高等數(shù)學(xué)：導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)與微分2.1導(dǎo)數(shù)的概念2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則2.3隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)2.4高階導(dǎo)數(shù)2.5函數(shù)的微分本章小結(jié)

2.1導(dǎo)數(shù)的概念

一、引例

為了說(shuō)明導(dǎo)數(shù)的概念,我們首先討論與導(dǎo)數(shù)概念的形成密切相關(guān)的兩個(gè)問(wèn)題:變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度與曲線的切線斜率.

1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度

設(shè)質(zhì)點(diǎn)做變速直線運(yùn)動(dòng)的位置函數(shù)為s=s(t),試確定該質(zhì)點(diǎn)在任一給定時(shí)刻t0時(shí)的瞬時(shí)速度v(t0).根據(jù)該質(zhì)點(diǎn)的位置函數(shù),從時(shí)刻t0到時(shí)刻t0+Δt這段時(shí)間內(nèi),質(zhì)點(diǎn)從位置s(t0)運(yùn)動(dòng)到s(t0+Δt),所經(jīng)過(guò)的路程是Δs=s(t0+Δt)-s(t0),如圖21所示,因而質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0到時(shí)刻t0+Δt這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為

引例2【制作圓形的餐桌玻璃】一張圓形餐桌上需要加裝圓形玻璃.測(cè)量出餐桌的直徑后,工藝店的師傅就會(huì)在一塊方形的玻璃上畫出一個(gè)同樣大的圓,然后沿著圓形的邊緣劃掉多余的玻璃,最后用砂輪不斷在邊緣打磨.當(dāng)玻璃的邊緣非常光滑時(shí),一塊圓形的餐桌玻璃就做好了.從數(shù)學(xué)的角度來(lái)講,工藝店師傅打磨的過(guò)程就是在作圓的切線的過(guò)程.

由中學(xué)知識(shí),我們知道圓的切線是與圓有唯一交點(diǎn)的直線.但是對(duì)于一般的曲線y=f(x)來(lái)說(shuō),其在點(diǎn)(x0,f(x0))處的切線又是怎樣定義的呢?

2.平面曲線的切線斜率

設(shè)有曲線L,P為曲線上一定點(diǎn),在L上點(diǎn)P外另取一點(diǎn)Q,作割線PQ.當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線L移動(dòng)并趨近于點(diǎn)P時(shí),如果割線PQ繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的極限位置存在,那么處于此極限位置的直線PT稱為曲線L在點(diǎn)P處的切線,定點(diǎn)P叫做切點(diǎn),如圖22所示,過(guò)切點(diǎn)垂直于該切線的直線叫做曲線在該點(diǎn)的法線.圖22

下面討論如何求切線的斜率.設(shè)曲線L是函數(shù)y=f(x)的圖形,如圖23所示,求曲線L在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率.圖23

在曲線L上點(diǎn)P外另取一點(diǎn)Q(x0+Δx,f(x0+Δx)),割線PQ的傾斜角為φ,則割線PQ的斜率為

當(dāng)點(diǎn)Q沿曲線L趨于點(diǎn)P時(shí),Δx→0,割線PQ的傾斜角φ就趨于切線PT的傾斜角α.如果割線PQ斜率的極限存在(設(shè)為k),那么此極限值k即為曲線L在點(diǎn)P處的切線的斜率,即

函數(shù)y=f(x)在x0處可導(dǎo),也稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處具有導(dǎo)數(shù)或?qū)?shù)存在.若令x=x0+Δx,則式(21)也可以寫為

如果式(21)或式(22)中的極限不存在,則稱函數(shù)y=f(x)在x0處不可導(dǎo).

例21已知函數(shù)f(x)=x2,求f'(3).

式(21)或式(22)極限存在的充分必要條件是左、右極限存在且相等.當(dāng)這兩個(gè)單側(cè)極限存在時(shí),我們給出如下單側(cè)導(dǎo)數(shù)的定義:

定義23如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都可導(dǎo),則稱函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在點(diǎn)a右可導(dǎo)(點(diǎn)b左可導(dǎo)),則稱函數(shù)y=f(x)在左閉右開(kāi)區(qū)間[a,b)(左開(kāi)右閉區(qū)間(a,b])上可導(dǎo).如果函數(shù)y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且在點(diǎn)a右可導(dǎo),在點(diǎn)b左可導(dǎo),則稱函數(shù)y=f(x)在閉區(qū)間[a,b]上可導(dǎo).

顯然,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0),就是導(dǎo)函數(shù)f'(x)在點(diǎn)x=x0處的函數(shù)值,即

有時(shí)為了清晰表明對(duì)哪個(gè)自變量求導(dǎo),也可在導(dǎo)數(shù)右下角寫出該自變量.例如,y'x和f'u表示函數(shù)y和f分別對(duì)x和u求導(dǎo)(分別以x和u為自變量)

有了導(dǎo)數(shù)的概念,前面兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題可以重述為:

(1)變速直線運(yùn)動(dòng)在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度就是位置函數(shù)s=s(t)在t0處的導(dǎo)數(shù)s'(t0),即

這就是導(dǎo)數(shù)的物理意義.

(2)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f'(x0),在幾何上表示曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處切線的斜率,即

這就是導(dǎo)數(shù)的幾何意義.

曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線方程為

當(dāng)切線不平行于x軸(f'(x0)≠0)時(shí),法線方程為

當(dāng)切線平行于x軸(f'(x0)=0)時(shí),切線方程可簡(jiǎn)化為y=f(x0),此時(shí)法線方程為x=x0.

三、求導(dǎo)舉例

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,求某個(gè)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y',可以分為以下三個(gè)步驟:

例23求函數(shù)f(x)=C(C為常數(shù))的導(dǎo)數(shù).

解在x處給自變量一個(gè)增量Δx,相應(yīng)地,函數(shù)值的增量為

也就是說(shuō),常數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零.

類似地,結(jié)合中學(xué)知識(shí)以及導(dǎo)數(shù)的定義,我們可得到下列公式:

特別地,當(dāng)a=e時(shí),有

四、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系

定理22如果函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處必連續(xù).反之,函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù),在該點(diǎn)卻不一定可導(dǎo).例如,函數(shù)y=|x|在x=0處連續(xù),但它在x=0處卻不可導(dǎo)(見(jiàn)例22).圖24

2.2函數(shù)的求導(dǎo)法則

一、函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理23如果函數(shù)u=u(x)和v=v(x)都在點(diǎn)x處可導(dǎo),那么它們的和、差、積、商(分母為0的點(diǎn)除外)也都在點(diǎn)x處可導(dǎo),且有

特別地,有

式(29)、式(210)可以推廣到有限個(gè)可導(dǎo)函數(shù)的情形.例如,設(shè)u=u(x),v=v(x),w=w(x)均可導(dǎo),則有

二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理24如果函數(shù)x=f(y)在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f'y(y)≠0,則其反函數(shù)y=f-1(x)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間Ix={xx=f(y),y∈Iy}內(nèi)也可導(dǎo),且

即反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).

三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

定理25若函數(shù)u=φ(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),而函數(shù)y=f(u)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)u處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[φ(x)]在點(diǎn)x處也可導(dǎo),且有

也可寫為

即復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于函數(shù)對(duì)中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù).

例212求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

對(duì)于復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo),關(guān)鍵在于弄清函數(shù)的復(fù)合關(guān)系.當(dāng)復(fù)合函數(shù)的分解比較熟練后,就不必再寫出中間變量,而由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接寫出求導(dǎo)結(jié)果.其實(shí)對(duì)于多層復(fù)合的函數(shù)求導(dǎo),可由外往里逐層求導(dǎo).在對(duì)每層函數(shù)求導(dǎo)時(shí),該層函數(shù)符號(hào)內(nèi)的式子可當(dāng)做一個(gè)字母看待.

例214【半徑的變化率問(wèn)題】設(shè)氣體以100cm3/s的常速注入球狀的氣球.假定氣體的壓力不變,那么當(dāng)半徑為10cm時(shí),氣球半徑增加的速率是多少?

解設(shè)在t時(shí)刻氣球的體積與半徑分別為V和r,顯然有

所以通過(guò)中間變量r將V化為關(guān)于時(shí)間t的函數(shù),這是一個(gè)復(fù)合函數(shù),即

四、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式

2.3隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

有些函數(shù)的表示方式卻不是這樣的,如方程x+y3-1=0可確定一個(gè)函數(shù).當(dāng)變量x在(-∞,+∞)內(nèi)取值時(shí),變量y有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng),因而y是x的函數(shù).這樣由方程確定的函數(shù)稱為隱函數(shù).

一般地,如果變量x和y滿足方程F(x,y)=0,在一定條件下,當(dāng)x在某范圍內(nèi)任意取一確定值時(shí),F(x,y)=0總可以相應(yīng)地確定唯一一個(gè)變量y的值,那么方程F(x,y)=0便確定了y是x的函數(shù)y=y(x),這種函數(shù)稱為隱函數(shù).

例215求由單位圓方程x2+y2=1所確定的隱函數(shù)y=y(x)的導(dǎo)數(shù)y'x.解方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),得

例216求下列方程所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

解(1)方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),由于y是x的函數(shù),y3是x的復(fù)合函數(shù),按復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,可得

(2)方程兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo),由于y是x的函數(shù),得

從以上例題可以看出,求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),只需將方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo),遇到y(tǒng)就看成x的函數(shù),遇到y(tǒng)的函數(shù)就看成是x的復(fù)合函數(shù),然后從求導(dǎo)數(shù)后所得的關(guān)系式中解出y'x,即得到所求的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法

在實(shí)際求導(dǎo)中,有時(shí)會(huì)遇到給定的函數(shù)雖為顯函數(shù),但直接求導(dǎo)數(shù)會(huì)很復(fù)雜的問(wèn)題.對(duì)于這樣的函數(shù),可先對(duì)等式兩邊取對(duì)數(shù)(一般取以e為底的自然對(duì)數(shù)),把顯函數(shù)化為隱函數(shù)的形式,再利用隱函數(shù)求導(dǎo)法進(jìn)行求導(dǎo),這種求導(dǎo)的方法稱為對(duì)數(shù)求導(dǎo)法.這一特殊的求導(dǎo)法適用于求冪指函數(shù)y=[u(x)]v(x)或由多個(gè)因子的積、商、冪構(gòu)成的函數(shù)的求導(dǎo).

三、參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

一般地,由形如

的方程所確定的y與x之間的函數(shù)關(guān)系,稱為由參數(shù)方程所確定的函數(shù).

對(duì)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)求導(dǎo),通常并不需要由參數(shù)方程消去參數(shù)t,化為y與x之間的直接函數(shù)關(guān)系后再求導(dǎo).下面給出由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的求導(dǎo)公式,即

2.4高階導(dǎo)數(shù)

我們知道,變速直線運(yùn)動(dòng)的速度v是位置函數(shù)s=s(t)對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù),即而加速度a又是速度v對(duì)時(shí)間t的變化率,即速度v對(duì)時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)

類似地,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做三階導(dǎo)數(shù),三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做四階導(dǎo)數(shù)…一般地,若函數(shù)y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo),則函數(shù)y=f(x)的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)叫做y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù).函數(shù)y=f(x)的三階、四階、…,n階導(dǎo)數(shù)分別記作

函數(shù)y=f(x)具有n階導(dǎo)數(shù),常稱函數(shù)

f(x)為n階可導(dǎo).如果函數(shù)

f(x)在點(diǎn)x處具有n階導(dǎo)數(shù),那么

f(x)在點(diǎn)x的某一鄰域內(nèi)必定具有一切低于n階的導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).

由此可見(jiàn),求高階導(dǎo)數(shù)就是多次連續(xù)地求導(dǎo)數(shù),所以仍可應(yīng)用前面學(xué)過(guò)的求導(dǎo)方法來(lái)求高階導(dǎo)數(shù).

例222【剎車測(cè)試】某一汽車廠在測(cè)試汽車的剎車性能時(shí)發(fā)現(xiàn),剎車后汽車行駛的路程s(單位:m)與時(shí)間t(單位:s)滿足s=19.2t-0.4t3.假設(shè)汽車作直線運(yùn)動(dòng),求汽車在t=3s時(shí)的速度和加速度.

2.5函數(shù)的微分

一、微分的概念引例【薄片面積的增量】如圖25所示,一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,其邊長(zhǎng)由x0變?yōu)閤0+Δx,問(wèn)該薄片的面積A改變了多少?

若用x表示該薄片的邊長(zhǎng),A表示面積,則A是x的函數(shù)A=x2.薄片受溫度變化的影響時(shí)面積的改變量,可以看作是當(dāng)自變量x在x0取得增量Δx時(shí),函數(shù)值A(chǔ)=x2相應(yīng)的增量ΔA,即圖25

定義24設(shè)函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間內(nèi)有定義,且x0及x0+Δx在該區(qū)間內(nèi),如果函數(shù)的增量

可表示為

其中A是與Δx無(wú)關(guān)的常數(shù),則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0可微,并且稱A·Δx為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0相對(duì)于自變量增量Δx的微分,記作dy,即

例226【球體積的微分】半徑為r的球,其體積為

當(dāng)半徑增大Δr時(shí),計(jì)算球體積的改變量及微分.

解體積的改變量為

顯然有

故體積微分為

二、微分的幾何意義

在直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=f(x)的圖形是一條曲線.對(duì)于某一固定的x0值,曲線上有一個(gè)確定點(diǎn)M(x0,y0),當(dāng)自變量x在該處有微小增量Δx時(shí),就得到曲線上另一點(diǎn)N(x0+Δx,y0+Δy).由圖26可知,MQ=Δx,QN=Δy.圖26

過(guò)M點(diǎn)作曲線的切線MT,它的傾角為α,則

即

由此可見(jiàn),當(dāng)Δy是曲線y=f(x)上的M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的增量時(shí),dy就是曲線切線上M點(diǎn)的縱坐標(biāo)的相應(yīng)增量.當(dāng)Δx很小時(shí),Δy-dy比Δx小得多.因此在點(diǎn)M鄰近,我們可以用切線段來(lái)近似代替曲線段.

三、微分運(yùn)算法則及微分公式表

1.微分運(yùn)算法則

由dy=f'(x)dx很容易得到微分的運(yùn)算法則及微分公式表(u、v都可導(dǎo))

3.復(fù)合函數(shù)的微分法則

設(shè)y=f(u)及u=φ(x)都可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)y=f[φ