廣東省深圳市羅湖區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1廣東省深圳市羅湖區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．本試卷共4頁，共22題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.2．答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校，班級(jí)和姓名填在答題卡上，正確粘貼條形碼.3．作答選擇題時(shí)，用2B鉛筆在答題卡上將對(duì)應(yīng)〖答案〗的選項(xiàng)涂黑.4．非選擇題的〖答案〗寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.5．考試結(jié)束后，考生上交答題卡.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由，得，所以拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且，所以，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選：D2.已知直線l的方向向量為，則l的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗直線的一個(gè)方向向量為，則直線斜率為，所以直線的傾斜角為.故選：B.3.設(shè)平面和的法向量分別為．若，則（）A.4 B. C.10 D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，解?故選：C4.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A.18 B.19 C.20 D.〖答案〗C〖解析〗由題意，所以.故選：C.5.雙曲線的離心率為，則其漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，解得，且焦點(diǎn)在x軸上，所以其漸近線方程為，故選：C6.正方體中，M是中點(diǎn)，則異面直線CM與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，得，所以，即直線與所成角的余弦值為.故選：D7.已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)P為E的上頂點(diǎn)，點(diǎn)Q在E上且滿足，則E的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意,其中.設(shè)，由，得，即，代入橢圓得，解得離心率.故選：A8.己知是公比不為1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，則“成等差數(shù)列”是“對(duì)任意，，，成等差數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗由題意知為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，，充分性：若成等差數(shù)列，則，即，得，由，，，，所以，因?yàn)?，所以，所以成等差?shù)列，故充分性滿足；必要性：若成等差數(shù)列，即，即，化簡得，則，所以，即，所以成等差數(shù)列，故必要性滿足；綜上，“成等差數(shù)列”是“對(duì)任意，，，成等差數(shù)列”的充要條件，故C正確.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.在棱長為2的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點(diǎn).則下列各式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗AC〖解析〗棱長為2的正四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，AD，DC的中點(diǎn)，則兩兩夾角為，，所以，對(duì)于A，，正確；對(duì)于B，因?yàn)?，所以，錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，所以，正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，錯(cuò)誤.故選：AC10.已知直線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（）A.圓D的面積為 B.l過定點(diǎn)C.面積的最大值為 D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A：圓即的圓心為，半徑，故圓D的面積為，正確；對(duì)于B：將直線整理為：，令，解得，即直線過定點(diǎn)，正確；對(duì)于C：定點(diǎn)到圓心的距離，設(shè)點(diǎn)到直線距離為，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故的面積的最大值為，錯(cuò)誤；對(duì)于D：當(dāng)直線與垂直時(shí)，弦的長度最小，當(dāng)直線過圓心時(shí)，弦的長度最大，所以可得，正確.故選：ABD11.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則（）A. B.C.的最小值為 D.的最小值為〖答案〗ACD〖解析〗由，得，即，由，得，即，所以.A：由，可知，故A正確；B：由，可知數(shù)列的公差，故B錯(cuò)誤；C：，由知隨的增大而增大，則，所以的最小值為，故C正確；D：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，又，，所以，，所以，即，所以的最小值為，故D正確；故選：ACD12.過拋物線上一點(diǎn)作兩條相互垂直的直線，與E的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，則（）A.E的準(zhǔn)線方程為B.過點(diǎn)M與E相切的直線方程為C.直線AB過定點(diǎn)D.的最小值為〖答案〗BD〖解析〗對(duì)于A,因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，則，拋物線方程為，則其準(zhǔn)線方程為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,聯(lián)立，消元得，則，故直線與拋物線相切，又點(diǎn)在直線上，則過點(diǎn)M與E相切的直線方程為，故B正確；對(duì)于C,依題知，直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消元得，設(shè)，則，，，又,則，則，即，所以，或者，當(dāng)時(shí)，直線方程為，化，則過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線方程為，即，過定點(diǎn)，此時(shí)不符合題意，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,設(shè)直線，聯(lián)立，消元得，設(shè)，則，則，所以，因?yàn)?用替換得，，所以（利用了權(quán)方和不等式:，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立），當(dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立，故D正確，故選：BD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.若直線與直線平行，則_____________．〖答案〗〖解析〗因?yàn)橹本€與直線平行，則，解得.故〖答案〗為：.14.圓與圓的公共弦的長為_____________．〖答案〗〖解析〗由，得，即兩圓公共弦所在直線的方程為，圓，圓心為，半徑為，則圓心到直線的距離為，所以公共弦長為.故〖答案〗為：15.知數(shù)滿足，則數(shù)列的通項(xiàng)公式_____________．〖答案〗〖解析〗由可得：，又,，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以.故〖答案〗為：16.已知分別是雙曲線的左右焦點(diǎn)，過的直線l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)P，且，則C的離心率為_____________．〖答案〗〖解析〗由題意可知：，若過的直線l與C只有一個(gè)公共點(diǎn)P，可知直線l與雙曲線C的一條漸近線平行，且，可知為銳角，不妨設(shè)直線l的斜率，即，聯(lián)立，解得，且，可得，又因?yàn)?，即，可得，所以C的離心率為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.已知公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，又，所以，解得，所以的通項(xiàng)公式．（2），所以．18.如圖，正方體的棱長為2，O為的中點(diǎn)，點(diǎn)E在棱上，且．（1）證明：平面ABCD；（2）求直線與平面所成角的余弦值．解：（1）在棱長為2的正方體中，以D為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，，由，得，解得，即，顯然平面ABCD，即為平面ABCD的法向量，而，則，即平面ABCD，又平面ABCD，平面ABCD．（2）由（1）知，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，設(shè)直線與平面所成角為，，，所以直線與平面所成角的余弦值為.19.己知?jiǎng)狱c(diǎn)P到直線距離比到點(diǎn)距離多2個(gè)單位長度，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E．（1）求E的方程；（2）已知過點(diǎn)的直線l交E于A，B兩點(diǎn)，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為32，求l的方程．解：（1）因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P到直線的距離比到點(diǎn)距離多2個(gè)單位長度，所以動(dòng)點(diǎn)P到直線的距離和到點(diǎn)距離相等，故曲線E是以為焦點(diǎn)，直線為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線E的方程為．（2）設(shè)，易知直線l的斜率不為0，故可設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，消去x得，，所以，，解得，所以直線l的方程為或．20.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足，且．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）由可得，當(dāng)時(shí)，，以上兩式相減可得，當(dāng)時(shí)，，滿足，所以數(shù)列是以4為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，故．（2）由（1）可得，所以，所以，兩式相減，得所以．21.如圖，在三棱柱中，底面?zhèn)让妫?）證明：平面；（2）若三棱錐的體積為為銳角，求平面與平面的夾角的余弦值．解：（1）平面平面，平面，平面平面，平面，平面，，，，，四邊形為菱形，，平面，平面．（2）平面ABC，，，可得，又，，為銳角，以C為原點(diǎn)，CA，CB及平面ABC過點(diǎn)C的垂線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，平