河南省焦作市博愛一中2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁絕密★啟用前焦作市博愛一中2023—2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)考生注意：1.開考前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、座位號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將考生號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需要改動(dòng)，用橡皮檫干凈后，再涂選其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在試卷上無效。3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知公比不為1的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，記：為等差數(shù)列；：對(duì)任意自然數(shù)為等差數(shù)列，則是的（

）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件2.已知，則（

）A. B. C. D.3.已知函數(shù)，若函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A. B.C. D.4.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)都是銳角，若的始邊都與軸的非負(fù)半軸重合，終邊分別與圓交于點(diǎn)，且滿足，則當(dāng)最大時(shí)，的值為（

）A. B. C. D.5.已知二面角的平面角為，AB與平面所成角為.記的面積為，的面積為，則的取值范圍為（

）A. B.C. D.6.若，則（

）A. B. C. D.7.已知點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，其中為切點(diǎn)，則的最大值為（

）A. B. C. D.8.如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面不存在公共點(diǎn)，則三角形的面積的最小值為（）A. B.1 C. D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9.1748年，瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)了復(fù)指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的關(guān)系，并寫下公式eix=cosx+isinx（x∈R,iA.eiπB.12C.eixD.?2≤e10.下列命題中正確的是（

）A.若樣本數(shù)據(jù)，，，的樣本方差為3，則數(shù)據(jù)，，，的方差為7B.經(jīng)驗(yàn)回歸方程為時(shí)，變量x和y負(fù)相關(guān)C.對(duì)于隨機(jī)事件A與B，，，若，則事件A與B相互獨(dú)立D.若，則取最大值時(shí)11.已知曲線，點(diǎn)為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則下列敘述正確的是（

）A.若，則曲線的離心率為B.若，則曲線的漸近線方程為C.若曲線是雙曲線，則曲線的焦點(diǎn)一定在軸上D.若曲線是圓，則的最大值為412.已知點(diǎn)是拋物線：的焦點(diǎn)，直線：與相交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作的切線交于點(diǎn)，點(diǎn)是弦的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A. B.直線與軸平行C.點(diǎn)在拋物線上 D.三、填空題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分.13.若，，且，則的取值范圍為.14.若圓上至少有三個(gè)不同點(diǎn)到直線:的距離為,則直線的傾斜角的取值范圍是.15.米斗是我國古代稱量糧食的量器，是官倉、糧棧、米行及地主家里必備的用具，其外形近似一個(gè)正四棱臺(tái).米斗有著吉祥的寓意，是豐饒富足的象征，帶有濃郁的民間文化的味，如今也成為了一種頗具意趣的藏品.已知一個(gè)斗型工藝品上下底面邊長分別為和，側(cè)棱長為，則其外接球的體積為.16.已知等比數(shù)列的公比為，其前n項(xiàng)和為，則的最大值與最小值之和為.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已如等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列的前項(xiàng)和，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.(1)求角；(2)若，求邊上高的最大值.19.（12分）如圖所示，在四棱錐中，底面ABCD是菱形，，AC與BD交于點(diǎn)O，底面ABCD，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，.(1)求證：平面ACF；(2)求AF與平面EBD所成角的正弦值.20.（12分）天和核心艙是我國目前研制的最大航天器，同時(shí)也是我國空間站的重要組成部分.為了能順利的完成航天任務(wù)，挑選航天員的要求非常嚴(yán)格.經(jīng)過統(tǒng)計(jì)，在挑選航天員的過程中有一項(xiàng)必檢的身體指標(biāo)服從正態(tài)分布，航天員在此項(xiàng)指標(biāo)中的要求為.某學(xué)校共有2000名學(xué)生.為了宣傳這一航天盛事，特意在本校舉辦了航天員的模擬選拔活動(dòng).學(xué)生首先要進(jìn)行上述指標(biāo)的篩查，對(duì)于符合要求的學(xué)生再進(jìn)行4個(gè)環(huán)節(jié)選拔，且僅在通過一個(gè)環(huán)節(jié)后，才能進(jìn)行到下一個(gè)環(huán)節(jié)的選拔.假設(shè)學(xué)生通過每個(gè)環(huán)節(jié)的概率均為，且相互獨(dú)立.(1)設(shè)學(xué)生甲通過篩查后在后續(xù)的4個(gè)環(huán)節(jié)中參與的環(huán)節(jié)數(shù)量為X，請(qǐng)計(jì)算X的分布列與數(shù)學(xué)期望；(2)請(qǐng)估計(jì)符合該項(xiàng)指標(biāo)的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果取整數(shù)）.以該人數(shù)為參加航天員選拔活動(dòng)的名額，請(qǐng)計(jì)算最終通過學(xué)校選拔的人數(shù)Y的期望值.參考數(shù)值：，，.21.（12分）過拋物線上一點(diǎn)作直線交拋物線E于另一點(diǎn)N.（1）若直線MN的斜率為1，求線段的長.（2）不過點(diǎn)M的動(dòng)直線l交拋物線E于A，B兩點(diǎn)，且以AB為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)M，問動(dòng)直線l是否恒過定點(diǎn).如果有求定點(diǎn)坐標(biāo)，如果沒有請(qǐng)說明理由.22.（12分）已知函數(shù).其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）若不等式對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

焦作市博愛一中2023—2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)?參考答案一、單項(xiàng)選擇題1.【答案】C【解析】因?yàn)槊}成等差數(shù)列，所以，又?jǐn)?shù)列為等比數(shù)列，且公比不為1，所以，整理得到，又命題成等差數(shù)列，所以，即，整理得到，所以是的充要條件，故選：C.2.【答案】C【解析】即；即；，即.所以.故選：C.3.【答案】D【解析】令，故，畫出與的圖象，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，即與圖象有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則，解得.故選：D4.【答案】B【解析】由，有，即，則有，得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，是銳角，所以當(dāng)最大時(shí)，，則.故選：B.5.【答案】C【解析】作，垂足為E，連接，因?yàn)?，即，平面，故平面，平面，故，又，故平面，平面，則在內(nèi)的射影在BE上，則為AB與平面所成角，即，由于，，故為二面角的平面角，即，，在中，，則，而，則，則，故，故選：C6.【答案】B【解析】由，得，解得，又，所以.故選：B7.【答案】A【解析】要使得最大，則最小，的最小值即為圓心到直線的距離.由題意知，，，，且，所以最大時(shí)，最小.由題意知，.所以，則，即的最大值為.故選：A.8.【答案】C【解析】延展平面，可得截面,其中分別是所在棱的中點(diǎn)，直線與平面不存在公共點(diǎn)，所以平面,由中位線定理可得,在平面內(nèi)，在平面外，所以平面,因?yàn)榕c在平面內(nèi)相交，所以平面平面,所以在上時(shí)，直線與平面不存在公共點(diǎn)，因?yàn)榕c垂直，所以與重合時(shí)最小，此時(shí)，三角形的面積最小，最小值為，故選C.二、多項(xiàng)選擇題9.【答案】ABC【解析】對(duì)于A，當(dāng)x=π時(shí)，因?yàn)閑iπ=cosπ+isinπ=?1，所以eiπ+1=0對(duì)于B，12+32對(duì)于C，由eix=cosx+isinx，e?ix=cos?x+isin?x=cosx?isinx，所以對(duì)于D，由C選項(xiàng)的分析得eix?e?ix=2isinx，推不出?2≤e10.【答案】BC【解析】對(duì)于A，數(shù)據(jù)，，…，的方差為，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，回歸方程的直線斜率為負(fù)數(shù)，所以變量x與y呈負(fù)的線性相關(guān)關(guān)系，所以B正確；對(duì)于C，由，得，所以事件A與事件B獨(dú)立，所以C正確；對(duì)于D，由，即，解得或，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.11.【答案】AC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，時(shí)，曲線為，故，則曲線的離心率為，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，時(shí)，曲線為，雙曲線焦點(diǎn)在軸上，則曲線的漸近線方程為，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，若曲線是雙曲線，則，解得：，因，則曲線的焦點(diǎn)一定在軸上，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)D，若曲線是圓，則，即，，設(shè)，則得，如圖，要求的最大值，即求直線的縱截距的最小值，又因?yàn)榍€上一動(dòng)點(diǎn)，故可考慮直線與圓相切時(shí)的情況，由圓心到直線的距離為，解得，結(jié)合圖象知，即的最大值為，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.12.【答案】BCD【解析】由，得到，所以，又，，由導(dǎo)數(shù)幾何意義知，拋物線在點(diǎn)處切線斜率為，所以拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，即，又，得到，故拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，同理可得，拋物線在點(diǎn)處的切線方程為，又兩切線交于點(diǎn)，所以，從而得到直線的方程為，即，又由題知直線的方程為，所以，得到，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，聯(lián)立和，消得到，由韋達(dá)定理得，，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，又因?yàn)?，所以選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由選項(xiàng)B知，，所以，又，所以，又，故點(diǎn)在拋物線上，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，由拋物線定義知，，,又由選項(xiàng)B知，，，所以，又，所以選項(xiàng)D正確，故選：BCD.三、填空題13.【答案】【解析】由，，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，令，則有，即，解得或（舍去），故，即的取值范圍為.故答案為：.14.【答案】【解析】圓化簡為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得，∴圓心坐標(biāo)為，半徑，∵在圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，∴圓心到直線的距離應(yīng)小于或等于，由點(diǎn)到直線的距離公式，得，∴，整理得，解得，∵直線的斜率，設(shè)直線的傾斜角為，則，即，由此可得直線的傾斜角的取值范圍是.所以答案應(yīng)填：.15.【答案】【解析】由題意，米斗的示意圖如下：設(shè)棱臺(tái)上底面中心為，下底面中心為，由棱臺(tái)的性質(zhì)可知，外接球的球心落在直線上，

由題意該四棱臺(tái)上下底面邊長分別為和，側(cè)棱長為，則，，，所以，設(shè)外接球的半徑為，，則，則，解得，，所以該米斗的外接球的體積為，故答案為：.16.【答案】【解析】由條件可知，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，所以，所以；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以單調(diào)遞減，所以，所以；所以，所以，故答案為：.四、解答題17.（10分）【答案】(1)；(2)【解析】（1）設(shè)的公差為，由題意可得，解得，所以.（2）因?yàn)椋?dāng)，則；當(dāng)，則；綜上所述：.則，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，當(dāng)，則；當(dāng)，則；注意到符合上式，所以.18.（12分）【答案】(1)；(2).【解析】（1）由正弦定理及，得.因?yàn)?，所以，所以，所?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?（2）由（1）及余弦定理得：，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，設(shè)邊上的高為，又因?yàn)?，所?即邊上高的最大值為.19.（12分）【答案】(1)證明見解答；(2)【解析】（1）證明：如圖，連接，因?yàn)榈酌媸橇庑危c交于點(diǎn)，可得點(diǎn)為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以為的中位線，可得，又平面，平面，可得平面；（2）以，所在直線為，軸，過作的垂線所在直線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，因?yàn)锳BCD是菱形，，為等邊三角形，不妨設(shè)，則，，，，，可得，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，可得，不妨取，則，可得.又，可得與平面所成角的正弦值為：.20.（12分）【答案】(1)分布列見解析，；(2)【解析】（1）（1）X的所有可能取值為1，2，3，4，，，，∴X的分布列如下：X1234P.（2）.∴符合該項(xiàng)指標(biāo)的學(xué)生人數(shù)為：人每個(gè)學(xué)生通過選拔的概率對(duì)，∴最終通過學(xué)校選拔人數(shù)，∴.21.（12分）【答案】（1）；（2）有，定點(diǎn).【解析】（1）把代入中，得直線的方程：，即：與聯(lián)立得：，∴，；∴∴.（2）設(shè)直線AB的方程