2022山西省晉中市莊子中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

2022山西省晉中市莊子中學(xué)高二數(shù)學(xué)文月考試卷含解

析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

1.如圖，四個(gè)棱長為1的正方體排成一個(gè)正四棱柱，AB是一條側(cè)棱，P］（i=0LL8）是上

(i=L2LL8)

五?扇的不同值的個(gè)數(shù)為（)

A.1B.2C.4D.8

參考答案:

A

【分析】

建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)計(jì)算即可得到結(jié)果

【詳解】m疝+Bii

則Ah?=山?（AhBPj）=|AB|2+前+晚

v±BPj

心?心『i

I

,■，山--W112……8）的不同值得個(gè)數(shù)為］

故選八

2.已知命題P：VxeR,sinxwi,則

A.-「：女€氏，5皿兩三］B:仇wKsinx0>1

C.,sinxeiDsinx>1

參考答案:

B

略

3.在等比數(shù)列｛%＞中，若/+%=4,%+4=12,則%+%=（）

A.16B.28C.32D.108

參考答案：

D

略

4若（1—2x）6=&+/x+a/2+?/3+以4彳4+/五6,則

劭+?1+知+通+%+%+%等于（）

A.-1B.0C.1

D.2

參考答案：

C

略

2222

JJ12J

5.若橢圓4m2與雙曲線in22有相同的焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m為（）

A.1B.-1C.±1D.不確定

參考答案：

C

【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)；雙曲線的簡單性質(zhì).

【分析】先根據(jù)橢圓的方程求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可知雙曲線的半焦距，根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)

方程，求得m,答案可得.

~T+~=1

【解答】解：橢圓4m”得

二焦點(diǎn)坐標(biāo)為Rq-m2,0)(-Y4f2,0),

22

xy,

2-9=1

雙曲線：62有

2

貝！I半焦￡巨c2=Vm+2

/.V4-m~~、+2

則實(shí)數(shù)m=±l

故選C.

6.不等式(”2)R+2(a-2)x-4<0對(duì)一切x€R恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

A.3,2)B,[-2,2]C,(-2,2]

D.(-8,-2)

參考答案：

C

略

7.當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)/(工)=(7+坷，的圖象大致是(.)

參考答案:

B

A=—,b=2acosB,c=l

8.已知aABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊長分別為a,b,c,若3,則

△ABC的面積等于()

VsVsVsVs

A.2B.4C.6D.8

參考答案：

B

【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理.

【專題】計(jì)算題；解三角形.

【分析】根據(jù)b=2acosB利用正弦定理，得到sinB=2sinAcosB=J7osB,由同角三角函數(shù)

的關(guān)系算出tanB=?,從而可得13=下，所以AABC是等邊三角形.再根據(jù)c=l利用三角

形的面積公式，即可算出aABC的面積.

【解答】解：?.?在△ABC中,b=2acosB,A=-3,

幾_

.?.根據(jù)正弦定理,得sinB=2sinAcosB=2sin3cosB=V3cosB,

sinB

由此可得tanB=cosB=V3,

又?.?B￡(0,n),

JU

???B二萬，可得AABC是等邊三角形.

*/c=l,Aa=b=l,

11KV3

因此，ZXABC的面積S=2bcsinA=2X1*1*sinT=T.

故選：B

【點(diǎn)評(píng)】本題給出aABC滿足的條件，求AABC的面積.著重考查了正弦定理、同角三角

函數(shù)的基本關(guān)系與三角形的面積公式等知識(shí)，屬于中檔題.

9.若〃耳=/一*4呼則的導(dǎo)函數(shù)，任)>°的解集為()

A.(0,+oo)B.(―l,0)U(2,+oo)C.(2,+oo)D.(—1,0)

參考答案:

C

43―2）（x+D

令/（x）=2x-2-xx>0,利用數(shù)軸標(biāo)根法可解得一l<r<0或x>2,又x>0,

所以x>2.故選C.

10.某產(chǎn)品的銷售收入力（萬元）是產(chǎn)量X（千臺(tái)）的函數(shù)：Vl=17x，（x>0）,生產(chǎn)成

32

本W(wǎng)萬元是產(chǎn)量X（千臺(tái)）的函數(shù)：y2=2x-X（x>0）,為使利潤最大，應(yīng)生產(chǎn)

（）

A.9千臺(tái)B.8千臺(tái)C.7千臺(tái)D.6千臺(tái)

參考答案：

D

【考點(diǎn)】3H：函數(shù)的最值及其幾何意義.

【分析】由題意得到利潤關(guān)于產(chǎn)量的函數(shù)式，再由導(dǎo)數(shù)求得使利潤最大時(shí)的產(chǎn)量.

23223

【解答】解：由題意，利潤y=Vl-了2=17、Y2X-X）=18X-2X（X>0）.

y'=36x-6x\

由y'=36x-6X2=6X（6-X）=0,得x=6（x>0）,

當(dāng)xC（0,6）時(shí)，y'>0,當(dāng)xW（6,+8）時(shí)，y'<0.

...函數(shù)在（0,6）上為增函數(shù)，在（6,+8）上為減函數(shù).

則當(dāng)x=6（千臺(tái)）時(shí)，y有最大值為144（萬元）.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的最值及其幾何意義，簡單的數(shù)學(xué)建模思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)

求最值，是中檔題.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

11.已知雙曲線的漸近線方程為y=±x,且過點(diǎn)M（-1,3）,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

參考答案：

22

J=1

62

略

/（x）=^x+2（fc-l）x+（t+5）lnx\,031

12.已知函數(shù)2，若］（同在區(qū)間上不是單調(diào)函

數(shù)，則上的取值范圍為.

參考答案：

(一?

i+53x2+2(k-l)x+fc+5

/*（x）=3x+2（fc-l）+,因?yàn)椤ā埃┰趨^(qū)間

分析：由題意得X

（°」）上不單調(diào)，故，任）=°在區(qū)間（°3）上有解，分離參數(shù)后通過求函數(shù)的值域可得所

求的范圍.

*7.J㈤=彳"+2（*-1）工+（*+5>far（x>0）

解：?1,

fc+53x2+2(k-l)x+i+5

/*(x)=3x+2(fc-l)+

?；在區(qū)間（°二）上不單調(diào),

3x+2(t-l)x+k+5

,rw=X~在區(qū)間（°3）上有解,

即方程%2+2（1）"+七+5=。在區(qū)間（。,3）上有解,

t-3x?+2x-5

.?.方程—一2^+1—在區(qū)間（°」）上有解.

＜、—+2x—5o

產(chǎn)節(jié)職

函數(shù)g（“）在區(qū)間（°」）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（L3）上單調(diào)遞減,

.?.當(dāng)X=1時(shí)，g（x）取得最大值，且最大值為g（l）=-2.

乂g（0）=-5,g（3）=號(hào)

又由題意得在直線y=上兩側(cè)須有函數(shù)y=g(4的圖象,

...實(shí)數(shù)上的取值范圍為(—5，-2).

點(diǎn)睛：解答本題時(shí)注意轉(zhuǎn)化的思想方法在解題中的應(yīng)用，將函數(shù)不單調(diào)的問題化為導(dǎo)函數(shù)

在給定區(qū)間上有變號(hào)零點(diǎn)的問題處理，然后通過分離參數(shù)又將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域的

問題，利用轉(zhuǎn)化的方法解題時(shí)還要注意轉(zhuǎn)化的合理性和準(zhǔn)確性.

13.圖(1)為長方體積木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由一塊木塊堆成；圖

(2)中的三視圖表示的實(shí)物為.

參考答案:

(1)4(2)圓錐

略

-x2+x(x)0)

14.(4分)已知函數(shù)f(x)=\x+x2(x<0),對(duì)任意的xe[O,1]恒有f(x+a)

Wf(x)成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

參考答案：

0>1或4F-1

15.甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏

兩局才能得冠軍，若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為.

參考答案：

3

4

略

16.設(shè)以產(chǎn)為兩個(gè)不重合的平面，』，附3為兩兩不重合的直線，給出下列四個(gè)命題：

①若加ua,%片，貝②若/0強(qiáng)加_La,"_La,則/〃閥；③若

dUQua,則，3尸；④若則其中正確命題的序號(hào)

是▲.

參考答案：

②③④

17.如圖，給出一個(gè)算法的偽代碼，已知輸出值為3,則輸入值*=—.

Readx

Ifx>0Then

/(Z)<-X2-3X-1

Else

/(x)?-log2(x+5)

EndIf

Print,f(x)

參考答案：

4

【考點(diǎn)】偽代碼.

x2-3x-1,x,0

【分析】根據(jù)偽代碼可知該題考查一個(gè)分段函數(shù)f(x)=1。82&+5)，x<0,再利用輸

出值為3,即可求得輸入值.

x2-3x-1,x)0

【解答】解：本題的偽代碼表示一個(gè)分段函數(shù)f(x)=[l°g2(x+5)，x<°

???輸出值為3

x2-3x-1=3flog2(x+5)=3

Ax>0或|x<0

/.x=4

.?.輸入值x=4

故答案為：4

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.已知函數(shù)/（x）=alnx+，為實(shí)常數(shù)）.

（1）當(dāng)&=-4時(shí)，求函數(shù)/CO在口浮]上的最大值及相應(yīng)的x值；

（2）當(dāng)xe[l，e]時(shí)，討論方程/卜）=。根的個(gè)數(shù).

n1|/U）-/（^2）|^----—

（3）若。>0,且對(duì)任意的肛*2仆1，叼，都有々町，

求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案：

【答案】（1）,㈤由=/（e）=--4.x=e；（2）-/Wa<-2e時(shí)，方程1/%）=°

有2個(gè)相異的根.a<-e2或a=-2e時(shí)-，方程,卜）=°有i個(gè)根.a>-2e時(shí)，方程

/3=。有0個(gè)根.（3）“一展.

【解析】

試題分析：（D通過求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性，在對(duì)比區(qū)間的兩端點(diǎn)的注徼值即可求得的數(shù)

的最大值.（2）由于參數(shù)。的受1匕可以采取分離變量的方法，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)

同甌其中一個(gè)是垂亶于y軸的內(nèi)二電另一/定通過才E的數(shù)的走向根據(jù)圖像即可得到結(jié)論.

（3）將要說明轆論通過變形得到個(gè)等忖;』題從而工明新的國數(shù)的單調(diào)性，使得問題巧

妙地轉(zhuǎn)化.本題只是容量大.通過研窮嬲的單調(diào)性-參翻I的討論.與不等式的畸合轉(zhuǎn)

化為固散的單調(diào)性的證明.

試題解析：⑴/'8=文『^5-0）,當(dāng)y=及押，r（x）<O.^xe（72.<-]

時(shí)，r（x）>0,又Y+J-;>0,

a

故1nl=/（?）=e-4,當(dāng)x=。時(shí)，取等號(hào)----4分

上

（2）易知xwl,故xeg],方程/k）=。根的個(gè)數(shù)等價(jià)于xe（Le]時(shí)，方程”戰(zhàn)

22xlnx-x2-c八

/、zLg，（x）=__________邑=吟1）

根的個(gè)數(shù).設(shè)g（R=lnx,ln2xln2x

當(dāng)xe（L&）時(shí)，g'O）<0,函數(shù)g（x）遞減，當(dāng)xe（布,e]時(shí)，g'（x）>0,函數(shù)g（x）遞

增.又g（e）=/,g（及）=2e,作出1y=g（x）與直線1y=-。的圖像，由圖像知：

當(dāng)2e<_aWe2時(shí)，即_/?a<_2e時(shí)，方程0有？個(gè)相異的根；

當(dāng)a或a=-2e時(shí)，方程/（*）=°有1個(gè)根；

當(dāng)a>-2e時(shí)，方程/（H=°有o個(gè)根；——10

分

1

y——

（3）當(dāng)4>0時(shí)，/S）在xe[Le]時(shí)是增函數(shù)，又函數(shù)x是減函數(shù)，不妨設(shè)

-----------

1Mxi工勺工。，貝ij再為等

即/（巧）+L4〃Xi）+L，故哌題等價(jià)H&I數(shù)MV=/（x）+1在xe[LW時(shí)是減函數(shù)，

4%X

“（X）=-+2X-4^。恒成二，即。4士-2*1在xcI。]時(shí)恒成立.

XXX

11

''ylx2在xw[Ue]ir是減（3瞬.z'i--2?a-------16分

xe

（其他解法的情給分》

考點(diǎn)：1.函數(shù)的最值問題.2.曲數(shù)的2調(diào)性.3.%數(shù)與不等式的關(guān)系以及轉(zhuǎn)化為的數(shù)的單調(diào)性

的證明.

略

19已知1X21+2+3’1+2+3+--+n，，其前〃項(xiàng)和為S”.

⑴計(jì)算waww；

(2)猜想S“的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

參考答案：

1438$一2n

(1)3*2*5:(2)證明見解析.

【分析】

(1)由題可得前4項(xiàng)，依次求和即可得到答案；

2/1

S-

(2)由(1)得到前四項(xiàng)和的規(guī)律可猜想""+1,由數(shù)學(xué)歸納法，即可做出證明，得

到結(jié)論。

14

S1=1L,S2=1+-----=—

【詳解】(1)計(jì)算1+23,

?4163。318

31+2+34221+2+3+45.

5_-

(2)猜想11n+1.

2x1]

證明：①當(dāng)a=l時(shí)，左邊=號(hào)=1,右邊1+1,猜想成立.

1J_]12k

②假設(shè)""*(*'猜想成立，即.一1土百費(fèi)+1+2+3++l+2+3+...+i-1+1

成立，

?12k2

SI.=S?+----------------------------=------+------------------

那么當(dāng)叫時(shí)，1+2+3+…+KK1k+1

2k22仕+1)22(*+l)

而金+1(*+l)(￡+2)(￡+l)(￡+2)(￡+1)*1,故當(dāng)n=jfc+l時(shí)，猜想也成立.

由①②可知，對(duì)于“eN,猜想都成立.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了歸納、猜想與數(shù)學(xué)歸納法的證明方法，其中解答中明確數(shù)學(xué)歸納

證明方法：(1)驗(yàn)證口=1時(shí)成立；(2)假設(shè)當(dāng)"=￡時(shí)成立，證得“=￡*】也成立；

(3)得到證明的結(jié)論.其中在“=￡到”=*+1的推理中必須使用歸納假設(shè).著重考查了

推理與論證能力.

92

20.如圖，已知橢圓ab(a>b>0),A(2,0)是長軸的一個(gè)端點(diǎn)，弦BC過橢圓

的中心0,且AC?BC=0,|0C-0Bk|BC-BA|.

(I)求橢圓的方程；

(H)設(shè)P、Q為橢圓上異于A,B且不重合的兩點(diǎn)，且NPCQ的平分線總是垂直于x軸,

是否存在實(shí)數(shù)入，使得混人屈，若存在，請(qǐng)求出X的最大值，若不存在，請(qǐng)說明理

由.

參考答案:

【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【分析】(I)由已知條件推導(dǎo)出AAOC是等腰直角三角形，C(1,1),由點(diǎn)C在橢圓

'+a=2

上，得ab",由此能求出橢圓方程.

(II)對(duì)于橢圓上兩點(diǎn)P,Q,由/PCQ的平分線總是垂直于x軸，知PC與CQ所在直線關(guān)

于x=l對(duì)稱，krc=k,則k(Q=-k,PC的直線方程為y=k(X-1)+1,QC的直線方程為y二-k

(X-1)+1,由此求出PQ〃AB,從而得到存在實(shí)數(shù)入，使得比入瓦，求出【銅的最大

值，即可得出結(jié)論.

【解答】解：(I)VAC-BC=O,.,.ZACB=90o,

XIOC^OB1=2BC-BAI，B|l|BC|=2|AC),

...△AOC是等腰直角三角形…

VA(2,0),AC(1,1),

,B+］尸］,a=2

而點(diǎn)C在橢圓上，b”

_4

.-.b2=?,

???所求橢圓方程為

44

(II)對(duì)于橢圓上兩點(diǎn)P,Q,

?1,ZPCQ的平分線總是垂直于x軸，

APC與CQ所在直線關(guān)于x=l對(duì)稱，

krc=k,則kw=-k,…

VC(1,1),...PC的直線方程為y=k(x-1)+b①

QC的直線方程為y=-k(x-1)+1,②

xi+3yi=

將①代入44得(1+3X)x2-6k(k-1)x+3k2-6k-1=0,③

3k2-6k-l

9

???C(1,1)在橢圓上，...x=l是方程③的一個(gè)根，...xkl+3k"-

3k2+6k-l

以-k替換k,得到x產(chǎn)3k2+1.

k(xp+xQ)-2k]

/.kPQ=Xp-XQ=3

VZACB=90°,A(2,0),C(1,1),弦BC過橢圓的中心0,

1

AA(2,0),B(-1,-1),??k.4B=3,

.?.kpQ=kAB,???PQ〃AB,

，存