高二數(shù)學(xué)命題及其關(guān)系復(fù)習(xí)題

第一章常用邏輯用語

1.1命題及其關(guān)系

1.1.1命題

(-)教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能：理解命題的概念和命題的構(gòu)成，能判斷給定陳述句

是否為命題，能判斷命題的真假；能把命題改寫成“若P，則q”的

形式；

2、過程與方法：多讓學(xué)生舉命題的例子，培養(yǎng)他們的辨析能力；以

及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題的能力；

3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興

趣。

(二)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：命題的概念、命題的構(gòu)成

難點(diǎn)：分清命題的條件、結(jié)論和判斷命題的真假

教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料

教學(xué)設(shè)想：通過學(xué)生的參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

(三)教學(xué)過程

學(xué)生探究過程：

1.復(fù)習(xí)回顧

初中已學(xué)過命題的知識，請同學(xué)們回I顧：什么叫做命題？

2.思考、分析

下列語句的表述形式有什么特點(diǎn)？你能判斷他們的真假嗎？

(1)若直線a〃b,則直線a與直線b沒有公共點(diǎn).

(2)2+4=7.

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

(4)若x2=l,貝ljx=l.

(5)兩個(gè)全等三角形的面積相等.

(6)3能被2整除.

3.討論、判斷

學(xué)生通過討論，總結(jié)：所有句子的表述都是陳述句的形式，每句

話都判斷什么事情。其中(1)(3)(5)的判斷為真，(2)(4)(6)

的判斷為假。

教師的引導(dǎo)分析：所謂判斷，就是肯定一個(gè)事物是什么或不是什

么，不能含混不清。

4.抽象、歸納

定義：一般地，我們把用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的

陳述句叫做命題.

命題的定義的要點(diǎn)：能判斷真假的陳述句.

在數(shù)學(xué)課中，只研究數(shù)學(xué)命題,請學(xué)生舉兒個(gè)數(shù)學(xué)命題的例子.教

師再與學(xué)生共同從命題的定義,判斷學(xué)生所舉例子是否是命題，從“判

斷”的角度來加深對命題這一概念的理解.

5.練習(xí)、深化

判斷下列語句是否為命題？

(1)空集是任何集合的子集.(2)若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則是a奇數(shù).

(3)指數(shù)函數(shù)是增函數(shù)嗎？(4)若平面上兩條直線不相交，則這

兩條直線平行.

(5)V(-2)2=-2.(6)x>15.

讓學(xué)生思考、辨析、討論解決，且通過練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：判

斷一個(gè)語句是不是命題，關(guān)鍵看兩點(diǎn)：第一是“陳述句”，第二是“可

以判斷真假”，這兩個(gè)條件缺一不可.疑問句、祈使句、感嘆句均不

是命題.

解略。

引申：以前，同學(xué)們學(xué)習(xí)了很多定理、推論，這些定理、推論是

否是命題？同學(xué)們可否舉出一些定理、推論的例子來看看？

通過對此間的思考，學(xué)生將清晰地認(rèn)識到定理、推論都是命題.

過渡：同學(xué)們都知道，一個(gè)定理或推論都是由條件和結(jié)論兩部分

構(gòu)成(結(jié)合學(xué)生所舉定理和推論的例子，讓學(xué)生分辨定理和推論條件

和結(jié)論，明確所有的定理、推論都是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成)。緊

接著提出問題：命題是否也是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成呢？

6.命題的構(gòu)成一一條件和結(jié)論

定義：從構(gòu)成來看，所有的命題都具由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成.在數(shù)

學(xué)中，命題常寫成“若P，則q”或者“如果P，那么q”這種形式，

通常，我們把這種形式的命題中的P叫做命題的條件,q叫做命題結(jié)

論.

7.練習(xí)、深化

指出下列命題中的條件P和結(jié)論q,并判斷各命題的真假.

(1)若整數(shù)a能被2整除，則a是偶數(shù).

(2)若四邊行是菱形，則它的對角線互相垂直平分.

(3)若a>0,b>0,貝Ua+b>0.

(4)若a>0,b>0,貝Ua+bVO.

(5)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.

此題中的(1)(2)(3)(4),較容易，估計(jì)學(xué)生較容易找出

命題中的條件P和結(jié)論q,并能判斷命題的真假。其中設(shè)置命題(3)

與(4)的目的在于：通過這兩個(gè)例子的比較，學(xué)更深刻地理解命題

的定義——能判斷真假的陳述句，不管判斷的結(jié)果是對的還是錯(cuò)的。

此例中的命題(5),不是“若P,則q”的形式，估計(jì)學(xué)生會有

困難，此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生一起分析：已知的事項(xiàng)為“條件”，由已

知推出的事項(xiàng)為“結(jié)論”.

解略。

過渡：從例2中，我們可以看到命題的兩種情況，即有些命題的結(jié)論

是正確的，而有些命題的結(jié)論是錯(cuò)誤的，那么我們就有了對命題的一

種分類：真命題和假命題.

8.命題的分類一一真命題、假命題的定義.

真命題：如果由命題的條件P通過推理一定可以得出命題的結(jié)論

q,那么這樣的命題叫做真命題.

假命題：如果由命題的條件P通過推理不一定可以得出命題的結(jié)

論q,那么這樣的命題叫做假命題.

強(qiáng)調(diào)：

(1)注意命題與假命題的區(qū)別.如：“作直線AB”.這本身不是命題.也更不是假命題.

(2)命題是一個(gè)判斷，判斷的結(jié)果就有對錯(cuò)之分.因此就要引入真

命題、假命題的的概念，強(qiáng)調(diào)真假命題的大前提，首先是命題。

9.怎樣判斷一個(gè)數(shù)學(xué)命題的真假？

(1)數(shù)學(xué)中判定一個(gè)命題是真命題，要經(jīng)過證明.

(2)要判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉一個(gè)反例即可.

10.練習(xí)、深化

例3：把下列命題寫成“若P,則q”的形式，并判斷是真命題還是

假命題：

(1)面積相等的兩個(gè)三角形全等。

(2)負(fù)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)。

(3)對頂角相等。

分析：要把一個(gè)命題寫成“若P,則q”的形式，關(guān)鍵是要分清命題

的條件和結(jié)論，然后寫成“若條件，則結(jié)論”即“若P,則q”的形

式.解略。

11、鞏固練習(xí)：P42、3

12.教學(xué)反思師生共同回憶本節(jié)的學(xué)習(xí)內(nèi)容.

1.什么叫命題？真命題？假命題？2.命題是由哪兩部分構(gòu)成的？

3.怎樣將命題寫成“若P,則q”的形式.4.如何判斷真假命題.

教師提示應(yīng)注意的問題：

1.命題與真、假命題的關(guān)系.2.抓住命題的兩個(gè)構(gòu)成部分，判斷一些語句是否為命

題.

3.判斷假命題，只需舉一個(gè)反例，而判斷真命題，要經(jīng)過證明.

13.作業(yè)：P9：習(xí)題1.1人組第1題

1.1.2四種命題1.1.3四種命題的相互關(guān)系

(一)教學(xué)目標(biāo)

?知識與技能：了解原命題、逆命題、否命題、逆否命題這四種命題

的概念，掌握四種命題的形式和四種命題間的相互關(guān)系，會用等價(jià)命

題判斷四種命題的真假.

?過程與方法：多讓學(xué)生舉命題的例子，并寫出四種命題，培養(yǎng)學(xué)生

發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、有創(chuàng)造性地解決問題的能力；培養(yǎng)

學(xué)生抽象概括能力和思維能力.

?情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的舉例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

和積極性，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題

的能力.

（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：（1）會寫四種命題并會判斷命題的真假；（2）四種命題之間的

相互關(guān)系.

難點(diǎn)：（1）命題的否定與否命題的區(qū)別；（2）寫出原命題的逆命題、

否命題和逆否命題；

（3）分析四種命題之間相互的關(guān)系并判斷命題的真假.

教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

教學(xué)設(shè)想：通過學(xué)生的舉例，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性，培

養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的分析問題和解決問題

的能力.

（三）教學(xué)過程

學(xué)生探究過程：

1.復(fù)習(xí)引入

初中已學(xué)過命題與逆命題的知識，請同學(xué)回顧：什么叫做命題的逆命

題？

2.思考、分析

問題1：下列四個(gè)命題中，命題(1)與命題(2)、(3)、(4)的條件

與結(jié)論之間分別有什么關(guān)系？

(1)若f(x)是正弦函數(shù)，則f(x)是周期函數(shù).(2)若f(x)是周期

函數(shù)，則f(x)是正弦函數(shù).

(3)若f(x)不是正弦函數(shù)，則f(x)不是周期函數(shù).(4)若f(x)不

是周期函數(shù)，則f(x)不是正弦函數(shù).

3.歸納總結(jié)

問題一通過學(xué)生分析、討論可以得到正確結(jié)論.緊接結(jié)合此例給

出四個(gè)命題的概念，(1)和(2)這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題,

(1)和(3)這樣的兩個(gè)命題叫做互否命題，(1)和(4)這樣

的兩個(gè)命題叫做互為逆否命題。

4.抽象概括

定義1：一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分

別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么我們把這樣的兩個(gè)命題叫做互逆

命題.其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)命題叫做原命題的逆命題.

讓學(xué)生舉一些互逆命題的例子。

定義2：一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰

好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，那么我們把這樣的兩個(gè)

命題叫做互否命題.其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)命題叫做原命

題的否命題.

讓學(xué)生舉一些互否命題的例子。

定義3：一般地，對于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰

好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，那么我們把這樣的兩個(gè)

命題叫做互為逆否命題.其中一個(gè)命題叫做原命題，另一個(gè)命題叫做

原命題的逆否命題.

讓學(xué)生舉一些互為逆否命題的例子。

小結(jié)：

(1)交換原命題的條件和結(jié)論，所得的命題就是它的逆命題：

(2)同時(shí)否定原命題的條件和結(jié)論，所得的命題就是它的否命題；

(3)交換原命題的條件和結(jié)論，并且同時(shí)否定，所得的命題就是它

的逆否命題.

強(qiáng)調(diào)：原命題與逆命題、原命題與否命題、原命題與逆否命題是相

對的。

5.四種命題的形式

讓學(xué)生結(jié)合所舉例子，思考：

若原命題為“若P,則q”的形式，則它的逆命題、否命題、逆

否命題應(yīng)分別寫成什么形式？

學(xué)生通過思考、分析、比較，總結(jié)如下：

原命題：若P,則q.則：

逆命題：若q，則P.

否命題：若「P,則「q.(說明符號“「”的含義：符號叫做

否定符號.“「P”表示P的否定；即不是

P;非p)

逆否命題：若「q,貝廠P.

6.鞏固練習(xí)

寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題并判斷它們的真假：

(1)若一個(gè)三角形的兩條邊相等，則這個(gè)三角形的兩個(gè)角相等;

(2)若一個(gè)整數(shù)的末位數(shù)字是0,則這個(gè)整數(shù)能被5整除；

(3)若x2=l,貝ljx=l；

(4)若整數(shù)a是素?cái)?shù)，則是a奇數(shù)。

7.思考、分析

結(jié)合以上練習(xí)思考：原命題的真假與其它三種命題的真假有什么關(guān)

系？

通過此問，學(xué)生將發(fā)現(xiàn)：

①原命題為真，它的逆命題不一定為真。

②原命題為真，它的否命題不一定為真。

③原命題為真，它的逆否命題一定為真。

原命題為假時(shí)類似。

結(jié)合以上練習(xí)完成下列表格：

原命題逆命題否命題逆否命題

真真

假真

假真

假假

由表格學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：原命題與逆否命題總是具有相同的真假

性，逆命題與否命題也總是具有相同的真假性.

由此會引起我們的思考：

一個(gè)命題的逆命題、否命題與逆否命題之間是否還存在著一定的

關(guān)系呢？

讓學(xué)生結(jié)合所做練習(xí)分析原命題與它的逆命題、否命題與逆否命

題四種命題間的關(guān)系.

學(xué)生通過分析，將發(fā)現(xiàn)四種命題間的關(guān)系如下圖所示：

8.總結(jié)歸納

若P,則q.若q,則P.

由于逆命題和否命題也是互為逆否命題，因此四種命題的真假性之間

的關(guān)系如下：

(1)兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

(2)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系.

由于原命題和它的逆否命題有相同的真假性,所以在直接證明某一個(gè)命題為真命題有困

難時(shí)，可以通過證明它的逆否命題為真命題，來間接地證明原命題為真命題.

9.例題分析

例4：證明：若p?+q2=2,則p+qW2.

分析：如果直接證明這個(gè)命題比較困難，可考慮轉(zhuǎn)化為對它的逆否命

題的證明。

將“若p2+/=2,則p+qW2”視為原命題，要證明原命題為真

命題，可以考慮證明它的逆否命題“若p+q>2,則p2+q?W2”為真命

題，從而達(dá)到證明原命題為真命題的目的.

證明：若p+q>2,貝I」

p?+q2=-[(p—q)L+(p+q)]-(p+q)?>-X2?=

222

2

所以p2+q272.

這表明，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題為真命題。

練習(xí)鞏固：證明：若a2—b?+2a—4b—3W0,貝lja—b#1.

10：教學(xué)反思

(1)逆命題、否命題與逆否命題的概念；

(2)兩個(gè)命題互為逆否命題，他們有相同的真假性；

(3)兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，他們的真假性沒有關(guān)系；

(4)原命題與它的逆否命題等價(jià)；否命題與逆命題等價(jià).

11:作業(yè)P9：習(xí)題1.1A組第2、3、4題

L2充分條件與必要條件

（-）教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能：正確理解充分不必要條件、必要不充分條件的概念；

會判斷命題的充分條件、必要條件.

2.過程與方法：通過對充分條件、必要條件的概念的理解和運(yùn)用，培

養(yǎng)學(xué)生分析、判斷和歸納的邏輯思維能力.

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過學(xué)生的舉例，培養(yǎng)他們的辨析能力以

及培養(yǎng)他們的良好的思維品質(zhì)，在練習(xí)過

程中進(jìn)行辯證唯物主義思想教育.

（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：充分條件、必要條件的概念.

（解決辦法：對這三個(gè)概念分別先從實(shí)際問題引起概念，再詳細(xì)講述

概念，最后再應(yīng)用概念進(jìn)行論證.）

難點(diǎn)：判斷命題的充分條件、必要條件。

關(guān)鍵：分清命題的條件和結(jié)論，看是條件能推出結(jié)論還是結(jié)論能推出

條件。

教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

教學(xué)設(shè)想：通過學(xué)生的舉例，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的良

好的思維品質(zhì)，在練習(xí)過程中進(jìn)行辯證唯物主義思想教

育.

（三）教學(xué)過程

學(xué)生探究過程：

1.練習(xí)與思考

寫出下列兩個(gè)命題的條件和結(jié)論，并判斷是真命題還是假命題？

(1)若xAaMA則x>2ab,(2)若ab=O,則a=0.

學(xué)生容易得出結(jié)論；命題⑴為真命題，命題(2)為假命題.

置疑：對于命題“若p,則q"，有時(shí)是真命題，有時(shí)是假命題.如何判斷其真假的？

答：看P能不能推出q,如果P能推出q，則原命題是真命題，否則就是假命題.

2.給出定義

命題“若P，則q”為真命題，是指由P經(jīng)過推理能推出q,也就是說，如果p成立，

那么q一定成立.換句話說，只要有條件p就能充分地保證結(jié)論q的成立，這時(shí)我們稱條件

P是q成立的充分條件.

一般地，“若P，則q”為真命題，是指由P通過推理可以得出q.這

時(shí)，我們就說，由p可推出q,記作：p=>q.

定義：如果命題“若p,則q"為真命題，即pnq,那么我們就說p

是q的充分條件；q是P必要條件.

上面的命題⑴為真命題，即

x>a'+b'nx>2ab,

所以“x>a」+b2”是“x>2ab”的充分條件,“x>2ab”是“x>a2+b2”"

的必要條件.

3.例題分析：

例1：下列“若P，則q”形式的命題中，那些命題中的P是q的充

分條件？

(1)若x=l,則4x+3=0；(2)若f(x)=x,則f(x)為增函數(shù);

(3)若x為無理數(shù)，則X?為無理數(shù).

分析：要判斷P是否是q的充分條件，就要看P能否推出q.

解略.

例2：下列“若p,則q”形式的命題中，那些命題中的q是p的必要

條件？

(1)若*=丫，則x?=y2；

(2)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的面積相等；(3)若a>

b,則ac>bc.

分析：要判斷q是否是P的必要條件，就要看P能否推出q.

解略.

4、鞏固鞏固：P12練習(xí)第1、2、3、4題

5.教學(xué)反思：

充分、必要的定義.

在“若P，則q”中，若pnq,則p為q的充分條件，q為p的必要

條件.

6.作業(yè)PM：習(xí)題1.2A組第1(1)(2),2⑴⑵題

注：(1)條件是相互的；

(2)p是q的什么條件，有四種回答方式：

①P是q的充分而不必要條件；

②p是q的必要而不充分條件；

③P是q的充要條件；

④P是q的既不充分也不必要條件.

1.2.2充要條件

(一)教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能目標(biāo)：

(1)正確理解充要條件的定義，了解充分而不必要條件，必

要而不充分條件,既不充分也不必要條件的定義.

(2)正確判斷充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、

既不充分也不必要條件.

（3）通過學(xué)習(xí)，使學(xué)生明白對條件的判定應(yīng)該歸結(jié)為判斷命

題的真假，.

2.過程與方法目標(biāo)：在觀察和思考中，在解題和證明題中，培養(yǎng)學(xué)生

思維能力的嚴(yán)密性品質(zhì).

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀：

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培

養(yǎng)積極進(jìn)取的精神.

（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：1、正確區(qū)分充要條件；2、正確運(yùn)用“條件”的定義解題

難點(diǎn)：正確區(qū)分充要條件.

教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

教學(xué)設(shè)想：在觀察和思考中，在解題和證明題中，培養(yǎng)學(xué)生思維能力

的嚴(yán)密性品質(zhì).

（三）教學(xué)過程

學(xué)生探究過程：

1.思考、分析

已知P：整數(shù)a是2的倍數(shù)；q：整數(shù)a是偶數(shù).

請判斷：P是q的充分條件嗎？P是q的必要條件嗎？

分析：要判斷P是否是q的充分條件，就要看P能否推出q,要判斷

P是否是q的必要條件，就要看q能否推出P.

易知：pnq,故P是q的充分條件；

又qnp,故p是q的必要條件.

此時(shí),我們說,P是q的充分必要條件

2.類比歸納

一般地,如果既有pnq，又有qnp就記作poq.

此時(shí)一,我們說,那么P是q的充分必要條件,簡稱充要條件.顯然,如果

P是q的充要條件,那么q也是P的充要條件.

概括地說,如果poq,那么P與q互為充要條件.

3.例題分析

例1：下列各題中，哪些P是q的充要條件？

(1)p:b=0,q:函數(shù)f(x)=ax2+bx+c是偶函數(shù)；

(2)p:x>0,y>0,q:xy>0；

(3)p:a>b,q:a+c>b+c；

(4)p:x>5,,q:x>10

(5)p:a>b,q:a2>b2

分析：要判斷P是q的充要條件，就要看P能否推出q,并且看q能

否推出p.

解：命題(1)和(3)中，p=>q,且qnp,即poq,故P是q的

充要條件;

命題(2)中，pnq,但qp,故p不是q的充要條件;

命題(4)中，pw〉q,但qnp,故p不是q的充要條件；

命題(5)中，p聲〉q,且qW〉p,故p不是q的充要條件；

4.類比定義

一般地，

若pnq,但q￥>p,則稱p是q的充分但不必要條件；

若P，>q,但q=>p,則稱P是q的必要但不充分條件；

若p/>q,且q手>P，則稱P是q的既不充分也不必要條件.

在討論P(yáng)是q的什么條件時(shí)，就是指以下四種之一：

①若p=>q,但q?！祊,則p是q的充分但不必要條件；

②若q=>p,但pW〉q,則p是q的必要但不充分條件；

③若pnq,且qnp,則P是q的充要條件；

④若pW>q,且q?！祊,則p是q的既不充分也不必要條

件.

5.鞏固練習(xí)：P14練習(xí)第1、2題

說明：要求學(xué)生回答P是q的充分但不必要條件、或P是q的必要但

不充分條件、或P是q的充要條件、或P是q的既不充分也不必要條

件.

6.例題分析

例2：已知：。。的半徑為r,圓心0到直線1的距離為d.求證：d

=r是直線1與。0相切的充要條件.

分析：設(shè)P：d=r,q：直線1與。0相切.要證p是q的充要條件，

只需要分別證明充分性（pnq）和必要性（qnp）即可.

證明過程略.

例3、設(shè)p是r的充分而不必要條件，q是r的充分條件，r成立，

則s成立.s是q的充分條件，問（1）s是r的什么條件？（2）p

是q的什么條件？

7.教學(xué)反思：

充要條件的判定方法

如果“若p,則q”與“若p則q”都是真命題，那么p就是q的充

要條件，否則不是.

8.作業(yè):P14：習(xí)題1.2A組第1(3)(2),2(3),3題

1.3簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞

L3.1且1.3.2或

(一)教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能目標(biāo)：

(1)掌握邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且”的含義

(2)正確應(yīng)用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且”解決問題

(3)掌握真值表并會應(yīng)用真值表解決問題

2.過程與方法目標(biāo)：

在觀察和思考中，在解題和證明題中，本節(jié)課要特別注重學(xué)生思維的

嚴(yán)密性品質(zhì)的培養(yǎng).

3.情感態(tài)度價(jià)值觀目標(biāo)：

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培

養(yǎng)積極進(jìn)取的精神.

(二)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：通過數(shù)學(xué)實(shí)例，了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且”的含義，使學(xué)生能

正確地表述相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容。

難點(diǎn)：1、正確理解命題“PAq”“PVq”真假的規(guī)定和判定.2、簡

潔、準(zhǔn)確地表述命題“PAq”“PVq”.

教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

教學(xué)設(shè)想：在觀察和思考中，在解題和證明題中，本節(jié)課要特別注重

學(xué)生思維的嚴(yán)密性品質(zhì)的培養(yǎng).

（三）教學(xué)過程

學(xué)生探究過程：

1、引入

在當(dāng)今社會中，人們從事任何工作、學(xué)習(xí)，都離不開邏輯.具有

一定邏輯知識是構(gòu)成一個(gè)公民的文化素質(zhì)的重要方面.數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是

邏輯性強(qiáng),特別是進(jìn)入高中以后，所學(xué)的數(shù)學(xué)比初中更強(qiáng)調(diào)邏輯性.如

果不學(xué)習(xí)一定的邏輯知識，將會在我們學(xué)習(xí)的過程中不知不覺地經(jīng)常

犯邏輯性的錯(cuò)誤.其實(shí)，同學(xué)們在初中已經(jīng)開始接觸一些簡易邏輯的

知識.

在數(shù)學(xué)中，有時(shí)會使用一些聯(lián)結(jié)詞，如“且”“或”“非在生

活用語中，我們也使用這些聯(lián)結(jié)詞，但表達(dá)的含義和用法與數(shù)學(xué)中的

含義和用法不盡相同。下面介紹數(shù)學(xué)中使用聯(lián)結(jié)詞“且”“或”“非”

聯(lián)結(jié)命題時(shí)的含義和用法。

為敘述簡便，今后常用小寫字母P，q,r,s,…表示命題。（注意與

上節(jié)學(xué)習(xí)命題的條件P與結(jié)論q的區(qū)別）

2、思考、分析

問題1：下列各組命題中，三個(gè)命題間有什么關(guān)系？

（1）①12能被3整除;

②12能被4整除；

③12能被3整除且能被4整除。

（2）①27是7的倍數(shù)；

②27是9的倍數(shù)；

③27是7的倍數(shù)或是9的倍數(shù)。

學(xué)生很容易看到，在第（1）組命題中，命題③是由命題①②使用聯(lián)

結(jié)詞“且”聯(lián)結(jié)得到的新命題，在第（2）組命題中，命題③是由命

題①②使用聯(lián)結(jié)詞“或”聯(lián)結(jié)得到的新命題，。

問題2：以前我們有沒有學(xué)習(xí)過象這樣用聯(lián)結(jié)詞“且”或“或”聯(lián)結(jié)

的命題呢？你能否舉一些例子？

例如：命題p：菱形的對角線相等且菱形的對角線互相平分。

命題q：三條邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似或兩個(gè)角相等的兩個(gè)三

角形相似。

3、歸納定義

一般地，用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題P和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一

個(gè)新命題，記作

pAq

讀作“P且q”。

一般地，用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題P和命題q聯(lián)結(jié)起來，就得到一

個(gè)新命題，記作pVq,讀作“P或q”。

命題“pAq”與命題“pVq”即,命題“P且q”與命題“P或q”

中的“且”字與“或”字與下面兩個(gè)命題中的“且”字與“或”字的

含義相同嗎？

(1)若x￡A且x￡B,貝lJx￡AGB。

(2)若x￡A或x￡B,plljxeAUBo

定義中的“且”字與“或”字與兩個(gè)命題中的“且”字與“或”字的

含義是類似。但這里的邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”與日常語言中的“和”，“并

且”，“以及”，“既…又…”等相當(dāng)，表明前后兩者同時(shí)兼有，同時(shí)滿

足，邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”與生活中“或”的含義不同，例如“你去或我

去”，理解上是排斥你我都去這種可能.

說明：符號“八”與“C”開口都是向下，符號“V”與“U”開口

都是向上。

注意：“P或q”，“P且q”，命題中的“P”、“q”是兩個(gè)命題,

而原命題，逆命題，否命題，逆否命題中的“P”，“q”是一個(gè)命題

的條件和結(jié)論兩個(gè)部分.

4、命題“pAq”與命題“pVq”的真假的規(guī)定

你能確定命題“pAq”與命題“pVq”的真假嗎？命題“p/\q”

與命題“pVq”的真假和命題p,q的真假之間有什么聯(lián)系？

引導(dǎo)學(xué)生分析前面所舉例子中命題P，q以及命題pAq的真假性，概

括出這三個(gè)命題的真假之間的關(guān)系的一般規(guī)律。

例如：在上面的例子中，第(1)組命題中，①②都是真命題，所以

命題③是真命題。

第(2)組命題中，①是假命題，②是真命題，但命題③是真命題。

PqPA

q

真真真

真假假

假真假

假假假

（即一假則假）（即一真則

一般地，我們規(guī)定：

當(dāng)P，q都是真命題時(shí)，pAq是

q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命題

命題；當(dāng)P，q兩個(gè)命題中有一個(gè)是真命題時(shí)，pVq是真命題；當(dāng)P，

q兩個(gè)命題都是假命題時(shí)，pVq是假命題。

5、例題

例1：將下列命題分別用“且”與“或”聯(lián)結(jié)成新命題“pAq”與“p

Vq”的形式，并判斷它們的真假。

（1）P：平行四邊形的對角線互相平分，q：平行四邊形的對角線相

等。

（2）p：菱形的對角線互相垂直，q：菱形的對角線互相平分；

（3）p：35是15的倍數(shù)，q：35是7的倍數(shù).

解：平行四邊形的對角線互相平分且平行四邊形的對角線

相等.也可簡寫成

平行四邊形的對角線互相平分且相等.

pVq：平行四邊形的對角線互相平分或平行四邊形的對角線相等.也

可簡寫成

平行四邊形的對角線互相平分或相等.

由于P是真命題,且q也是真命題,所以pAq是真命題,pVq也

是真命題.

(2)pAq：菱形的對角線互相垂直且菱形的對角線互相平分.也可簡

寫成

菱形的對角線互相垂直且平分.

pVq：菱形的對角線互相垂直或菱形的對角線互相平分.也可簡寫成

菱形的對角線互相垂直或平分.

由于P是真命題,且q也是真命題,所以PAq是真命題,pVq也是真

命題.

(3)pAq：35是15的倍數(shù)且35是7的倍數(shù).也可簡寫成

35是15的倍數(shù)且是7的倍數(shù).

pVq:35是15的倍數(shù)或35是7的倍數(shù).也可簡寫成

35是15的倍數(shù)或是7的倍數(shù).

由于P是假命題,q是真命題,所以pAq是假命題,pVq是真命題.

說明，在用"且"或"或"聯(lián)結(jié)新命題時(shí)，如果簡寫，應(yīng)注意保持命

題的意思不變.

例2：選擇適當(dāng)?shù)倪壿嬄?lián)結(jié)詞“且”或“或”改寫下列命題，并判斷

它們的真假。

(1)1既是奇數(shù)，又是素?cái)?shù)；

(2)2是素?cái)?shù)且3是素?cái)?shù)；

(3)2W2.

解略.

例3、判斷下列命題的真假；

(1)6是自然數(shù)且是偶數(shù)

(2)。是A的子集且是A的真子集；

(3)集合A是AGB的子集或是AUB的子集；

(4)周長相等的兩個(gè)三角形全等或面積相等的兩個(gè)三角形全等.解

略.

6.鞏固練習(xí)：P2。練習(xí)第1,2題

7.教學(xué)反思：

(1)掌握邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且”的含義

(2)正確應(yīng)用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或、且”解決問題

(3)掌握真值表并會應(yīng)用真值表解決問題

PqPAqPVq

真真真真

真假假真

假真假真

假假假假

8.作業(yè):

P20：習(xí)題1.3A組第1、2題

1.3.3非

(一)教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能目標(biāo)：

(1)掌握邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的含義(2)正確應(yīng)用邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”

解決問題

(3)掌握真值表并會應(yīng)用真值表解決問題

2.過程與方法目標(biāo)：

觀察和思考中，在解題和證明題中，本節(jié)課要特別注重學(xué)生思維能力

中嚴(yán)密性品質(zhì)的培養(yǎng).

3.情感態(tài)度價(jià)值目標(biāo)：

激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，培

養(yǎng)積極進(jìn)取的精神.

(二)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：通過數(shù)學(xué)實(shí)例，了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”的含義，使學(xué)生能正確

地表述相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容.

難點(diǎn)：1、正確理解命題“「P”真假的規(guī)定和判定.2、簡潔、準(zhǔn)確

地表述命題”「P”.

教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

教學(xué)設(shè)想：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)

習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進(jìn)取的精神.

(三)教學(xué)過程

學(xué)生探究過程：1、思考、分析

問題1：下列各組命題中的兩個(gè)命題間有什么關(guān)系？

(1)①35能被5整除；②35不能被5整除；

（2）①方程x2+x+l=0有實(shí)數(shù)根。②方程x2+x+l=0無實(shí)數(shù)根。

學(xué)生很容易看到，在每組命題中，命題②是命題①的否定。

2、歸納定義

一般地，對一個(gè)命題p全盤否定，就得到一個(gè)新命題，記作

_~1P

讀作“非P”或“P的否定”。

3、命題“「p”與命題p的真假間的關(guān)系

命題“「P”與命題P的真假之間有什么聯(lián)系？

引導(dǎo)學(xué)生分析前面所舉例子中命題P與命題「P的真假性，概括出這

兩個(gè)命題的真假之間的關(guān)系的一般規(guī)律。

例如：在上面的例子中，第（1）組命題中，命題①是真命題，而命

題②是假命題。

第（2）組命題中，命題①是假命題，而命題②是真命題。

由此可以看出，既然命題「P是命題P的否定，那么「P與P不能同

時(shí)為真命題，也不能同時(shí)為假命題，也就是說，

若P是真命題，則「P必是假命題；若p是假命題，則「p必是真命

題；

4、命題的否定與否命題的區(qū)別

--1

P

讓學(xué)生思考：命題的否定與原命題的否命題有什么

P

區(qū)別？

真假

命題的否定是否定命題的結(jié)論，而命題的否命題是對原

假真

命題的條件和結(jié)論同時(shí)進(jìn)行否定，因此在解題時(shí)應(yīng)分請

命題的條件和結(jié)論。

例：如果命題p：5是15的約數(shù)，那么

命題「P：5不是15的約數(shù)；

P的否命題：若一個(gè)數(shù)不是5,則這個(gè)數(shù)不是15的約數(shù)。

顯然，命題P為真命題，而命題p的否定「P與否命題均為假命題。

5.例題分析

例1寫出下表中各給定語的否定語。

“大于”的否定語是“小于或者等于”；

“是”的否定語是“不是”；

“都是”的否定語是“不都是”；

“至多有一個(gè)”的否定語是“至少有兩個(gè)”；

“至少有一個(gè)”的否定語是“一個(gè)都沒有”；

例2：寫出下列命題的否定，判斷下列命題的真假

(1)p：y=sinx是周期函數(shù)；

(2)p：3<2；

(3)p：空集是集合A的子集。

解略.

6.鞏固練習(xí)：P20練習(xí)第3題

7.教學(xué)反思:

(1)正確理解命題“「P”真假的規(guī)定和判定.

(2)簡潔、準(zhǔn)確地表述命題“「P”.

8.作業(yè)P20：習(xí)題1.3A組第3題

1.4全稱量詞與存在量詞

1.4.1全稱量詞1.4.2存在量詞

(一)教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能目標(biāo)

(1)通過生活和數(shù)學(xué)中的豐富實(shí)例理解全稱量詞與存在量詞的含義,

熟悉常見的全稱量詞和存在量詞.

(2)了解含有量詞的全稱命題和特稱命題的含義，并能用數(shù)學(xué)符號

表示含有量詞的命題及

判斷其命題的真假性.

2.過程與方法目標(biāo)使學(xué)生體會從具體到一般的認(rèn)知過程，培養(yǎng)學(xué)生抽

象、概括的能力.

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

通過學(xué)生的舉例，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的良好的思

維品質(zhì)，在練習(xí)過程中進(jìn)行辯證唯物主義思想教育.

(二)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解全稱量詞與存在量詞的意義難點(diǎn):全稱命題和特稱命題真

假的判定.

教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

教學(xué)設(shè)想：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)

習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進(jìn)取的精神.

(三)教學(xué)過程

學(xué)生探究過程：1.思考、分析

下列語句是命題嗎？假如是命題你能判斷它的真假嗎？

(1)2x+1是整數(shù);

(2)x>3；

(3)如果兩個(gè)三角形全等，那么它們的對應(yīng)邊相等；

(4)平行于同一條直線的兩條直線互相平行；

(5)海師附中今年所有高中一年級的學(xué)生數(shù)學(xué)課本都是采用人

民教育出版社A版的教科書；

(6)所有有中國國籍的人都是黃種人；

(7)對所有的x￡R,x>3；

(8)對任意一個(gè)xeZ,2x+1是整數(shù)。

1.推理、判斷

(讓學(xué)生自己表述)

(1)、(2)不能判斷真假，不是命題。

(3)、(4)是命題且是真命題。

(5)-(8)如果是假，我們只要舉出一個(gè)反例就行。

注：對于(5)-(8)最好是引導(dǎo)學(xué)生將反例用命題的形式寫出

來。因?yàn)檫@些命題的反例涉及到“存在量詞”“特稱命題”“全稱命題

的否定”這些后續(xù)內(nèi)容。

（5）的真假就看命題：海師附中今年存在個(gè)別（部分）高一學(xué)生

數(shù)學(xué)課本不是采用人民教育出版社A版的教科書；這個(gè)命題的真假，

該命題為真，所以命題（5）為假；

命題（6）是假命題.事實(shí)上，存在一個(gè)（個(gè)別、部分）有中國國

籍的人不是黃種人.

命題（7）是假命題.事實(shí)上，存在一個(gè)（個(gè)別、某些）實(shí)數(shù)（如x

=2）,x<3.

（至少有一個(gè)x￡R,xW3）

命題（8）是真命題。事實(shí)上不存在某個(gè)xeZ,使2x+1不是整數(shù)。

也可以說命題：存在某個(gè)x￡Z使2x+1不是整數(shù)，是假命題.

3.發(fā)現(xiàn)、歸納

命題（5）-（8）跟命題（3）、（4）有些不同，它們用到“所有

的”“任意一個(gè)”這樣的詞語，這些詞語一般在指定的范圍內(nèi)都表示

整體或全部，這樣的詞叫做全稱量詞，用符號“V”表示，含有全稱

量詞的命題，叫做全稱命題。命題（5）-（8）都是全稱命題。

通常將含有變量x的語句用夕（x）,q（x）,r（x）f……表示，變量

x的取值范圍用"表示。那么全稱命題“對"中任意一個(gè)心有夕

成立”可用符號簡記為：VxeM,/?（x）,讀做“對任意x屬于有夕

（x）成立”。

剛才在判斷命題（5）-（8）的真假的時(shí)候，我們還得出這樣一些命

題:

(5)'存在個(gè)別高一學(xué)生數(shù)學(xué)課本不是采用人民教育出版社A版的教

科書；

(6)，存在一個(gè)(個(gè)別、部分)有中國國籍的人不是黃種人.

(7)1存在一個(gè)(個(gè)別、某些)實(shí)數(shù)x(如x=2),使xW3.(至

少有一個(gè)x￡R,xW3)

(8),不存在某個(gè)xGZ使2x+1不是整數(shù).

這些命題用到了“存在一個(gè)”“至少有一個(gè)”這樣的詞語，這些

詞語都是表示整體的一部分的詞叫做存在量詞。并用符號“3”表示。

含有存在量詞的命題叫做特稱命題(或存在命題)命題(5)'-(8)'

都是特稱命題(存在命題).

特稱命題：”存在〃中一個(gè)X,使0(X)成立”可以用符號簡記

為：eM,p(x)o讀做“存在一個(gè)才屬于使p(X)成立

全稱量詞相當(dāng)于日常語言中“凡”，“所有”，“一切”，“任意一個(gè)”

等；存在量詞相當(dāng)于日常語言中“存在一個(gè)”，“有一個(gè)”，“有些”,

“至少有一個(gè)”，“至多有一個(gè)”等.

4.鞏固練習(xí)

(1)下列全稱命題中，真命題是：

A.所有的素?cái)?shù)是奇數(shù)；B.1)2>0；

C.Vxe7?,x+—>2D.VXe(0,—),sinx+——>2

x2sinx

(2)下列特稱命題中，假命題是：

A.3XG/?,X2-2X-3=0B,至少有一個(gè)能被2和3整除

C.存在兩個(gè)相交平面垂直于同一直線D.上€“|》是無理數(shù)｝,/是有

理數(shù).

(3)已知：對VXC/TMYX+L恒成立，則a的取值范圍是；

X

變式：已知：對Vxe火+,*2-<7%+1Y0恒成立，則a的取值范圍是；

(4)求函數(shù)/(x)=-cos2x-sinx+3的值域；

變式：已知：對VxeR,方程cos2x+sinx-3+a=0有解，求a的取

值范圍.

5.課外作業(yè)P29習(xí)題1.4A組1、2題:

6.教學(xué)反思：

(1)判斷下列全稱命題的真假：

①末位是。的整數(shù)，可以被5整除；

②線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相

等；

③負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)；

④梯形的對角線相等。

(2)判斷下列特稱命題的真假：

①有些實(shí)數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；

②有些三角形不是等腰三角形；

③有些菱形是正方形。

(3)探究：

①請課后探究命題(5>—(8)跟命題(5)-(8)分別有什

么關(guān)系？

②請你自己寫出兒個(gè)全稱命題，并試著寫出它們的否命題.寫

出兒個(gè)特稱命題，并試著寫出它們的否命題。

1.4.3含有一個(gè)量詞的命題的否定

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能目標(biāo)

（1）通過探究數(shù)學(xué)中一些實(shí)例，使學(xué)生歸納總結(jié)出含有一個(gè)量詞的

命題與它們的否定在形式上的變化規(guī)律.

（2）通過例題和習(xí)題的教學(xué)，使學(xué)生能夠根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題

與它們的否定在形式上的變化規(guī)律，正確地對含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)

行否定.

2.過程與方法目標(biāo)：使學(xué)生體會從具體到一般的認(rèn)知過程，培養(yǎng)學(xué)

生抽象、概括的能力.

3.情感態(tài)度價(jià)值觀

通過學(xué)生的舉例，培養(yǎng)他們的辨析能力以及培養(yǎng)他們的良好的思

維品質(zhì)，在練習(xí)過程中進(jìn)行辯證唯物主義思想教育.

（二）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：通過探究，了解含有一個(gè)量詞的命題與它們的否定在形式

上的變化規(guī)律，會正確地對含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.

教學(xué)難點(diǎn)：正確地對含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定.

教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

教學(xué)設(shè)想：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)

習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進(jìn)取的精神.

（三）教學(xué)過程

學(xué)生探究過程：1.回顧

我們在上一節(jié)中學(xué)習(xí)過邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”.對給定的命題P,如

何得到命題P的否定(或非P),它們的真假性之間有何聯(lián)系？

2.思考、分析

判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，你能寫出下列命題的否定

嗎？

(1)所有的矩形都是平行四邊形；

(2)每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；

(3)VxGR,X2-2X+1^0O

(4)有些實(shí)數(shù)的絕對值是正數(shù)；

(5)某些平行四邊形是菱形；

(6)BxeR,x2+l<0o

3.推理、判斷

你能發(fā)現(xiàn)這些命題和它們的否定在形式上有什么變化？(讓學(xué)生自己

表述)

前三個(gè)命題都是全稱命題，即具有形式'7xwM,p(x)，，。

其中命題(1)的否定是“并非所有的矩形都是平行四邊形”，也就是

說，

存在一個(gè)矩形不都是平行四邊形；

命題(2)的否定是“并非每一個(gè)素?cái)?shù)都是奇數(shù)；”，也就是說，

存在一個(gè)素?cái)?shù)不是奇數(shù)；

命題(3)的否定是“并非Vx￡R,x2—2x+lN0”，也就是說，

3xR,x2—2x+KO；

后三個(gè)命題都是特稱命題，即具有形式"IreAf,p(x)

其中命題(4)的否定是“不存在一個(gè)實(shí)數(shù)，它的絕對值是正數(shù)”，也

就是說，

所有實(shí)數(shù)的絕對值都不是正數(shù)；

命題(5)的否定是“沒有一個(gè)平行四邊形是菱形”，也就是說，

每一個(gè)平行四邊形都不是菱形；

命題(6)的否定是“不存在X￡R,X2+1V0”，也就是說，

2

Vx￡R,x+1^0；

4.發(fā)現(xiàn)、歸納

從命題的形式上看，前三個(gè)全稱命題的否定都變成了特稱命題。

后三個(gè)特稱命題的否定都變成了全稱命題。

一般地，對于含有一個(gè)量詞的全稱命題的否定，有下面的結(jié)論：

全稱命題P：

VxGM,p(x)

它的否定「p

特稱命題P:

GM，p(x)

它的否定「P:

Vx-'P(x)

全稱命題和否定是特稱命題。特稱命題的否定是全稱命題。

5.鞏固練習(xí)

判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，并寫出它們的否定：

(1)P：所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；

(2)p：每一個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓；

(3)p：對Vx￡Z,X?個(gè)位數(shù)字不等于3；

(4)p：3xeR,X2+2X+2^0；

(5)p：有的三角形是等邊三角形；

(6)p：有一個(gè)素?cái)?shù)含三個(gè)正因數(shù)。

6.教學(xué)反思與作業(yè)

(1)教學(xué)反思：如何寫出含有一個(gè)量詞的命題的否定，原先的命

題與它的否定在形式上有什么變化？

(2)作業(yè)：P29習(xí)題1.4A組第3題：B組(1)(2)(3)(4)

第二章圓錐曲線與方程

2.1曲線與方程

2.1.1曲線與方程2.1.2求曲線的軌跡方程

一、教學(xué)目標(biāo)

(一)知識教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握常用動點(diǎn)的軌跡以及求動點(diǎn)軌跡方程的常用技巧與方

法.(二)能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)

用各方面知識的能力.

(三)學(xué)科滲透點(diǎn)

通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學(xué)生掌握常用動點(diǎn)的

軌跡，為學(xué)習(xí)物理等學(xué)科打下扎實(shí)的基礎(chǔ).

二、教材分析

1.重點(diǎn)：求動點(diǎn)的軌跡方程的常用技巧與方法.

（解決辦法：對每種方法用例題加以說明，使學(xué)生掌握這種方法.）2.難

點(diǎn)：作相關(guān)點(diǎn)法求動點(diǎn)的軌跡方法.

（解決辦法：先使學(xué)生了解相關(guān)點(diǎn)法的思路，再用例題進(jìn)行講解.）

教具準(zhǔn)備：與教材內(nèi)容相關(guān)的資料。

教學(xué)設(shè)想：激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的求知欲，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)

習(xí)態(tài)度，培養(yǎng)積極進(jìn)取的精神.

三、教學(xué)過程

學(xué)生探究過程：

（一）復(fù)習(xí)引入

大家知道，平面解析兒何研究的主要問題是：

（1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程；

（2）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì).

我們已經(jīng)對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進(jìn)行過這兩個(gè)方面

的研究，今天在上面已經(jīng)研究的基礎(chǔ)上來對根據(jù)已知條件求曲線的軌

跡方程的常見技巧與方法進(jìn)行系統(tǒng)分析.

（二）兒種常見求軌跡方程的方法

1.直接法

由題設(shè)所給（或通過分析圖形的兒何性質(zhì)而得出）的動點(diǎn)所滿足的幾

何條件列出等式，再用坐標(biāo)代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方

法叫直接法.

例1(1)求和定圓x2+y2=k2的圓周的距離等于k的動點(diǎn)P的軌跡方程；

⑵過點(diǎn)A(a,o)作圓O:x2+y2=R2(a>R>o)的割線，求割線被圓O截

得弦的中點(diǎn)的軌跡.

對⑴分析：

動點(diǎn)P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動點(diǎn)P

的運(yùn)動規(guī)律：|0P|=2R或QP|=0.

解:設(shè)動點(diǎn)P(x,y),則旬OP|=2R或|OP|=0.

即x2+y2=4R5或x2+y2=0.

故所求動點(diǎn)P的軌跡方程為x?+y2=4R2或x?+y2=0.

對(2)分析：

題設(shè)中沒有具體給出動點(diǎn)所滿足的兒何條件，但可以通過分析圖形的

兒何性質(zhì)而得出，即圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于弦，它們的斜率互為

負(fù)倒數(shù).由學(xué)生演板完成，解答為：

設(shè)弦的中點(diǎn)為M(x,y),連結(jié)OM,

則OM_LAM.

*/kOM?kAM=-l,

■?一?---=-L

xz-a

(*-力+-=(款.

其軌跡是以O(shè)A為直徑的圓在圓0內(nèi)的一段弧(不含端點(diǎn)).

2.定義法

利用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義

直接寫出所求的動點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法.這種方法要

求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離之和或差為定值的條件，或利

用平面兒何知識分析得出這些條件.

例2設(shè)騙號1+/=4上的動點(diǎn)，另有點(diǎn)AGAQ）.線段AQ的垂

直平分線1交半徑0Q于點(diǎn)P（見圖2-45）,當(dāng)Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動時(shí),

?.?點(diǎn)P在AQ的垂直平分線上，

???|PQ|=|PA|.

又P在半徑0Q上.

A|PO|+|PQ|=R,SP|PO|+|PA|=R.

故P點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是定值，可用橢圓定義

寫出P點(diǎn)的軌跡方程.

解：連接PA；1JLPQ,.,.|PAHPQ|.

又P在半徑0Q上.

，|PO|+|PQ|=2.

.'.|POftiPA|=2<且2>，={OA|.

由橢圓定義可知：P點(diǎn)軌跡是以0、A為焦點(diǎn)的橢圓.

由2a=2,2c=-^ftia=l?c=—.

從i*"

4

故所料in方程為8-免+[=呷為點(diǎn)啪軌塞方程.

4

3.相關(guān)點(diǎn)法

若動點(diǎn)P(x,y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x0,yo)的變動而變動，且xo、yo

可用x、y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn)P

的軌跡方程.這種方法稱為相關(guān)點(diǎn)法(或代換法).

例3已知拋物線y2=x+l,定點(diǎn)A(3,1)、B為拋物線上任意一點(diǎn)，

點(diǎn)P在線段AB上，且有BP：PA=1：2,當(dāng)B點(diǎn)在拋物線上變動時(shí),

求點(diǎn)P的軌跡方程.

分析:

P點(diǎn)運(yùn)動的原因是B點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，因此B可作為相關(guān)點(diǎn)，應(yīng)先

找出點(diǎn)P與點(diǎn)B的聯(lián)系.

解：設(shè)點(diǎn)P(x,y),且設(shè)點(diǎn)B(xo,yo)

=q+l.

VBP：PA=1：2,且P為線段AB的內(nèi)分點(diǎn).

'2、*3

1-

由定比分點(diǎn)公式精…4*-3-

3尸y3,

y-----------

1*2

r3

”券_g

將此武代入姆=q+1申，并惻睛，

,=:3尸.y+g1即為所求軌潮》方程.它是一條拋物線.

4.待定系數(shù)法

求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求.

例4已知拋物線y2=4x和以坐標(biāo)軸為對稱軸、實(shí)軸在y軸上的雙曲

線僅有網(wǎng)個(gè)公共點(diǎn)，又直癡=21tt雙曲觸得線段長等于"，求此雙

曲線方程.

分析：

因?yàn)殡p曲線以坐標(biāo)軸為對稱軸，實(shí)軸在y軸上，所以可設(shè)雙曲線方

.z=co?（L4-co?P

=工

Ay34-sinP

鼎蹣和吟罐咫-m=1,舟=4QJtW演除

ax2-4b?x+a2b2=0

?.?拋物線和雙曲線僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，根據(jù)它們的對稱性，這兩個(gè)點(diǎn)的

橫坐標(biāo)應(yīng)相等，因此方程ax2-4b2x+a2b2=0應(yīng)有等根.

△=1664-4Q4b2=0,即a2=2b.

（以下由學(xué)生完成）

由，尸―M1福?b，-a，b，=0.

了-京-京=1

由弦長公式得:

2/=丐》-4“i

=W（Y）品上.

即a2b2=4b2-a2.

?=2b產(chǎn)

由

.?風(fēng)他哪昉程為"T=l

(三)鞏固練習(xí)

用十多分鐘時(shí)間作一個(gè)小測驗(yàn)，檢查一下教學(xué)效果.練習(xí)題用一小黑

板給出.

1.ZXABC一邊的兩個(gè)端點(diǎn)是B(0,6)和C(0,-6),另兩邊斜率的

枳是:，頰點(diǎn)4翎歸

2.點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1：

2,求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？

3.求拋物線y2=2px(p>0)上各點(diǎn)與焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程.

答

氯

1

L2

克F=10<-6知直接法)

OI

？

-+A=I軌跡是長制等于4.炮制等于25的懶同虎叉

2.

16

3.郵關(guān)點(diǎn)的設(shè)PGO,"是端編上任意一點(diǎn)，畸，8是焦點(diǎn)，

Mg中是PF的中點(diǎn)，蝴I=與《*

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：

。在極坐標(biāo)JR下，AH呆等邊三角彩兩個(gè)儂是A（2,力.B（2,

孚），■儂Cftrt陛標(biāo)"赤，2k兀+%）或&/5,2k兀-孚）.

444

將此式代入婚=肛待，?T=*2x-多

汕所求的桃就祗

（四卜教學(xué)反思

求曲線的軌跡方程一般地有直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、待定系數(shù)法,

還有參數(shù)法、復(fù)數(shù)法也是求曲線的軌跡方程的常見方法，這等到講了

參數(shù)方程、復(fù)數(shù)以后再作介紹.

五、布置作業(yè)

1.兩定點(diǎn)的距離為6,點(diǎn)M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和為26,求

點(diǎn)M的軌跡方程.

2.動點(diǎn)P到點(diǎn)Fi（l,0）的距離比它到F2（3,0）的距離少2,求P點(diǎn)的

軌跡.

3.已知圓x2+y2=4上有定點(diǎn)A（2,0）,過定點(diǎn)A作弦AB,并延長到

點(diǎn)P,使31ABi=2|AB|,求動點(diǎn)