廣東省惠州市2024屆高三上學(xué)期第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省惠州市2024屆高三上學(xué)期第三次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題1.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意可得，則.故選：C.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)閦在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以，則，又，所以，即.故選：C．3.對(duì)于數(shù)列，“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”（）A.充分非必要條件； B.必要非充分條件；C.充要條件； D.既非充分又非必要條件.〖答案〗C〖解析〗若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則(為常數(shù))，由等差數(shù)列的定義可得數(shù)列為等差數(shù)列；若數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為，公差為，則通項(xiàng)公式為，令，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫為，為常數(shù)，.所以對(duì)于數(shù)列，“”是“數(shù)列為等差數(shù)列”的充要條件.故選：C.4.將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，若2個(gè)0相鄰，則有種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有種排法，所以2個(gè)0不相鄰的概率為.故選：C.5.將最小正周期為的函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，則下列關(guān)于函數(shù)的說法正確的是（）A.對(duì)稱軸為， B.在內(nèi)單調(diào)遞增C.對(duì)稱中心為， D.在內(nèi)最小值為〖答案〗C〖解析〗因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，解得，則由平移變換可得，A選項(xiàng)：令得對(duì)稱軸方程為，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：由得，所以在上單調(diào)遞增，由得，所以在上單調(diào)遞減，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：令得，所以的對(duì)稱中心為，C正確；D選項(xiàng)：因?yàn)?，，所以結(jié)合B中分析可得在內(nèi)的最小值為，D錯(cuò)誤.故選：C.6.設(shè)是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線的一條漸近線的垂線，垂足為.若，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由雙曲線，可得，漸近線方程為，如圖所示，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為，在直角中，可得，在中，由余弦定理得，即，所以，又由，所以，可得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對(duì)立體幾何有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如將有三條棱互相平行且有一個(gè)面為平行四邊形的五面體稱為芻甍，今有一芻甍，底面為平行四邊形，面，記該芻甍的體積為，三棱錐的體積為，，，若，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)槊?，且底面為平行四邊形，所以，所以，所以，所以，整理得，即，故選：B8.設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，則下列說法中一定正確的是（）A.是奇函數(shù)B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.點(diǎn)（其中）是函數(shù)的對(duì)稱中心D.〖答案〗C〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以的圖象關(guān)于中心對(duì)稱；又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，令，得，所以，所以，所以，所以關(guān)于對(duì)稱，所以，所以一定不是奇函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，兩邊求?dǎo)得，即，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，由A可知，關(guān)于對(duì)稱，又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，，所以的一個(gè)對(duì)稱中心為，又因，所以，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱，則點(diǎn)（其中）是函數(shù)的對(duì)稱中心，故正確；對(duì)于D，因?yàn)?，關(guān)于對(duì)稱，所以，又因?yàn)榈膱D象關(guān)于中心對(duì)稱，所以的周期為，所以，故，所以而的值不確定，故錯(cuò)誤.故選：C．二、多項(xiàng)選擇題9.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，因?yàn)?，則，，所以，即，故A正確；對(duì)于B，由，假設(shè)，有，又，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，可知，，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，所以，故D正確.故選：ACD.10.德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet，1805-1859），是〖解析〗數(shù)論的創(chuàng)始人之一．他提出了著名的狄利克雷函數(shù)：，以下對(duì)的說法正確的是（）A.B.的值域?yàn)镃.存在是無理數(shù)，使得D.，總有〖答案〗ABD〖解析〗由，可得的值域?yàn)椋?，故選項(xiàng)A、B正確；因?yàn)楫?dāng)是無理數(shù)時(shí)，且是無理數(shù)，所以，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)是無理數(shù)時(shí)，均為無理數(shù)，此時(shí)有，當(dāng)是有理數(shù)時(shí)，均為有理數(shù)，此時(shí)有所以，總有，故選項(xiàng)D正確.故選：ABD11.在中，，則下列說法正確的是（）A. B.C.的最大值為 D.〖答案〗ACD〖解析〗因?yàn)?，，所以，所以，，故A選項(xiàng)正確；所以，，即；所以，故D選項(xiàng)正確；所以，即或，所以或，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)，不滿足內(nèi)角和定理；當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，此時(shí)，滿足題意.綜上，的最大值為，故C選項(xiàng)正確.故選：ACD12.在四面體中，，，，，分別是棱，，上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足均與面平行，則（）A.直線與平面所成的角的余弦值為B.四面體被平面所截得的截面周長(zhǎng)為定值1C.三角形的面積的最大值為D.四面體的內(nèi)切球的表面積為〖答案〗CD〖解析〗對(duì)于A，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接,由于，故，而，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，則即為直線與平面所成的角，又,而，故，則,所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)平面棱的交點(diǎn)為，因?yàn)椤纹矫媲移矫?平面平面,所以∥，由題意可知，否則，重合，不合題意，故四邊形為梯形，同理可得四邊形為梯形，所以，，又，所以，所以，又∥，同理可證∥，則∥，同理可證∥，則四邊形為平行四邊形，故四邊形的周長(zhǎng)為2，即四面體被平面所截得的截面周長(zhǎng)為定值2，故錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槠矫?，平面，所以，而∥，所以，同理可證∥，所以，結(jié)合,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即三角形的面積的最大值為，故正確；對(duì)于D，由以上分析可知,所以，而平面，，故，而,設(shè)四面體的內(nèi)切球的半徑為，則即，解得，故四面體的內(nèi)切球的表面積為，故正確.故選：CD.三、填空題13.某電池廠有A，B兩條生產(chǎn)線，現(xiàn)從A生產(chǎn)線中取出產(chǎn)品8件，測(cè)得它們的可充電次數(shù)的平均值為210，方差為4；從B生產(chǎn)線中取出產(chǎn)品12件，測(cè)得它們的可充電次數(shù)的平均值為200，方差為4．則20件產(chǎn)品組成的總樣本的方差為____________．（參考公式：已知總體分為2層，通過分層隨機(jī)抽樣，各層抽取的樣本量、樣本平均數(shù)和樣本方差分別為：，，；，，．記總的樣本平均數(shù)為，樣本方差為，則；）〖答案〗28〖解析〗總體的平均數(shù)，則其方差．故〖答案〗為：28．14.若為偶函數(shù)，則_________.（填寫符合要求的一個(gè)值）〖答案〗，填寫符合Z的一個(gè)即可〖解析〗，只要，就偶函數(shù)，，Z，填寫一個(gè)即可，如.故〖答案〗為：，填寫符合Z的一個(gè)即可.15.如圖，在三棱錐中，已知平面，，，則向量在向量上的投影向量為___________（用向量來表示）.〖答案〗〖解析〗由題意，在三棱錐中，已知平面，,∵面，∴，在中，，，∴,，∴向量在向量上的投影向量為：，故〖答案〗為：.16.已知N為拋物線上的任意一點(diǎn)，M為圓上的一點(diǎn)，，則的最小值為__________．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意可得拋物線與圓都關(guān)于軸對(duì)稱，且圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為.因?yàn)?，圓下方與軸交點(diǎn)坐標(biāo)為，取線段中點(diǎn)，中點(diǎn)，可得，連接，畫出示意圖如上圖所示.因?yàn)?、分別為和的中點(diǎn)，所以，，所以，又因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線時(shí)取到等號(hào)，此時(shí)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn).所以的最小值即為的最小值.因?yàn)镹為拋物線上的任意一點(diǎn)，設(shè)，，因?yàn)?，則，當(dāng)時(shí)，，即的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題17.如圖，在四棱錐中，底面滿足，，底面，且，．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的余弦值．（1）證明：由題意得底面，底面，故，又，且平面，故平面；（2）解：由題意知，底面，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由于，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,即，令，則；平面平面一個(gè)法向量可取為，故，故平面與平面的夾角的余弦值為.18.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知（1）求角；（2）是的角平分線，若，，求的面積．解：（1）由，得：，即，又，所以.（2）在中，得：①，又，得：，化簡(jiǎn)得：②，由①②得：，所以19.魔方是民間益智玩具，能培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，鍛煉眼腦的協(xié)調(diào)性，全面提高專注力、觀察力、反應(yīng)力.基于此特點(diǎn)某小學(xué)開設(shè)了魔方興趣班，共有100名學(xué)生報(bào)名參加，在一次訓(xùn)練測(cè)試中，老師統(tǒng)計(jì)了學(xué)生還原魔方所用的時(shí)間（單位：秒），得到相關(guān)數(shù)據(jù)如下：時(shí)間人數(shù)年級(jí)低年級(jí)2812144高年級(jí)102216102（1）估計(jì)這100名學(xué)生這次訓(xùn)練測(cè)試所用時(shí)間的第78百分位數(shù)；（2）在這次測(cè)試中，從所用時(shí)間在和內(nèi)的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，記抽到低年級(jí)學(xué)生的人數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）在這次訓(xùn)練測(cè)試中所用時(shí)間在140秒以下的學(xué)生所占比例為，所用時(shí)間在170秒以下的學(xué)生所占比例為，所以第78百分位數(shù)一定位于內(nèi)，設(shè)第78百分位數(shù)的值為，則.（2）記事件為“從所用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的是低年級(jí)的學(xué)生”，事件為“從所用時(shí)間在內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的是低年級(jí)的學(xué)生”，由題意知，事件，相互獨(dú)立，且，.的所有可能取值為0，1，2，，，，所以的分布列為012故的數(shù)學(xué)期望.20.已知數(shù)列滿足：，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足,定義使為整數(shù)的k叫做“幸福數(shù)”，求區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和.解：（1），當(dāng)時(shí)，，故兩式相減可得：，的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)各自成等差數(shù)列，且公差為2，且，，奇數(shù)項(xiàng)，則n為奇數(shù)時(shí)，，偶數(shù)項(xiàng)，則n為偶數(shù)時(shí)，，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）且，，令，則，令，則，又，m的值取為1，2，3，4，5，區(qū)間內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為.21.如圖，已知半圓與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于E點(diǎn)，半橢圓的上焦點(diǎn)為，并且是面積為的等邊三角形，將滿足的曲線記為“”．（1）求實(shí)數(shù)、的值；（2）直線與曲線交于M、N兩點(diǎn)，在曲線上再取兩點(diǎn)S、T（S、T分別在直線兩側(cè)），使得這四個(gè)點(diǎn)形成的四邊形的面積最大，求此最大面積；（3）設(shè)點(diǎn)，P是曲線上任意一點(diǎn)，求的最小值．解：（1）設(shè)，由題意得，故，所以，.（2）由（1）得，.設(shè)與直線平行的直線與半圓相切，切點(diǎn)為；與直線平行的直線與半橢圓相切，切點(diǎn)為.當(dāng)點(diǎn)、恰好分別取、時(shí)，四邊形面積最大.由，得，故，.設(shè)方程為，則由，得，因?yàn)橄嗲?，所以，故，即方程為，此時(shí)直線與直線的距離為；又因?yàn)橹本€過半圓的圓心，直線與半圓相切，所以兩平行直線，的距離為,所以四邊形面積的最大值為.（3）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)是半橢圓上的點(diǎn)，由得.此時(shí)若，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí),；若，則，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，；綜上所述.22.已知函數(shù)（1）若，函數(shù)的極大值為，求a的值；（2）若對(duì)任意的，在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）由題意，.（i）當(dāng)時(shí)，，令，得；，得，所以在單調(diào)