（新課標(biāo)）備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)“12＋4”小題提速練（六）理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

“12＋4”小題提速練六為解答后面的大題留足時間一、選擇題1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足eq\f(1＋2z,1－z)＝i，則z＝()A.eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)i B.eq\f(1,5)－eq\f(3,5)iC．－eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)i D．－eq\f(1,5)－eq\f(3,5)i解析：選C因為eq\f(1＋2z,1－z)＝i，所以1＋2z＝i－iz，所以z＝eq\f(i－1,2＋i)＝eq\f(i－12－i,5)＝－eq\f(1,5)＋eq\f(3,5)i，故選C.2．已知集合A＝{x|x2－x－2＜0}，B＝{x|x2＋3x<0}，則A∩B＝()A．(0,2) B．(－1,0)C．(－3,2) D．(－1,3)解析：選B由x2－x－2＜0得－1＜x＜2，即A＝(－1,2)，由x2＋3x＜0得－3＜x＜0，即B＝(－3,0)，所以A∩B＝(－1,0)，故選B.3．(2019·張掖模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2＝()A．－4 B．－6C．－8 D．－10解析：選B∵a1，a3，a4成等比數(shù)列，∴aeq\o\al(2,3)＝a1a4，∴(a1＋4)2＝a1(a1＋6)，∴a1＝－8，∴a2＝－8＋2＝－6.4．(2019·唐山模擬)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的n為7時，輸出的S的值是()A．14 B．210C．42 D．840解析：選Bn＝7，S＝1,7<5？，否，S＝7×1＝7，n＝6,6<5？，否，S＝6×7＝42，n＝5,5<5？，否，S＝5×42＝210，n＝4,4<5？，是，退出循環(huán)，輸出的S的值為210，選B.5．已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝2cos(π－α)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝()A．－3 B．3C．－eq\f(1,3) D.eq\f(1,3)解析：選A∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝2cos(π－α)，∴－sinα＝－2cosα，∴tanα＝2，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝－3.6．已知a＝eq\r(2)，b＝eq\r(5,5)，c＝eq\r(7,7)，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞bC．b＞a＞c D．c＞b＞a解析：選A∵a＝eq\r(2)，b＝eq\r(5,5)，c＝eq\r(7,7)，∴a，b，c均為正數(shù)，∴a10＝25＝32，b10＝52＝25，∴a10＞b10，∴a＞b.∵b35＝57，c35＝75，∴b35＞c35，∴b＞c.綜上，a＞b＞c，故選A.7.小華的愛好是玩飛鏢，現(xiàn)有如圖所示的由兩個邊長都為2的正方形ABCD和正方形OPQR構(gòu)成的標(biāo)靶圖形，如果O正好是正方形ABCD的中心，而正方形OPQR可以繞O點旋轉(zhuǎn)．若小華隨機向標(biāo)靶投飛鏢，一定能射中標(biāo)靶，則他射中陰影部分的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,7)解析：選D如圖，記OP交AB于H，OR交BC于G.當(dāng)H不為AB的中點時，過O分別作OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，則∠OEH＝∠OFG＝90°，又O正好是正方形ABCD的中心，所以O(shè)E＝OF，∠EOF＝90°，又∠GOH＝90°，所以∠GOF＝∠EOH，所以△OEH和△OFG全等，所以陰影部分的面積與正方形OEBF的面積相等，所以陰影部分的面積為標(biāo)靶面積的eq\f(1,7).當(dāng)H為AB的中點時，陰影部分的面積為標(biāo)靶面積的eq\f(1,7).所以小華射中陰影部分的概率為eq\f(1,7)，故選D.8．如果點P(x，y)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0，))點Q在曲線x2＋(y＋2)2＝1上，則|PQ|的取值范圍是()A．[eq\r(5)－1，eq\r(10)－1] B．[eq\r(5)－1，eq\r(10)＋1]C．[eq\r(10)－1,5] D．[eq\r(5)－1,5]解析：選D作出點P滿足的線性約束條件表示的可行域如圖中陰影部分所示，因為點Q所在圓的圓心為M(0，－2)，所以|PM|取得最小值的最優(yōu)解為(－1，0)，取得最大值的最優(yōu)解為(0,2)，所以|PM|的最小值為eq\r(5)，最大值為4，又圓M的半徑為1，所以|PQ|的取值范圍是[eq\r(5)－1,5]，故選D.9．將函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的圖象向左平移eq\f(π,4)個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間(－m，m)上無極值點，則m的最大值為()A.eq\f(π,8) B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,8) D.eq\f(π,2)解析：選Ay＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,4)))的圖象向左平移eq\f(π,4)個單位長度后，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))－\f(π,4)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))，函數(shù)在原點附近的兩個極值分別在x＝eq\f(π,8)和x＝－eq\f(3π,8)時取得，若在(－m，m)上沒有極值點，則應(yīng)滿足m≤eq\f(π,8)，所以m的最大值為eq\f(π,8).10．已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，點F為左焦點，點P為下頂點，平行于FP的直線l交橢圓于A，B兩點，且AB的中點為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，則橢圓的離心率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,4) D.eq\f(\r(3),2)解析：選B∵FP的斜率為－eq\f(b,c)，F(xiàn)P∥l，∴直線l的斜率為－eq\f(b,c).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)＋\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，,\f(x\o\al(2,2),a2)＋\f(y\o\al(2,2),b2)＝1))得eq\f(y\o\al(2,1),b2)－eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),a2)－\f(x\o\al(2,2),a2)))，即eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(b2x1＋x2,a2y1＋y2).∵AB的中點為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，∴－eq\f(b,c)＝－eq\f(2b2,a2)，∴a2＝2bc，即b2＋c2＝2bc，∴b＝c，∴a＝eq\r(2)c，∴橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2).11．已知函數(shù)f(x)＝xeax－1－lnx－ax，若函數(shù)f(x)的最小值恰好為0，則實數(shù)a的最小值是()A．－1 B．－eq\f(1,e)C．－eq\f(1,e2) D．－eq\f(1,e3)解析：選C令t＝xeax－1(x＞0)，則t＞0，所以lnt＝lnx＋ax－1.令u＝f(x)＝xeax－1－lnx－ax，則u＝t－lnt－1.令g(t)＝t－lnt－1，則g′(t)＝1－eq\f(1,t)＝eq\f(t－1,t)，當(dāng)t∈(0,1)時，g′(t)＜0，g(t)單調(diào)遞減；當(dāng)t∈(1，＋∞)時，g′(t)＞0，g(t)單調(diào)遞增，故當(dāng)t＝1時，g(t)取得最小值g(1)＝0，故當(dāng)xeax－1＝1，即a＝eq\f(1－lnx,x)時，函數(shù)f(x)的最小值恰好為0.令h(x)＝eq\f(1－lnx,x)，則h′(x)＝eq\f(lnx－2,x2)，令h′(x)＝0，得x＝e2，可知h(x)在(0，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，＋∞)上單調(diào)遞增，則h(x)min＝h(e2)＝－eq\f(1,e2)，即a的最小值為－eq\f(1,e2).12．(2019·江西南昌二中月考)已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓C上，線段PF2與圓：x2＋y2＝b2相切于點Q.若Q是線段PF2的中點，e為橢圓C的離心率，則eq\f(a2＋e2,3b)的最小值為()A.eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(5),3)C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(2\r(6),3)解析：選B如圖，連接PF1，OQ，由OQ為△PF1F2的中位線，可得OQ∥PF1，|OQ|＝eq\f(1,2)|PF1|.又|OQ|＝b，所以|PF1|＝2b.由橢圓的定義可得|PF1|＋|PF2|＝2a，所以|PF2|＝2a－2b，又OQ⊥PF2，所以PF1⊥PF2，則有(2b)2＋(2a－2b)2＝(2c)2，即b2＋a2－2ab＋b2＝c2＝a2－b2，化簡得2a＝3b，即b＝eq\f(2,3)a，c＝eq\r(a2－b2)＝eq\f(\r(5),3)a，所以離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),3).則eq\f(a2＋e2,3b)＝eq\f(a2＋\f(5,9),2a)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(5,9a)))≥eq\f(1,2)·2eq\r(a·\f(5,9a))＝eq\f(\r(5),3)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝eq\f(5,9a)，即a＝eq\f(\r(5),3)時等號成立，所以eq\f(a2＋e2,3b)的最小值為eq\f(\r(5),3).二、填空題13．已知平面向量a，b滿足a＝(1，eq\r(3))，|b|＝3，a⊥(a－b)，則a與b夾角的余弦值為________．解析：由a⊥(a－b)可知a·(a－b)＝a2－a·b＝4－2×3cos〈a，b〉＝0，解得cos〈a，b〉＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)14．已知x>0，y>0，且eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝1，則xy＋x＋y的最小值為________．解析：∵eq\f(1,x)＋eq\f(2,y)＝1，∴2x＋y＝xy，∴xy＋x＋y＝3x＋2y＝(3x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(2,y)))＝7＋eq\f(6x,y)＋eq\f(2y,x)≥7＋4eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(6x,y)＝eq\f(2y,x)時等號成立，∴xy＋x＋y的最小值為7＋4eq\r(3).答案：7＋4eq\r(3)15．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a，b，c成等比數(shù)列，且tanB＝eq\f(3,4)，則eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)的值是________．解析：∵a，b，c成等比數(shù)列，∴b2＝ac，由正弦定理得sin2B＝sinAsinC，∴eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)＝eq\f(cosA,sinA)＋eq\f(cosC,sinC)＝eq\f(sinCcosA＋cosCsinA,sinAsinC)＝eq\f(sinC＋A,sinAsinC)＝eq\f(sinB,sinAsinC)＝eq\f(1,sinB)，∵tanB＝eq\f(3,4)，∴sinB＝eq\f(3,5)，∴eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanC)＝eq\f(5,3).答案：eq\f(5,3)16．在棱長為1的透明密閉的正方體容器ABCD-A1B1C1D1中，裝有容器總體積一半的水(不計容器壁的厚度)，將該正方體容器繞BD1旋轉(zhuǎn)，并始終保持BD1所在直線與水平平面平行，則在旋轉(zhuǎn)過程中容器中水的水面面積的最大值為________．解析：由題意得，在保持BD1所在直線與水平平面平行時，正方體容器繞BD1旋轉(zhuǎn)的過程中，水面圖形為如圖所示的平行四邊形BE1D1E，設(shè)B1E1＝DE＝x,0≤x≤1，則BE1＝eq\r(x