲線在點(diǎn)（-1，-1）處的切線方程為A．y＝2x＋1B．y＝2x－1C．y＝－2x－3D．y＝－2x－2【答案】C【解析】命題意圖：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及分式的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和直線的點(diǎn)斜式等知識(shí).由可得應(yīng)選A.3.【2012新課標(biāo)全國(guó)文】曲線y=x(3lnx+1)在點(diǎn)（1,1）處的切線方程為________【答案】【解析】，，所以點(diǎn)斜式方程得到切線方程為考點(diǎn)定位：本小題考查導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率，求切線方程。4.【2011新課標(biāo)全國(guó)理，20】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，點(diǎn)滿足，··，點(diǎn)的軌跡為曲線．(Ⅰ)求的方程；(Ⅱ)為上的動(dòng)點(diǎn)，為在點(diǎn)處的切線，求點(diǎn)到距離的最小值．【解析】本題以向量為載體考查求曲線方程的方法，考查了拋物線的切線、點(diǎn)到直線的距離公式、利用基本不等式求最值等．(Ⅰ)設(shè)，由已知得，.所以，，.再由題意可知，即.所以曲線的方程為．(Ⅱ)設(shè)(,)為曲線：上一點(diǎn)，∴，=，∴的斜率為，∴直線的方程為=，即∴點(diǎn)到的距離===，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴點(diǎn)到的距離的最小值為．5.【2011新課標(biāo)全國(guó)文，21】已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．求，的值.6.【2010新課標(biāo)全國(guó)文，4】曲線在點(diǎn)（1,0）處的切線方程為（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】【命題意圖猜想】1.定積分屬于理科內(nèi)容，導(dǎo)數(shù)的幾何含義文理均有.在2011高考中，理科考查了定積分的應(yīng)用求封閉圖形的面積，試題難度中等，在第20題中的第二問考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何含義求解切線方程.在2010年高考中理科考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，沒有考查定積分的應(yīng)用；文科在2010年求的簡(jiǎn)單函數(shù)的切線問題，而2011年在解答題21中的第一問進(jìn)行了考查.在2012年高考中，理科沒有考查定積分,導(dǎo)數(shù)的幾何含義放在解答題21中第一問進(jìn)行了考查，而文科考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解切線方程.由此可看，導(dǎo)數(shù)的幾何含義是一個(gè)非常熱點(diǎn)的知識(shí)，尤其文科這三年均有所涉及.而理科定積分的應(yīng)用出現(xiàn)了隔年交替出現(xiàn)的特征，且因和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則能夠有效的聯(lián)系到一起，但試題難度一般不大，因考試說明只是了解此部分的內(nèi)容。因2012年理科沒有考查定積分的知識(shí)，故預(yù)測(cè)2013年理科應(yīng)該涉及一道相關(guān)的小題.2.從近幾年的高考試題來看，導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中檔左右，在考查導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算的基礎(chǔ)上，又注重考查解析幾何的相關(guān)知識(shí)．預(yù)測(cè)2013年高考仍將以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為背景設(shè)置成的導(dǎo)數(shù)與解析幾何的綜合題為主要考點(diǎn)．重點(diǎn)考查運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合能力．【最新考綱解讀】1.導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義(1)了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景．(2)理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．2．定積分與微積分基本定理（理）(1)了解定積分的實(shí)際背景，基本思想及概念．(2)了解微積分基本定理的含義．【回歸課本整合】1.定積分的幾何意義（理）①當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上恒為正時(shí)，定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx的幾何意義是由直線x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲線y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積(圖1中陰影部分)．②一般情況下，定積分eq\i\in(a,b,)f(x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線f(x)以及直線x＝a、x＝b之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(圖2中陰影所示)，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù)．(3)定積分的基本性質(zhì)①eq\i\in(a,b,)kf(x)dx＝keq\i\in(a,b,)f(x)dx(k為常數(shù))②eq\i\in(a,b,)[f1(x)±f2(x)]dx＝eq\i\in(a,b,)f1(x)dx±eq\i\in(a,b,)f2(x)dx③eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝eq\i\in(a,c,)f(x)dx＋eq\i\in(c,b,)f(x)dx(其中a<c<b)．2．微積分基本定理（理）如果f(x)是區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)，并且F′(x)＝f(x)，那么eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(b)－F(a)，這個(gè)結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茲公式．為了方便，常把F(b)－F(a)記成F(x)|eq\o\al(b,a)，即eq\i\in(a,b,)f(x)dx＝F(x)|eq\o\al(b,a)＝F(b)－F(a)．3.導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義（1）導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)在處附近有定義，當(dāng)自變量在處有增量時(shí)，則函數(shù)相應(yīng)地有增量，如果時(shí)，與的比（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即無限趨近于某個(gè)常數(shù)，我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作，即.注意：在定義式中，設(shè)，則，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，因此，導(dǎo)數(shù)的定義式可寫成.（）導(dǎo)數(shù)的幾何意義：導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在點(diǎn)的處瞬時(shí)變化率，它反映的函數(shù)在點(diǎn)處變化的快慢程度.它的幾何意義是曲線上點(diǎn)（）處的切線的斜率.因此，如果在點(diǎn)可導(dǎo)，則曲線在點(diǎn)（）處的切線方程為注意：“過點(diǎn)的曲線的切線方程”與“在點(diǎn)處的切線方程”是不相同的，后者必為切點(diǎn)，前者未必是切點(diǎn).導(dǎo)數(shù)的物理意義：函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是物體的運(yùn)動(dòng)方程在點(diǎn)時(shí)刻的瞬時(shí)速度，即【方法技巧提煉】1.計(jì)算簡(jiǎn)單定積分的步驟：(1)把被積函數(shù)變?yōu)閮绾瘮?shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和或差；(2)利用定積分的性質(zhì)把所求的定積分化為若干個(gè)定積分的和或差；(3)分別用求導(dǎo)公式求出F(x)，使得F′(x)＝f(x)；(4)利用牛頓－萊布尼茲公式求出各個(gè)定積分的值；(5)計(jì)算所求定積分的值．2.計(jì)算簡(jiǎn)單定積分注意問題：(1)求函數(shù)的原函數(shù)和求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恰好互為逆運(yùn)算，注意它們?cè)谟?jì)算和求解中的不同，避免混淆．另外，一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是惟一的，而其原函數(shù)則有無窮多個(gè)，這些原函數(shù)之間都相差一個(gè)常數(shù)，在利用微積分基本定理求定積分時(shí)，只要找到被積函數(shù)的一個(gè)原函數(shù)即可，并且一般使用不含常數(shù)的原函數(shù)，這樣有利于計(jì)算．(2)分段函數(shù)的定積分問題、絕對(duì)值函數(shù)的定積分問題都可以采用分段求解的方法．3.利用導(dǎo)數(shù)求切線問題中的“在”與“過”在解決曲線的切線問題時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率是非常重要的一類方法.在求解過程中特別注意：曲線在某點(diǎn)處的切線若有則只有一條，曲線過某點(diǎn)的要切線往往不止一條；切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè).因此在審題時(shí)應(yīng)首先判斷是“在”還是“過”.若“在”，利用該點(diǎn)出的導(dǎo)數(shù)為直線的斜率，便可直接求解；若“過”，解決問題關(guān)鍵是設(shè)切點(diǎn)，利用“待定切點(diǎn)法”,即：設(shè)點(diǎn)A（x,y）是曲線y=f(x)上的一點(diǎn)，則以A為切點(diǎn)的切線方程為y－y=f,再根據(jù)題意求出切點(diǎn).【考場(chǎng)經(jīng)驗(yàn)分享】1.求定積分的常用技巧:(1)求被積函數(shù)，要先化簡(jiǎn)，再求積分．(2)求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對(duì)區(qū)間的可加性”，分段積分再求和．(3)對(duì)于含有絕對(duì)值符號(hào)的被積函數(shù)，要先去掉絕對(duì)值號(hào)才能積分．2.本熱點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算聯(lián)系非常緊密，所以常見函數(shù)的求導(dǎo)、求導(dǎo)的運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則要充分掌握，總結(jié)容易求導(dǎo)的出錯(cuò)運(yùn)算的式子結(jié)構(gòu)，強(qiáng)化訓(xùn)練與歸納.【新題預(yù)測(cè)演練】1.【湖北省黃岡中學(xué)、孝感高中2013屆高三三月聯(lián)合考試】設(shè)曲線與直線所圍成的封閉區(qū)域的面積為，則下列等式成立的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】將曲線方程與直線方程聯(lián)立方程組，解得或．結(jié)合圖形可知選項(xiàng)B正確．2.【山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2013屆高三第二次診斷性測(cè)試】由直線，，與曲線所圍成的封閉圖形的面積為A.B.1C.D.【答案】D【解析】根據(jù)積分的應(yīng)用可知所求面積為，選D.3.【山東省煙臺(tái)市2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期模塊檢測(cè)】曲線在點(diǎn)處的切線方程是A．B.C.D.4.【云南師大附中2013屆高三適應(yīng)性月考卷（三）】如圖3，直線y=2x與拋物線y=3－x2所圍成的陰影部分的面積是 （） A． B． C． D．【答案】D【解析】，故選D.5.【廣西百所高中2013屆高三年級(jí)第三屆聯(lián)考】已知曲線與在處切線的斜率的乘積為3，則的值為（） A．-2 B．2 C． D．1【答案】D【解析】與，則由題意得，∴7.【北京四中2012-2013年度第一學(xué)期高三年級(jí)期中數(shù)學(xué)測(cè)試】函數(shù)的圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積為（）

A．B．1C．2D．

【答案】A【解析】根據(jù)積分的應(yīng)用可求面積為8.【重慶市部分重點(diǎn)中學(xué)2012—2013年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考】點(diǎn)P在曲線上移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（）A．［0，］B．［0，）∪［,π)C．［,π)D．(,］【答案】B【解析】∵y′＝3x2-1,故導(dǎo)函數(shù)的值域?yàn)椋?1，+∞)．∴切線的斜率的取值范圍為［-1,+∞）．設(shè)傾斜角為α,則tanα≥-1．、∵α∈［0,π),∴α∈［0,)∪［,π)．9.【2013年長(zhǎng)春市高中畢業(yè)班第一次調(diào)研測(cè)試】設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系為 A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可計(jì)算得；

；

，綜上，故選A.11.【2013年河南省開封市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）】已知直線ax﹣by﹣2=0與曲線y=x3在點(diǎn)P（1，1）處的切線互相垂直，則為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)曲線y=x3在點(diǎn)P（1，1）處的切線斜率為k，則k=f′（1）=3,因?yàn)橹本€ax﹣by﹣2=0與曲線y=x3在點(diǎn)P（1，1）處的切線互相垂直所以12.【2013屆貴州天柱民中、錦屏中學(xué)、黎平一中、黃平民中四校聯(lián)考】如果的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為，則直線與曲線圍成圖形的面積為（）A. B.9 C. D.14.【東北三省三校2013屆高三3月第一次聯(lián)合模擬考試】已知是曲線與圍成的區(qū)域，若向區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn)，則點(diǎn)落入?yún)^(qū)域的概率為．【答案】【解析】由題知：此題是幾何概型問題，從而15.【山東省濟(jì)寧市2013屆高三上學(xué)期期末考試】由直線及所圍成的封閉圖形的面積為.【答案】【解析】所求面積為。16.【北京市東城區(qū)2012-2013學(xué)年度第一學(xué)期期末教學(xué)統(tǒng)一檢測(cè)】圖中陰影部分的面積等于．【答案】【解析】根據(jù)積分應(yīng)用可知所求面積為。17.【廣州市2013屆高三年級(jí)1月調(diào)研測(cè)試】若直線是曲線的切線，則實(shí)數(shù)的值為.18.【2012-2013學(xué)年河南省中原名校高三（上）第三次聯(lián)考】函數(shù)f（x）=x3﹣x2+x+1在點(diǎn)（1，2）處的切線與函數(shù)g（x）=x2圍成的圖形的面積等于．【答案】【解析】∵（1，2）為曲線f（x）=x3﹣x2+x+1上的點(diǎn)，設(shè)過點(diǎn)（1，2）處的切線的斜率為k