重慶市拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

PAGEPAGE1重慶市拔尖強(qiáng)基聯(lián)盟2024屆高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，所以，故選：A.2.已知圓，圓，則這兩圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)含 B.相切 C.相交 D.外離〖答案〗A〖解析〗由題設(shè)，：，：，∴，半徑；，半徑；，∴，即兩圓內(nèi)含.故選：A3.在首項為1的數(shù)列中，滿足，則（）A B. C.0 D.1〖答案〗D〖解析〗由可得，由于，所以，，因此為周期數(shù)列，且周期為3，故，故選：D.4.若且，則（）A. B.6 C.36 D.12〖答案〗C〖解析〗因為，所以，所以.解得：.故選：C.5.已知點M為外接圓O上的任意一點，，則的最大值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)外接圓的半徑為，由正弦定理得，故．所以，當(dāng)過點圓上一點作平行于的圓的切線時，此時最大，由于到的距離為,所以的最大值為故選：B.6.在平面直角坐標(biāo)系中，集合，集合，已知點，點，記表示線段長度的最小值，則的最大值為（）A.2 B. C.1 D.〖答案〗D〖解析〗集合可以看作是表示直線上的點的集合，由變形可得，，由可得，，所以直線過定點.集合可看作是直線上的點的集合，由變形可得，，由可得，，所以，直線過定點.顯然，當(dāng)線段與直線都垂直時，有最大值.故選：D.7.設(shè)，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗對于，顯然，，所以；對于，可構(gòu)造函數(shù)，且，所以，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞減，所以，所以，所以，即，故，所以.綜上：.故選:A.8.點為正四面體的內(nèi)切球球面上的兩個動點，為棱上的一動點，則當(dāng)取最大值時，（）A. B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗設(shè)該正四面體的棱長為，設(shè)該正四面體的內(nèi)切球的球心為，頂點在底面的射影為，顯然在線段上，顯然該正四面體內(nèi)切球的半徑為，如圖所示：由正弦定理可知：，由勾股定理可知：，由三棱錐體積的等積性可得：，，由球的性質(zhì)可知：當(dāng)與圓相切時，最大，如圖所示：，由圓的切線長定理可知：，在直角三角形中，，最大時，最小，因為，所以此時為的中點，即有，正四面體的內(nèi)切球的球心為，顯然也是該正四面體的外接球的球心，所以，因此，，于是有，故選：D.二、多項選擇題9.如圖，在正四棱柱中，，O為此正四棱柱的外接球球心，下列說法正確的是（）A. B.球的表面積為C.點到的距離為 D.四棱錐的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗由于四棱柱為正四棱柱，所以底面為正方形，故平面，因此平面,平面,所以，A正確，由正四棱柱的性質(zhì)可得其外接球的球心為的中點，為外接球一條直徑，因為，所以正四棱柱的外接球的半徑為，其表面積為，B錯誤，由于平面，平面，所以，在中，由于,為的中點，所以點到的距離為,故C正確，由于為的中點，所以四棱錐為正四棱錐，且側(cè)棱長為，因此側(cè)面上的高為,則側(cè)面積為,底面積為4，故四棱錐表面積為，D正確，故選：ACD10.已知圓，直線（且不同時為0），下列說法正確的是（）A.當(dāng)直線經(jīng)過時，直線與圓相交所得弦長為B.當(dāng)時，直線與關(guān)于點對稱，則的方程為：C.當(dāng)時，圓上存在4個點到直線的距離為D.過點與平行的直線方程為：〖答案〗AB〖解析〗因為圓，所以圓心為，半徑，對于A選項：因為直線經(jīng)過，所以，，所以圓心到直線的距離為，直線與圓相交所得弦長為，故A選項正確；對于B選項：當(dāng)時，直線，因為直線與關(guān)于點對稱，所以直線與平行,由于到的距離為2，所以到的距離也為2，所以的方程為：，故B選項正確；對于C選項：當(dāng)時，直線,此時圓心到直線的距離為，由于半徑，所以在直線的右側(cè)：，所以在直線的右側(cè)不存在滿足條件的點；在直線的左側(cè)：，所以在直線的左側(cè)存在滿足條件的點有2個；所以圓上只存在2個點到直線的距離為，故C選項錯誤;對于D選項：過點與平行的直線方程可設(shè)為:，將點代入，所以，即,所以過點與平行的直線方程為:，故D選項錯誤.故選：AB.11.已知函數(shù)是偶函數(shù)，其中，若函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.B.的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到C.的一個單調(diào)遞增區(qū)間是D.若關(guān)于的方程在上有兩個不同的實根，則的取值范圍是〖答案〗ABD〖解析〗函數(shù)為偶函數(shù)，其中，所以，因此對于任意的恒成立，則所以，由于，故，A正確，，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到，而，所以B正確，由于的最小正周期為，而，所以不是的一個單調(diào)區(qū)間，故C錯誤，令，由于，所以，則在上有兩個不同的實根，作出的圖象如下：當(dāng)時，，故在上有兩個不同的實根，則，D正確，故選：ABD12.定義在上的函數(shù)同時滿足以下條件：①②③④則下列說法正確的有（）A.若，則 B.方程在上無實數(shù)解C.若，則 D.〖答案〗ACD〖解析〗由②可知在上的圖象關(guān)于對稱，由③可知，所以，則，A正確，，故，D正確，，所以存在，使得，B錯誤，，C正確，故選：ACD三、填空題13.已知數(shù)列是等差數(shù)列，表示數(shù)列的前項和，若，則______.〖答案〗52〖解析〗.故〖答案〗為：5214.若，則______．〖答案〗〖解析〗，所以，，所以，故〖答案〗為：.15.設(shè)橢圓的兩個焦點是，過點的直線與橢圓交于點，若，且，則橢圓的離心率是______．〖答案〗〖解析〗不妨設(shè)橢圓方程為，則，，由于,所以由余弦定理可得，化簡得，由于，所以，故故〖答案〗為：.16.若，則的最大值為______．〖答案〗〖解析〗由題意得：，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即，即，則有，則，,有在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時，即、時，有最大值，即的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題17.等差數(shù)列滿足，等比數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．解：（1）設(shè)公差為公比為，則，則，解出．所以，又由，解出．所以.（2）由（1）得，則，故，兩式相減得，，所以.18.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，滿足（1）求證：；（2）若為銳角三角形，求的最大值．（1）證明：由題，由正弦定理：，所以，整理，所以，或（舍）,.（2）解：為銳角三角形,解得：,所以，且由（1）問，，令，則，所以因為,當(dāng)時，所求的最大值為.19.五棱錐中，，，，，，，，平面平面，為的中點，（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值．（1）證明：取的中點，連接，因為為的中點，所以，又因為平面，且平面，所以平面，因為，所以四邊形為平行四邊形，可得，又因為，所以，因為平面，且平面，所以平面，又因為，平面，平面，所以平面平面，因為平面，平面．（2）解：取中點，連接，由，可得，因為平面平面，且平面平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點，為軸，過作軸，過點作軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，則設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，又由，可得，所以直線與平面所成角的正弦值為.20.研究表明，學(xué)生的學(xué)習(xí)成績y（分）與每天投入的課后學(xué)習(xí)時間x（分鐘）有較強(qiáng)的線性相關(guān)性．某校數(shù)學(xué)小組為了研究如何高效利用自己的學(xué)習(xí)時間，收集了該校高三（1）班學(xué)生9個月內(nèi)在某學(xué)科（滿分100分）所投入的課后學(xué)習(xí)時間和月考成績的相關(guān)數(shù)據(jù)，下圖是該小組制作的原始數(shù)據(jù)與統(tǒng)計圖（散點圖）．月次123456789某科課后投入時間（分鐘）202530354045505560高三（1）班某科平均分（分）6568757273737373．573（1）當(dāng)時，該小組建立了與的線性回歸模型，求其經(jīng)驗回歸方程；（2）當(dāng)時，由圖中觀察到，第3個月的數(shù)據(jù)點明顯偏離回歸直線，若剔除第3個月數(shù)據(jù)點后，用余下的4個散點做線性回歸分析，得到新回歸直線，證明：；（3）當(dāng)時，該小組確定了與滿足的線性回歸方程為：，該數(shù)學(xué)小組建議該班在該學(xué)科投入課后學(xué)習(xí)時間為40分鐘，請結(jié)合第（1）（2）問的結(jié)論說明該建議的合理性．附：經(jīng)驗回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，解：（1），，，則，所求經(jīng)驗回歸方程為：；（2）設(shè)的方程為，，，∴，則，的方程為，故，；（3）當(dāng)時，的斜率為0.4，這個斜率的意義是：課后每多投入10分鐘，平均分就能提高4分；當(dāng)時，回歸直線的斜率為0.01這個斜率的意義是：課后每多投入10分鐘，平均分就能提高0.1分，說明投入幾乎沒用，故該學(xué)習(xí)小組的建議是合理的.21.已知點為橢圓內(nèi)的兩點，在橢圓上存在兩點，滿足，直線交橢圓于點（點異于點）．（1）當(dāng)時，求點的縱坐標(biāo)；（2）求點，橫坐標(biāo)乘積的最大值．解：（1）設(shè)，由，即有，從而進(jìn)一步，解得故時，,所以點的縱坐標(biāo)為.（2）由（1）可知，.設(shè)①當(dāng)斜率不存在時，重合，此時②當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線，則則∵僅在橢圓內(nèi)，與橢圓一定相交當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立故22.已知函數(shù)，其中．（1）若在單調(diào)遞增，求a的取值范圍；（2）若有三個極值點,記為,且求的取值范圍