備戰(zhàn)2024年高考模擬數(shù)學(xué)試卷01(新高考Ⅱ數(shù)學(xué)試卷專用)(解析版)

PAGEPAGE1備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)模擬卷01（新高考Ⅱ卷專用）第I卷（選擇題）一、單項(xiàng)選擇題1．設(shè)集合，，且，則（

）A．6 B．4 C． D．〖答案〗D〖解析〗，，∵，∴，∴，故選：D.2．已知，則（

）.A． B． C．2 D．1〖答案〗C〖解析〗由，得，則，所以.故選：C.3．已知的圖象與直線在區(qū)間上存在兩個(gè)交點(diǎn)，則當(dāng)最大時(shí)，曲線的對(duì)稱軸為（

）A．， B．，C．， D．，〖答案〗D〖解析〗當(dāng)時(shí)，要使得的圖象與直線存在兩個(gè)交點(diǎn)，則，解得，又因?yàn)?，所以，所以，此時(shí)曲線的對(duì)稱軸為，，解得，，故選：D4．函數(shù)的圖像大致為（

）A．

B．

C．

D．

〖答案〗C〖解析〗設(shè)，對(duì)任意，，所以，所以的定義域?yàn)?，，所以函?shù)為奇函數(shù).令，可得，即，所以，可得，由可得，解得，所以的定義域?yàn)?，又，所以函?shù)為奇函數(shù)，排除BD選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，則，，所以，排除A選項(xiàng).故選：C5．如圖，正方形中，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（

）

A． B． C． D．4〖答案〗C〖解析〗正方形中，，則，而，則，又點(diǎn)共線，于是，即，而，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故選：C6．謝爾賓斯基（Sierpinski）三角形是一種分形，它的構(gòu)造方法如下：取一個(gè)實(shí)心等邊三角形（如圖1），沿三邊中點(diǎn)的連線，將它分成四個(gè)小三角形，挖去中間小三角形（如圖2），對(duì)剩下的三個(gè)小三角形繼續(xù)以上操作（如圖3），按照這樣的方法得到的三角形就是謝爾賓斯基三角形．如果圖1三角形的邊長(zhǎng)為2，則圖4被挖去的三角形面積之和是（

）

A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗第一種挖掉的三角形邊長(zhǎng)為，共個(gè)，面積為；第二種挖掉的三角形邊長(zhǎng)為，共個(gè)，面積為，第三種挖掉的三角形邊長(zhǎng)為，共個(gè)，面積為，故被挖去的三角形面積之和是.故選：D7．已知函數(shù)滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．〖答案〗D〖解析〗依題意，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有成立，不妨設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞減，所以，解得.故選：D8．已知雙曲線右支上非頂點(diǎn)的一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為為雙曲線的右焦點(diǎn)，若，設(shè)，且，則該雙曲線的離心率的取值范圍為（

）A． B． C． D．〖答案〗C〖解析〗如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，連接，，因?yàn)?，則四邊形為矩形，所以，則，．．．即，則，因?yàn)?，則，可得，即，所以，即雙曲線離心率的取值范圍是，故選：C．二、多項(xiàng)選擇題9．已知圓M：，則下列關(guān)于圓M的結(jié)論正確的是（

）A．點(diǎn)在圓M內(nèi)B．圓M關(guān)于直線對(duì)稱C．圓M與圓O：相切D．若直線l過點(diǎn)，且被圓M截得的弦長(zhǎng)為，則l的方程為〖答案〗BC〖解析〗圓的方程為，即圓心為，半徑為，對(duì)于A：因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)椋詧A心在直線上，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：因?yàn)閳AO、圓的圓心距為，兩圓的半徑差為，所以兩圓內(nèi)切，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，其方程為，圓心到直線l的距離為，直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為，當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，圓心到直線l的距離為，解得，可得直線l的方程為，綜上所述，直線l的方程為或，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.10．下列說法正確的是（

）A．若數(shù)據(jù)的方差為1，則新數(shù)據(jù)，，…，的方差為1B．已知隨機(jī)事件A和B互斥，且，，則等于0.5．C．“”是直線與直線互相垂直的充要條件D．無論實(shí)數(shù)λ取何值，直線恒過定點(diǎn)〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：若數(shù)據(jù)的方差為1，則新數(shù)據(jù)，，…，的穩(wěn)定程度沒有發(fā)生改變，方差還是，A正確；對(duì)于B：隨機(jī)事件A和B互斥，且，，則，則，B正確；對(duì)于C：若直線與直線互相垂直，則，解得或，故“”是直線與直線互相垂直的充分不必要條件，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：直線即為，令，解得，即無論實(shí)數(shù)λ取何值，直線恒過定點(diǎn)，D正確.故選：ABD.11．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的有（

）A．當(dāng)點(diǎn)是中點(diǎn)時(shí)，直線平面；B．直線到平面的距離是；C．存在點(diǎn)，使得；D．面積的最小值是〖答案〗AC〖解析〗對(duì)于A，由是中點(diǎn)，，得點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，顯然也是的中點(diǎn)，連接，于是，而平面，平面，所以直線平面，A正確；對(duì)于B，分別是棱的中點(diǎn)，則，平面，平面，于是平面，因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離h，，，，，由，得，B錯(cuò)誤；以A為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，,對(duì)于C，設(shè)，則，，，，由，得，解得，由于，因此存在點(diǎn)，使得，C正確；對(duì)于D，由選項(xiàng)C得在的投影點(diǎn)為，則P到的距離，面積為，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，D錯(cuò)誤.故選：AC12．已知、都是定義在上的函數(shù)，且為奇函數(shù)，的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則下列說法中一定正確的是（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱〖答案〗AD〖解析〗因?yàn)槭嵌x在上的函數(shù)，且為奇函數(shù)，所以，故A正確；因?yàn)槭嵌x在上的函數(shù)，且的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以，不一定為0，故B錯(cuò)誤；C明顯錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確.故選：AD第II卷（非選擇題）三、填空題13．已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，則實(shí)數(shù)的值為.〖答案〗〖解析〗因?yàn)榈恼归_式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，令，可得，解得.故〖答案〗為：.14．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，且，則．〖答案〗〖解析〗等差數(shù)列的前項(xiàng)和分別為，且，所以.故〖答案〗為：15．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，，，則的最大值為．〖答案〗〖解析〗由題意，,所以消去得，由,得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，∴原式故〖答案〗為：.16．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)M是對(duì)角線上的點(diǎn)（點(diǎn)M與A、不重合），則下列結(jié)論正確的是.（請(qǐng)?zhí)顚懶蛱?hào)）

①存在點(diǎn)M，使得平面平面；②存在點(diǎn)M，使得平面；③若的面積為S，則；④若、分別是在平面與平面的正投影的面積，則存在點(diǎn)M，使得.〖答案〗①②④〖解析〗連接,,

①設(shè)平面與對(duì)角線交于M,由,，且平面，平面，且，所以平面，即平面,所以存在點(diǎn)M，使得平面平面，所以①正確；②連接,,由，平面，平面，所以平面，同理由可得平面，又，平面，平面，所以平面平面，設(shè)平面與交于點(diǎn)M，則平面，所以平面，所以②正確；③連接交于點(diǎn)O,過O點(diǎn)作,

在正方體中，由①平面，同理可證平面，且平面，所以,所以O(shè)M為異面直線與的公垂線,根據(jù),所以,即,此時(shí)的面積為,所以③不正確；

④設(shè)點(diǎn)在平面的正投影為，在平面的正投影為如圖，因?yàn)槠矫?，則在平面內(nèi)的射影為，由，則，故在點(diǎn)從的中點(diǎn)向著點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)也從的中點(diǎn)向著點(diǎn)運(yùn)動(dòng).由平面，則，故當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，正投影也為中點(diǎn)，此時(shí)在平面的正投影的面積，因此，在點(diǎn)從的中點(diǎn)向著點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中，的面積即從1減少到趨向于0,即,同理，在點(diǎn)從的中點(diǎn)向著點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)的過程中，點(diǎn)也從的中點(diǎn)向著點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，的面積即從0開始增加，當(dāng)與重合時(shí)，正投影與重合，此時(shí)在平面的正投影的面積，所以,故在此過程中,必存在某個(gè)點(diǎn)使得,所以④正確,故〖答案〗為：①②④.四、解答題17．已知點(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)．(1)求的值；(2)若將角終邊繞著坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，求的值．解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)是角終邊上一點(diǎn)，所以，，，(2)將角終邊繞著坐標(biāo)原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到角的終邊，故，所以18．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，滿足：．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證．(1)解：當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，由①，可得，②①②得：，即．，．是以1為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式．(2)證明：由（1）可得，，，，，，，，.19．如圖，在四棱柱中，四棱錐是正四棱錐，.

(1)求與平面所成角的正弦值；(2)若四棱柱的體積為16，點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離.解：(1)因?yàn)樗睦忮F是正四棱錐，連接交于點(diǎn)，則，連接，則平面，所以兩兩垂直.如圖所示，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，因?yàn)椋?則，設(shè)與交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，所以，，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，得，取，得，直線的一個(gè)方向向量為，設(shè)與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.(2)因?yàn)樗睦庵捏w積為，所以，由(1)知，，.因?yàn)?，則，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，得，取，得，所以點(diǎn)到平面的距離為.20．第19屆亞運(yùn)會(huì)于9月23日至10月8日在杭州舉行，某學(xué)校為持續(xù)營(yíng)造全民參與亞運(yùn)、服務(wù)亞運(yùn)、奉獻(xiàn)亞運(yùn)的濃厚氛圍舉辦“心心相融·愛答亞運(yùn)”知識(shí)挑戰(zhàn)賽．挑戰(zhàn)者向守擂者提出挑戰(zhàn)，規(guī)則為挑戰(zhàn)者和守擂者輪流答題，直至一方答不出或答錯(cuò)，則另一方自動(dòng)獲勝．若賽制要求挑戰(zhàn)者先答題，守擂者和挑戰(zhàn)者每次答對(duì)問題的概率都是，且每次答題互不影響．(1)若在不多于兩次答題就決出勝負(fù)，則挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少?(2)在此次比賽中，挑戰(zhàn)者獲勝的概率是多少?(3)現(xiàn)賽制改革，挑戰(zhàn)者需要按上述方式連續(xù)挑戰(zhàn)8位守擂者，每次挑戰(zhàn)之間相互獨(dú)立，當(dāng)戰(zhàn)勝至少三分之二以上的守擂者時(shí)，則稱該挑戰(zhàn)者勝利．若再增加1位守擂者時(shí)，試分析該挑戰(zhàn)者勝利的概率是否增加?并說明理由．解：(1)設(shè)事件為挑戰(zhàn)者獲勝，事件為不多于兩次答題比賽結(jié)束．．(2)設(shè)為先答題者獲勝的概率，則，解得，所以挑戰(zhàn)者獲勝的概率是.(3)設(shè)隨機(jī)變量為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)8人時(shí)戰(zhàn)勝得守擂者人數(shù)，為此時(shí)挑戰(zhàn)者獲勝的概率；為挑戰(zhàn)者連續(xù)挑戰(zhàn)9人時(shí)戰(zhàn)勝得守擂者人數(shù)，為此時(shí)挑戰(zhàn)者獲勝的概率．，，顯然，，即該挑戰(zhàn)者勝利的概率沒有增加．21．已知橢圓：，點(diǎn)、分別是橢圓的左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（不與x軸重合）交橢圓于A，B兩點(diǎn)．

(1)求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求的面積；(3)是否存在直線，使得點(diǎn)B在以線段為直徑的圓上，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：(1)由左焦點(diǎn)、左頂點(diǎn)可知：，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)因?yàn)?，，則過的直線的方程為：，即，解方程組，解得或，所以的面積.(3)若點(diǎn)B在以線段為直徑的圓上，等價(jià)于，即，設(shè)，則，因?yàn)?，則，令，解得：或，又因?yàn)?，則不