高考數(shù)學(xué)真題匯編數(shù)列有答案

高考數(shù)學(xué)真題匯編數(shù)列

學(xué)校：姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一.選擇題（共9小題）

（?新課標(biāo)）記為等差數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和.若則｛｝的公

1.2017Ina45=24,S6=48,

差為（）

A.1B.2C.4D.8

2.（2017?新課標(biāo)H）在明朝程大位《算法統(tǒng)宗》中有這樣的一首歌謠："遠(yuǎn)看巍

巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾盞燈？"這首古詩(shī)描

述的這個(gè)寶塔（古稱浮屠），本題說(shuō)它一共有7層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層

的2倍，共有381盞燈，間塔頂有幾盞燈？你算出的結(jié)果是（）

A.6B.5C.4D.3

（?新課標(biāo)）等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為公差不為若成等比

3.2017m1,0.a2,a3,a6

數(shù)列，則｛｝前6項(xiàng)的和為（）

A.-24B.-3C.3D.8

4.（2017?新課標(biāo)I）幾位大學(xué)生響應(yīng)國(guó)家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開(kāi)發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為

激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了"解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款

軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問(wèn)題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,

8,1,2,4,8,16,…，其中第一項(xiàng)是2°,接下來(lái)的兩項(xiàng)是2°,21,再接下來(lái)

的三項(xiàng)是2°,2］，22,依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>100且該數(shù)

列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)幕.那么該款軟件的激活碼是（）

A.440B.330C.220D.110

5.（2016?上海）已知無(wú)窮等比數(shù)列。的公比為q,前n項(xiàng)和為，且Sr下

廿8n

列條件中，使得2Vs（nWN*）恒成立的是（）

A.ai>0,0.6<q<0.7B.ai<0,-0.7<q<-0.6

C.ai>0,0.7<q<0.8D.ai<0,-0.8<q<-0.7

6.（2016?新課標(biāo)I）已知等差數(shù)列｛｝前9項(xiàng)的和為27,ai0=8,則ai0o=（）

A.100B.99C.98D.97

7.（2016?四川）某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015

年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)

12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是（）

（參考數(shù)據(jù)：1.12=0.05,1.3=0.11,2=0.30）

A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年

（?浙江）如圖，點(diǎn)列｛｝、。分別在某銳角的兩邊上，且

8.2016112|,W1，ne

（表示點(diǎn)與不重合）若，為的面積，則（）

N*,i12|,Wi，nGN*,PWQPQ

A.｛｝是等差數(shù)列B.『｝是等差數(shù)列

C.｛｝是等差數(shù)列D.『｝是等差數(shù)列

9.（2016?新課標(biāo)III）定義"規(guī)范01數(shù)列"｛｝如下：。共有2m項(xiàng)，其中m項(xiàng)為0,

m項(xiàng)為1,且對(duì)任意kW2m,a1，a2,中0的個(gè)數(shù)不少于1的個(gè)數(shù)，若4,則

不同的"規(guī)范01數(shù)列”共有（）

A.18個(gè)B.16個(gè)C.14個(gè)D.12個(gè)

二.填空題（共9小題）

（?北京）若等差數(shù)列。和等比數(shù)列｛｝滿足則_______.

10.2017a11=-1,a44=8,

b2

（?江蘇）等比數(shù)列｛｝的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前項(xiàng)和為，已知強(qiáng),

11.2017nS3=I,S6=

44

則

a8=.

n1

（?新課標(biāo)）等差數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和為,則￡工.

12.2017IIna3=3,S4=10,

k=lSk

（?新課標(biāo)）設(shè)等比數(shù)列。滿足

13.2017IIIa[2=T，ai-a3=-3,jJli]a4=.

（?江蘇）已知｛｝是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，若配則

14.2016n2=-3,S5=10,

ag的值是.

.（?北京）已知｛｝為等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和.若】=則

152016na6,a35=0,S6=.

16.（2016?上海）無(wú)窮數(shù)列｛｝由卜個(gè)不同的數(shù)組成，為｛｝的前n項(xiàng)和，若對(duì)任意

nGN*,G｛2,3｝,則k的最大值為

17.（2016?新課標(biāo)I）設(shè)等比數(shù)列｛｝滿足a13=10,a24=5,則aIaz…的最大值

為.

18.（2016?浙江）設(shè)數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，若S2=4,產(chǎn)21,n￡N*,則a[=,

Ss=?

三.解答題（共22小題）

19.（2017?新課標(biāo)II）已知等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為,等比數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為,

31=-1,合22=2?

（1）若a33=5,求｛｝的通項(xiàng)公式；

（2）若丁3=21,求S3.

20.（2017?山東）已知｛｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x*3,X3-X2=2.

（1）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；

（II）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，依次連接點(diǎn)Pl（X1，1）,P2（X2,2）...1（1，

1）得到折線P1P2T，求由該折線與直線0,1，1所圍成的區(qū)域的面積.

21.（2017?山東）已知｛｝是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a12=6,a1a23.

（1）求數(shù)列｛｝通項(xiàng)公式；

（2）｛｝為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，已知S2U，求數(shù)列邑｝的前

n項(xiàng)和.

22.（2017?天津）已知｛｝為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為（nGN*）,。是首項(xiàng)為2的等

比數(shù)列，且公比大于

0,b23=12,b34-2anSu=llb4.

（I）求｛｝和｛｝的通項(xiàng)公式；

（II）求數(shù)列｛a?｝的前n項(xiàng)和（nGN,）.

23.（2017?天津）已知｛｝為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為（ne）,｛｝是首項(xiàng)為2的等比

數(shù)列，且公比大于

0,b23=12,b34-2anSn=llb4.

（I）求｛｝和｛｝的通項(xiàng)公式；

（II）求數(shù)列｛a22n列的前n項(xiàng)和（nF）.

24.（2017?新課標(biāo)III）設(shè)數(shù)列。滿足a1+3a2+...+（2n-1）2n.

（1）求｛｝的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列｛3_｝的前n項(xiàng)和.

2n+l

（?新課標(biāo)）記為等比數(shù)列｛｝的前項(xiàng)和.已知

25.2017InS?=2,S3=-6.

（1）求｛｝的通項(xiàng)公式；

（2）求，并判斷I，,2是否成等差數(shù)列.

26.(2017?江蘇)對(duì)于給定的正整數(shù)k,若數(shù)列｛｝滿足：.1+-11+…12對(duì)任意

正整數(shù)n(n>k)總成立，則稱數(shù)列｛｝是叩(k)數(shù)列

(1)證明：等差數(shù)列｛｝是叩(3)數(shù)列"；

(2)若數(shù)列｛｝既是"P(2)數(shù)列"，又是"P(3)數(shù)列"，證明：｛｝是等差數(shù)列.

27.(2017?北京)已知等差數(shù)列｛｝和等比數(shù)列｛｝滿足a1i=l,a24=10,b2b45.

(I)求｛｝的通項(xiàng)公式；

(II)求和：bi35+…2n-1.

28.(2017?北京)設(shè)｛｝和｛｝是兩個(gè)等差數(shù)列，記｛bi-am，bz-azn,…,-｝(1,

2,3,...),其中僅1，X2，…，｝表示X1，X2，…，這S個(gè)數(shù)中最大的數(shù).

(1)若，2n-l,求Ci，C2,C3的值，并證明｛｝是等差數(shù)列；

(2)證明：或者對(duì)任意正數(shù)M,存在正整數(shù)m,當(dāng)n》m時(shí)，21>M；或者存

n

在正整數(shù)m,使得，1，2,…是等差數(shù)列.

29.(2017?浙江)已知數(shù)列｛｝滿足：xi=l,1(I。(nGN,),證明：當(dāng)n<N*時(shí),

(I)0<i<；

(II)21-

2

(III)

2n-12nT

（?北京）已知｛｝是等差數(shù)列,｛｝是等比數(shù)列,且

30.2016b2=3,b3=9,au,a144.

（1）求｛｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)，求數(shù)列。的前n項(xiàng)和.

（?北京）設(shè)數(shù)列。（）如果對(duì)小于（

31.2016A：aa2,....N22.n2WnWN）

的每個(gè)正整數(shù)k都有V,則稱n是數(shù)列A的一個(gè)"G時(shí)刻"，記G（A）是數(shù)列A

的所有“G時(shí)刻”組成的集合.

（I）對(duì)數(shù)列A：-2,2,-1,1,3,寫(xiě)出G（A）的所有元素；

（II）證明：若數(shù)列A中存在使得〉a1，則G（A）W。；

（III）證明：若數(shù)列A滿足--1W1（2,3,...?N）,則G（A）的元素個(gè)數(shù)不小

于-31.

（?新課標(biāo)）等差數(shù)列｛｝中，

32.2016IIa34=4,a57=6.

（I）求｛｝的通項(xiàng)公式；

（II）設(shè)口，求數(shù)列｛｝的前10項(xiàng)和，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù),如[0.9]=0,

[2.6]=2.

33.（2016?天津）已知｛｝是等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為（nGN*）,且」-2,

ala2a3

S6=63.

（1）求"的通項(xiàng)公式；

（2）若對(duì)任意的ndN*,是2和21的等差中項(xiàng)，求數(shù)列｛（-1）2｝的前2n項(xiàng)

n.

和.

34.（2016?上海）對(duì)于無(wú)窮數(shù)列｛｝與｛｝,記｛,nWN*｝,｛,nWN*｝,若同時(shí)滿足

條件：①。，｛｝均單調(diào)遞增；②AC。且AU*,則稱｛｝與｛｝是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列.

（1）若2n-l,4n-2,判斷｛｝與｛｝是否為無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列，并說(shuō)明理由；

（2）若2n且。與｛｝是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列，求數(shù)量｛｝的前16項(xiàng)的和；

（3）若｛｝與｛｝是無(wú)窮互補(bǔ)數(shù)列，｛｝為等差數(shù)列且a】6=36,求｛｝與｛｝的通項(xiàng)公式.

35.（2016?新課標(biāo)III）已知數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和1+入，其中入W0.

（1）證明｛｝是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；

（2）若$5=旦-,求人.

32

36.（2016?浙江）設(shè)數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為,已知52=4,產(chǎn)21,n@N*.

（I）求通項(xiàng)公式；

（II）求數(shù)列｛-n-2|｝的前n項(xiàng)和.

37.(2016?新課標(biāo)H)為等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和,且a1=l,S7=28,記口,其中

[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[99]=1.

(I)求尻，bn>bwi;

(II)求數(shù)列｛｝的前1000項(xiàng)和.

38.(2016?四川)已知數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為1,為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，J,其中q>0,

ne

(I)若a2,a3,a23成等差數(shù)列，求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；

2

(II)設(shè)雙曲線X?-工^=1的離心率為，且ez=2,求e，22+...2.

39.(2016?新課標(biāo)I)已知｛｝是公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列｛｝滿足bi=l,b2=L

3

11-

(I)求｛｝的通項(xiàng)公式；

(II)求｛｝的前n項(xiàng)和.

40.(2016?江蘇)記｛1,2,100｝,對(duì)數(shù)列｛｝(nGN*)和U的子集T,若0,

定義0；若義,t2.......｝,定義?at???at.例如:53,66｝時(shí)，垓6.現(xiàn)

設(shè)｛｝(nGN*)是公比為3的等比數(shù)列，且當(dāng)｛2,4｝時(shí)，30.

(1)求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；

(2)對(duì)任意正整數(shù)k(lWkWlOO),若TU｛1,2,k｝,求證：Vx；

(3)設(shè)CUU,DUU,2,求證：CD22.

41>（2016?山東）已知數(shù)列。的前n項(xiàng)和3n2+8n,｛｝是等差數(shù)列，且

（I）求數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式；

（II）令尊」一，求數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和.

n

（bn+2）

42、（2016?新課標(biāo)HI）已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列｛｝滿足ai=l,2-（2「1）-2產(chǎn)0.

（）求

1a2,a3；

（2）求。的通項(xiàng)公式

高考數(shù)學(xué)真題匯編數(shù)列

參考答案與試題解析

一.選擇題（共9小題）

1.

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差,

由此能求出｛｝的公差.

【解答】解：???為等差數(shù)列。的前n項(xiàng)和，a45=24,S6=48,

a1+3d+a]+4d=24

解得a】=-2,4,

｛｝的公差為4.

故選：C.

2.

【分析】設(shè)塔頂?shù)腶1盞燈，由題意｛｝是公比為2的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列前n

項(xiàng)和公式列出方程，能求出結(jié)果.

【解答】解：設(shè)塔頂?shù)腶i盞燈，

由題意｛｝是公比為2的等比數(shù)列，

解得ai=3.

故選：D.

3.

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式、等比數(shù)列性質(zhì)列出方程，求出公差，由此能求

出｛｝前6項(xiàng)的和.

【解答】解：???等差數(shù)列｛｝的首項(xiàng)為1，公差不為0.a2,a3,a6成等比數(shù)列，

?2

*#33=a2*a6

(ai+2d)2=(ai)(ai+5d),且ai=l,dWO,

解得-2,

，｛｝前6項(xiàng)的和為$6=6a]+哈％6X1+吟U(-2)-24?

故選：A.

4.

【分析】方法一：由數(shù)列的性質(zhì)，求得數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，可知當(dāng)N

為通且1時(shí)（n《），數(shù)列。的前N項(xiàng)和為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，即為21-n-2,

2

容易得到N>100時(shí)，n214,分別判斷，即可求得該款軟件的激活碼；

方法二：由題意求得數(shù)列的每一項(xiàng)，及前n項(xiàng)和2】-2-n,及項(xiàng)數(shù)，由題意可

知：21為2的整數(shù)塞.只需將-2-n消去即可，分別即可求得N的值.

n（n+l）

n2

【解答】解：設(shè)該數(shù)列為｛｝，設(shè)a-5???、8+1）21-1，（小），則￡1￡，

-2-+1-2-1=11i=l

由題意可設(shè)數(shù)列｛｝的前N項(xiàng)和為，數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，則21-1+22-1+...+21

-1=2X-n-2,

可知當(dāng)N為n（n+D時(shí)（ne）,數(shù)列｛｝的前N項(xiàng)和為數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和，即為21

2

-n-2,

容易得到N>100時(shí)，n214,

30530

A項(xiàng)，由29乂30=435,440=435+5,可知S44029s=2-29-2+2-1=2,故A項(xiàng)

2

符合題意.

26526

B項(xiàng)，仿上可知25X26=325,可知S33o255=2-25-2+2-1=2+4,顯然不為2

2

的整數(shù)幕，故B項(xiàng)不符合題意.

C項(xiàng)，仿上可知20*21=210,可知S=2?i-20-2+21°-1=221+21°-23,顯然不為

2

2的整數(shù)累，故C項(xiàng)不符合題意.

D項(xiàng)，仿上可知14X15=105,可知Siioi45=215-14-2+2、-1=2”+15,顯然不為2

2

的整數(shù)累，故D項(xiàng)不符合題意.

故選A.

2°,21

方法二：由題意可知2°

落二項(xiàng)

2°,21，淤2°,21,22,2n-1

第三項(xiàng)第n項(xiàng)

根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，求得每項(xiàng)和分別為：21-1,22-1,23-1,2n

-1,

每項(xiàng)含有的項(xiàng)數(shù)為：1,2,3,...?n,

總共的項(xiàng)數(shù)為1+2+3+…(l+n)n,

2

123n123nn

所有項(xiàng)數(shù)的和為：2-1+2-1+2-l+...+2-1=(2+2+2+...+2)-2(l-2).

1-2

21-2-n,

由題意可知：21為2的整數(shù)幕.只需將-2-n消去即可，

則①1+2+(-2-n)=0,解得：1,總共有(1+1)義1+2=3,不滿足N>100,

2

②1+2+4+(-2-n)=0,解得：5,總共有任曳2在+3=18,不滿足N>100,

2

③1+2+4+8+(-2-n)=0,解得：13,總共有人+13)>〈11+4=95,不滿足N>100,

2

@1+2+4+8+16+(-2-n)=0,解得：29,總共有包及12￡組_+5=440,滿足N>

2

100,

???該款軟件的激活碼440.

故選：A.

5.

【分析】由已知推導(dǎo)出ai（2qn-l）〉0,由此利用排除法能求出結(jié)果.

a（1qn）

【解答】解：s,l~,limS-l<q<l,

n1-qnl-Q

2<S,

,,,（2qn-l）>0，

若a>0,則qn*,故A與C不可能成立；

若aiVO,則<工,

2

在B中，ai<0,-0.7<q<-0.6故B成立；

在D中,ai<0,-0,8<q<-0,7,此時(shí)q2>L,D不成立.

2

故選：B.

6.

【分析】根據(jù)已知可得as=3,進(jìn)而求出公差，可得答案.

9(1+9)9X2a

【解答】解：?.?等差數(shù)列｛｝前9項(xiàng)的和為27,S9l1A9a5.

22

.'.9a5=27,as=3,

乂aio=8,

Al,

??aioo5+9598，

故選：c.

7.

【分析】設(shè)第n年開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元，可得130X(1+12%)n-2015>200,兩邊

取對(duì)數(shù)即可得出.

【解答】解：設(shè)第n年開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元，

貝U130義(1+12%)n2015>200,

化為：(n-2015)1.12>2-1.3,

n-2015〉」30T).11=3.8.

0.05

取2019.

因此開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是2019年.

故選:B.

8.

【分析】設(shè)銳角的頂點(diǎn)為0,再設(shè)I，1，ii2,ii2，由于a,c不確定，判斷C,D

不正確，設(shè)△1的底邊1上的高為，運(yùn)用三角形相似知識(shí)，2=21，由1?，可得2=21，

2

進(jìn)而得到數(shù)列｛｝為等差數(shù)列.

【解答】解：設(shè)銳角的頂點(diǎn)為0,1，1，

112，112，

由于a,c不確定，則｛｝不一定是等差數(shù)列，

內(nèi)不一定是等差數(shù)列，

設(shè)△】的底邊1上的高為，

由三角形的相似可得_%-0%-a+(nT)b,

hn+l0An+i"處

%+2°人松a+(n+1)b,

hrd-l0An+l/處

兩式相加可得，hn+M2a+2nb?,

a+nb

即有2=21，

由工?，可得2=21，

2

即為2-11-，

則數(shù)列｛｝為等差數(shù)列.

另解:可設(shè)△A1B1B2,AA2B2B3,…，1為直角三角形，

且A]Bi，A2B2，…，為直角邊，

即有2=21，

由2?，可得2=21，

2

即為2-11-，

則數(shù)列｛｝為等差數(shù)列.

9.

【分析】由新定義可得，"規(guī)范01數(shù)歹中'有偶數(shù)項(xiàng)2m項(xiàng)，且所含0與1的個(gè)數(shù)

相等，首項(xiàng)為0,末項(xiàng)為1，當(dāng)4時(shí)，數(shù)列中有四個(gè)0和四個(gè)1,然后一一列舉

得答案.

【解答】解：由題意可知，"規(guī)范01數(shù)列"有偶數(shù)項(xiàng)2m項(xiàng)，且所含0與1的個(gè)

數(shù)相等，首項(xiàng)為0,末項(xiàng)為1，若4,說(shuō)明數(shù)列有8項(xiàng),滿足條件的數(shù)列有:

0,0,0,0,1,1,1,1;0,0,0,1,0,1,1,1;0,0,0,1,1,

0,1,1;0,0,0,1,1,1,0,1;0,0,1,0,0,1,1,1;

0,0,1,0,1,0,1,1;0,0,1,0,1,1,0,1;0,0,1,1,0,

1,0,1;0,0,1,1,0,0,1,1;0,1,0,0,0,1,1，1;

0,1,0,0,1,0,1,1;0,1,0,0,1,1,0,1;0,1,0,1,0,

0,1,1;0,1,0,1,0,1,0,1.共14個(gè).

故選:C.

二.填空題（共9小題）

10.

【分析】利用等差數(shù)列求出公差，等比數(shù)列求出公比，然后求解第二項(xiàng)，即可得

到結(jié)果.

【解答】解:等差數(shù)列｛｝和等比數(shù)列｛｝滿足an=-l,a44=8,

設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q.

可得：

8=-l+3d,3,a2=2；

8=-q3?解得-2,b2=2.

可得工L

b2

故答案為：1.

11.

3

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛｝的公比為qWl,S3=L,S6=毀，可得既"12=工,

441-q4

2..，i-q6)=強(qiáng),聯(lián)立解出即可得出.

l-q4

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛｝的公比為qWl,

36

?-7e_63?ai(l-q)_7ai(l-q)_63

?，3一■^―，-，??----------——，----------------，

441-q41-q4

解得ai=L,2.

4

則a8yx2,32.

故答案為：32.

12.

【分析】利用已知條件求出等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，然后化簡(jiǎn)所求的表達(dá)式，求解

即可.

【解答】解：等差數(shù)列｛｝的前n項(xiàng)和為，%=3,S4=10,S4=2(323)=10,

可得a2=2,數(shù)列的首項(xiàng)為1,公差為1,

n(n+l),且2=2(工,)，

2Snn(n+l)nn+1

則y-1-=2[1-l.+J-JLX-----M=2(1--J—)=^L.

自Sk22334nn+1n+1n+1

故答案為：_2lL.

n+1

13.

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛｝的公比為q,由a12=-l,ai-a3=-3,可得：a1⑴=-

1,a1(1-q2)=-3,解出即可得出.

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛｝的公比為q,???即2=-1，ax-a3=-3,

/.3i(1)=-1,3i(1-q2)=-3,

解得的=1,-2.

貝！J34=(-2)3=-8.

故答案為：-8.

14.

【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公差,

由此能求出ag的值.

【解答】解：?.?{}是等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，2

na12=-3,S5=10,

a[+(a[+d)J-3

5ai+5±X^d4=10

解得ai=-4,3,

.*.a9=-4+8X3=20.

故答案為：20.

15.

【分析】由已知條件利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差，由此利用等差數(shù)列的前n

項(xiàng)和公式能求出

S6.

【解答】解：???{}為等差數(shù)列，為其前n項(xiàng)和.

=

316y丹35=0，

ai+2i+40,

12+60,

解得-2,

?*,S66al+』d36-30=6?

故答案為：6.

16.

【分析】對(duì)任意nGN*,G{2,3},列舉出1,2,3,4的情況，歸納可得n>4

后都為0或1或-1，則k的最大個(gè)數(shù)為4.

【解答】解：對(duì)任意n￡N*,e{2,3},可得

當(dāng)1時(shí)，an=2或3；

若2,由S2G{2,3},可得數(shù)列的前兩項(xiàng)為2,0；或2,1；或3,0；或3,-1；

若3,由S3d{2,3},可得數(shù)列的前三項(xiàng)為2,0,0；或2,0,1；

或2,1,0；或2,1,-1；或3,0,0；或3,0,-1；或3,1,0；或3,1,

-1;

若4,由S36{2,3},可得數(shù)列的前四項(xiàng)為2,0,0,0；或2,0,0,1；

或2,0,1,0；或2,0,1,-1；或2,1,0,0；或2,1,0,-1；

或2,1,-1,0；或2,1,-1,1；或3,0,0,0；或3,0,0,-1；

或3,0,-1,0；或3,0,-1,1；或3,-1,0,0；或3,-1,0,1；

或3,-1,1,0；或3,-1,1,-1；

即有n>4后一項(xiàng)都為?；?或-1,則k的最大個(gè)數(shù)為4,

不同的四個(gè)數(shù)均為2,0,1,-1,或3,0,1,-1.

故答案為:4.

17.

【分析】求出數(shù)列的等比與首項(xiàng)，化簡(jiǎn)a】a2“.，然后求解最值.

【解答】解:等比數(shù)列｛｝滿足

ai3=10,a24=5,

可得q(ai3)=5,解得L

2

a12al=10,ai=8.

n(n~l)n~~n7n~n'

則】*"..…或)3n--—

aia2.“J?q1>=8%22^22",

12

當(dāng)3或4時(shí)，表達(dá)式取得最大值：2〒=26=64.

故答案為：64.

18.

【分析】運(yùn)用時(shí)，代入條件，結(jié)合解方程可得首項(xiàng)；再由時(shí),

1an,Sz=4,n>l

H-,結(jié)合條件，計(jì)算即可得到所求和.

【解答】解:由1時(shí)，an，可得a2=2Si+l=2ai+l,

又$2=4,即312=4,

即有331+1=4,解得31=1;

由11-,可得

i=31,

由可得

52=4,S3=3X4+1=13,

S4=3X13+1=40,

S5=3X40+1=121.

故答案為：1,121.

三.解答題（共22小題）

19.

【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列｛｝的公差為d,等比數(shù)列｛｝的公比為q,運(yùn)用等差數(shù)列

和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，列方程解方程可得d,q,即可得到所求通項(xiàng)公式；

（2）運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，解方程可得公比，再由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和

求和，計(jì)算即可得到所求和.

【解答】解：（1）設(shè)等差數(shù)列｛｝的公差為d,等比數(shù)列。的公比為q,

31=-1,bi=l,322=2>333=5>

可得-12,-1+22=5,

解得1,2或3,。（舍去），

則｛｝的通項(xiàng)公式為211,nGN*；

（）

2bi=l,T3=21,

可得Ml,

解得4或-5,

當(dāng)時(shí)，

4b2=4,a2=2-4=-2,

（）

-2--1=-1,S3=-1-2-3=-6；

當(dāng)時(shí)，（）

-5b2=-5,a2=2--5=7,

（）

7--1=8,S3=-1+7+15=21.

20.

【分析】（I）列方程組求出首項(xiàng)和公比即可得出通項(xiàng)公式；

。從各點(diǎn)向x軸作垂線，求出梯形的面積的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求和即

可.

【解答】解：(|)設(shè)數(shù)列｛｝的公比為q,則q>0,

x1+x1q=3

由題意得:,

xtq-Xjq=2

兩式相比得：畢-=二，解得2或(舍)，

q2-q23

??Xi=l,

"I.

()過(guò)Pl，P2，P3，…，向X軸作垂線，垂足為Qi，Q2,03，...，,

記梯形11的面積為，

則n+n+1乂2.1(21)X2n-2,

2

.,.3X21+5X2°+7X21+...+(21)X2n-2,①

.,.23X2°+5X21+7X22+...+(21)X2nl,②

①-②得：-3(2+2?+…+2。-1)-(21)X2nl

2

32(l-2n_(2i)X2nl=-(1-2n)X2nl.

21-22

?(2n-l)X2n+l

??，.

2

21.

【分析】(1)通過(guò)首項(xiàng)和公比，聯(lián)立a[2=6、aia23,可求出a12,進(jìn)而利用等比數(shù)

列的通項(xiàng)公式可得結(jié)論；

(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知S21=(21)1,結(jié)合S211可知21,進(jìn)而可知外=2n+l,

an2n

利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論.

【解答】解：(1)記正項(xiàng)等比數(shù)列｛｝的公比為q,

因?yàn)閍i2=6,2m23，

所以(1)ai=6,a*i，

解得:312,

所以2%

(2)因?yàn)?。為各?xiàng)非零的等差數(shù)列，

所以S2i=(21)1，

又因?yàn)镾”i，

所以21,，=2n+l,

an2n

所以3?1+5?-1-+...+(21)?[-,

2222n

13?J-+5?JL_+...+(2n-1)?A_+(21)

222232n2n+1

兩式相減得：A3?—+2(—―L..+」_)-(21)?一-

2222232n2n-

+(工^~~--+―--)-(21)?—--,

22222232n-12n+1

即3+111—1、..+^—)-(21)?A_=3+―\——(21)--A-

222232n72nl卷2n

二5-2n+5

2n

22.

【分析】(I)設(shè)等差數(shù)列｛｝的公差為d,等比數(shù)列｛｝的公比為q.通過(guò)b23=12,

求出q,得到八=2風(fēng)然后求出公差d，推出3n-2.

(II)設(shè)數(shù)列｛a2｝的前n項(xiàng)和為，利用錯(cuò)位相減法，轉(zhuǎn)化求解數(shù)列｛a2｝的前n項(xiàng)

和即可.

【解答】(I)解：設(shè)等差數(shù)列｛｝的公差為d,等比數(shù)列｛｝的公比為q.由已知

b23=12,得b[(q+q2)=12，而％=2,所以q?-6=0.又因?yàn)閝>0,解得2.所以,

n

bn=2-

由bj4-2ai，可得3d-ai=8.

由Sii=llb4，可得ai+516,聯(lián)立①②，解得ai=l,3,

由此可得3n-2.

所以，｛｝的通項(xiàng)公式為3n-2,｛｝的通項(xiàng)公式為乂=2m

(II)解：設(shè)數(shù)列｛a2｝的前n項(xiàng)和為，由a26n-2,有

23n

Tn=4X2+10X2+16X2+-+(6n-2)X2，

234nn+1-

2Tn=4X2+10X2+16X2+-+(6n-8)X2+(6n-2)X2

上述兩式相減，得

23nnH

-Tn=4X2+6X2+6X2+-+6X2-(6n-2)X2=

12X_p/，T-(6n-2)X2nH=-(3n-4)2^2-16-

得Tn=(3n-4)2"2+i6?

所以，數(shù)列⑸｝的前n項(xiàng)和為(3n-4)22+16.

23.

【分析】(I)設(shè)出公差與公比，利用已知條件求出公差與公比，然后求解｛｝和

｛｝的通項(xiàng)公式；

(II)化簡(jiǎn)數(shù)列的通項(xiàng)公式，利用錯(cuò)位相減法求解數(shù)列的和即可.

【解答】解：(I)設(shè)等差數(shù)列｛｝的公差為d,等比數(shù)列｛｝的公比為q.

由已知b23=12,得bi(2)=12,而也=2,所以2-6=0.

又因?yàn)閝>0,解得2.所以，2n.

由b34-2ai，可得3d-a1=8①.

由Sn=llb4,可得ai+516②，

聯(lián)立①②，解得a1=l,3,由此可得3n-2.

所以，數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式為3n-2,數(shù)列｛｝的通項(xiàng)公式為2n.

O設(shè)數(shù)列⑸?…｝的前n項(xiàng)和為,

由a26n-2,b2n-i=—x4n?有a22n.i=(3n-1)4n,

2

故2X4+5X42+8X43+...+(3n-1)4n,

42X42+5X43+8X44+...+(3n-1)41,

上述兩式相減，得-32X4+3X42+3X43+...+3X411-(3n-1)41

nx

12Xa-4)_4_(3n_n4什」(3n-2)4-8

得警x產(chǎn)玲

所以，數(shù)列如2方-1｝的前n項(xiàng)和為警*小+1+1_.

24.

【分析】(1)利用數(shù)列遞推關(guān)系即可得出.

a

(2)n21.利用裂項(xiàng)求和方法即可得出.

2n+l(2n-l)(2n+l)2n-l2n+l

【解答】解:(1)數(shù)列｛｝滿足a1+3a2+...+(2n-1)2n.

n22時(shí)，ai+3a2+...+(2n-3)一i=2(n-1).

，(2n-1)2./

2n-l

當(dāng)1時(shí)，a1=2,上式也成立.

?2

2n-l

(2)_2n_______2_______1_--J.

2n+l(2n-l)(2n+l)2n-l2n+l

數(shù)列｛3_｝的前n項(xiàng)和(i，)(L」)...-----」)1--J—=_22_.

2n+l'3八35，、2n-l2n+l/2n+l2n+l

25.

【分析】(1)由題意可知a33-S2=-6-2=-8,aj?呼,a2a3-8,由a=2,

q2q2qq

列方程即可求得q及a1，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，即可求得｛｝的通項(xiàng)公式；

(2)由(1)可知.利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，即可求得，分別求得1，2,顯

然12=2,則1，,2成等差數(shù)列.

【解答】解：(1)設(shè)等比數(shù)列｛｝首項(xiàng)為ai，公比為q,

-

貝U333S2=-6-2=-8,貝U,a2,,

q2q2qq

由a12=2,I：2,整理得：q2+44=0,解得：-2,

q2q

則ai=-2,(-2)(-2)n-i=(-2)n,

n

??.｛｝的通項(xiàng)公式(-2);

(2)由(1)可知：(1-q")-2[l-(-2)n]」2+(-2)i],

1-ql-(-2)3

23

則產(chǎn)-工[2+(-2)],2=-—[2+(-2)],

33

由12=--1[2+(-2)2]-L[2+(-2)3],

33

=-1[4+(-2)X(-2)。(-2)2義(-2)1],

3

=-±[4+2(-2)i]=2X[-1(2+(-2)1)],

33

=2,

即12=2,

???1，,2成等差數(shù)列.

26.

【分析】（1）由題意可知根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，327123=（-33）+（-22）+（-11）

—2X3,根據(jù)〃P（k）數(shù)列〃的定義,可得數(shù)列｛｝是叩（3）數(shù)列〃；

（2）由已知條件結(jié)合（1）中的結(jié)論，可得到｛｝從第3項(xiàng)起為等差數(shù)列，再通過(guò)

判斷a2與a3的關(guān)系和a1與a2的關(guān)系，可知｛｝為等差數(shù)列.

【解答】解：（1）證明：設(shè)等差數(shù)列｛｝首項(xiàng)為a1，公差為d,則i+（n-1）d,

則-3-2-1123>

=（-33）+（-22）+（-11），

=222,

=2X3,

.?.等差數(shù)列｛｝是叩（3）數(shù)列"；

（2）證明:當(dāng)n24時(shí)，因?yàn)閿?shù)列行是P（3）數(shù)列，則321123=6,①

因?yàn)閿?shù)列｛｝是叩（2）數(shù)列"，所以一2-112=4,②

則-123=41，③，

②+③-①，得241+41-6,即2n，（n?4）,

因此n24從第3項(xiàng)起為等差數(shù)列，設(shè)公差為d,注意到a2356=4a4，

所以a2=4a4-a?-a$-a6=4（a3）-a3-（a3+2d）-（a3+3d）3-d,

因?yàn)閍i245=4a3,所以a1=4a3-a?--a§=4（a2）-a2-（a2+2d）-（a2+3d）2

-d,

也即前3項(xiàng)滿足等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，

所以｛｝為等差數(shù)列.

27.

【分析】(I)利用已知條件求出等差數(shù)列的公差，然后求{}的通項(xiàng)公式；

(II)利用已知條件求出公比，然后求解數(shù)列的和即可.

【解答】解：(I)等差數(shù)列{},ai=l,a24=10,可得:11+310,解得2,

所以{}的通項(xiàng)公式：1+(n-1)X2=2n-1.

(II)由(I)可得251+49,

等比數(shù)列{}滿足b】=l,b2b4=9.可得b3=3,或-3(舍去)(等比數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)符號(hào)

相同).

??q—3，

{bzn.J是等比數(shù)列，公比為3,首項(xiàng)為1.

5.皿巫歲-3.7

一/2

28.

【分析】(1)分別求得ai=l,32=2,83=3,bi=l,bz=3,b?=5,代入即可求得Ci，

C2，C3；由(-)-(4-i)WO,則bi-1，-,則1--n,1--1對(duì)VnW

N*均成立；

(2)由-[bi+(i-1)di]-[ai+(i-1)d2]X(bi-Bin)+(i-1)(d2-diXn),

分類討論d1=0,由＞0,diVO三種情況進(jìn)行討論根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求

得使得，1，2,??.是等差數(shù)列；設(shè)對(duì)任意正整數(shù)M,存在正整數(shù)m,使得n

nn

2m,、＞M,分類討論，采用放縮法即可求得因此對(duì)任意正數(shù)M,存在正整

n

數(shù)m,使得當(dāng)nem時(shí)，區(qū)＞M.

n

【解答】解：(1)ai=l,32=2,as=3,bi=l?bz=3,b3=5,

當(dāng)1時(shí)，ci{bi-aj{0}=0,

當(dāng)2時(shí)，c2{bi-2ai，b2-2a2}{-1,-1}=-1,

當(dāng)3時(shí)，c3{bi-3ai，b2-3a2,b3-3a3){-2,-3,-4}=-2,

下面證明：對(duì)VnGN*,且n22,都有i-i，

當(dāng)n^N*,且2WkWn時(shí)，

則(-)-(b「i),

=[(2k-1)-]-l,

=(2k-2)-n(k-l),

=(k-1)(2-n),由k-l>0,且2-n<0,

則(-)-(bi-i)WO,則bi-12-,

因止匕，對(duì)VnWN*,且n22,i-i=l-n,

i--1,

??C2-CI=-1，

Al--1對(duì)VnGN*均成立，

.?.數(shù)列｛｝是等差數(shù)列；

(2)證明：設(shè)數(shù)列｛｝和｛｝的公差分別為山，d2,下面考慮的取值，

由bi-ain,b2-a2n,...?-,

考慮其中任意(iGN*,且lWWn),

則-[bi+(i-1)dj-[a[+(i-1)d2]Xn,

=(bi-ain)+(i-1)(d2-diXn),

下面分山=0,山>0,di〈O三種情況進(jìn)行討論，

①若di=O,貝U-=(bi-ain)+(i-1)ch，

當(dāng)若d2^0r貝ij(-)-(bi-ain)=(i-1)d2^0,

則對(duì)于給定的正整數(shù)n而言，「a】n,此時(shí)1--a】，

.?.數(shù)列｛｝是等差數(shù)列；

當(dāng)d2>0,(-)-(-)=(i-n)d2>0,

則對(duì)于給定的正整數(shù)n而言，--a】n,

此時(shí)1~2~31，

...數(shù)列｛｝是等差數(shù)列；

此時(shí)取1,則Ci，C2,是等差數(shù)列，命題成立；

②若d】>0,則此時(shí)-d12為一個(gè)關(guān)于n的一次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)的一次函數(shù)，

故必存在meN*,使得n?m時(shí)，-由2<0，

則當(dāng)n2m時(shí)，(-)-(bi-a/)=(i-1)(-d12)WO,(￡N*,lWWn),

因此當(dāng)n2m時(shí)，「ain,

此時(shí)i--a］，故數(shù)列｛｝從第m項(xiàng)開(kāi)始為等差數(shù)列，命題成立；

③若山<0,此時(shí)-52為一個(gè)關(guān)于n的一次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)的一次函數(shù)，

故必存在sWN*,使得n2s時(shí)，-由2>0，

則當(dāng)n》s時(shí)，(-)-(-)=(i-1)(-a2)WO,(i￡N*,lWiWn),

因此，當(dāng)n2s時(shí)，-,

此時(shí)勾一一丁_

nn

=-d2(di-ai2)+―—―?

n

令-di>Odi-ai2,bi-d2?

下面證明：室對(duì)任意