新教材2023版高中數(shù)學第1章數(shù)列章末質(zhì)量檢測湘教版選擇性必修第一冊

章末質(zhì)量檢測(一)數(shù)列(時間：120分鐘滿分：150分)一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．數(shù)列eq\f(2,3)，eq\f(4,5)，eq\f(6,9)，eq\f(8,17)，eq\f(10,33)，…的一個通項公式為()A．a(chǎn)n＝eq\f(2n,2n＋1)B．a(chǎn)n＝eq\f(2n＋2,2n＋1)C．a(chǎn)n＝eq\f(n＋1,2n＋1－1)D．a(chǎn)n＝eq\f(2n＋2,2n＋1＋2)2．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝4an＋3，則a4＝()A．67B．115C．31D．1273．[2022·湖南懷化月考]等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a2＋a4＋a6＋a8＝44，則S9＝()A．66B．99C．110D．1984．[2022·湖南師大附中高二月考]在等差數(shù)列{an}中，a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，且a5>a2，則a5＝()A．13B．4C．14D．55．[2022·湖北荊州中學高二期末]設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和記為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5＝()A．eq\f(3,4)B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(1,3)6．“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”這句話出自《莊子·天下篇》，其意思為“一根一尺長的木棰，每天截取其一半，永遠都取不完”．設(shè)第一天這根木棰被截取一半剩下a1尺，第二天被截取剩下的一半剩下a2尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下a5尺，則eq\f(a1＋a2,a5)＝()A．18B．20C．22D．247．已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則“Sn＋1>Sn”是“{an}單調(diào)遞增”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件8．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，前n項積為Tn，已知a2＝－4，a3＝－1，則()A．Sn有最小值，Tn有最小值B．Sn有最大值，Tn有最大值C．Sn有最小值，Tn有最大值D．Sn有最大值，Tn有最小值二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分)9．數(shù)列{an}的通項公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3n＋1，n為奇數(shù)，,2n－2，n為偶數(shù)，))則()A．a(chǎn)3＝7B．a(chǎn)3＝10C．a(chǎn)2a3＝20D．a(chǎn)2a3＝7010．下列命題中為真命題的是()A．若a，b，c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2一定成等差數(shù)列B．若a，b，c成等差數(shù)列，則2a，2b，2c可能成等差數(shù)列C．若a，b，c成等差數(shù)列，則ka＋2，kb＋2，kc＋2(k為常數(shù))一定成等差數(shù)列D．若a，b，c成等差數(shù)列，則eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)可能成等差數(shù)列11．[2022·湖南平江一中高二期末]設(shè)公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若S17＝S18，則下列各式的值為0的是()A．a(chǎn)17B．S35C．a(chǎn)17－a19D．S19－S1612．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若eq\f(S2n,S4n)為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“吉祥數(shù)列”．則下列數(shù)列{bn}為“吉祥數(shù)列”的有()A．bn＝nB．bn＝(－1)n(n＋1)C．bn＝4n－2D．bn＝2n三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分．請把正確答案填在題中橫線上)13．[2022·湖南長郡中學高二期中]已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，若a1＝2，a4＝2a3，則公差d＝________．14．已知數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，an＝n2－λn＋3，則λ的取值范圍是________．15．在中國現(xiàn)代繪畫史上，徐悲鴻的馬獨步畫壇，無人能與之相頡頏．《八駿圖》是徐悲鴻最著名的作品之一，畫中剛勁矯健、剽悍的駿馬，在人們心中是自由和力量的象征，鼓舞人們積極向上．現(xiàn)有8匹善于奔跑的馬，它們奔跑的速度各有差異．已知第i(i＝1，2，…，7)匹馬的最長日行路程是第i＋1匹馬最長日行路程的1.1倍，且第8匹馬的最長日行路程為400里，則這8匹馬的最長日行路程之和為________里．(取1.18＝2.14)16．[2022·湖南邵陽高二期末]如圖將自然數(shù)1，2，3，4，…按箭頭所指方向排列，并依次在2，3，5，7，10，13，…等處的位置拐彎．如圖作為第一次拐彎，則第33次拐彎的數(shù)是________，超過2021的第一個拐彎數(shù)是________．四、解答題(本題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)[2022·湖南雅禮中學高二期中]設(shè)遞增等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3＝1，aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝a3a7.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn.18．(本小題滿分12分)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通項公式；(2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m.19．(本小題滿分12分)[2022·湖南師大附中高二期中]已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*).(1)記bn＝log2(an＋1)，判斷{bn}是否為等差數(shù)列，并說明理由；(2)求數(shù)列{an}的通項公式．20．(本小題滿分12分)[2022·湖南郴州高二期末]已知正項數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對n∈N＋有2Sn＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋an.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)若bn＝2an＋an，求{bn}的前n項和Tn.21．(本小題滿分12分)[2022·湖南岳陽高二期末]在①S1，S2，S4成等比數(shù)列且S5＝50，②8Sn＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋4an＋4，③Sm－1＝2，Sm＝8，Sm＋1＝18，這三個條件中任選一個，補充到下面問題中，并解答本題．問題：已知等差數(shù)列{an}的公差為d(d≠0)，前n項和為Sn，且滿足________．(1)求an；(2)若eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))的前n項和為Tn，證明：Tn>eq\f(n,2（n＋1）).22．(本小題滿分12分)已知數(shù)列{an}前n項和為Sn，a1＝2，且滿足Sn＝eq\f(1,2)an＋1＋n，(n∈N＋).(1)證明：n≥2，n是整數(shù)時，數(shù)列{an－1}是等比數(shù)列，并求{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝(4n－2)an＋1，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.章末質(zhì)量檢測(一)數(shù)列1．解析：∵eq\f(2,3)＝eq\f(2×1,21＋1)，eq\f(4,5)＝eq\f(2×2,22＋1)，eq\f(6,9)＝eq\f(2×3,23＋1)，eq\f(8,17)＝eq\f(2×4,24＋1)，eq\f(10,33)＝eq\f(2×5,25＋1)，∴一個通項公式為：an＝eq\f(2n,2n＋1).答案：A2．解析：因為數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝4an＋3，所以a2＝4a1＋3＝7，a3＝4a2＋3＝31，a4＝4a3＋3＝127.答案：D3．解析：a2＋a4＋a6＋a8＝44，得4a5＝44，解得a5＝11，則S9＝eq\f(9（a1＋a9）,2)＝9a5＝9×11＝99.答案：B4．解析：∵a5>a2，∴等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列．由數(shù)列{an}是等差數(shù)列，得a2＋a3＋a4＋a5＝2(a2＋a5)＝34，即a2＋a5＝17，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝17，,a2a5＝52，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,a5＝13))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝13，,a5＝4))(舍去).答案：A5．解析：∵數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且其前n項和記為Sn，∴S5，S10－S5，S15－S10成等比數(shù)列．∵S10∶S5＝1∶2，即S10＝eq\f(1,2)S5，∴等比數(shù)列S5，S10－S5，S15－S10的公比為eq\f(S10－S5,S5)＝－eq\f(1,2).∴S15－S10＝－eq\f(1,2)(S10－S5)＝eq\f(1,4)S5.∴S15＝eq\f(1,4)S5＋S10＝eq\f(3,4)S5.∴S15∶S5＝eq\f(3,4).答案：A6．解析：設(shè)這根木棰總長為1，每天截取其一半，剩下的部分記為an，則{an}構(gòu)成a1＝eq\f(1,2)，公比q＝eq\f(1,2)的等比數(shù)列，所以a1＝eq\f(1,2)，a2＝eq\f(1,4)，…，a5＝eq\f(1,25)，所以eq\f(a1＋a2,a5)＝eq\f(\f(1,2)＋\f(1,4),\f(1,32))＝24.答案：D7．解析：Sn＋1>Sn?an＋1>0，例如an＝eq\f(1,2n)>0，但是數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))不單調(diào)遞增，故不充分；數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))單調(diào)遞增，例如an＝－eq\f(1,2n)，但是Sn＋1<Sn，故不必要．答案：D8．解析：依題意eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋d＝－4,a1＋2d＝－1))?a1＝－7，d＝3?an＝3n－10，由an≤0解得n≤eq\f(10,3)，n∈N＋，所以等差數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an))的前n項和Sn滿足：S3最小，無最大值．a(chǎn)1＝－7，a2＝－4，a3＝－1，a4＝2，a5＝5，…T1＝－7，T2＝28，T3＝－28，T4＝－56，…所以n≥3時：Tn<0，且為遞減數(shù)列．故Tn有最大值28，沒有最小值．答案：C9．解析：由通項公式得a2＝2×2－2＝2，a3＝3×3＋1＝10，所以a2·a3＝20.故選BC.答案：BC10．解析：對于A，取a＝1，b＝2，c＝3，顯然a，b，c成等差數(shù)列，而a2＝1，b2＝4，c2＝9，此時a2，b2，c2不成等差數(shù)列，A是假命題；對于B，令a＝b＝c，顯然a，b，c成等差數(shù)列，則2a＝2b＝2c，此時2a，2b，2c是公差為0的等差數(shù)列，B是真命題；對于C，因a，b，c成等差數(shù)列，則b－a＝c－b＝d(d為常數(shù))，于是得(kb＋2)－(ka＋2)＝k(b－a)＝kd，(kc＋2)－(kb＋2)＝k(c－b)＝kd，而k為常數(shù)，因此，(kb＋2)－(ka＋2)＝(kc＋2)－(kb＋2)＝kd(kd為常數(shù))，所以ka＋2，kb＋2，kc＋2(k為常數(shù))成等差數(shù)列，C是真命題；對于D，令a＝b＝c≠0，顯然a，b，c成等差數(shù)列，則eq\f(1,a)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,c)，此時eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)是公差為0的等差數(shù)列，D是真命題．答案：BCD11．解析：因為S17＝S18，所以S18－S17＝0，所以a18＝0，因為公差d≠0，所以a17＝a18－d＝－d≠0，故A不正確；S35＝eq\f(35（a1＋a35）,2)＝eq\f(35×2a18,2)＝35a18＝0，故B正確；a17－a19＝－2d≠0，故C不正確；S19－S16＝a17＋a18＋a19＝3a18＝0，故D正確．答案：BD12．解析：對于A，Sn＝eq\f(（1＋n）n,2)，S2n＝n(1＋2n)，S4n＝2n(1＋4n)，所以eq\f(S2n,S4n)＝eq\f(n（1＋2n）,2n（1＋4n）)＝eq\f(1＋2n,2（1＋4n）)不為常數(shù)，故A不正確；對于B，由并項求和法知：S2n＝n，S4n＝2n，eq\f(S2n,S4n)＝eq\f(n,2n)＝eq\f(1,2)，故B正確；對于C，Sn＝eq\f(2＋4n－2,2)×n＝2n2，S2n＝8n2，S4n＝32n2，所以eq\f(S2n,S4n)＝eq\f(1,4)，故C正確；對于D，Sn＝eq\f(2（1－2n）,1－2)＝2(2n－1)，S2n＝2(4n－1)，S4n＝2(16n－1)，所以eq\f(S2n,S4n)＝eq\f(4n－1,16n－1)＝eq\f(1,4n＋1)不為常數(shù)，故D錯誤．答案：BC13．解析：∵a1＝2，a4＝2a3，∴2＋3d＝2(2＋2d)，解得d＝－2.答案：－214．解析：∵數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列，∴an＋1>an，∴(n＋1)2－λ(n＋1)＋3>n2－λn＋3，化為λ<2n＋1恒成立，因為n≥1且n∈Z，則2n＋1≥3，∴λ<3.答案：λ<315．解析：第8匹馬、第7匹馬、……、第1匹馬的最長日行路程里數(shù)依次成等比數(shù)列，且首項為400，公比為1.1，故這8匹馬的最長日行路程之和為eq\f(400（1－1.18）,1－1.1)＝4000×(2.14－1)＝4560里．答案：456016．解析：由題意，拐彎處的數(shù)字與其序數(shù)的關(guān)系，如下表：拐彎的序數(shù)012345678…拐彎處的數(shù)1235710131721…觀察拐彎處的數(shù)字的規(guī)律：第1個數(shù)2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋1,2)))2＋1；第3個數(shù)5＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3＋1,2)))2＋1；第5個數(shù)10＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5＋1,2)))2＋1；第7個數(shù)17＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7＋1,2)))2＋1；…，所以當n為奇數(shù)時為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,2)))2＋1；同理可得：當n為偶數(shù)時為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(n,2)))×eq\f(n,2)＋1；第33次拐彎的數(shù)是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33＋1,2)))2＋1＝290，當n＝88時，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(88,2)))×eq\f(88,2)＋1＝1981，當n＝89時，可得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(89＋1,2)))2＋1＝2026，所以超過2021的第一個拐彎數(shù)是2026.答案：290202617．解析：(1)在遞增等差數(shù)列{an}中，設(shè)公差為d>0，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))＝a3×a7,a3＝1))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a1＋3d）2＝1×（a1＋6d）,a1＋2d＝1))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝－3,d＝2))，∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5；(2)根據(jù)等差數(shù)列的求和公式得Sn＝eq\f(n（a1＋an）,2)＝eq\f(n（－3＋2n－5）,2)＝n2－4n.18．解析：(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝eq\f(1－（－2）n,3).由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解．若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.綜上，m＝6.19．解析：(1)∵an＝2an－1＋1，∴an＋1＝2(an－1＋1)，∴當n≥2時，bn－bn－1＝log2(an＋1)－log2(an－1＋1)＝log2eq\f(an＋1,an－1＋1)＝log22＝1，∴{bn}是以b1＋1＝log2(a1＋1)＝1為首項，1為公差的等差數(shù)列；(2)由(1)知：bn＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.20．解析：(1)∵2Sn＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋an，①∴當n＝1時，2a1＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋a1，解得a1＝1；當n≥2時，2Sn－1＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－1))＋an－1，②由①－②得2an＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋an－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n－1))＋an－1))，化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋an－1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an－an－1－1))＝0，∵?n∈N＋有an>0，∴an－an－1＝1.數(shù)列{an}是以首項為1，公差為1的等差數(shù)列．∴an＝1＋(n－1)＝n.∴an＝n.(2)由(1)得an＝n，∵bn＝2an＋an，∴bn＝2n＋n，∴Tn＝21＋1＋22＋2＋23＋3＋…＋2n＋n＝21＋22＋23＋…＋2n＋1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(21×（1－2n）,1－2)＋eq\f(（1＋n）n,2)＝2n＋1－2＋eq\f(（1＋n）n,2).21．解析：(1)若選擇條件①：由S5＝50，得5a1＋eq\f(5×4,2)d＝5a1＋10d＝50；即a1＋2d＝10①，又S1，S2，S4成等比數(shù)列，得Seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＝S1S4，即(2a1＋d)2＝a1(4a1＋6d)②，由①②解得a1＝2，d＝4.所以an＝2＋4(n－1)＝4n－2.若選擇條件②：由8Sn＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n))＋4an＋4，得8Sn＋1＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(n＋1))＋4an＋1＋4，兩式相減并整理得：(an＋1＋an)(an＋1－an－4)＝0，由于d≠0，所以an＋1＋an≠0，所以an＋1－an＝4，即d＝4，令n＝1，得8S1＝8a1＝aeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋4a1＋4，解得a1＝2，所以an＝2＋4(n－1)＝4n－2.若選擇條件③：由等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn＝na1＋eq\f(n（n－1）,2)d，得eq\f(Sn,n)＝a1＋eq\f(n－1,2)d，又數(shù)列{an}是等差數(shù)列，得數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列，所以eq\f(Sm－1,m－1)＋eq\f(Sm＋1,m＋1)＝eq\f(2Sm,m)，即eq\f(2,m－1)＋eq\f(18,m＋