2024年高考數學優(yōu)等生培優(yōu)第39講 數列求和-解析版92

第39講數列求和知識通關1.公式法：直接應用等差數列、等比數列的求和公式，以及正整數的平方和公式、立方和公式等公式求解.2.倒序相加（乘）法：如果一個數列，與首末兩項等距離的兩項之和（積）等于首末兩項之和（積），可采用把正著寫和倒著寫的兩個式子相加（乘），就得到一個常數列的和（積），進而求出數列前項和（積）.3.錯位相減法：如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列對應項乘積組成，此時可把式子兩邊同乘以公比，得，兩式錯位相減整理即可求出.4.裂項相消法：把數列的通項拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前項和變成首尾的若干少數項之和.5.分組轉化法：把數列的每一項分成多個項或把數列的項重新組合，使其轉化成等差數列或等比數列，然后由等差、等比數列求和公式求解.【結論第講】結論一、公式法常見數列的前項和（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）等差數列前項和：；（8）等比數列前項和：.【例1】已知是公差不為零的等差數列，，且成等比數列.（1）求數列的通項；（2）求數列的前項和.【解析】（1）由題設知公差，由，成等比數列得，解得，（舍去），故的通項.（2）由（1）知，由等比數列前項和公式得.【變式】已知等差數列和等比數列滿足，，.（1）求的通項公式；（2）求和：.【解析】（1）設等差數列的公差為.因為，所以，解得.所以.（2）設等比數列得公比為.因為，所以，解得.所以.從而.結論二、分組求和如果一個數列可寫成的形式，而數列，是等差數列或等比數列或可轉化為能夠求和的數列，數列的通項較復雜時，把原數列的每一項拆成兩項（或多項）的和或差，從而將原數列分解成兩個（或多個）數列的和或差，而這兩個（或多個）數列或者是等差數列、等比數列，或者是已知其和，求出這兩個（或多個）數列的和，再相加或相減，得到原數列和的方法便是分組求和法.【例2】已知等差數列滿足，.（1）若成等比數列，求的值；（2）設，求數列的前項和.【解析】（1）已知，.由得.所以即..所以.又因為成等比數列，.（2）由（1）知，.記，，則.【變式】已知等比數列的各項均為正數，且，.（1）求數列的通項公式.（2）若數列滿足，，且是等差數列，求數列的前項和.【解析】（1）設等比數列的首項為，公比為（），由，得，解得，，所以數列的通項公式為：.（2）由已知可得，根據題意可知是首項為，公差為的等差數列，所以，則，所以數列的前項和.結論三、倒序相加如果一個數列，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，得到一個常數列的和，這種求和方法稱為倒序相加法.特征：【例3】已知是上的奇函數，，,則數列的通項公式為（） B． C． D．【答案】【解析】已知是上的奇函數，所以，代入得，所以函數關于點對稱令，則，得到.因為，，倒序相加可得，即.故選.【變式】設函數.（1）證明:對一切，是常數；（2）記，求，并求出數列的前項和.【解析】（1）證明因為，所以.（2），，所以，即.所以.結論四、裂項求和裂項求和的常見拆項公式：；；；；；若為等差數列，公差為，則.【例4】在數列中，，.求證：數列是等差數列；求數列的前項和.【解析】（1）證明的兩邊同時除以，得，所以數列是首項為，公差為2的等差數列.（2）由（1）得，所以，故，所以.【變式】設數列，其前項和，為單調遞增的等比數列，，.求數列，的通項公式；若，求數列的前項和.【解析】（1）時，；當時，符合上式，所以.因為為等比數列，所以，所以，設的公比為，則，，而，所以即，解得或.因為單調遞增,所以,所以.（2），所以.結論五、錯位相減形如，其中為等比數列，公差為，是等比數列，公比為.第一步：寫出；第二步：寫出；第三步：寫出.注意:錯位相減即由第一步的第二項減第二步的第一項,后面依次類推,然后要注意項數問題，最后一定要化簡.【例5】已知等差數列的公差，，且，，成等比數列；數列的前項和為，且滿足．求數列，的通項公式；設，求數列的前項和．【解析】（1）因為數列是等差數列，所以，又，解得，所以．又①，（）②，由①②得，所以（），所以為等比數列，又，解得，所以．（2）由（1）知，則，，兩式相減得，所以．【變式】已知數列的前項和．求數列的通項公式；若，求數列的前項和．【解析】（1）已知數列的前項和，當時，；當時，．經檢驗，滿足上式，所以數列的通項公式為．（2）由（1）知，所以，兩式相減得：，所以．結論六、數列最值恒成立；能成立．【例6】設數列的前項和，，．求證：是等差數列；設是數列的前項和，求使對所有的都成立的最大正整數的值．【解析】（1）證明：由題意，（）①，故有（，）②，由①②得，，即（，），所以（，）．令，帶入①式可得，所以，故有（），故數列是以為首項，以為公比的等比數列，故．所以，即有．故是等差數列，首項為，公差為．（2）由（1）可知，所以，故．由可知，．依題意，，解得，則最大正整數的值為．（3）由意義對任意的都成立，故需要求的最小值，而，故數列的前項和是關于的單調遞增函數，故的最小值為，所以，解得，則最大正整數的值為．【變式】已知函數，數列滿足，，．求數列的通項公式；令，求；令（），，，若對一切成立，求最小正整數．【解析】（1）因為，所以是以為公差的等差數列．因為，所以．（2）．（3）由題意知，當時，．所以對一切成立，即．因為遞增且，所以，即．所以最小正整數．結論七、數列縮放常見的縮放方法：；；；；；.【例7】已知數列滿足求數列的通項公式；若,且數列的前項和為，試比較和的大小并證明.【解析】（1）由題意可知數列是以2為公差，3為首項的等差數列，所以.（2）由可知，則【變式】設各項均為正數的數列的前項和為，滿足，且構成等