陜西省渭南市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

PAGEPAGE1陜西省渭南市2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（理）第Ⅰ卷（選擇題）一、選擇題1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由題設(shè)，故.故選：B.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗∵，∴．故選：D.3.在正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗取是的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：設(shè)三棱柱底面邊長(zhǎng)為，可得，由正三棱柱性質(zhì)可知平面，所以即為直線與平面所成角的平面角，易知，由勾股定理可得，所以；即直線與平面所成角的正弦值為.故選：B.4.“米”是象形字.數(shù)學(xué)探究課上，某同學(xué)用拋物線和構(gòu)造了一個(gè)類似“米”字型的圖案，如圖所示，若拋物線，的焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)作軸的平行線交拋物線于點(diǎn),若,則（）A.2 B.3 C.4 D.6〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，即，由拋物線的對(duì)稱性知，由拋物線定義可知，，即，解得，故選：D.5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入的，則輸出的（）A.2 B.3 C.4 D.5〖答案〗B〖解析〗閱讀流程圖，初始化數(shù)值.循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下：第一次：；第二次：；第三次：；第四次：；第五次：；第六次：，結(jié)束循環(huán)，輸出.故選B.6.設(shè)定義在上的偶函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由得.又為偶函數(shù)，所以.故選：A.7.甲乙兩位同學(xué)從5種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（）A.30種 B.60種 C.90種 D.120種〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意可知，首先選取1種相同課外讀物的選法有種，再選取另外兩種課外讀物需不同，則共有種，所以這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有種；故選：B8.已知圓的方程為，直線過點(diǎn)且與圓交于兩點(diǎn)，當(dāng)弦長(zhǎng)最短時(shí)，（）A. B. C.4 D.8〖答案〗B〖解析〗當(dāng)最短時(shí)，直線，，.故選：B.9.如圖，一個(gè)直四棱柱型容器中盛有水，底面為梯形，，側(cè)棱長(zhǎng).當(dāng)側(cè)面ABCD水平放置時(shí)，液面與棱的交點(diǎn)恰為的中點(diǎn).當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，液面高為（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗C〖解析〗取底面梯形兩腰的中點(diǎn)為，如下圖所示：由可得，所以四邊形與四邊形的面積之比為，即可知容器中水的體積占整個(gè)容器體積的；當(dāng)?shù)酌嫠椒胖脮r(shí)，可知液面高為直四棱柱側(cè)棱長(zhǎng)的,即可得液面高為.故選：C.10.我國(guó)人臉識(shí)別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識(shí)別,就是利用計(jì)算機(jī)檢測(cè)樣本之間的相似度,余弦距離是檢測(cè)相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，余弦相似度為向量，夾角的余弦值，記作，余弦距離為.已知，，，若P，Q的余弦距離為，，則Q，R的余弦距離為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可得，，，則，又，所以，可得；所以Q，R的余弦距離.故選：A.11.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，為雙曲線右支上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，為等邊三角形，，，又，，，，，，，解得：（舍）或，雙曲線的離心率為.故選：C.12.已知函數(shù)在區(qū)間上有且僅有4個(gè)極值點(diǎn)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①在區(qū)間上有且僅有3個(gè)不同的零點(diǎn)；②的最小正周期可能是；③的取值范圍是；④在區(qū)間上單調(diào)遞增.其中正期結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗由函數(shù)，令，可得，，因?yàn)樵趨^(qū)間上有且僅有4個(gè)極值點(diǎn)，即可得有且僅有4個(gè)整數(shù)符合題意，解得，即，可得，即，解得，即③錯(cuò)誤；對(duì)于①，當(dāng)時(shí)，，即可得，顯然當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有且僅有3個(gè)不同的零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上有且僅有4個(gè)不同的零點(diǎn)；即①錯(cuò)誤；對(duì)于②，的最小正周期為，易知，所以的最小正周期可能是，即②正確；對(duì)于④，當(dāng)時(shí)，；由可知，由三角函數(shù)圖象性質(zhì)可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，即④正確；即可得②④正確.故選：B.第Ⅱ卷（非選擇題）二、填空題13.已知一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，用最小二乘法得到其線性回歸方程為，若，則_______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意可知該組數(shù)據(jù)點(diǎn)，所以，所以，故〖答案〗為：14.在中，，，，則的面積為______.〖答案〗〖解析〗由余弦定理可知，即，解得；所以的面積為.故〖答案〗為：15.已知函數(shù)滿足，，，則滿足條件的函數(shù)可以是______.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗結(jié)合常數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即滿足，，故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）.16.已知函數(shù)，方程有7個(gè)不同實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.〖答案〗或〖解析〗因，令，得到，解得或，又當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，又時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，其圖像如圖，所以，當(dāng)時(shí)，有2上解，有2個(gè)解，又因?yàn)榉匠逃?個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，所以當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)解，又時(shí)，，則，所以時(shí)，，時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又當(dāng)時(shí)，有3個(gè)實(shí)數(shù)解，所以或，解得或，故〖答案〗為：或.三、解答題（一）必考題.17.已知等差數(shù)列滿足：，，其前項(xiàng)和為.（1）求及；（2）若數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）是等差數(shù)列，，數(shù)列的公差，首項(xiàng)，，.，為所求.（2）令，由題意有；數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列其前n項(xiàng)和，，數(shù)列的前n項(xiàng)和故為所求.18.如圖，在等腰梯形ABCD中，，，將沿著AC折到的位置，使.（1）求證：平面平面ABC；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：由等腰梯形ABCD中，，過C做，交AB于E，連接AC，如圖所示，根據(jù)對(duì)稱性可得，，所以，可得，又由，所以，即，所以，即，又因?yàn)?，且，所以平面APC，又由平面ABC，所以平面平面ABC.（2）解：取AC的中點(diǎn)E，AB的中點(diǎn)F，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EA為x軸，EF為y軸，EP為z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，得一個(gè)法向量，，得一個(gè)法向量，所以，設(shè)二面角的平面角為，，所以二面角的平面角的正弦值為.19.杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)于2023年9月23日至2023年10月8日舉行，國(guó)球再創(chuàng)輝煌，某校掀起乒乓球運(yùn)動(dòng)熱潮，組織乒乓球運(yùn)動(dòng)會(huì).現(xiàn)有甲乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分．（1）己知某局比賽中雙方比分為，此時(shí)甲先連續(xù)發(fā)球2次，然后乙連續(xù)發(fā)球2次，甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4．乙發(fā)球時(shí)乙得分的概率為0.5，各球的結(jié)果相互獨(dú)立，求該局比賽甲以獲勝的概率；（2）已知在本場(chǎng)比賽中，前兩局甲獲勝，在后續(xù)比賽中每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，兩人又進(jìn)行了X局后比賽結(jié)束，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．解：（1）在比分為后甲先發(fā)球的情況下，甲以獲勝的情況分三種：第一種：后四球勝方依次為甲乙甲甲，概率為，第二種：后四球勝方依次為乙甲甲甲，概率為，第三種：后四球勝方依次為甲甲乙甲，概率為，所以所求事件的概率為：．（2）隨機(jī)變量X的可能取值為2，3，4，5，，，，，所以X的分布列為X2345P數(shù)學(xué)期望.20.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，求證：.（1）解：因?yàn)?，所?易知，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，由，得到，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）證明：由（1）知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，所以要證，即證明在區(qū)間上恒成立，整理得，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故的最小值為，即時(shí)，恒成立，所以時(shí)，.21.已知橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)橢圓的上、下焦點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，直線，分別交橢圓于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線MN的斜率為.求證：為定值.（1）解：由橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.可得，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）解：由（1）知，可得，設(shè)直線的方程為，設(shè)，則，由，所以直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，則且，所以，可得，即,同理可得，所以，即，所以為定值.（二）選考題[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為．（1）求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）P為l上一點(diǎn)，過P作曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，若，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍．解：（1）由曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），可得由,得,即,曲線的普通方程為,直線的直角坐標(biāo)方程為