SD知識資料第10章知識資料多自由度體系

中南大學土木工程學院橋梁工程系主講教師：韓建平石巖E-mail：syky86@163.com個人主頁：蘭州理工大學土木工程學院結構動力學DynamicsofStructures第10章多自由度運動方程

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Chapter10FormulationoftheMDOFEquationsofMotion結構動力學本章提要§10-1多自由度體系運動方程§10-2多自由度體系自由振動§10-3多自由度體系動力特性§10-4模態(tài)分析注意事項3§10-1多自由度體系運動方程什么是多自由度體系？

工程中所涉及的結構一般都是多自由度的，例如多層建筑結構、大跨橋梁結構、空間網(wǎng)架結構等等。為合理反映振動過程中慣性力的影響，需要采用更多的自由度描述結構體系的質量分布并確定體系的變形。4單自由度體系：

多自由度體系：

慣性力＋阻尼力＋恢復力＝外荷載{慣性力}＋{阻尼力}＋{恢復力}＝{外荷載}5預備知識若矩陣[A]存在常數(shù)λ滿足：則稱λ為矩陣[A]的特征值，{x}為矩陣對應特征值λ的特征向量。問題求解：轉化為線性代數(shù)方程上述齊次方程組有非零解條件為：系數(shù)行列式為零N×N矩陣[A]一般將有N個特征值，對應N個特征向量6§10-2多自由度體系的自由振動

多自由度體系無阻尼自由振動的方程為：

其中：[M]、[K]為N×N階的質量和剛度矩陣

{u}和{ü}是N階位移和加速度向量

{0}是N階零向量7設多自由度體系在進行自由振動時也是在作簡諧振動，多自由度體系的振動形式可寫為：{φ}—表示體系位移形狀向量，它僅與坐標位置有關，不隨時間變化，稱為振型。

ω

—簡諧振動的頻率，

θ

—相位角。上式對時間求兩次導數(shù)可得：8將位移向量{u}和加速度向量{ü}代入無阻尼自由振動方程：因為sin(ωt+θ)為任意的，可以消去，因此，上式是關于{φ}的N階齊次線性方程組，表征了振型和自振頻率的關系，稱為運動方程廣義特征值問題。由廣義特征值可解得ω和{φ}。

9方程存在非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零：是一關于ω的多項式，稱為頻率方程。將剛度陣和質量陣代入得頻率方程的具體形式：10對于N個自由度的穩(wěn)定結構體系，頻率方程是關于ω2的N次方程，由此可以解得N個正實根（ω12<ω22<ω32…<ωN2）。ωn(n=1,2,…,N)即為體系的自振頻率。其中量值最小的頻率ω1叫基本頻率(相應的周期T1=2π/ω1叫基本周期)。從以上分析可知，多自由度體系只能按一些特定的頻率即按自振頻率做自由振動。按某一自振頻率振動時，結構將保持一固定的形狀，稱為自振振型，或簡稱振型。11把相應的自振頻率ωn代入運動方程的特征方程得到振型{φ}n={φ1n,φ2n

,…,φNn}T—體系的第n階振型。由于特征方程的齊次性(線性方程組是線性相關的)，振型向量是不定的，只有人為給定向量中的某一值，例如令φ1n=1，才能確定其余的值。實際求解時就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。雖然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上會不一樣，但其比例關系是不變的。所謂振型就是結構不同點(自由度)變化時的比例關系。12以上分析方法就是代數(shù)方程中的特征值分析，自振頻率相應于特征值，而振型即是特征向量。得到體系的N個自振頻率和振型后，可以把振型和自振頻率分別寫成矩陣的形式，其中，ωn—第n階自振頻率，{φ}n—第n階振型。[Φ]和[Ω]也分別稱為振型矩陣和譜矩陣?；?35DOFwithuniformmassandstiffness145DOFBaseIsolated155DOFwithuniformmassandstiffness16算例10-1如圖(a)所示三層框架結構，各樓層的質量和層間剛度示于圖中，確定結構的自振頻率和振型。(統(tǒng)一單位制：質量：噸，力：千牛，長度：米）結構模型及各剛度元素：17算例10-1結構的質量陣、剛度陣：18算例10-1運動方程的廣義特征值問題：頻率方程：19算例10-1由頻率方程得到三個根：利用關系式可得結構的三個自振頻率：20算例10-1求振型：設φ3n=1，則則振型方程為：21算例10-1振型方程：

以上三個代數(shù)方程中僅有兩個是獨立的，可以采用任意兩個方程求得φ1n和φ2n，通過觀察發(fā)現(xiàn)，用第一個方程和第三個方程求解將避免求聯(lián)立方程組。由第一個方程：由第三個方程：一階振型：將B1=0.3515(ω1=14.522rad/s)代入上式得22算例10-1二階振型：B2=1.6066(ω2=31.048rad/s)

三階振型：B3=3.5420(ω3=46.10rad/s)

23算例10-124算例10-1從以上給出的振型圖看，對層間模型，振型特點為：一階振型不變符號，二階振型變一次符號，三階振型變二次符號。以上給出的振型的求解公式是解耦的，不用求聯(lián)立方程組，這只有當結構是層間模型時，即特征方程的系數(shù)矩陣是三對角陣時才可以實現(xiàn)，一般情況下，當特征方程的系數(shù)矩陣不為三對角陣時，必須解聯(lián)立方程組才可獲得結構的振型。25算例10-2確定由兩個梁單元構成的結構的自振頻率和自振周期，梁的彎曲剛度均為EI。忽略軸向變形，采用集中質量法,梁的質量集中到梁端,而梁成為無質量梁。結構模型及自由度：26算例10-2質量陣：剛度陣：廣義特征值問題：27算例10-2

頻率方程：頻率方程的兩個根為：

自振頻率為：28算例10-2令φ1n=1，由特征方程的第一式得：將ω1(λ1=0.5695)代入上式，得到φ21=2.097將ω2(λ2=4.0972)代入上式，得到φ22=-1.431結構的兩階振型為：29算例10-2結構振型圖：30模態(tài)分析(特征值/振型分析)概念及原理(1)振型是結構振動反應中最容易發(fā)生的變形形態(tài)；(2)N個自由度體系具有N個振動頻率和對應的振型；(3)振型曲線與軸線的交點數(shù)目=振型號減1；方程存在非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式等于零：§10-3

多自由度體系的動力特性1）振型參與系數(shù)將物理坐標以振型坐標表述帶入運動方程得到：

左乘{φ}jT，并利用振型正交性得到如下方程：振型參與系數(shù)假定：對阻尼項仍滿足正交條件：則有：一系列單自由度解耦方程：（j＝1，2，…N）左右同時除以Mj，則方程變?yōu)椋海╦＝1，2，…N）振型分解法僅需知道各振型阻尼比ξ，不需要知道阻尼矩陣[C]定義振型參與系數(shù)γj兩邊同時除以振型參與系數(shù)γj

，得到：（j＝1，2，…N）利用反應譜法，可求得主坐標最大位移或（絕對）加速度反應：基本性質§10-3

多自由度體系的動力特性

2）振型的正交性：振型的正交性是指不同振型向量滿足以下條件：即振型關于質量陣[M]和剛度陣[K]正交，也稱為加權正交。36對于兩個頻率ωn和ωm，及其振型{φ}n和{φ}m分別滿足：[M]和[K]均為對稱矩陣式兩邊同時前乘{φ}mT式兩邊同時前乘{φ}nT等式兩邊同時取轉置37以上兩式相減得：當ωm≠ωn時（即m≠n）：38例題10-1振型正交性的檢驗結構的質量陣和剛度陣分別為：而振型為：

39關于質量陣的正交性：40關于剛度陣的正交性：41對于其它振型之間的正交性同理可以檢驗例如：42例題10-2振型正交性的檢驗結構的質量陣和剛度陣分別為：而振型為：

43例題2振型正交性的檢驗關于質量陣的正交性：關于剛度陣的正交性：44如果把振型和自振頻率滿足的方程兩邊同時前乘{φ}nT，則有：其中：可以得到表達式：這與單自由度體系自振頻率的計算公式一樣。有時稱Mn和Kn為振型質量和振型剛度。振型正交性的證明方法：（1）功的互等定力(Betti定律)；（2）矩陣運算；（3）分布參數(shù)體系(§18-4)。46振型正交性的物理意義：（1）某一振型的慣性力不會在其他振型上做功，從能量的角度來說，某一振型做簡諧振動的能量不會轉移到其他振型上。（2）與某一振型相關的等效靜力在經(jīng)歷其他階振型位移時所

做的功為零。47多自由度體系的自由振動:振型和頻率

所謂振型就是結構體系在無外荷載作用時的自由振動時的位移形態(tài)，N個自由度體系有N個不同的振型。當結構按某一振型振動時，自振頻率是與之相對應的常量。因此對N個自由度體系，一般情況下有個N個自振頻率。多自由度結構的振型和自振頻率是結構的固有特性，和單自由度一樣是反映結構動力特性的主要量。因此在講到結構動力特性時，首先想到的就是結構的自振振型和頻率。48多自由度體系的自由振動：簡單總結

與單自由度結構體系相比，兩者之間相同的是都存在自振頻率，但多自由度體系有多個自振頻率，N個自由度，則一般存在N個自振頻率。新的內容是出現(xiàn)了振型的概念，對應N個自振頻率。所謂振型就是結構按某一階自振頻率振動時，結構各自由度變化的比例關系。多自由度體系的振型和頻率一樣，是結構重要特性。借助于計算機，已發(fā)展了多種行之有效的數(shù)值算法求解大規(guī)模結構體系的自振頻率和振型（稱模態(tài)分析）。49補充說明：多自由度體系共振自振頻率：如果外力頻率等于結構某階自振頻率時，多自由度系統(tǒng)也會發(fā)生與單自由度系統(tǒng)類似的共振現(xiàn)象。結構的振型：是結構振動反應中最容易發(fā)生的變形形態(tài)，而第一階振型又是所有振型中最易于出現(xiàn)的。50模態(tài)(振型、自振特性)分析的實例演示：0、背景某三層現(xiàn)澆鋼筋混凝土框架結構民用房屋，場地的鉆孔地質資料見表1。設防烈度為8度，設計基本地震加速度為0.30g，設計地震分組為第二組。結構的阻尼比為ζ=0.040?？蚣苤孛娉叽鐬?00×500mm，框架梁截面尺寸為250×600mm。結構第一層重力荷載代表值為6500kN，第二層和第三層的重力荷載代表值均為6000kN。梁柱混凝土強度等級均為C35，主筋用HRB335級鋼，箍筋采HPB235級鋼。底層層高為3.8m，第二層和第三層層高為3m。§10-4模特分析實例演示和注意事項51（1）模態(tài)分析解析解結構相關參數(shù)：52（2）軟件分析(MIDAS、SAP2k、OpenSees)1）注意的問題(1)表1中每層的剛度是單根柱子假設兩端固定計算得來的，3根柱子并聯(lián)，即K=3*12EI/l^2。(2)由于剛度計算時假設兩端固定，故在建模時需約束3個質點出的轉動自由度。(3)軟件分析時一般輸入的是截面和材料特性，但本例中是3根柱子并聯(lián)，故需要通過剛度一致的等效計算，將3根柱子劃算成單根柱子的截面。本例中，換算后的柱子截面大小為0.658m×0.658m。532）MIDAS按圖2所示的簡化圖建立4個節(jié)點、3個單元的模型，賦予集中質量。注意MIDAS中質量的單位，當體系單位為N和m時，對應的質量單位

為N/g，其實等同于kg，可通過在“查詢-質量統(tǒng)計表格”來驗證。3）SAP2000分別采用梁單元和彈簧單元建立模型，彈簧單元的好處在于不需要輸入截面和材料特性，直接輸入每層的剛度即可。4）OpenSees

建立采用梁單元的2D和3D模型。54解析解OpenSees3D梁單元OpenSees2D梁單元MIDAS

梁單元SAP2000

梁單元SAP2000

彈簧單元第1階0.3830.38250.38250.40660.39810.3824第2階0.1220.1220.12200.12890.12830.1220第3階0.0770.0770.07700.08200.08130.0770（3）軟件分析結果1）周期計算結果如表3所示，可見基于OpenSees和SAP2000彈簧單元的計算結果最接近解析解。周期結果對比552）

振型表3為振型2D模型計算得到的振型坐標，通過對頂點歸一化，如表4所示，可見與解析解完全一致。振型如圖3所示(源自MIDAS)。

節(jié)點2節(jié)點3節(jié)點4第1階0.0433190.0588630.067146第2階-0.07358-0.013410.063027第3階-0.044360.07972-0.03898表4

歸一化振型坐標

節(jié)點2節(jié)點3節(jié)點4第1階0.6450.8771第2階-1.168-0.2131第3階1.138-2.0451表3

振型坐標相關內容鏈接：/post/16.html56

Matlab求解程序：57function[M]=lumpMass(m)%該函數(shù)計算集中質量結構的質量矩陣；%結構的各層質量m，m是一個1*n的向量；%形成的質量矩陣為n*nM=diag(m);function[K]=stiffnessShear(k)%該函數(shù)計算平面剪切型結構的剛度矩陣；%結構的各層剪切剛度k，k是一個1*n的向量；%形成的剛度矩陣為n*ncn=length(k);K=zeros(cn);fori=1:cn-1;K(i,i)=k(i)+k(i+1);K(i,i+1)=-k(i+1);K(i+1,i)=-k(i+1);endK(cn,cn)=k(cn);%三層框架模態(tài)分析計算主程序：%剛度N/m;質量kgm=[10.8*10^4,10*10^4,10*10^4];%輸入樓板質量M=lumpMass(m);%計算質量矩陣k=[10.77*10^7,21.88*10^7,21.88*10^7];%輸入剛度K=stiffnessShear(k);%計算剛度矩陣symsW%定義變量頻率ww=double(solve(det(K-M*W^2),'Real',true));%計算圓頻率Locate=find(w<0);%找到小于0的元素的位置w(Locate)=[];%刪除小于0的元素w=sort(w);%圓頻率矩陣從小到大排列T=2*pi./w;%計算周期%計算振型（解齊次方程組）v=reshape(w,1,length(M));ww=diag(w*v);%取對角元素得圓頻率平方fori=1:1:length(M)r(i)=rank(K-M*ww(i,1));%%計算矩陣得的秩Z(1:1:length(M),i)=null(K-M*ww(i,1),'r(i)’);%%振型end%將第三層的位移定為1forj=1:1:length(M)ZM(1:1:length(M),j)=Z(1:1:length(M),j)/Z(length(M),j);end

Matlab求解程序：58%----------繪制振型圖--------------------%輸入樓層高度H=[03.86.89.8];add=zeros(1,length(M));ZMM=[add;ZM];subplot(221)plot(ZMM(1:1:length(H),1),H)axis([-1010010]);%第一振型圖title('第一振型圖')holdonx=[0000];plot(x,H,'--r')subplot(222)plot(ZMM(1:1:length(H),2),H)axis([-1010010]);%第二振型圖title('第二振型圖')holdonx=[0000];plot(x,H,'--r')subplot(223)plot(ZMM(1:1:length(H),3),H)axis([-1010010]);%第三振型圖title('第三振型圖')holdonx=[0000];plot(x,H,'--r')模態(tài)(振型、自振特性)分析的注意事項：1、什么是結構的動力特性？什么是振型，有何特征？振型：結構體系自由振動時的位移形態(tài)。N個自由度體系有N個不同的振型。當結構按某一自振頻率振動時，結構將保持一固定的形狀，稱為振型。自振頻率（周期）：當結構按某一振型振動時的頻率。對N個自由度體系，一般情況下有個N個自振頻率。結構的自振頻率與振型是相互對應的。結構的振型和自振頻率是結構的固有特性，因此在介紹結構動力特性時，首先提及的就是結構的自振頻率和振型。結構的自振周期從第1階到N階，依次減小(柔→剛)。振型曲線與軸線的交點數(shù)目=振型號減1。592、振型是結構振動反應中最容易發(fā)生的變形形態(tài)；模態(tài)分析是動力分析的基礎，是驗證動力模型正確性的常用方法(1)工程背景南盤江大橋由主橋（(120+220+120)m的三跨連續(xù)剛構橋）+引橋（4*40m標準簡支T梁）組成。主橋橋墩為混凝土雙薄壁墩，其中1號墩88m，2號墩85m；引橋橋墩為鋼筋混凝土空心墩，其中3號墩39.72m（交接墩），4號墩54.546m，5號墩54.546m，6號墩50.056m。60(2)自振特性(周期)周期

振型描述主橋主橋+引橋（MIDAS）主橋+引橋（OpenSees）主橋主橋+引橋13.873.893.87主橋和主墩沿橫橋向振動主橋沿橫橋向振動22.482.672.71主橋繞橫橋向的二階振動全橋沿縱橋向振動32.162.492.49主橋和主墩沿縱橋向振動主橋繞橫向的二階振動41.47

2.452.47主橋Z向振動主橋和引橋沿縱橋向振動51.461.701.75主橋沿橫橋向三階振動引橋沿橫橋向振動60.921.601.61主橋沿Z向振動引橋沿縱橋向振動70.901.531.57主橋沿橫橋向四階振動主橋和引橋沿橫橋向振動80.731.521.53主橋沿Z向振動主橋和引橋沿橫向三階振動90.631.501.46

主橋沿橫橋向五階振動主橋Z向振動100.571.371.38主橋和主墩沿縱橋向振動引橋沿橫橋向振動結構或構件間的耦合作用模型驗證(不同軟件)61(3)自振特性(振型)主橋主橋+引橋

第1振型第2振型62第3振型第4振型第5振型63第6振型第7振型第8振型64第10振型第9振型653、模態(tài)分析通常是線性分析

支座模擬：板式橡膠支座--線性彈簧單元模擬；活動盆式(滑板)支座--雙線性理想彈塑性彈簧單元模擬；LRB--雙線性彈簧單元模擬；雙線性彈簧單元：Plastic(Wen)RubberIsolator一次剛度屈服強度r=k2/k1屈服指數(shù)<20等效剛度等效阻尼664、周期和振型是結構的固有特性，只與[M]/[K]/邊界有關(1)工程背景京杭運河大跨度連續(xù)梁拱橋（62+132+62）m，連續(xù)梁拱橋是連續(xù)梁和鋼管混凝土拱肋的組合體系。主梁粱體采用變高度單箱單室、直腹板截面，拱肋截面為鋼管混凝土組合截面。連續(xù)梁拱橋（62+132+62）m總體布置(2)自振特性(周期)

全橋(無支撐)振型階數(shù)T/MIDAST/OpenSees全橋振型的描述12.2952.322拱肋的橫向振動21.3231.335拱肋的二階橫向振動31.0341.05主橋的橫橋向振動40.8440.745主橋的縱向漂移50.8210.737主橋左端的橫向振動60.7750.733主橋右端的橫向振動70.6860.679拱肋的扭轉80.5050.487主橋的二階橫向振動90.4230.403拱肋的扭轉100.3260.315主橋的三階橫向振動110.3120.295主橋的三階反橫向振動68(2)自振特性(周期)

全橋(加12個支撐)——增加剛度[K]振型階數(shù)T/MIDAST/OpenSees全橋振型的描述12.2962.323拱肋的橫向振動21.3241.335拱肋的二階橫向振動31.0511.05主橋的橫橋向振動40.8630.737主橋左端橫向振動5