福建省福州市九師教學(xué)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1福建省福州市九師教學(xué)聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期1月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題意的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗根據(jù)集合的并集運(yùn)算，得.故選：C.2.下列命題中的真命題是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗B〖解析〗選項(xiàng)A：若，則不成立，即A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：由不等式性質(zhì)可知：若，則有，即B正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，由，可得，即C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，有成立，但此時(shí)，，由可知，不成立，即D錯(cuò)誤.故選：B.3.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由得，則函數(shù)的定義域?yàn)椋懦x項(xiàng)C；又，所以為偶函數(shù)，則圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，排除選項(xiàng)D；當(dāng)時(shí)，，排除選項(xiàng)B；因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，選項(xiàng)A中圖象符合.故選：A.4.“且”是“的終邊在第二象限”的（）A.充分非必要條件 B.必要非充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件〖答案〗C〖解析〗在角終邊上任取點(diǎn)（異于原點(diǎn)）其坐標(biāo)為，，若且，所以，且，可得，所以的終邊在第二象限，所以“且”是“的終邊在第二象限”的充分條件，若的終邊在第二象限，則，所以，且，所以“且”是“的終邊在第二象限”的必要條件，綜上“且”是“的終邊在第二象限”的充要條件.故選：C5.已知，則等于（）A. B.2 C.0 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，所?故選：D.6.生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一個(gè)新的環(huán)境，從而對(duì)入侵地的生態(tài)系統(tǒng)造成危害的現(xiàn)象，若某入侵物種的個(gè)體平均繁殖數(shù)量為，一年四季均可繁殖，繁殖間隔為相鄰兩代間繁殖所需的平均時(shí)間．在物種入侵初期，可用對(duì)數(shù)模型（為常數(shù)）來描述該物種累計(jì)繁殖數(shù)量與入侵時(shí)間（單位：天）之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，且，在物種入侵初期，基于現(xiàn)有數(shù)據(jù)得出．據(jù)此估計(jì)該物種累計(jì)繁殖數(shù)量是初始累計(jì)繁殖數(shù)量的倍所需要的時(shí)間為（）天．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：）A.19.5 B.20.5 C.18.5 D.19〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，，，所以，解得，設(shè)初始時(shí)間為，初始累計(jì)繁殖數(shù)量為，累計(jì)繁殖數(shù)量是初始累計(jì)繁殖數(shù)量的倍的時(shí)間為，則（天．故選：A.7.已知命題：為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意知命題：為假命題，則命題：為真命題，故當(dāng)時(shí)，，即為，符合題意；當(dāng)時(shí)，需滿足，解得，綜合可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：D.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)闉槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若，則（）A.B.C.D.〖答案〗A〖解析〗由為奇函數(shù)，得，故①，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；由為偶函數(shù)，得②，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；由①②得，則，故的周期為，所以，由，令得，即③，已知，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，又函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，得，所以，即，所以④，聯(lián)立③④解得，故時(shí)，，由關(guān)于對(duì)稱，可得.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.在每小題所給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)是符合題意的.）9.已知實(shí)數(shù)，，滿足，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗A選項(xiàng)，因?yàn)閱握{(diào)遞增，又，所以，A正確；B選項(xiàng)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，因?yàn)椋?，，故，，即，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，在上單調(diào)遞減，而，所以，C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，而，故，因?yàn)閱握{(diào)遞減，而，故，所以，D正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的最小正周期為 B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 D.在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：，A正確；對(duì)于B：，B正確；對(duì)于C：，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，故在區(qū)間上有兩個(gè)零點(diǎn)，D正確.故選：ABD.11.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.若終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則B.若角為銳角，則為鈍角C.若圓心角為的扇形的弧長(zhǎng)為，則該扇形的面積為D.若，且，則〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A，到原點(diǎn)的距離為，若時(shí)，；若時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，則B錯(cuò)誤；對(duì)于C，設(shè)扇形的半徑為，則，解得：，所以扇形面積，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，則，所以，所以，解得或，因?yàn)椋?，且，所以，所以，故D正確.故選：AB.12.若，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期是B.的對(duì)稱軸方程為，C.存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都存在且，滿足，D.若函數(shù)，，（是實(shí)常數(shù)），有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，則〖答案〗AD〖解析〗由題設(shè)，所以，故，由的最小正周期為，則的最小正周期為，同理的最小正周期為，則的最小正周期為，A正確；對(duì)于，令，則對(duì)稱軸方程為且，B錯(cuò)誤；對(duì)任意有，，且滿足且，而的圖象如下：所以，則，所以，或，無解，即不存在這樣的a，C錯(cuò)誤；由可轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，而上圖象如下：函數(shù)有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，由圖知：，此時(shí)共有9個(gè)零點(diǎn)，、、、、、、，，所以，D正確.故選：AD.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分.）13.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則等于__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)槭嵌x在上的偶函數(shù)，所以.故〖答案〗為：.14.高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù).例如：.已知函數(shù)，則函數(shù)的值域是__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋x域?yàn)?，因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞增，則在定義域上單調(diào)遞減，所以在定義域上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，；所以，當(dāng)時(shí)，則，于是；當(dāng)時(shí)，則，于是；當(dāng)時(shí)，，綜上所述，的值域?yàn)?故〖答案〗為：.15.設(shè)是第二象限角，為其終邊上一點(diǎn)，且，則_________.〖答案〗〖解析〗由題設(shè)，則且，可得，所以.故〖答案〗為：.16.若是一個(gè)三角形的內(nèi)角，且函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是__________．〖答案〗〖解析〗函數(shù)，令，解得：，令，解得：，則的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，則，是一個(gè)三角形內(nèi)角，，，，要使，只能令，得，且，此時(shí)，則，則，解得，是一個(gè)三角形的內(nèi)角，，若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，則，，，要使，只能令，得，且，此時(shí)，則，則，解得，與矛盾，函數(shù)在區(qū)間上是不能是單調(diào)遞減函數(shù)，綜上所述，.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，滿分70分.除第17小題10分以外，每小題12分.）17.已知：實(shí)數(shù)滿足，.（1）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知：實(shí)數(shù)滿足.若存在實(shí)數(shù)，使得是的必要不充分條件，則求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（1）時(shí)，由不等式可得：，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.（2）由不等式可得：，因，故，則有：，因是的必要不充分條件，故，則，故得：即實(shí)數(shù)的取值范圍為.18.已知.（1）化簡(jiǎn)；（2）已知，求的值.解：（1）.（2）因?yàn)?，所以，?19.已知函數(shù)（且，為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，.（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù)，求在上的值域.解：（1）因?yàn)榈膱D象經(jīng)過點(diǎn)，，所以，兩式相減得，又且，解得或（舍去），則.（2）由（1）得，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則，，故在上的值域?yàn)?20.近幾年，隨著網(wǎng)絡(luò)的不斷發(fā)展和進(jìn)步，直播平臺(tái)作為一種新型的學(xué)習(xí)方式，正逐漸受到越來越多人們關(guān)注和喜愛．某平臺(tái)從2020年建立開始，得到了很多網(wǎng)民的關(guān)注，會(huì)員人數(shù)逐年增加．已知從2020到2023年，該平臺(tái)會(huì)員每年年末的人數(shù)如下表所示（注：第4年數(shù)據(jù)為截止2023年10月底的數(shù)據(jù)）建立平臺(tái)第年1234會(huì)員人數(shù)（千人）28405882（1）請(qǐng)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，從下列三個(gè)模型中選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)哪Ｐ凸浪憬⒃撈脚_(tái)年后平臺(tái)會(huì)員人數(shù)（千人），求出你所選擇模型的〖解析〗式，并預(yù)測(cè)2023年年末會(huì)員人數(shù)：①，②（且），③（且）；（2）為了更好的維護(hù)管理平臺(tái)，該平臺(tái)規(guī)定會(huì)員人數(shù)不能超過千人，請(qǐng)根據(jù)（1）中你選擇的函數(shù)模型求的最小值．解：（1）由表格中的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)是一個(gè)增函數(shù)，且函數(shù)增長(zhǎng)得越來越快，故選擇模型③較為合適，由表格中的數(shù)據(jù)可得，解得，所以，函數(shù)模型的〖解析〗式為，預(yù)測(cè)年年末的會(huì)員人數(shù)為千人.（2）由題意可得，令，則，則，令，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，故，故的最小值為.21.已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1），，當(dāng)時(shí)，，在上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時(shí)，在上是單調(diào)增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）可得，當(dāng)時(shí)，，由不等式恒成立，得恒成立，即在時(shí)恒成立，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的最大值為.得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.22.若函數(shù)在定義域上滿足，且時(shí)，定義域?yàn)榈臑榕己瘮?shù).（1）求證：函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增；（2）若在區(qū)間上，；在上的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.（i）求函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的〖解析〗式；（ii）若關(guān)于x的不等式，對(duì)任意定義域內(nèi)的恒成立，